CC BY
78
УДК 372.08
Стакина Елена Сафаровна
Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
ПОСТРОЕНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ СТУДЕНТОВ
В данной статье представлены способы построения фрактальных множеств, указано, каким образом следует организовать обучение фрактальной геометрии, чтобы направить его на развитие информационных компетенций студентов.
Ключевые слова: информациооная компетенция, фрактальное множество, L — система, множество Жюлиа.
В последнее время исследователи всё чаще обращаются к проблеме формирования компетентности. Не удивительно, что современные работодатели заинтересованы в компетентных специалистах, которые готовы работать в быстроизменяющихся условиях окружающего мира, могут ориентироваться в постоянно нарастающем потоке информации и принимать верные решения.
Одной из профессиональных компетенций бакалавра по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» является информационная компетенция, которая включает умения самостоятельно искать, анализировать и отбирать необходимую информацию, организовывать, преобразовывать, сохранять и передавать ее [3].
Согласно федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» (от 20.05.10) в составе информационной компетенции можно выделить: способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии; способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования; способность применять
Таблица1
Описание аксиомы и порождающего правило фрактала «салфетка» с помощью L - систем
в профессиональной деятельности современные языки программирования [2].
По нашему мнению, данный вид компетенций будет подлежать формированию в процессе выполнения студентами следующих заданий.
Word=W
Аксиома (AXIOM) F+F+F+F
Порождающее правило (NEWF) F-F+F
Начальный угол (а' ) 00
Угол поворота (о) 900
( конец )
Рис. 1. Блок-схема реализации L - систем
© Стакина Е.С., 2011
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2011
267
0 12 3
Рис. 2. Фрактальное множество «Салфетка»
1. Построение фракталов с помощью L - систем.
Задания данного типа заключаются в следующем: чтобы построить определенное фрактальное множество необходимо, во-первых, создать таблицу, в которой должны быть указаны аксиома, порождающее правило, начальный угол и угол поворота; во-вторых, на основе этой таблицы построить блок-схему, и, в-третьих, используя какой-либо из языков программирования (к примеру Turbo-Pascal), рассмотреть несколько итераций данного фрактального множества. То есть работа по построению фрактальных множеств с помощью L - систем осуществляется в три этапа.
Рассмотрим на примере (см. табл. 1).
После реализации полученной блок-схемы [1] (рис. 1) с помощью компьютера можно получить несколько итераций данного фрактала (рис. 2).
На втором и третьем этапе учащиеся самостоятельно разрабатывают алгоритмы создания фрактальных множеств и используют их в определенных средах программирования. Создавая некоторые классические фракталы (по образцу) и собственные фрактальные множества, студенты развивают свои навыки и способности в области алгоритмических и программных решений,
Рис. 4. Схема построения ковра Серпинского методом аффинных преобразований
Рис. 3. Ковёр Серпинского
таким образом, происходит формирование информационных компетенций.
2. Построение фрактальных множеств с помощью сжимающих аффинных преобразований.
Допустим, что на плоскости введена прямоугольная координатная система. Тогда каждой точке А ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат. Вводя на плоскости еще одну прямоугольную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке А другую пару чисел - (х’, у’).
Переход от одной прямоугольной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями: хп+1 = ахп+ Ьуп+ е; уп+1 = сХп+ (іуп+ £ где а, Ь, с, ^ е, f - определенные вещественные числа. Данные формулы понимаются в том смысле, что изменяется точка и со-
Рис. 5. Заполняющее множество Жюлиа для функции f (z) = z3 + 0.5 + 0.3/
Рис. 6. Блок-схема построения заполняющего множества Жюлиа для функции f (z) = z3 + с
храняется координатная система, а формулы задают отображение, переводящее произвольную точку А(хп, уп) в точку А’(х, уп+1), координаты которой определены в той же координатной системе [1].
Аффинные преобразования можно представить в матричной форме:
а Ь V х.
Рассмотрим применение аффинных преобразований на примере построения ковра Серпинс-кого (рис. 3).
Для построения использовались восемь сжимающих аффинных преобразования, каждое из которых переводит исходный квадрат в соответствующие квадраты (см. рис. 4).
1/3
0
0
1/3
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 20111
х
х
+
T
x 1-І '1/3
.y J- V0
x 1-І '1/3
.y J- V 0
x 1-І '1/3
.y J-l V0
x 1-І '1/3
.y J- V 0
x 1-І '1/3
.y J-l V 0
x 1-І '1/3
.y J-l V 0
x 1-І '1/3
.y J- V 0
0
1/3Л y
0
1/3JVy 0
1/3JVy
0 1/
0
1/3 y
0
1/3JIy
0
1/3
0
2/3
1/3
2/3
2/3
2/3
2/3
1/3
2/3
0
1/3
0
Далее студентам также предлагается разработать компьютерные алгоритмы построения фрактальных множеств, полученных с помощью сжимающих аффинных преобразований. Как известно, компьютерные модели более наглядно представят нам последующие фрактальные итерации. Таким образом, студенты знакомятся с новым способом построения фрактальных множеств, при этом вырабатываются умения структурировать информацию, создавать алгоритмы; закрепляются навыки работы с языком программирования Turbo Pascal.
3. Построение фрактальных множеств на комплексной плоскости.
Множество Жюлиа для функции комплексного переменного f z), обозначаемое J(f), определяется как J(f) = d{z : f (n)(z) ^ œ, n ^ œ}, где d -граница области притяжения бесконечности, а f (n)(z) = f (f (n-1)(z)),n = 1, 2,.... Заполняющее множество Жюлиа состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества, являющейся настоящим множеством Жюлиа [1].
Студентам предлагается рассмотреть кубические функции комплексного переменного f ( z) = z3 + c, где с - произвольный параметр (рис. 5).
Студенты получают задание построить заполняющее множество Жюлиа в среде программирования Turbo Pascal и проследить, как влияет на его изображение изменение параметра с. Блок-схема, описывающая алгоритм, изображена на рисунке 6.
Таким образом, студенты закрепляют навыки работы с языками программирования, развивают исследовательские способности и закрепляют умения сравнивать, обобщать и анализировать информацию.
Изучение фрактальных множеств дает прекрасные возможности для формирования информационных компетенций студентов: во-первых, они приобретают новые научные и профессиональные знания, используя ИКТ; во-вторых, студенты разрабатывают алгоритмические и программные решения в области прикладного программирования, то есть развивают способности решать задачи на профессиональном уровне; в-третьих, закрепляют навыки работы с современными языками программирования. Обучение фрактальной геометрии открывает большие возможности для развития профессиональных компетенций будущих бакалавров по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» в целом.
Библиографический список
1. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств: Учеб. пособие. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2005. - С. 56-61.
2. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика» (от 20.05.2010). - С. 8-12.
3. Хуторской А.В. Ключевые компетенции как компонент личностно-ориентированного образования // Народное образование. - 2003. - №2. -С. 58-64.
+
2
+
+
4
+
+
6
+
7
x
+
