Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Алгоритмы построения аттракторов нелинейных отображений» как средство формирования креативности студентов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 378:51

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук, профессор

Фатеев Александр Сергеевич Дорохова Жанна Викторовна

Костромской государственный университет [email protected], [email protected], [email protected]

ВЫПОЛНЕНИЕ МНОГОЭТАПНОГО МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННОГО ЗАДАНИЯ

«АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ АТТРАКТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ» КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ КРЕАТИВНОСТИ СТУДЕНТОВ*

В данной работе рассматривается многоэтапное математико-информационное задание «Алгоритмы построения аттракторов нелинейных отображений», нацеленное на развитие креативности студентов вузов. При выполнении многоэтапного математико-информационного задания студентам предоставляется возможность быть в роли математика, программиста, экспериментатора, компьютерного художника, что повышает его мотивацию, как к математике, так и к информатике. При выполнении математико-информационного задания студент убеждается в глубоких интеграционных связях между математическими методами и информационными и коммуникационными технологиями. При выполнении многоэтапного математико-информационного задания студенты решают математические задачи, разрабатывают алгоритмы построения аттракторов нелинейных отображений в различных средах. На наш взгляд, такой подход изучения аттракторов нелинейных отображений дает возможность организовывать творческую математическую и творческую информационную деятельность студентов, нацеленную на развитие их креативности.

Ключевые слова: креативность, гибкость мышления, интуиция, многоэтапное математико-информационное задание, информационные и коммуникационные технологии, аттрактор, нелинейное отображение, творческая деятельность, креативное качество, интеграция.

Креативность в самом общем смысле характеризует способность личности к творчеству. Мы придерживаемся трактовки данного важнейшего понятия, приведенного в [2]. Впервые многоэтапные математические задания рассматривались М. Клякля в [1]. Позднее В.С. Секованов продолжил исследования М. Клякля и ввел понятие «Многоэтапное математико-информационное задание» [2], при разработке которого предусмотрено использование как математических методов, так информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). Многоэтапные математико-информационные задания, являющиеся специально составленной последовательностью задач, упражнений, проблем и дидактических ситуаций, которые соединяют друг с другом: различные виды творческой математической деятельности; проведение математико-компьютерных экспериментов; проведение лабораторных работ по математике; решение нестандартных задач по математике; прогнозирование результатов математической деятельности; поиск информации в Интернете [2].

Мы понимаем многоэтапные математико-ин-формационные задания как лабораторию, в рамках которой происходит творческая математическая и творческая информационная деятельность, нацеленные на развитие креативных качеств бакалавра, магистра и аспиранта.

Предложенный подход к изучению аттракторов нелинейных отображений, тесно связанный с фрактальной геометрией и теорией хаоса, дает возможность обучаемым убедиться в глубоких интеграци-

онных связях математики и информатики. Кроме того, изложенный подход к изучению аттракторов нелинейных отображений, тесно связанных с фрактальными множествами и теорией хаоса, заинтересует студентов и аспирантов, поскольку приложения фракталов в настоящее время наблюдаются во всех областях - от психологии до нанотехнологий. В работах [2-8] затрагивается тематика изучения аттракторов нелинейных отображений и фрактальных множеств с целью формирования креативности обучаемых. Так, например, в работе [7] рассмотрено многоэтапное математико-информационное задание «Дискретные динамические системы». В данной статье мы продолжим тематику данного исследования, проектируя выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Алгоритмы построения аттракторов нелинейных отображений». Выполнение математико-информа-ционного задания предусмотрено в течение трех этапов. Схема-план данного задания представлена на рисунке 1.

Опишем каждый из этапов и укажем решение дидактических задач, нацеленных на развитие креативности обучаемых.

На первом этапе дается определение аффинного преобразования. Приводятся примеры аффинных преобразований.

Обращается внимание на связь аттракторов с фракталами. Показано, что аттрактором тентоо-

бразной функции ф(х) = -3

+— является фрак-

тальное множество - множество Кантора.

'Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №16-18-10304).

© Секованов В.С., Фатеев А.С., Дорохова Ж.В., 2016

1

л-

Алгоритм построения аттрактора ЭНО

История построения фракталов с помощью аффинных преобразований

Описание алгорита построения фракталов с помощью аффинных преобразований

Построение ковра и салфетки Серпинского с помощьюаффинных преобразований

I

Построение ветви куста с помощью аффинных преобразований

I

Выявление математических свойств построенных фракталов (симметрия, самоподобие, и другие)

Привести в матричной форме три примера афинных преобразований Вещественной плоскости. Показать, что на комплексной плоскости вращение можно задать формулой L(z)=elt', где г=х+1у

Хаотичность преобразования пекаря на единичном квадрате

Исследование орбит т-ичного преобразования, пекаря с помощью т-ичной системы счисления.

Структура периодических точек т-ичного преобразования, пекаря

Рис. 1. Схема-план многоэтапного математико-информационного задания «Алгоритмы построения аттракторов нелинейных отображений»

Вестник КГУ А 2016

236

Рис. 2. Первые пять итераций пыли Серпинского

Кратко излагается история построения фракталов с помощью аффинных преобразований, начиная от построения множества Кантора до исследований Барнсли и Слоанома.

Приведены также аттракторы аффинных преобразований, которые являются фракталами (ковер Серпинского, салфетка Серпинского). Приводятся и другие примеры, указывающие тесную связь аттракторов нелинейных отображений с фрактальными множествами.

Для построения Ковра Серпинского можно использовать четыре сжимающих геометрических преобразования Т1, Т2, Т3, Т4, каждое из которых переводит исходный квадрат в соответствующие квадраты (рис. 2).

Построение фрактала осуществляется с помощью четырех аффинных преобразований, записанных с помощью матриц:

(^Напало

11=300; Ввод структура р1; массивы: ку<1г,$1х.(1гу,ррг,е1к; х0,у0,к\:к\с1г,п

1 г

к\[1].х=0; кл [1].у=0 к\[2].х=к: кл[2].у=0 ку[3].х=Ь; к\[3].у=к к\[4].х=0; кл [4].у=Ь ку[5].х=0; к\[5].у=0

Г_ррг(п,кл);

1 г

4 X

ч „У,

1 ' X

Т2\

V У.

( ' X

Т3

1 ■У.

| Г X

Г4

1 V У

1/3 0

1/3 0 1/3 0

1/3 0

Данное множество самоподобно и его размерность самоподобия равна ds ) = .

Далее описывается алгоритм построения фракталов с помощью аффинных преобразований в виде блок-схемы (рис. 3-6).

0 л { х" Г 01

| + | | •

1/3, 1 У. V0, •

0 1 Г хл 1 | Г01

1 1 + | •

1/3 , V У, ) 1 V2/3,•

0 1 Г х 1 Г 2/31

1 1 | | •

1/3 , V У, V 2/3, ;

0 4 Г х" Г 2/31

| + | |

1/3, 1 У. V0,.

' Р

р[|]_5:=а[1]*1:[1].:£+а[2]*Г[1].у I а!5]*Ь; р Ш .у:а |3| "Ч|1| _х+а [4] -Ч|1] ,у+а[6|"|1.

Рис. 3. Первый модуль блок-схемы

Рис. 4. Второй модуль блок-схемы

ро]у(ц,ку)

яп'ау о1\Ро]Ы

Рис. 5. Третий модуль блок-схемы

В процессе выполнения первого этапа изучаются аттракторы аффинных преобразований, которые являются фракталами. Приводятся и другие примеры, указывающие тесную связь аттракторов нелинейных отображений с фрактальными множествами.

Приводится пример построения фрактала «Ветвь куста» с помощью аффинных преобразований (рис. 7).

В заключительной стадии первого этапа решаются задачи, связанные с аффинными преобразованиями. Например: покажите, что аффинное преобразование переводит прямые линии в прямые

Рис. 6. Четвертый модуль блок-схемы

линии; покажите, что образ параллелограмма при аффинном преобразовании есть параллелограмм; приведите примеры аффинных преобразований. На данном этапе приводятся также в матричной форме примеры аффинных преобразований в матричной форме на вещественной плоскости, показано, что на комплексной плоскости вращение можно задать формулой L(z)=e"•, где z=x+iy.

На втором этапе рассматривается описание алгоритма построения аттракторов для двоичного преобразования пекаря.

Рис. 7. Ветвь куста

238

Вестник КГУ ^ 2016

Преобразование пекаря имеет многочисленные приложения в различных сферах деятельности. Дискретная динамическая система, порожденная преобразованием пекаря, связана с фрактальной геометрией и теорией хаоса. Однако методика изучения данного преобразования практически не разработана. На данном этапе подробно рассматривается классическое преобразование пекаря, затем введем троичное и да-ичное преобразования пекаря изучим его свойства и докажем хаотическое поведение да-ичного преобразования пекаря. Такой подход связан с тем, что методика изучения преобразования пекаря отсутствует или носит фрагментарный характер

Классическое определение преобразования пекаря, определенное на квадрате, стороны которого направлены по осям ОХ и OY, а центр расположен

Г1 11

в точке | —,— |, а длина стороны равна единице,

,2 2

имеет вид:

T

^ У J

2 x modi

У ,0 < i

i

2 2

. у 1

- + —-<х< 1 .2 2 2 у

Данное отображение преобразует вертикальные полоски шириной 0,5 единичного квадрата в горизонтальные полоски единичного квадрата высотой 0,5. На рисунке 8 приведены 3 итерации преобразования пекаря.

Затем дается определение да-ичного преобразований пекаря. Затем рассматривается да-ичная система счисления для исследования вышеуказанного преобразования.

Рассмотрим краткую схему описания построения аттракторов да-ичного преобразования пекаря.

1. Определяются число итераций преобразования пекаря, которое необходимо выполнить на единичном квадрате и константа, определяющая систему исчисления, применяемую для преобразования пекаря.

2. Описывается новый класс, который позволяет хранить координаты каждой точки и цвет прямоугольников, получаемых при данном преобразовании.

3. Для хранения и последующего вывода получаемых прямоугольников, служит специальная переменная, которая представляет собой список.

4. Описывается процедура, которая непосредственно выводит на экран, переданный ей во входном параметре прямоугольник определенного цвета.

5. Согласно формуле преобразования пекаря, значение координаты x точек квадрата, всегда преобразуется в новое значение по формуле: x=2*x mod 1. Значение же координаты y зависит от значения абсциссы точки. При m-ичном преобразовании пекаря, исследуемый единичный квадрат на нулевой итерации делится на m равных частей по оси Ох. Таким образом, имеем m-прямоугольников, которые помечаем разным цветом. Полученные прямоугольники преобразовываются в новые, по формулам преобразования пекаря.

6. Объявляется функция, которая возвращает значение типа цвета в зависимости от входного целочисленного параметра. Данная функция используется на нулевой итерации данного преобразования, для того чтобы назначить каждому прямоугольнику свой цвет. По умолчанию функция содержит 7 цветов, если их не хватает, то в последнем прямоугольнике предусмотрен возврат случайного значения цвета.

7. Описаны переменные, которые служат для временного хранения получившихся прямоугольников и их координат.

8. Далее идет непосредственно код программы, в котором сначала устанавливаются заголовок окна и его размер соответствующими процедурами.

9. Происходит вывод на экран монитора изображение аттрактора преобразования пекаря.

При выполнении преобразования пекаря видоизменяется формула и вычисляется фрактальная размерность аттрактора модернизированного преобразования пекаря.

Рис. 8. Три итерации двоичного преобразования пекаря

Положим:

( mx modi

Tm \Х

IУ

У

m +1

0 < x < — m

У

1

— + - , m m +1

1 2

— < x < —

m

m

m -1

У

m -1

< x < 1

да да +1 да

Пусть X = [0; 1]х[0; 1]. Обозначим через Р аттрактор, полученный путем бесконечного воздействия отображения Т да на множество X = [0; 1] х [0; 1]. Данный аттрактор - бесконечная последовательность горизонтальных линий, расположенных внутри множества X. Найдем размерность Минковского множества Р.

1

Возьмем е

W

(m +1)п

Заметим, что множество

Tm "\х) (п-я итерация множества X = [0; 1]х [0; 1])

1

будет иметь mn полосок шириной

1 (m +1) п

. Одну

полоску шириной

можно покрыть мини-

(m +1)п

мальным числом (m+1)n квадратных клеток со сто-

роной

1

(m +1)'

. Таким образом, минимальное число

клеток N(8), покрывающих п-ю итерацию Тт" (X)

множества X = [0; 1)х [0; 1) будет равно (да2 + да)". Следовательно,

dim м (P) = lim

ln(N (е)) = lim ln((m2 + m)n) = 1

ln

ln((m + 1)n)

= 1 + l0g m

Поскольку величина 1 +т+\да является дробной, то в данном случае множество Р является фракталом.

Отметим, что Р является самоподобным множеством, размерность самоподобия которого также равна 1+™+1да.

На третьем этапе рассматривается модифицированное преобразование Эно. Л - 11

T

У J

1 - ax2 + yn bxn

n=1, 2, 3,

При п = 1 получается классическое преобра-

зование Эно T

Cx \ (1 - ax2 + yЛ

У.

bx

. Отметим, что

при п > 1 нелинейны обе переменные в отличие от классического преобразования Эно.

Перед описанием алгоритма построения аттракторов нелинейных отображений используются математические методы исследования:

1. Находятся неподвижные точки преобразования.

2. Осуществляется линеаризация преобразования Эно в окрестностях неподвижных точек.

3. Находятся собственные векторы и корни характеристического уравнения.

4. Проводится анализ неподвижных точек на устойчивость.

Далее строится алгоритм построения аттрактора. Приведем программу построения обобщенного преобразования Эно, написанную на языке Pascal ABC:

(1) Program Eno;

(2) uses GraphABC,System;

(3) type Point=class

(4) x:double;

(5) y:double;

(6) end;

(7) const n=2; b=0.3;

(8) var x,y,x0,y0,a,xmax,ymax,xmin,ymin:double; P:Point;

(9) L:List<Point>:=new List<Point>;

(10) procedure DrawENO();

(11) begin

(12) ClearWindow();

(13) L.Clear();

(14) SetWindowTitle('a='+floattostr(a));

(15) x0:=0;

(16) y0:=0;

(17) for var i:=1 to 2000 do begin

(18) x:=1-a*sqr(x0)+power(y0,1/n);

(19) y:=b*power(x0,n);

(20) x0:=x;

(21) y0:=y;

(22) P:=new Point();

(23) P.x:=x;

(24) P.y:=y;

(25) L.Add(P);

(26) end;

(27) xmax:=L[0].x; xmin:=L[0].x; ymax:=L[0].y; ymin:=L[0].y;

(28) for var i:=1 to L.Count-1 do begin

(29) if xmax<L[i].x then xmax:=L[i].x;

(30) if xmin>L[i].x then xmin:=L[i].x;

(31) if ymax<L[i].y then ymax:=L[i].y;

(32) if ymin>L[i].y then ymin:=L[i].y;

(33) end;

(34) xmin-=0.2; xmax+=0.2; ymin-=0.2; ymax+=0.2;

(35) SetBrushColor(cltransparent);

(36) SetPenWidth(2);

(37) Line(20,Window.Height-20,Window. Width,Window.Height-20);

(38) Line(20,0,20,Window.Height-20);

(39) Line(Window.Width,Window.Height-20,Window.Width-15,Window.Height-25);

(40) Line(Window.Width,Window.Height-20,Window.Width-15,Window.Height-15);

(41) Line(20,0,15,15);

(42) Line(20,0,25,15);

(43) Text0ut(20,Window.Height-14,floattostr(Math.Round(xmin,3)));

Вестник КГУ A 2016

+

m

1

240

(44) TextOut(Window.Width-50,Window.Height-14,floattostr(Math.Round(xmax,3)));

(45) TextOut(Window.Width-15,Window.Height-

14,'x');

(46) TextOut(4,4,'y');

(47) TextOut(30,5,floattostr(Math.Round(ymax,3)));

(48) TextOut(25,Window.Height-40,floattostr(Math.Round(ymin,3)));

(49) SetBrushColor(clred);

(50) for var i:=0 to L.Count-1 do begin

(51) try

(52) FillCircle(round(((L[i].x-xmin)*(Window. Width-20))/(xmax-xmin)+20),round(((L[i].y-ymax)*(Window.Height-20))/(ymin-ymax)),1);

(53) except

(54) Continue;

(55) end;

(56) end;

(57) end;

(58) procedure KeyDown(Key: integer);

(59) begin

(60) case Key of

(61) VK_Down: begin a-=0.05; DrawENO();end;

(62) VK_Up:begin a+=0.05; DrawENO();end;

(63) VK_Left: begin a-=0.01; DrawENO();end;

(64) VK_Right:begin a+=0.01; DrawENO();end;

(65) end;

(66) end;

(67) begin

(68) SetWindowSize(800,600);

(69) SetWindowTitie('npeo6pa3CBaHHe ЭНО');

(70) OnKeyDown := KeyDown;

(71) a:=0.2;

(72) DrawENO();

(73) end.

Во второй строке подключается модуль для вывода графики на экран. Далее описан новый класс «Point», который позволяет хранить координаты каждой точки данного преобразования. Для хранения точек и их преобразований служит переменная «L» (строка 9), которая представляет собой список, в котором хранятся переменные типа «Point». В седьмой строке объявлена константы «n» и «b», при n=1 имеем каноничное преобразование ЭНО. В восьмой строке данного алгоритма описываются переменные, необходимые для хранения результатов расчета преобразования типа «double» и переменная «P» типа «Point».

С десятой строки по пятьдесят седьмую описана процедура «DrawENO», в которой непосредственно происходит расчет значений орбит точек и их отображение. В двенадцатой строке вызывается внутренняя процедура модуля «GraphABC» -«ClearWindow», которая очищает графическое окно. В следующей строке происходит очистка списка «L». В четырнадцатой строке вызывается внутренняя процедура Pascal ABC «SetWindowTitle», которая изменяет заголовок графического окна

в соответствии с переданной последней строкой. В данном случае, в заголовке отображается текущее значение параметра «a» преобразования ЭНО, при этом применяется встроенная функция языка - «floattostr», преобразующее числовое значение переменной в строковое.

В пятнадцатой и шестнадцатой строках, переменным «x0» и «y0» присваиваются нулевые начальные значения. Далее описан цикл со счетчиком «i», пробегающий значения от 1 до 2000, в котором непосредственно рассчитываются абцисса «x» и ордината «y» точки, по предыдущим значениям «x0» и «y0». При этом используются математические функции Pascal ABC - «sqr» и «power», первая из них передаваемое значение возводит в квадрат, вторая осуществляет возведение в степень. В двадцать второй строке создается объект класса «Point», в поля x и y которого записываются рассчитанные итерации точки. В двадцать пятой строке ссылка на данный объект, помещается в список «L». Если необходимо вывести не все итерации преобразования, а только последние, то есть орбиту точки, то между двадцать первой и второй строчками алгоритма необходимо вставить соответствующее условие на счетчик данного цикла, например «if i>=1800 then begin», тогда выведутся на экран последние двести итераций.

С двадцать седьмой по тридцать четвертую строки, данного алгоритма происходит поиск минимального и максимального значений абцисс и ординат получаемых итераций начальной точки (переменные xmin, xmax, ymin, ymax). Эти значения используются для автомасштаба при выводе графики, то есть используются только необходимые диапазоны изменения абцисс и ординат.

В тридцать пятой строке алгоритма, меняется цвет заливки кисти на прозрачный цвет (процедура «SetBrushColor»), что необходимо для вывода текста на прозрачном фоне, а затем меняется толщина карандаша, рисующего точки, линии, квадраты и т. п. (процедура «SetPenWidth»).

Начиная с тридцать седьмой по сорок восьмую строки, происходит вывод линий осей абцисс и ординат (процедура «Line»), а также вывод подписей для последних (процедура «TextOut»). Затем цвет кисти меняется на красный и в следующей строке объявляется цикл, который непосредственно выводит рассчитанные итерации точек преобразования ЭНО. Данный цикл имеет счетчик «i», который меняется от нуля до «L.Count-1», то есть до числа элементов списка «L» минус единица, так как нумерация списка начинается с нуля. Для избегания ситуаций, когда значение абциссы или ординаты выходит за границы графического окна, применяется встроенная процедура «отлова» исключительных ситуаций, то есть блок «try except end». В данном блоке, между «try» и «except» записывается код, в котором может возникнуть данная ситуация,

Рис. 9. Наличие признаков хаоса орбиты точки

io)

v 0 у

при a=0,5, b=0,3, n=4

а между «except» и «end» действия, которые применяются в случае возникновения последней.

В пятьдесят второй строке алгоритма осуществляется вывод графики с использованием внутренней процедуры «FillCircle», рисующей в данном случае окружность единичного радиуса, залитую красным цветом. В эту процедуру сразу передаются выражения, преобразующие координаты точки в экранные координаты - пикселы.

В пятьдесят четвертой строке, в случае возникновения исключительной ситуации описанный выше цикл переключится на следующую итерацию и вывод графики не прервется ошибкой.

В пятьдесят восьмой строке описана процедура «KeyDown», которая срабатывает при нажатии определенных клавиш на графическом окне. В данном алгоритме эта процедура используется для динамического изменения параметра «а» с использованием клавиш «вверх - VK_Up» «вниз - VK Down» и «влево - VKLeft» «право -VKRight». По нажатию клавиши в графическом окне, срабатывает данная процедура, в которую автоматически передается код клавиши в переменную «Key» целого типа, и в зависимости от значения последней, в шестидесятой строке алгоритма, с помощью оператора выбора «case» происходит отлавливание нажатий данных четырех клавиш.

Начиная с шестьдесят седьмой по последнюю строки, описан главный блок программы, который выполнится первым при запуске. В нем устанавливается размер окна (процедура «SetWindowSize»), в следующей строке устанавливается заголовок. В семидесятой строке, графическому окну назначается событие нажатия клавиш, описанное выше в отдельной процедуре. Затем параметру «а» присваивается первоначальное значение и вызывается процедура «DrawENO». На рисунке 9 изображен аттрактор отображения Эно Т5 при a=0,5, b=0,3, n=4.

Суть построения аттрактора проста - берется начало координат и на экран монитора выводится

орбита данной точки.

В заключение отметим, что при выполнении многоэтапных заданий у студента формируется мировоззрение, развивается интеллект, конвергентное и дивергентное мышление, вырабатывается умение прогнозировать результаты математической и информационной деятельности. Причем при выполнении многоэтапного математико-информа-ционного задания предусмотрена как разработка алгоритмов построения аттракторов нелинейных отображений, так использование и математических методов, что позитивно влияет на развитие гибкости мышления - важнейшего креативного качества личности (подробнее см. [7]). Выполнение многоэтапного математико-информационного задания повышает интерес обучаемых как к математике, так и информатике и углубляет интеграционные связи между данными дисциплинами.

Библиографический список

1. Клякля М. Формирование творческой математической деятельности учащихся в классах с углубленным изучением математики в школах Польши: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2003. - 285 с.

2. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. -Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2006. - 279 с.

3. Секованов В.С., Салов А.Л., Самохов Е.А. Использование кластера при исследовании фрактальных множеств на комплексной плоскости // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы V Всерос. научн.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2011. - С. 85-103.

4. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ», 2015. - 248 с.

5. Секованов В.С., Ивков В.А. Многоэтапные математико-информационные задания «Странные

242

Вестник КГУ _J 2016

аттракторы» // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. -2013. - Т. 19. - № 5. - С. 155-157.

6. Секованов В.С. Что такое фрактальная геометрия? - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 272 с.

7. СековановВ.С., БабенкоА.С., СелезневаЕ.М., Смирнова А.О. Выполнение многоэтапного мате-матико-информационного задания «Дискретные динамические системы», как средство формирования креативности студентов // Вестник Костромского государственного университета имени

Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинети-ка. - 2016. - Т. 22. - № 2. - С. 213-218.

8. Секованов В.С., Фатеев А.С., Белоусова Н.В. Развитие гибкости мышления студентов при разработке алгоритмов построения дерева Фейгенбаума в различных средах // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика. - 2016. - Т. 22. -№1. - С. 143-147.

УДК 51

Смирнова Елена Сафаровна

кандидат педагогических наук Костромской государственный университет [email protected]

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ФРАКТАЛ»

В статье представлены методические приемы обучения фрактальной геометрии. Наиболее подробно описана суть поэтапного знакомства студентов математических направлений подготовки с понятием фрактального множества. Особое внимание уделяется развитию исследовательских компетенций студентов.

Ключевые слова: фрактальное множество, фрактальная геометрия, кривая Коха, размерность фрактала, исследовательская компетенция, методы исследования.

В наши дни математики уже не отрицают существование понятия «фрактал», не считают этот объект просто красивым изображением, а рассматривают фрактальные множества с точки зрения математики, выделяя при этом их уникальные математические свойства.

В.С. Секованов определяет: «Фрактальная геометрия - молодое быстроразвивающееся математическое направление, связанное не только с выдвижением новых математических идей, но и бурным развитием компьютерной графики, художественного компьютерного творчества» [9].

Н.Х. Розов считает возможным и необходимым включение в школьный курс математики таких современных математических понятий, как фрактал и хаос [7].

Мы считаем, что ознакомление студентов математических направлений подготовки с элементами фрактальной геометрии будет оказывать положительное влияние на их математические способности, на формирование умений работы с ИКТ, а также на развитие их исследовательских компетенций, что является актуальной задачей подготовки бакалавров в связи с требованиями ФГОС ВПО и необходимым условием становления будущего работника-профессионала.

Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования определяет одну из областей профессиональной деятельности бакалавров по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» - научно-исследовательскую и требует готовить бакалавра к решению разнообразного класса исследовательских задач. В связи с этим ведущим

направлением в подготовке студентов является вовлечение их в исследовательскую деятельность и развитие их исследовательских компетенций. При таком подходе студент должен сам уметь творчески познавать науку, которая вызывает у него интерес и подвигает его к дальнейшим исследованиям. В качестве такой науки, по нашему мнению, может выступать фрактальная геометрия - новое направление современной математики, мало представленное в учебной литературе, богатое необычными идеями и широким набором нерешенных проблем для исследовательской деятельности.

Теория фрактальных множеств в настоящее время не входит в содержание стандартов высшего образования и рассматривается исключительно в рамках дисциплин по выбору и кружковых занятий. Однако, по нашему мнению, студент-математик, обучающийся в высшем учебном заведении должен иметь представление о современном состоянии науки. О чем свидетельствуют также слова ректора МГУ им. М.В. Ломоносова, академика В.А. Садов-ничего [6] на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ (28 октября 2010 года): «Многие годы на стыке математики и физики происходит интенсивное исследование хаотических процессов, они важны в понимании природных процессов на всех уровнях, от микромира до макромира». В одной из тем своего доклада «Современные горизонты математики и ее приложений» В.А. Садовничий обращается также к фрактальной геометрии, определяя ее как сравнительно молодую ветвь современного математического анализа, геометрии и топологии. Автор доклада описывает фракталы, как «такие области притяжения (или их границы),

© Смирнова Е.С., 2016

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 4

243