ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 2, c. 86-92
- СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРИБОРОВ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МЕТОДИК - —
УДК 681.2-5
© М. А. Михайлов, В. В. Манойлов
ПОСТОБРАБОТКА СЗМ-ИЗОБРАЖЕНИЙ РЕШЕНИЕМ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
В статье анализируются факторы, вносящие искажения при проведении исследования топологии поверхности при использовании сканирующего зондового микроскопа, и предлагаются методы устранения их влияния в процессе постобработки изображений. Особое внимание уделяется решению прямой и обратной задач при исследованиях параметров системы автоматического регулирования сканера и его аппаратной функции.
Кл. сл.: СЗМ, решение обратной задачи, аппаратная функция, пьезосканер
ВВЕДЕНИЕ
При проведении исследований топологии поверхности с использованием сканирующих зондо-вых микроскопов могут возникать различные по физической природе и форме явления, искажающие топологию поверхности. В данной работе проводится исследование различных факторов, вносящих искажения, и указываются способы их устранения.
Проблему влияния искажений можно решить несколькими путями.
1. Изменять конструкцию отдельных узлов сканирующего зондового микроскопа, повышая точность измерений, и минимизировать влияние помех аппаратными средствами.
2. Производить обработку измерительного сигнала, повышая соотношение сигнал—шум.
Первый путь решения проблемы связан с дорогостоящей научно-исследовательской работой и большими затратами на производство новых узлов. Второй метод позволяет с меньшими затратами улучшить результаты измерений на существующем оборудовании. Обработку сигналов можно производить при помощи аналоговых методов и соответствующих устройств. Альтернативой аналоговым методам являются цифровые методы обработки сигналов. Цифровые методы обладают более богатым разнообразием алгоритмов и возможностей. Кроме того, цифровые методы позволяют производить обработку не только в процессе измерения, но и после эксперимента — постобработка. Цифровые методы также обладают возможностью простого изменения параметров алгоритма обработки сигналов и самого алгоритма автоматического управления сканером при малых
временных и материальных затратах по сравнению с аналоговыми методами. При использовании аналоговых методов обработки сигналов изменение параметров алгоритмов управления и алгоритмов обработки сигналов сопряжено с изменением принципиальной электрической схемы. С помощью цифровых методов возможно проще добиться более высокой точности по причине отсутствия влияния таких факторов, как температурный дрейф и других внешних шумов.
1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -
0.S -........>■■■■
не -........>—
0.4 -........
0.2
Iii-1-
а
б
Рис. 1. Искажение треугольной структуры. а — искаженный сигнал, б — исходный сигнал
Задача работы была сформулирована следующим образом.
1. Оценить (по возможности, количественно) искажения в результате решения прямой задачи в управлении сканером с учетом действия шумов и помех.
2. Наметить пути и разработать алгоритмы решения обратной задачи, в том числе с учетом параметров шумов и помех.
3. Разработать программное обеспечение для решения обратной задачи.
4. Провести количественную оценку результатов решения обратной задачи с помощью разработанных алгоритмов и программ.
При анализе помех и результатов обработки сигналов мы будем использовать критерий — близость формы сигнала по значениям невязки
8( х) = g (х) - w( х),
где 3(х) — величина невязки; g (х) — измененный сигнал; w( х) — изначальный сигнал.
Анализ искажения будет проводиться в два этапа:
1) выявить основные эффекты, вносящие искажения, и описать математически эти искажения, т. е. решить прямую задачу;
2) решить математически обратную задачу, из чего получим алгоритм обработки изображения.
Разберем основные эффекты, вносящие искажения. Рассмотрим все эффекты на примере двухмерного случая — профилей поверхностей, получаемых при проходе зонда.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
Туннельный эффект описывается формулой (1)
2ир(х) = 10ке[ 2 ^(х), (1)
где гЩ](х) — искаженный профиль поверхности; /0 — опорный ток; к — коэффициент соответствия тока и расстояния; , — работа выхода материала зонда и исследуемого образца; z(x) — исходный профиль поверхности [1].
Рис. 3. Модель туннельного эффекта.
Используемые элементы пакета моделирования: "Add", "Gain", "Math Function", "Product", "In", "Out", "Constant", "Scope", "Subsystem")
Данный эффект проявляется на плавно возрастающем профиле, например треугольной формы. Искаженный сигнал представлен на верхнем графике (рис. 1, а), а изначальный сигнал на нижнем (рис. 1, б). Моделирование произведено с помощью программного пакета Ма1ЬаЬ Simulink.
Модель, на которой были получены сигналы рис. 1, изображена на рис. 2 и 3 [2].
Решение обратной задачи сводится к выводу из формулы (1) исходного профиля поверхности г (х) :
г( х) =
1п( гпр( х))
1о к
А-А 2
(2)
ФОРМА ЗОНДА
микроскопе или силовое взаимодействие в атом-но-силовом микроскопе. С математической точки зрения это означает, что функции, описывающие форму зонда и поверхности, имеют больше одного решения. Начиная с этой точки в случае парабо-лоидальной формы зонда информация о поверхности получается не кончиком зонда, а его гранью. При этом искажения имеют форму функции зонда со знаком минус.
Таким образом, форму зонда можно получить, сканируя эталонную ступенчатую структуру, отфильтровав другие шумы, или получив изображения зонда в электронном микроскопе с заведомо более высокой точностью. Зная функцию или таблицу, задающие форму зонда, можно отфильтровывать искажения, вносимые этим эффектом, находя большие перепады высот, сравнивать профиль грани с формой зонда и вычитать при необходимости.
Данный эффект промоделирован на рис. 5 и 6.
Так как зонд не является идеально тонким стержнем, а имеет форму конуса или параболоида, то форма зонда накладывает погрешность на получаемый профиль поверхности (рис. 4) [1]. Этот эффект возникает из-за взаимодействия между зондом и поверхностью помимо кончика зонда другими его поверхностями. Например, туннели-рование электронов в сканирующем туннельном
о се
0.04
0.02
и
Изображение
Направление сканирования
Рис. 4. Типовые искажение, вносимые формой зонда. а — профили зонда и рельефа, б — изображения
0.1
0.08 о.ое
0.04 0.02 О
0 08 1
0 06
0 02 п
_ _ _1_ _1_ _ _1_
0 1 2 3 4 5 6 7
б
Рис. 6. Искажения, вносимые формой зонда. а — исходный сигнал; б — искажение зондом треугольной формы; в — искажение зондом параболоид-ной формы
Рис. 5. Модель искажений, вносимых формой зонда
2
а
б
а
в
АППАРАТНАЯ ФУНКЦИЯ СКАНЕРА
Аппаратная функция сканера описывается уравнением
т К =-«, - К( ^ - ги ({^
(3)
где ^ — смещения от положения равновесия сканера с образцом; т8, а8, к — эффективная масса, коэффициент трения и жесткость колебательной системы сканера с образцом; Щ() — управляющее напряжение, приложенное к пьезоэлементу сканера; у — чувствительность пьезосканера [3].
Зная частоту резонанса сканера (вычисляется из АЧХ сканера) и паспортные данные (масса) можно решить уравнение. Таким образом, решение данного уравнения будет являться решением прямой задачи.
Данный эффект промоделирован (прямая задача) [2] на рис. 7 и 8.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ
Сигнал реакции сканера можно представить в виде математической свертки импульсной характеристики сканера и входного сигнала — исследуемой поверхности, которая является уравнением Фредгольма 1-го рода:
£ (х) = Ц х) • w( х),
§(х) = | Щх,ю^(ю)дю
(4)
(5)
Рис. 7. Модель искажений, вносимых переходной функцией сканера
Н(ю) = | h(х)е1юхдх
Ж(ю) = | w(х)е1юхдх,
(6)
(7)
где Н (ю) — фурье-образ ядра уравнения (импульсной характеристики), Ж (ю) — фурье-образ исходного профиля, то
где w(x) — истинный профиль поверхности; к(х) — ядро уравнения (импульсная характеристика); § (х) — искаженный профиль поверхности.
По теореме Бореля, фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Т. е. если
Рис. 8. Искажения, вносимые переходной функцией сканера.
а — исходный профиль поверхности вида I I_ .
б — искаженный
0.35
0.25
< 0.2
Импульсная характеристика сканера
0.15
0.05
0 20 40 60 80 100 120 140 160 Время, с
Рис. 9. Импульсная характеристика сканера ^х)
и
а
-t
G(a) = — J H(a)W(®)eiaxdx,
(8)
G(a) = J g(x)eiaxdx.
(9)
w( x) = J
G(a)
-(
H (a)
xda.
(10)
+cu
w( x) = J
H (-a)G(a) | H(a)|2 +aa2p '
x da,
(11)
сти функции на краях. Уменьшить этот эффект получается при помощи добавления нулевых точек с двух сторон (расширения) [5, с. 252].
где G(a) — фурье-образ искаженного профиля.
Данное свойство дает возможность косвенного вычисления математической свертки и в дальнейшем решить обратную задачу.
Зная форму переходной характеристики сканера, подбираем подходящий полином z-функции, описывающий известную переходную характеристику. Далее получаем импульсную характеристику сканера (рис. 9) и ее фурье-образ, как в уравнении (6).
Аналогично уравнению (6) запишем фурье-образ искаженного профиля
Тогда, решая обратную задачу методом преобразования Фурье (или инверсной фильтрации), искомый профиль поверхности можно записать в виде интегрального уравнения, исходя из уравнений (6)-(9):
Рассмотрим поведение спектров. При |®|^0, G(&) стремится к некому константному значению "белого шума", а Н(б>) ^ 0. Это означает, что решение методом преобразования Фурье — неустойчиво и сингулярно. [4, с. 87] При воздействии внешних шумов с некоторой дисперсией на систему неустойчивость решения повышается, т. к. каждому элементу § соответствует не единственный элемент w [5, с. 26] Для устранения неустойчивости можно использовать метод преобразования Фурье с регуляризацией Тихонова. Решение уравнения имеет вид
где а > 0 — параметр регуляризации, а р > 0 — порядок регуляризации. При правильном выборе параметров w(х) получается достаточно близким к исходному профилю. [6] На основании вышеизложенных выводов нами было разработано программное обеспечение в среде программирования Ма^аЬ. Результаты моделирования представлены на рис. 10-12.
При решении данной задачи мы столкнулись с эффектом Гиббса (рис. 12) — "звоны", или ложные волны. Это связано с разрывом непрерывно-
0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
Исходный сигнал
0
Время,с
Рис. 10. Исходный профиль поверхности вида
0.25
0.2 0.15
0.1
0
-0 05 i
5 10
Время, с
Рис. 11. Восстановленный сигнал профиля (р = 1, а = 1 Е-9, без расширения по краям)
Невязка с ностанонпенным сигналом
Время, с
Рис. 12. Невязка исходного сигнала с восстановленным (рис. 11)
e
ВЫВОДЫ
Выявлены параметры математических моделей следующих трех факторов, вносящих искажения в СЗМ-изображения:
1) влияние туннельного эффекта;
2) форма зонда;
3) аппаратная функция системы управления сканером.
Использование этих математических моделей и моделей стандартных воздействий (ступень, треугольник, прямоугольник и т. п.) позволило численно оценить параметры искажений, вносимых рассмотренными факторами, т. е. результаты решений прямых задач. Устранение рассмотренных искажений было выполнено путем решения обратных задач методом Тихонова с различными параметрами регуляризации. Устранение искажения с помощью предложенных алгоритмов предполагается реализовать в программном обеспечении постобработки изображений, полученных методом сканирующей зондовой микроскопии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Миронов В.Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии. Нижний Новгород : Российская академия наук. Институт физики микроструктур, 2004. 110 с.
2. Манойлов В.В., Михайлов М.А. Оценка параметров цифрового управления в зондовом микроскопе "Nano educator" на основе физико-математической модели // Научное приборостроение. 2012. Т 23, № 2. C. 98-104.
3. Голубок А.О., Пинаев А.Л., Чивилихин Д.С. и др. Динамическая силовая литография на тонких металлических пленках в сканирующем зондовом микроскопе с пьезорезонансным датчиком локального взаимодействия // Научное приборостроение. 2011. Т 21, № 1. C. 31-43.
4. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab: Учебное пособие. СПб.: Изд-во Лань, 2011. 256 с.
5. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. радио, 1979. 272 с.
6. Сизиков В.С., Кривых А.В. Восстановление непрерывных спектров адаптивным способом вычислительных экспериментов с регуляризацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 3 (85).
7. Binnig G., Rohrer H. Scanning tunneling microscopy // Helv. Phys. Acta. 1982. Vol. 55, nu. 6. P. 726-735.
НИУИТМО, г. Санкт-Петербург (Михайлов М.А.)
Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Манойлов В.В.)
Контакты: Манойлов Владимир Владимирович, [email protected]
Материал поступил в редакцию: 14.03.2014
POST-PROCESSING OF SPM-IMAGES BY THE CALCULATION OF INVERSE TASKS
M. A. Mikhaylov1, V. V. Manoylov2
lITMO University, Saint-Petersburg, RF
2Institute for Analytical Instrumentation ofRAS, Saint-Petersburg, RF
The article analyzes the factors that introduce distortions on surface topology investigating using a scanning probe microscope and suggests methods to eliminate their influence on post-processing images. Furthermore the answer to direct and inverse problems on investigating automatic control system parameters and scanner hardware functions is generally examined.
Keywords: SPM, calculation of inverse tasks, hardware function, piezo-scanner
REFERENСES
1. Binnig G., Rohrer H. Scanning tunneling microscopy. Helv. Phys. Acta., 1982, vol. 55, nu. 6, pp. 726-735.
Contacts: Manoylov Vladimir Vladimirovich, [email protected]
Article arrived in edition: 14.03.2014
HÂYHHQE nPHEQPQCTPQEHHE, 2014, tom 24, № 2