Поперечники некоторых множеств дифференцируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.5

И. В. Бойков

ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ МНОЖЕСТВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Аннотация. Вычислены поперечники Бабенко и Колмогорова функциональных множеств Quy (Q,M) и Q"y (AM), где Q = [-1,1]1, l = 1,2,..., r и и -натуральные числа, у - действительное неотрицательное число. Построены локальные сплайны, которые являются оптимальным методом аппроксимации функциональных множеств Q-у (q, m ) и Q-у (Q, M).

Ключевые слова: аппроксимация, локальные сплайны, поперечники Бабенко и Колмогорова.

Abstract. Evaluated Babenko and Kolmogorov widths of functional sets QUy(Q,M) and Q.у(Q,M), where Q = [-1,1]1, l = 1,2,..., r and и are natural numbers, у is a real nonnegative number. Constructed local splines which are the optimal in order methods for approximation of functional classes Q.y (Q, M) and QU,y (Q, M).

Keywords: approximation, local splines, Babenko and Kolmogorov widths.

Введение

Класс функций Qr (Q,M) был введен К. И. Бабенко, и им же была сформулирована задача вычисления поперечников Бабенко и Колмогорова на этом классе функций [1]. Эта задача была решена автором [2]. Им же были введены классы функций Qr у (Q,M), Qryp (Q,M), Br у (Q,M) и вычислены

поперечники Бабенко и Колмогорова на этих классах функций [3, 4]. В работах [2-4] были также построены локальные сплайны вычисления функций из классов Qr, Qrу, ВГу. Показано, что эти сплайны являются

наилучшим по порядку по точности методом приближения функций из классов Qr, Qr^, Br ,у.

Интерес к наилучшей аппроксимации классов функций Qr, Qr у, Br у

объясняется тем, что решения многих видов уравнений (эллиптических уравнений, слабосингулярных интегральных уравнений, сингулярных интегральных уравнений) принадлежат этим классам функций.

В данной работе результаты [3, 4] распространяются на более широкие

классы функций - классы функций Q-у(Q,M), Q-у(Q,M), Q = [-1,1]1, l =1, 2,... Для этих классов функций вычислены поперечники Бабенко и Колмогорова и построены локальные сплайны.

Напомним определения поперечников Бабенко и Колмогорова.

Пусть В - банахово пространство, X с В - компакт, П : X ^ X -представление компакта X с В конечномерным пространством X.

Определение 1 [1]. Пусть L - множество n -мерных линейных подпространств пространства В. Выражение

dn (X, В) = шГ sup inf llx - -I,

Ln xeX ueLn

где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n, определяет n -поперечник Колмогорова.

Определение 2 [1]. Пусть % - множество всех n -мерных линейных подпространств пространства В, Map(X, %) - совокупность всех

непрерывных отображений вида П : X ^ X, где X е%. Выражение

dn'(X,В) = inf sup \\x -П(x)||,

(Ln ,П) xeX

где inf берется по всевозможным парам (L, П), состоящим из n -мерного

линейного пространства L с В и непрерывного отображения П : X ^ L, определяет линейный n -поперечник Колмогорова.

Определение 3 [1]. Пусть %e Rn. Выражение

5n (X)= inf sup diam П-1П(x),

(П-.X ^ Rn ) xeX

где inf берется по всем непрерывным отображениям П : X ^ Rn, определяет n -поперечник Бабенко.

Приведем определения классов Qr, Q^, QUу, QUу.

В работе К. И. Бабенко [1] введен класс функций Qr (Q, М).

Определение 4. Пусть Q = [-1,1]1,l = 1,2,... Функция ф(Х1,..., xi) принадлежит классу Qr (Q, M), если выполнены условия

max

xsQ

< M

Э^ф(Х1,..., xi)ГдХ.1... dxJ

xsQ при 0 <| v |< r;

Э|v|ф(x1,..., xi )ldxV... dx^1 < M/(d(x, T))|v|-r, x eQ \ Г,

при r <| v |< 2r +1, где x = (xb..., xi), v = (v1,..., vi), | v |= V1 + ... + vi, d(x,Г) -расстояние от точки x до границы Г области Q, вычисляемое по формуле

d(x,Г) = min min(| -1 - xt |, |1 - x,■ |).

1<i<i

Приводимые ниже классы функций являются обобщениями Qr (Q, M).

Определение 5 [3]. Пусть Q = [-1,1/, i = 1,2,... Функция ф (x1,..., xi) принадлежит классу Qr у (Q,M), если выполнены условия

тах

хеО

Э^ф( х)/Эх^... Эхр

< М

при 0 <| V |< г;

Э^ф(х)/Эх^...Эх^ <М/((х,Г)) г С , хеО\]

при Г <| V |< 5, где 5 = г + [у] + 1, У = [у] + Ц, 0< Ц <1, С = 1 “Ц при у нецелом, 5 = г + у при у целом.

Определение 6. Пусть й = [-1,1]1, I = 1,2,..., у и и -

неотрицательные целые числа. Множество (й,М) состоит из функций

/(^, ^2,..., ^), удовлетворяющих условиям

тах

геО

< М, 0 <| V |< г -1;

Э^ф(г )/Эг11... Эг^

Э^ф(г )/Эг[1... Эц1 < М (1+ |іп иб (г, Г)|), г е О \ Г,| V |= г; Эмф(г )/Эг[1... Эц1 < М (1+1 іп и-1б (г, Г)|)/ ((г, Г) )|-г, г е О \ Г, г <| V |< 5,

где 5 = г + у.

Наряду с классом функций Qrу (О, М) введем класс функций

б“у (О, м ).

Определение 7. Пусть й = [-1,1]1, I = 1,2,..., и - натуральное число, у - нецелое число. Класс ОТ-у (й, М) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям:

тах

геО

Э^ф(г )/Эг^... Эг;

< М, 0 <| V |< г,

Э^ф(г )/Эг^... Эг;'

<

М

~г -С

(1+|1п иб (г, Г) |), г <| V |< 5,

где 5 = г + [у] + ц, у = [у] + ц, 0 < ц < 1, С = 1 -Ц.

г / (с) *

Через Тг (/,[а,Ь], с) = ^ ——— (г - с) обозначим отрезок ряда Тейлора

к=0

функции /(г), определенный в области [а,Ь] по степеням (г - с), с е [а,Ь].

1 Поперечники функциональных множеств QUу, QUу, О = [-1,1]

Теорема 1. Пусть О = [-1,1/ , г, и, у - положительные целые числа, 5 = г + у. Справедлива оценка

8И ^,у (О,М)) ^ бп ^“у (О,М), С) ^ п-5.

Доказательство. Вначале оценим снизу величину 8п^^у(О,М)). С этой целью заметим, что класс функций Qrу (О,М) вложен в класс

функций QUу(О,М). Для класса функций Qrу(О,М) известна [3, 4] оценка снизу поперечника Бабенко:

8п ^г ,у (О, М)) > Ап-5.

Следовательно,

8п (ёи,у (О, М)) > 8п (<2Г ,у (О, М)) > Ап-5. (1)

Оценка снизу получена.

Построим локальные сплайны, аппроксимирующие функции из класса

QUУ (О, М) с точностью 0(п-5).

В отдельности опишем построение в случае и = 1 и и > 2.

Пусть и = 1. Разделим сегмент [-1,1] на 2N частей точками

г* = -1 + (k/N)V, і* = 1 - (*/Ю”, к = 0,1,..., N, V = 5/(5 - у). Введем обозначения: а* =[гк,гк+1] А2 =[ік+1,тк] к = 0,1,...,Ж-1.

1 2

Сегменты А0, А0 разделим на более мелкие сегменты А0,у = [г0,у,г0,у+1] А0,у =[т0,у+1,т0,у], І = 0,1,---,М0 -1 где

г0, І = г0 + (г1 - г0) у/М0, т0, І = т0 - (і0 -11) у/М0, у = 0,1,..., М0, М0=[1пЖ ].

Построим интерполяционные полиномы таким образом, чтобы в число узлов интерполяции входили концы сегментов А0 і , І = 1,2,

і = 0,1,..., М0 -1, а* , І = 1,2, к = 0,1,..., N -1.

Полином Р5 (/,[а,Ь]), интерполирующий функцию /(г) е QUу (О,М) на сегменте [а, Ь], строится следующим образом.

Обозначим через С к, * = 1,2,..., 5 узлы полинома Чебышева первого рода степени 5. Отобразим сегмент [С1, С5 ] с [-1,1] на сегмент [а,Ь] таким образом, чтобы точки С1 и С5 перешли в точки а и Ь соответственно. Образы точек С1, . ., С5 на сегменте [а, Ь] обозначим через С1,..., С'5.

Интерполяционный полином, построенный по узлам С1, . . ., С5, обозначим через Р5 (/,[а, Ь]).

На сегментах Аду, І = 1,2, у = 0,1,...,М0 -1, А*, І = 1,2, к = 0,1,..., N -1, функция / (г) е ОТ-у (О, М) аппроксимируется интерполяционными полиномами Р5 (/, А0 у), Р5 (/, А*), І = 1,2, у = 0,1,..., М0 -1, к = 0,1,..., N -1. Сплайн, составленный из этих полиномов, обозначим через

Ь (г).

Можно показать, что

II/(') - Л V)| 1с([-Ц], < А»-5.

Отсюда следует, что

^ (О., у (й, М), С) < Ап-5. (2)

Используя неравенство [5] 8п (X, С) < 2dn (X, С) и оценки (1) и (2), завершаем доказательство теоремы при и = 1.

Разделим сегмент [-1,1] на 2N частей точками tk = -І +

N

т— =1-1 — I , k = 0, І,..., N, v = s/( s -у). Обозначим через Д— и д)2

k N

i2

сегменты Д— =[t—, t—+і] и Д — =[т—+1, т— ], к = 0,1,..., N -1. Введем числа

M0=[lnu/rN] и M— = [ln(u-i)/s(N/k)], к = 1,2,... N. В случае, если

ln(u-i)/s( N/k) й 1, полагаем M— =1. Каждый из сегментов Д— и Д^ разделим на M— равных частей, к = 0,1,..., N -1. Сегменты, полученные в результате

деления, обозначим через Д— j, і = 1,2, к = 0,1,..., N -1, і = 0,1,..., к -1.

В каждом сегменте Д— ^ функцию f (t) будем приближать интерполяционным полиномом Ps (f, Д— і), і = 1,2, к = 0,1,..., N - І, і = 0,1,...,M— -1. Сплайн, составленный из полиномов Ps(f,Д— ^), і = 1, 2, к = 0,1,..., N -1, і = 0,1,..., M— -1, обозначим через f^ (t).

Оценим точность аппроксимации функции f (t) сплайном f^ (t).

Пусть t є Д|0, і = 1,2. Очевидно,

\\f (t) - fN (t c (д0 0) й AEs-1 (f, Д0,0 ) s,

где Д0 0 =[t0 0, t0 i], Es (f, [a,b]) - наилучшее приближение функции f(t) на сегменте [a, b] полиномом s -го порядка, Аs - константа Лебега.

Используя отрезок ряда Тейлора Tr-i(f, Д0 0,-1), покажем, что

Es-i(f, Д0,0) й f (t) -Tr-i(f, Д0,0,-1)

C (Д0,0)

й

------— max

(r - i)! гєДІ

0,0

j f(r )(T)(t -T)r 1 d т

-1

M

-----г— max

(r - i)! /єлІ

0,0

j (i+|lnu(i + т) |)(t -т)г-i dт

-1

й

< B(hi0 | lnuh00 I) < B

NvM0

NvM0

<

< В----1---(1п иЫ + 1пи 1п N ) = Б—,

N 1п т N

где % = Vмo, к = г1 -го-

Здесь и всюду ниже через В обозначаются константы, независящие от N и от функции /(г).

Аналогичным образом оцениваются значения Ег^(/, д) у),

у = 1,2,--.,М) -1 и Ег — (/, Д^-), у = 1,2,--.,М) -1.

Так как константа Лебега А5 < В 1п 5, то окончательно имеем

|/(0 -Л(О||с<д0) < BN-s, <= 1,2-

Оценим ||/(г) - /А> (г)|С(д^ У): / = 1,2, к = 1,2,-,,, N -1, у = 0,1,,--, к -1-Очевидно,

II/(г) - /М (г )|| с (дк])

<

B(tk,1 - tk,0)S Г N^VY

2s-is!

Г 1 + ln u -іГ N \vY < B Г hk 1

І І k, ) I kM

s'N^

N

k I 11+ln^71 <

< B

N ) І N

i

ln N

k

(и -1)/s

N

,vY

N

1 + lnu-ij I <

(k + 0)(v-i) s-vY B

< B-----------------<-----•

Ns Ns

Аналогичным образом оцениваются нормы

Ilf (t) - fN (t) С (Ai ), k = 1, 2, •••, N -1, j = 1, 2, •••, k -1,

v k ,j’

||f (t) - /n (t)||с(A2 ), k = 1, 2, •••, N -1, j = 0,1, •••, k -І Собирая полученные выше оценки, имеем

Ilf (t) - /n (t)|С([-1,1]) <BN

Оценим число узлов, используемых при построении локального сплайна^

Для этого оценим число сегментов Дк у, 1 = 1,2, к = 0,1,---, N -1,

у = 0,1,---, к -1-

Очевидно, в случае, когда и -1 < 5,

N-1

т = 2^Мк <2

к=0

Г и N-1 и- — Л 1пг N + V 1п 5 — к=1 к

г

< 2

N-1

N

\

1пг N + V 1п— к=1 к

= 2

N-1

1п г N + (N -1) 1п N - V 1п к

к=2

< 2

N -1

1п

N + (N - 1)1п N - | 1п хёх

< 2

1п г N + (N -1) 1п N - (N -1) 1п(N -1) + N

= 2

1пг N + 1п

N N -1

N-1

Л

+ N

= BN -

Рассмотрим общий случай- Пусть q = [(и -1)/5] + 1 - Тогда

N -1

т = 2 V Мк < 2

к=0

' и N-1 и-1 Л Г N-1 Л

1пг N + V 1п

N

к=1

< В

= В

Г N-1

—+ V

V к=2

1п q

N

Л Г N

< В

N

/

Л Г

ёх

= В

N + V 1п q

V к=1 1

N

Л

< BN -

Следовательно, общее число узлов, используемых при построении локального сплайна /— (г), равно п = 5т = BN -Отсюда следует, что

||/(г) - А (г)|С([.ц], < ^-

Следовательно,

ёп (еи,у (й, М), С) < Ап-5 -

(3)

Используя неравенство 5п (X) < 2ёп (X, С) и оценки (1), (3), завершаем доказательство теоремы в общем случае-

Аналогичным образом доказывается следующее утверждение -Теорема 2- Пусть й = [-1,1], г, и - положительные целые числа, у -положительное рациональное число, 5 = г + [у ] + 1 - Справедлива оценка

5п (0“ (й,М)) ^ ёп (ви,у (й,М), С) ^ п-5 -

У

2 Поперечники множества функций 0й у (й,М), й = [-1,1] , I = 2, 3,...

Теорема 3. Пусть й = [-1,1]1, I = 2,3,..., и = 1,2,..., V = 5/(5-у). Справедливы оценки

5n (QU,y (й,M)) П dn (QU,y (й,M), С)

п

n- s/l, v < l/(l - 1),

l Л s/l

I , v = l/(l -1), r > ul, s > (u - i)L n )

Доказательство. Вначале найдем оценку снизу поперечника Бабенко 5И (0йу(й,М)). Для этого заметим, что множество функций Qrу(й,М)

вложено в Qu y (й, M )• Известно [3, 4], что

5n (Qr ,y (й, M)) >

n-s/l, v < l/(l -1), s/l

, v = l/(l - !)•

ln n

n

Следовательно,

5n (QU,y (й, M)) > 5n (Qr ,y (й, M)) > A

n-s/l, v < l/(l -1),

ln n

s/l

, v = l/(l - !)•

Оценка снизу получена-

Приступим к построению непрерывных локальных сплайнов, аппроксимирующих функции /(г) е ОУ.у (й,М), г = (1,..., г/ ).

Вначале рассмотрим случай, когда V < //(/ -1).

Обозначим через Дк множество точек г = (г1,..., г/) таких, что расстояние от г до границы Г области й удовлетворяет неравенству

—■j < d (t, Г) < І I , k = 0,1, •••, N -1, v = s/(s -y )•

Здесь d(t,Г) = min min(| ti -1|,| tt +1|)

1<i<l

Каждую область Ak покроем кубами и параллелепипедами Aik с гранями, параллельными координатным плоскостям, и с ребрами, длины

ii,•••, il

которых равны hk =

k +1 !v Г k^v

N

N

k = 0, i,_, N -І При этом в число

І •••, il

^-i «1,-

k = 0,i,_ N - L

вершин кубов (или параллелепипедов) Д. входят вершины кубов (или

1---, ‘I

параллелепипедов) Дк

То обстоятельство, что среди кубов Дк і при каждом значении к

могут находиться параллелепипеды, у которых длина одного или нескольких ребер меньше Нк, не влияет на общность рассуждений. Введем числа

М0=1 +

(1п N )и/г + = М

Nї(и -1)/5

1п—

к

. Каждый из квадратов Дк ■

11,..., 11

покроем Мк квадратами, которые обозначим через Дк ■ .

1..., ■.

I; ..., ]/

к = 0,1,..., N -1.

Обозначим через Р* * (/, [а^ 61;...; а/, Ь/ ]) интерполяционный

полином, который определяется формулой

Р*, ..., 5 (/ ,[аЬ Ь1;-..; а/, Ьг ]) = Р^Ч-Л р!1 [ / ,[а/, Ь ]],[а/-ь Ьг -1]],.--,[аь 61]], где полином Р* (/, [а,Ь]) определен в предыдущем параграфе, а верхний

индекс в выражении Рг (/, [а.,Ь. ]) определяет переменную, по которой проводится интерполяция-

Построение сплайна начнем с куба Д— 1. В этом кубе функцию /(г) приближаем интерполяционным полиномом Р* * (/, Д— 1). Построив этот

полином, переходим к приближению функции / (г) в кубах и

N - 2

параллелепипедах Д. ■ ■ ■ . В каждом из кубов (и параллелепипедов)

‘1, ---, 7, Л, ---, ^/

Д—1, 2 у у функция /(г) аппроксимируется интерполяционным

Г ГД*"2. . . 1

-,511, ^..., l2, Л— .і J,

полиномом Р5 51 /, Д. ■ ■ ■ I, который строится следующим

образом. В узлах интерполяционного полинома Р5 5I /, Д. 2 ■ ■

’■■■’ ^ г1,...,7,д,...^і

не расположенных на гранях куба Д. 1, берутся значения функции /(ґ),

а в узлах, расположенных на соответствующих гранях куба Д. 1, берутся

значения полинома Р5 5 (/, Д. 1). Сначала строятся интерполяционные

полиномы Р5 51 /, Д. 2 ■ -їв области Д. 2, аналогичным

’■■■’ ^ гl,..., Іі, Jl,..., .і )

образом строятся интерполяционные полиномы в области Д .-3 и

последовательно во всех областях до Д0 включительно.

Сплайн, составленный из полиномов

Р*,~* С Г •<..., і;.,.... ] •к = 0-1-^.-1-

обозначим через /. (ґ1, ..., ґі).

После проведения громоздких вычислений можно показать, что

II f (t)-fN(t)iic(Q)< AN~s

и что число узлов n, используемых при построении сплайна fN (t), равно

n П Nl.

Из непрерывности локального сплайна fN (t) и двух последних оценок следует, что

dn (Q,Y (Q,M), c) < An-s/l.

Из этого неравенства, неравенства Sn (X, С) < 2dn (X, С) и оценки снизу поперечника Бабенко следует справедливость теоремы при v < l/(l -1).

Аналогичным образом исследуется случай, когда v = l/(l -1).

Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда и = 1, v = s/(s - у), v > l/(l -1).

В этом случае справедливо утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Пусть Q = [-1,1jl, l = 2,3,..., и = 1, v = s/(s- у),

v > l/(l -1). Справедлива оценка

Sn (Q.,y (Q,M)) n dn (Q1,y (Q,M), С) n (s-nnl-1}.

Список литературы

1. Бабенко, К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. - 1985. - Т. 40. - Вып. 1. -С. 3-28.

2. Бойков, И. В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов / И. В. Бойков // Оптимальные методы вычислений и их применение : межвузовский сборник научных трудов. - Вып. 8. - Пенза : Изд-во Пенз. политехн. ин-та, 1987. - С. 4-22.

3. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38. - № 1. - C. 25-33.

4. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. - 236 с.

5. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1979. - 196 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of Science (in Mathematics), professor, head of sub-department of highest and applied mathematics, Penza State University

УДК 518.5 Бойков, И. В.

Поперечники некоторых множеств дифференцируемых функций /

И- В- Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). - С. 44-54.