CC BY
67
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 372.851
ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНОСТИ В МАТЕМАТИКЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В ПРОЦЕССЕ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ
© Н. Н. ЯРЕМКО
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]
Яремко Н. Н. - Понятие корректности в математике и его реализация в процессе формирования математической деятельности обучающихся // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 244-249. - Автор рассматривает понятие «корректность» в математике, выявляет его существенные свойства и предлагает использовать в качестве общеметодологической основы при формировании познавательных универсальных учебных действий.
Ключевые слова: корректность, категория корректности, познавательные универсальные учебные действия.
Yaremko N. N. - Ponyatie korrektnosti v matematike i ego realizatsia v protsesse formirovania matematicheskoi deyatelnosti obuchayushihsya // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 244-249. -
The author examines the notion of “correctness” in mathematics, reveals its essential properties, and proposes to use as a general methodological basis for the formation of cognitive universal educational activities.
Keywordsxorrectness, category of the rarrectness, universal cognitive training activities.
Выделение состава деятельности, адекватной наиболее общим, так называемым, опорным математическим знаниям, умениям, навыкам, и дальнейшее ее освоение обучающимися - актуальная педагогическая проблема. И в этом направлении представляется перспективным рассмотрение понятия корректности, поскольку оно является общим, межпредметным, общеметодологическим. Корректность задачи, корректность определения понятия, корректность вопроса и ответа, корректность метода, алгоритма, доказательства и т. д. - это вопросы, осмысление и освоение которых позволит реализовать общеметодологический подход в обучении математике и выделить состав универсальных учебных действий (УУД) на основе реализации понятия «корректность» в математической деятельности школьников и студентов, а также будущих специалистов различного профиля и уровня в их профессиональной деятельности с применением математического аппарата. Выделенный состав УУД может быть в дальнейшем применен в учебной деятельности по освоению других, уже не математических, предметов и дисциплин.
В статье исследуется возможность совершенствования математической подготовки студентов и школьников на основе рассмотрения категории корректности в математике и выработка на ее основе общеметодологических подходов к формированию
универсальных межпредметных учебных действий. Выбранный подход расширяет методологическую базу, на ее основе возможно осуществить выработку познавательных универсальных учебных действий (УУД). В статье теоретически обосновывается, что реализация категории корректности будет в существенной мере способствовать овладению школьниками и студентами познавательными универсальными учебными действиями, что, в свою очередь, обеспечит повышение уровня их математической и межпредметной подготовки. Педагогическая задача состоит в обосновании целесообразности рассмотрения категории «корректность» в математике и разработке на ее основе методики формирования у школьников и будущих специалистов системы познавательных универсальных учебных действий (УУД).
Вопросы, связанные с понятием корректности, в настоящее время достаточно часто возникают и получает свое решение как в научной, так и в практической сферах нашей жизни, в реальной действительности и в познании. В математике и связанных с ней областях широко распространены термины: корректность задачи, корректная постановка задачи, корректность определения, корректность вопроса и ответа, корректность определения, корректность метода, корректность программного обеспечения и т.п. В нематематических областях вопросы корректности также нередки. Напри-
мер, обсуждаются корректность определения понятия «общество» в обществознании, корректность доказательства в юриспруденции; одно из требований к современной рекламе - ее корректность; термин «политкорректность» прочно вошел в нашу жизнь. Имеются смысловые различия в значении научных терминов и общеупотребительной лексике, связанных с понятием корректность, отличия появляются в их трактовке, в понимании, в использовании. Особенно это касается понятия «корректная и некорректная математическая задача», смысл которых различается в гуманитарных, например, в педагогических науках, и естественнонаучных областях знаний, в частности, в математике. В то же время в каждой из указанных научных областей этот термин активно работает: особенно в последние десятилетия теория некорректных и обратных задач ввиду множественных приложений «завоевала право называться перспективной областью современной науки», [1, 3]; в педагогике и психологии показано, что некорректные математические задачи служат средством развития математических способностей [5], творческой деятельности [4], дивергентного мышления [9]; Л. М. Фридман [6] использует некорректные задачи в связи с проблемой поиска решения задачи.
В общеупотребительном значении прилагательное «корректный» используется в смысле «правильный, верный, точный, вежливый», см. словари русского языка. Например, корректность перевода, корректность поведения, корректность доказательства и т. д. Словарь иностранного языка дает справку: согге^ш (лат) - исправленный, улучшенный. Таким образом, слово «корректный» из общеупотребительной лексики становится научным термином и его смысловая нагрузка повышается: это не только «правильный, точный», но и откорректированный, улучшенный, наилучший, не требующий корректировки. В математике смысл этого общеупотребительного прилагательного в качестве математического термина приобретает свою специфику, особенности проявляются при употреблении в сочетании с существительными. Ниже будут рассмотрены корректная математическая задача, корректный вопрос, корректное определение понятия, корректное доказательство.
1. Корректная математическая задача. Определение корректной задачи было введено Ж. Ада-маром в начале XX века для задач математической физики. Оно прошло длительный путь обсуждений, и, в конечном счете, было принято математическим сообществом для задач не только математической физики, но и математического анализа, вычислительных методов, алгебры, геометрии, теории распознавания образов и т. п. В настоящее время является действующим, общепризнанным, причем из математики оно распространилось и привычно применяется в различных областях знаний: информатике, теории систем, теории управления. Есть примеры его использования и в психолого-педагогических науках: И. П. Калошина [4] работает с определением некорректной задачи по Ж. Адамару в исследовании творческой деятельности.
В соответствии с этим определением задача называется корректной или корректно поставленной, если ее решение 1) существует, 2) единственно, 3) устойчиво. К однозначной определенности решения (условия 1-2) добавляется требование устойчивости, которое означает, что «малым» изменениям данных задачи соответствуют «малые» изменения решения. Продолжая определение, отметим, что задача называется некорректной или некорректно поставленной, если не выполняется хотя бы одно из условий 1)-3). Таким образом, [3, с. 14]: «термин «некорректная задача» означает, что задача либо не имеет решения (в интересующем нас классе), либо напротив, имеет много решений (как минимум два), либо процедура нахождения решения неустойчива». К некорректным также относятся «переопределенные» задачи как неустойчивые, см. [2].
Математически определенной называется задача, удовлетворяющая условиям 1)-2).
По поводу принятого в естественнонаучных областях знаний (в том числе и в математике) приведенного определения Ж. Адамара заметим следующее:
1. Понятия «корректная задача» и «корректно поставленная задача» отождествляются;
2. Классификация на «корректные» и «некорректные» задачи проводится на основании свойств решений;
3. Все задачи в соответствии с приведенным определением Ж. Адамара можно разделить на три класса: корректные, некорректные и те, к которым данное определение не может быть применено. Таким образом, некорректным задачам противопоставляются не «стандартные» как в работе [9], а «те задачи, которые не являются некорректными».
В теории и методике обучения математике и в педагогике [6, 7, 9] некорректные задачи определяют в соответствии со свойствами данных задачи, и к некорректным относят задачи:
- с противоречивыми данными,
- с неполным составом условия,
- с избыточным составом условия.
Отметим, что эта классификация, пожалуй,
ближе к математически определенным и математически не определенным задачам, хотя за основание классификации берутся свойства данных задачи, а не свойства решений. Далее, в методике математики различают «корректную задачу» и «корректно поставленную задачу», «хорошо поставленную» и «плохо поставленную» задачи, что не совсем целесообразно. Обратившись к переводу с европейских языков терминов «корректная и некорректная задача», мы получим: well-posed, ill-posed; properly posed, improperly posed; correct, incorrect problems; roblème bien posé , problème non bien posé - что в русском языке соответствует «хорошо и плохо поставленная» задачи. Таким образом, получаем, что в этих терминах нет семантических различий и на наш взгляд более целесообразна точка зрения математиков, отождествляющих смысл терминов «корректная задача» и «корректно (правильно, хорошо) поставленная задача». Кроме того, ввиду общности и универсальности определение Ж. Адамара пред-
ставляется нам приемлемым и в теории и методике обучения математике.
В настоящее время некорректные задачи активно используются в школьном курсе математики.
Приведем выдержку из пособия [Моденов, 2002, с. 618] «Задача 2. Даны три угла треугольника. Вычислить его стороны». И далее читаем: «Задача не имеет решений, т. к. в число данных не входит сторона».
Видимо, авторы имели в виду, что задача не имеет единственного решения. В действительности же, задача не определена и решений будет бесконечное множество. Приведенный пример говорит о том, что даже в серьезных пособиях по математике имеются неточности при использовании понятий и решении некорректных задач, что несомненно требует методического рассмотрения.
В тестовых заданиях [Математика. Тесты для абитуриентов, 2006] для абитуриентского тестирования 11-го уровня (повышенной сложности) имеют место следующие варианты ответов:
- для однозначного ответа на вопрос задачи не хватает данных;
- искомая сумма не определена, т. к. уравнение не имеет корней;
- ответ неясен;
- из приведенных данных вес лимона определить невозможно (в задаче надо найти вес лимона);
- из приведенных ответов ни один не является правильным.
В материалах, представленных ФИПИ в качестве типовых вариантов заданий ЕГЭ-2010 по математике [Математика, ЕГЭ, 2010] даны задачи по стереометрии, имеющие не одно, а несколько решений, см. задания С4, большинство из них имеют два решения.
Детям в начальной школе хорошо известно, что нельзя отнять 5 пирожков от 2 пирожков; нельзя разделить 3 яблока на 2-х человек поровну, не разрезая яблоки. В рамках тех знаний по математике, которые имеют дети, такие задачи не имеют решения, требуемые действия (вычитание и деление) невыполнимы, предложенные задачи для учеников начальной школы некорректны.
Таким образом, вопросы, связанные с понятием корректности задачи возникают в практике работы не только средней, но и начальной школы. Поэтому разработка методического обеспечения, а именно, введение, изучение и использование понятий теории некорректных задач с целью формирования математической учебной деятельности обучающихся представляется нам актуальной.
Методология теории некорректных задач может использоваться в общеобразовательной школе при работе с любой, как корректной так и некорректной задачей. Под методологией понимаются понятийный аппарат теории, концептуальные положения, принципы, основные идеи, методы, средства. Для теории некорректных задач - это три требования корректности, оперирование (сужение или расширение) предметной областью, разбиение задачи на подзадачи, регуляризация, поиск квазирешений, построение
устойчивых алгоритмов и т. п. Устойчивость задачи изучается через бифуркационные процессы. Работа по введению некорректных задач в школьный курс математики может осуществляться на плановых занятиях по математике, при изучении элективных или факультативных курсов «Элементы теории некорректных задач», «Бифуркационные процессы в математике».
В школьном курсе математики понятие существования и единственности решения должно быть сформировано у учащихся на уровне владения, устойчивость - на уровне интуитивного представления, иллюстрированного примерами. Значимость вопросов единственности и существования решения задачи обусловлена и вводимой тестовой системой контроля знаний, в которой предполагается, как правило, один верный ответ из серии предложенных, т. е. математически определенная постановка задачи.
К некорректным относятся задачи, не имеющие решения. В школьных учебниках математики такие задачи практически отсутствуют. Фраза: "Задача не имеет решения” употребляется школьниками, как правило, неверно. Приходится слышать, что задача не имеет решения, когда корни квадратного уравнения иррациональны. В случае отсутствия действительных корней школьники часто неверно произносят: “Не может быть” или "Неправильно”. Выработка навыка правильного употребления ответа ”Задача не имеет решения” должна осуществляться с начальной школы и к 9-11 классам должна быть завершена, т. е. некорректные задачи с корректным ответом: "Нет решения” - должны войти в повседневную практику работы общеобразовательной школы.
В плане реализации понятия «корректность математической задачи» целесообразно вводить следующие формулировки заданий:
1. Обоснуйте, что задача не имеет решения.
2. Выявите противоречие в задаче и дайте правильный ответ в задаче.
3. Докажите, что задача имеет единственное решение.
4. Подбором найдите решение задачи и обоснуйте, что оно единственно, т. е. других решений задача не имеет.
5. Найдите решения задачи и обоснуйте, что все решения найдены и других решений задача не имеет.
6. Исследуйте способ решения задачи с точки зрения потери решений и приобретения посторонних решений; рассмотрите проблему равносильности уравнений, проанализируйте переходы в процессе преобразования уравнения к его следствию или к равносильному уравнению.
После изучения элементов теории корректных и некорректных по Адамару задач повышается уровень владения школьниками приемами работы с задачей. Школьники
- грамотно употребляют ответ: "Задача не имеет решения”,
- находят в задаче решения, отличные от уже полученного,
- анализируют способ решения с целью выяснения более рационального,
- варьируют данные задачи с целью проверки устойчивости решения,
- варьируют элементы решения задачи с целью проверки устойчивости,
- могут организовать бифуркационный процесс с целью изучения его особенностей.
В высшей профессиональной школе приобретение студентами собственного опыта по решению некорректных задач играет одну из ведущих ролей в становлении специалиста, поскольку именно из грамотного решения практических задач, которые чаще всего некорректны, и состоит профессиональная деятельность. Необходимость принятия решений в не-доопределенных или переопределенных условиях или их противоречивости требует от специалиста умения работать с некорректными задачами. «Потребность восстановить прошлое по некоторым фактам настоящего, заглянуть в будущее или проникнуть в зону недоступности» [3] приводит человека к необходимости решать некорректные задачи в профессиональной сфере. Поэтому вооружение будущих специалистов методологией их решения соответствует реализации целей среднего и высшего профессионального образования.
В вузе в контексте реализации методической системы обучения решению корректных и некорректных задач с учетом специфики будущей профессии можно выделить два направления в математической подготовке специалистов:
- инженеры-программисты, экономисты (специальности: менеджмент, финансы-кредит, бухгалтерский учет и аудит),
- школьные учителя математики и информатики,
Для каждого из направлений определены особенности методики обучения решению корректных и некорректных задач. Коротко остановимся на отборе содержания учебного материала и определим уровень владения понятиями и методами этой теории.
В ВУЗовском курсе должно быть достигнуто усвоении понятия на уровне владения и применения к исследованию поставленных задач и конструированию новых. В ВУЗовской математике под некорректными (неустойчивыми) задачами обычно понимаются задачи, в которых малые возмущения исходных данных могут вызывать большие изменения результатов. Существование и единственность решения чаще всего в ВУЗе изучаются раньше, отдельно от устойчивости. Например, в курсе линейной алгебры условия разрешимости систем линейных уравнений и условие единственности решения предшествуют изучению вопросов решения плохо обусловленных систем или систем с приближенно равным нулю определителем, т. е. неустойчивых задач. В курсе дифференциальных уравнений теорема Коши и задача Коши изучаются раньше теории устойчивости. В курсе уравнений математической физики все три условия корректной постановки задачи изучаются одновременно. К этому времени понятие метрических пространств уже введено и хорошо усвоено студентами. При численном решении
задач возникают вопросы, связанные с устойчивостью результатов относительно возмущений исходных данных и округлений при вычислениях. Таким образом, можно видеть, что все три условия изучаются естественно, возникают постепенно и уровень владения этими понятиями достаточно высокий. При изучении вычислительных методов, символьной математики, написании курсовых работ и дипломов три условия корректной постановки задач становятся инструментом исследования, студенты приобретают навыки применения теории некорректных задач на практике. При этом демонстрируется владение методами теории некорректных задач на уровне их применения.
В вузовской математике под некорректными (неустойчивыми) задачами обычно понимаются задачи, в которых малые возмущения исходных данных могут вызывать большие изменения результатов. Такого сорта задачи появляются на старших курсах обучения в вузе при подготовке инженеров-программистов и школьных учителей математики и информатики. На младших курсах при изучении общего курса математики для нематематических специальностей существование и единственность решения задач изучаются раньше устойчивости и отдельно от нее. С точки зрения теории некорректных задач это не всегда целесообразно, и там, где это возможно, например, в курсе дифференциальных уравнений (задача Коши), существование, единственность и устойчивость решения могут изучаться не изолированно, а в контексте общей теории.
Для математических специальностей в курсе линейной алгебры условия разрешимости систем линейных уравнений и условие единственности решения предшествуют изучению плохо обусловленных систем или систем с приближенно равным нулю определителем, т. е. неустойчивых задач. В курсе дифференциальных уравнений традиционно вначале изучаются теорема Коши и задача Коши, а затем теория устойчивости решений. В курсе уравнений математической физики все три условия корректной постановки задачи изучаются одновременно, поскольку к этому времени имеется научная основа: понятие метрических пространств введено и студенты им владеют. При численном решении задач возникают вопросы, связанные с устойчивостью результатов относительно возмущений исходных данных и округлений при вычислениях. Такой феномен в вычислительной математике называется устойчивостью вычислительных алгоритмов, его изучение подготовлено предыдущими учебными дисциплинами, легко воспринимается студентами и соответствует логике образовательного процесса.
Три условия корректности задачи возникают логично, естественно, поэтапно и уровень владения этими понятиями у студентов старших курсов вуза достаточно высокий. В процессе изучения вычислительных методов, символьной математики, написании курсовых работ и дипломов три условия корректной постановки задач становятся инструментом исследования, студенты приобретают навыки применения теории некорректных задач на практике.
Реализации поставленной цели служит разработанный и прочитанный на физико-математическом и экономическом факультетах специальный курс «Корректные и некорректные задачи математической физики». После его изучения усвоение студентами методов теории некорректных задач достигает уровня владения, методы этой теории применяются к исследованию задач и конструированию новых. После изучения спецкурса работа может быть продолжена при написании курсовых и дипломных работ по указанной тематике.
2. Корректный вопрос. Перейдем к рассмотрению понятий «корректный вопрос, корректный ответ», изучим эти понятия с целью формирования математической деятельности.
Вопрос - это логическая форма, включающая исходную информацию с одновременным указанием на ее недостаточность с целью получения новой информации в виде ответа. Ответ - это суждение, вызванное вопросом; ответ уменьшает информационную неопределенность, заключенную в вопросе. Ответ на вопрос есть утвердительное предложение, дающее информацию, затребованную вопросом.
Одним из требований к постановке вопроса является его корректность, которая означает, что все предпосылки вопроса (явные и неявные) представляют собой истинные (непротиворечивые) знания. В основе некорректного вопроса лежат предпосылки, представляющие ложные или противоречивые суждения, смысл которых не определен или не ясен. Если вопрос корректен, то на него существует единственный правильный ответ. В случае некорректного вопроса ответом является указание на его некорректность, обоснование этой некорректности и требование изменить вопрос, уточнить, переформулировать. Правильным ответом на некорректный вопрос является утверждение: «На предложенный вопрос ответа нет ввиду его некорректности». Вопрос некорректен, если на него не существует истинного ответа.
Установлением корректности вопросов занимается методология. Если ответ найден, то вопрос корректен. Признаком корректности постановки вопроса является наличие единственного правильного ответа. Если ответ непосредственно установить не удается, то перейти к анализу предпосылок вопроса и в случае их ложности, неясности, дать отрицательный ответ. Деятельность по устранению некорректности вопроса состоит в анализе ложности предпосылок и переходе к новой формулировке вопроса, по сути, к новому вопросу, на который уже будет существовать единственный правильный ответ.
Вопросам анализа корректной постановки вопросов в школьном и вузовском курсах математики уделяется очень незначительное место. Обучаемым чаще всего приходится иметь дело с их корректной постановкой. В случае некорректности вопросов и школьники и студенты не имеют выработанных приемов деятельности.
Вопрос и ответ могут быть рассмотрены как некоторая задача и ее решение. В то же время в мето-
дической литературе выделяют эти образования как близкие, но самостоятельные, имеющие каждый свою специфику. Если вопрос трактовать как задачу, то в этом случае явные предпосылки вопроса представляют собой данные задачи, а неявные предпосылки - это те знания, которыми владеет человек; это сведения из предметной области, к которой вопрос относится. При такой трактовке вопроса и ответа корректность вопроса можно связать с непротиворечивостью и полнотой данных вопроса, а также с существованием и единственностью решения-ответа.
Несомненна связь понятия «корректность вопроса» с математическим мышлением, с этапами учебного познания. Вопросно-ответное мышление (интер-рогативное мышление), строится на основе корректных вопросов и ответов. Умение правильно задавать вопросы и грамотно отвечать на них - одно из существенных составляющих интеллектуальной деятельности человека, в том числе и математической деятельности. Это умение реализуется при выполнении исследовательской работы, решении задач, написании рефератов, при проведении эвристической беседы, при организации дискуссии, полемики и т. д.
Примеры работы с некорректными вопросами дают ориентированные на развивающее обучение пособия для начальной школы. Приведем цитату из [Практикума по методике обучения математике в начальной школе, Развивающее обучение, 2009] «Оцените правильность (корректность) используемой учителем терминологии при формулировке заданий». Речь идет о том, единственный ли ответ будет иметь каждый из заданных вопросов.
3. Корректное определение понятия. Определение понятий позволяет проникнуть в сущность изучаемого объекта, выделить существенные признаки, при этом объект должен быть представлен в идеальной форме. Для того, чтобы объект задать понятийно, необходимо выделить его существенные стороны. За каждым определением стоит не единичный объект, а целый класс объектов с их сущностными характеристиками. Корректность определения понятия является фундаментальным требованием. При введении научных понятий и терминов должно быть гарантировано их неотъемлемое качество - однозначная определенность, единое понимание всеми учеными данной отрасли. Это означает, что не возникает разночтений в понимании определения, класс объектов определен однозначно. В некоторых случаях, когда определение математического понятия задается соотношением или перечислением свойств или указанием характерного признака, требуется доказательство существования и единственности класса объектов, попадающих под понятие. Можно привести примеры доказательства корректности следующих определений: вычет аналитической функции в изолированной особой точке, абсолютно сходящийся ряд, фактор-пространство. В средней школе обосновывается корректность операции деления на число, отличное от нуля.
Анализ деятельности, связанной с введением математического понятия и проверкой его корректности,
приводит к следующим общим действиям: обоснование существования, единственности определяемого класса объектов; выбор наилучшего определения из серии равносильных.
4. Корректное доказательство определяется его строением. В каждом доказательстве существует три элемента: тезис, аргументы (основания), демонстрация. Тезис - это суждение, истинность и приятие которого устанавливается в доказательстве, аргументы - суждения, из которых выводится тезис, демонстрация - логическая форма связи названных двух элементов, обуславливающая необходимость выведения одного из другого, тезиса из аргумента.
Корректность доказательства означает не только его правильность. Если доказательство содержит лишние ходы, громоздко, опирается на верные, но не до конца обоснованные утверждения, то такое доказательство нельзя назвать корректным. В данном случае корректность рассматриваемого доказательства означает не только его однозначную определенность, но и наличие качественных показателей: «откорректиро-ванность», «улучшенность».
Проведенный анализ понятия «корректность» позволяет сделать ряд выводов о существенных свойствах этого понятия.
1) понятие «корректность» обладает свойством общности и универсальности. Оно применяется к широкому кругу частных понятий, используется в реальной действительности и в познании. В педагогических науках данное понятие применяется чаще всего в общеупотребительном значении «правильность, точность»; к этому значению добавляется смысловое уточнение: «улучшенный, откорректированный». Отдельные вопросы проблемы корректности в математике изучались в работах, касающихся некорректных задач. Корректность определения, корректность формулировки теоремы, корректность вопроса, корректность алгоритма, корректность выполнения действий и т. д. - эти словосочетания означают, что исключаются разночтения или двусмысленности; объект, о котором идет речь, определен единственным образом, и может быть понят однозначно, математическое утверждение имеет единственный смысл, лаконично, строго доказано или определено.
2) понятие «корректность» обладает свойством фундаментальности, т. к. относится к базовым теоретическим положениям, является существенным методологическим требованием, составляет основу при формировании понятийного аппарата.
3) это понятие обладает свойствами относительности и системности, что означает зависимость от внешних и внутренних условий и возможность изучения лишь с позиций системного подхода, с учетом всех внешних и внутренних факторов. Понятие «корректность» взаимодействует со своей противоположностью -понятием «некорректность». В каждом конкретном случае для устранения «некорректности» существуют способы ее преобразования в «корректность».
4) при описании закономерностей процесса учебного и научного познания возможно употребление терминов «корректность и некорректность». Познание проходит через преодоление «некорректно-
сти»: задачи, не имеющие решения на начальном этапе обучения, получают свое решение в дальнейшем.
Таким образом, в математике выделено понятие «корректность», и на основании выявленных свойств данное понятие может быть рассмотрено в качестве категории. Содержание категории «корректность» состоит в однозначной определенности и наличии признаков высокого качества изучаемого объекта. Анализ объектов на установление корректности дает подход к формированию универсальной познавательной учебной деятельности. Система универсальных учебных действий следующая:
- анализ на существование (отсутствие противоречий, учет внешних и внутренних условий);
- анализ на единственность (однозначность);
- анализ на наличие качественных характеристик.
Указанные действия составляют систему, т. к.
тесно взаимосвязаны, активно взаимодействуют и могут быть выделены как самостоятельное образование.
Операционный состав каждого из действий утрачивает универсальность основного абстрактного понятия и может быть прописан, если определен изучаемый объект, т.е. указано, о чем идет речь: о задаче, определении, вопросе, доказательстве, алгоритме и т. д. Приведенный состав УУД остается инвариантным и для других предметных областей и из математической учебной деятельности может быть распространен при обучении физике, химии, обществознанию и другим предметам.
На основании всего вышеизложенного можно сделать вывод, что категория «корректность» представляет самостоятельный предмет исследования. Рассмотрение данной категории позволяет с общеметодологических позиций подходить к решению педагогических задач, к описанию закономерностей реальной действительности и процесса познания, к формированию системы универсальных учебных действий при решении задач, определении понятий, формулировке вопросов и ответов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1945. Т.2. 620 с.
3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское науч. изд-во, 2008. 460 с.
4. Калошина И.П. Психология творческой деятельности. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007, 559 с.
5. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. 432 с.
6. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. 208с.
7. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. М.: Высшая школа, 1972.
8. Педагогика / Под ред. П. И. Пидкасистого. М:. Пед.об-во России, 2003, 608 с.
9. Безусова Т.А. Некорректные задачи как средство развития культуры математического и естественнонаучного мышления школьников. Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. Тюмень, 2008. 27с.
