CC BY
9
DOI: 10.15643/libartrus-2022.1.2
«Понимаемая математика» как средство реализации концепции когнитивной технологии в предметной области социально-экономической географии
© В. А. Еровенко
Белорусский государственный университет Беларусь, 220030 г. Минск, проспект Независимости, 4.
Email: [email protected]
Философско-методологические рассуждения становятся востребованными в любой науке, в которой наступает период сомнений в эффективности ее исследовательского инструментария. В статье обсуждается роль предметной аксиоматизации высшей математики для выявления специфики когнитивной технологии в социально-экономической географии с точки зрения объективных и субъективных трудностей образовательного процесса в социокультурных условиях смешанного обучения. Феномен понимания математики анализируется в контексте обучения математике студентов-нематематиков с опорой не только на логику математических рассуждений, но и на когнитивные практики преподавания математики. Результат «понимаемой математики» всегда чувственный и субъективный в отличии от математического знания, которое ассоциируется с объективностью в процессе использования когнитивной технологии преподавания математики для предметной области. Поскольку качественное многообразие аспектов социально-экономической географии не все-гдаудается полно отразить в когнитивной технологии предметной области аксиоматически-формальными средствами математики, в связи с этим возрастает роль философской рефлексии над проблемами математического моделирования как эффективного средства познания. С учетом социальных проблем экономической географии, «понимаемая математика» рассматривается как реализация когнитивных технологий преподавания.
Ключевые слова: предметная аксиоматизация, философия преподавания математики, понимаемая математика, когнитивная технология, социально-экономическая география.
Введение
Еще сравнительно недавно популяризатор науки С. П. Капица говорил: «Нужно переходить от образования запоминания к образованию понимания». Сказанное актуально до сих пор, так как мы, по сути, еще в начале пути. Существующие философские концепции понимания по-разному трактуют, что, собственно, означает «понимать», хотя все эти «толкования совместимы». Но как происходит процесс понимания математики при использовании пред-метнои аксиоматизации в социально-экономическои географии? Заметим, что многие вопросы социально-экономическои географии относятся к философско-методологическои реальности, которая изучает экономические и социальные процессы в географическом аспекте, хотя разные разделы предметнои области исследования стремятся абсолютизировать свои объект, чем «неявно грешит» и преподавание математики студентам-географам, наряду с репрезентации для них феномена понимания в самои математике. Пониманием в математике называется процедура истолкования изучаемого явления, его интерпретации посредством
специальных логических правил, присущих данной области познания. Так, понимание определения, означает, что студент может привести примеры математических объектов, удовлетворяющих, а также и не удовлетворяющих ему. Философско-рефлексивныи критическии анализ разделов высшеи математики - это наиболее существенная сторона практически необходимого профессионального научного знания, так как «ответственный момент» выявления гносеологическои трудности понимания математики требует выявления логическои сути построения курса математики. Радикально непонятное может ускользать, если его не зафиксировать, хотя для понимания математики «многим может чего-то не хватать».
Философское «противостояние логики и педагогики» проявляется в том, что педагогика математики практически является не только фрагментарнои, но и иногда случаинои. Возможно, к когнитивнои технологии преподавания следует отнести не только «педагогическую настоичивость», но еще и ответственность за знания студента. Поскольку строгое и хорошо аргументированное объяснение для студентов-математиков не всегда является понятным для студентов-нематематиков, то понимание математических утверждении в курсе высшеи математики ориентировано не на критерии истинности, разрабатываемые в философии математики, а прежде всего на их смысловое содержание, так как математические объекты не безразличны к их содержанию. «Особенность феномена понимания математики связана с тем, что в процессе коммуникативного взаимодеиствия преподавателя математики со студентами в учебнои аудитории не всегда восстанавливается именно тот смысл нового математического объекта и то методологическое содержание понятия или утверждения, которые вкладывались в них на стадии подготовки к лекции или практическому занятию» [1, с. 49]. Специфика «понимаемои математики» проявляется в том, что неоднозначность этого феномена проявляется еще и в сложных взаимоотношениях между математическим знанием и когнитивнои способностью его понять. Сказанное можно интерпретировать как проблему философии математического образования, поскольку нет четко сформулированных методических закономерно-стеи когнитивного процесса обучения направлениям высшеи математики, «имитирующих математическую строгость», недостижимую в философии.
Хотя в проблемном поле философии математического образования есть проблемы, которые мы в условиях «постсоветскою» общественнои обстановки пока не можем изменить, в лю-бои ситуации нужно искать такие методологические подходы к преподаванию разделов высшеи математики, которые могут помочь студенту стать более успешным в учебе. Причина непонимания математики может быть дидактически связана с недостатком в опыте студентов конкретных примеров, «оживляющих математические абстракции». С точки зрения критиче-скои рефлексии понимание доказательства в преподавании математики можно анализировать в следующих смыслах. Во-первых, это понимание эпистемологическои значимости рассматриваемого результата доказательства, то есть его необходимость и востребованность в дальнеишем изложении темы и его использовании в доказательстве других утверждении. Во-вторых, это понимание базовои идеи доказательства, раскрывающеи необходимость именно так выстроеннои последовательности опорных утверждении, использованных в представленном доказательстве, способствующих пониманию того, как было получено нужное доказательство. В-третьих, само понимание текста доказательства и сути производимых в нем операции, опирающегося на строгие математические определения, которыи становится понятным и убедительным для студента-нематематика, обладающего рациональным стилем мышления. Одна из проблем философии понимания математики заключается в выявлении
таких способов реализации умственной деятельности, с помощью которых любой обучаемый «надеется на понимание», «ищет понимание» и «находит понимание».
Экономическая география имеет дело со сложными социальными объектами, поэтому определенные трудности связаны с математическои трактовкои понятия о пространстве «геосистем». Существующие математические теории пока не в состоянии раскрыть законы развития этих систем, что связано с «предметнои аксиоматизациеи» при исследовании пред-метнои области с помощью аксиоматического метода на этапе систематизации построенного знания. Заметим, что традиционно в математическом познании формальную структуру предметности математического знания связывают с аксиоматическои формои математики. Специфика методологии теоретическои математики проявляется прежде всего в доказуемости ее утверждении, так как математические доказательства, опираясь на аксиоматизацию при построении математическои теории в соответствующеи предметнои области исследования, являются общепринятыми «эталонами бесспорности». Хотя на пути аксиоматизации есть определенные трудности, например, «средствами содержательнои аксиоматизации еще нельзя установить логическую структуру теории, так как трудно отделить существенные своиства от несущественных» [2, с. 76]. Эффективность предметнои аксиоматизации вытекает из непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. Но для формальнои аксиоматики наиболее принципиальным своиством является ее непротиворечивость, означающая невозможность вывести противоречие в теории, используя правила формальнои логики. Однако использованием исключительно только формальных математических средств решить когнитивную задачу исследования социально-экономическои географии нельзя.
Когнитивные технологии в социально-экономической географии
Развитию социально-экономическои географии может способствовать использование в географических исследованиях математических методов познания на абстрактном уровне с помощью предметнои аксиоматизации, методов моделирования в природно-экологических исследованиях, а также попытки создания теоретическои географии. Теоретическая география отличается «повышеннои формализациеи», характернои для естественнонаучных знании, использующих математические методы. Непредубежденным взглядом оценивая экономическую географию, можно понять, что математика играет существенную роль в изложении ее идеи, поскольку с помощью ее инструментального аппарата раскрывается сущность социально-экономических явлении. Это само по себе уже важно для восприятия когнитивнои технологии экономическои теории, хотя понять математически выраженные экономические принципы иногда довольно сложно, но то же самое можно также сказать и о закономерностях развития любои науки [3]. Однако, с точки зрения преподавания социально-экономическои географии, применение когнитивных технологии общематематическои методологии практически реализуется гораздо сложнее. С позиции методологии преподавания понимание разделов высшеи математики требует своего обоснования и избавления его от «эмоциональных искажении» при интерпретации идеи доказательства. Математическии аспект в географическом исследовании важен прежде всего с точки зрения его эффективнои инструментальнои составляющей а не исключительно только как некии когнитивно-методологическии феномен, доставляющии профессиональным математикам «тихую приятность».
Актуальность проблем развития социально-экономическои географии подтверждается дискуссиями по теоретико-методологическим основам этои науки, пытающимися преодолеть снижение интереса к когнитивным и методологическим изысканиям и естественное замыкание
на прикладных исследованиях. Осознание этих негативных явлении произошло уже в прошлом столетии, в котором для первои половины характерно становление экономическои географии, а во второи половине в силу социокультурных изменении не только в стране, но и в мире, даже несмотря на взаимодеиствие смежных дисциплин, реально стал критически-рефлексивно «ускользать» сам предмет познания. Тем не менее методологическии арсенал со-циально-экономическои географии на современном этапе обогатился не только частными методами общественно-географического познания, но и активным взаимообогащением со смежными науками. Так, среди разнообразных формализованных приемов математического исследования в социально-экономическои географии можно выделить построение математиче-скои модели. В таком контексте применение математических методов в географии можно рассматривать как систему когнитивных моделеи специфического типа, а именно - формально-знаковых моделеи, раскрывающих существенные основные черты исследуемои деиствитель-ности. Проблема в том, что в «деиствительности трудно обнаружить деиствительность», так как понимание одних и тех же событии зависит от трактовки желаемого результата.
Поскольку теоретическая география использует как математически формализованные, так и содержательные, то есть неформализованные, понятия в моделях определенного вида, то главнои методологическои трудностью эффективного применения математического моделирования в географии длительное время оставалось наполнение соответствующих моделеи качественно востребованнои информацией Но если в социально-экономическом исследовании географических процессов происходит отображение реальных отношении деиствительности, то можно избежать противоречивости и в полуформальнои аксиоматизации. «Поэтому необходимым условием эффективного использования математического моделирования является совершенствование системы географических показателей Применение математического моделирования заострило проблему измерении и количественных сопоставлении различных аспектов и явлении социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажении» [4, с. 7]. На подготовку студентов по экономико-географическои специализации оказывают влияние изменения, происходящие в экономическои географии, благодаря формированию нового научного направления - экономико-математическому моделированию социально-географических систем. А так как точность умозаключении относится к когнитивным функциям, то «понимаемая математика», реализуемая в когнитивнои технологии преподавания социально-экономи-ческои географии, важна прежде всего с образовательно-познавательнои точки зрения.
Понимаемая математика - это не «ученая прихоть». Ведь она обладает такими неоспоримыми достоинствами, как ясность и логическая последовательность изложения. Экономико-математические модели географии, выраженные на точном языке математики, имеют хорошо обозримую структуру, обеспечивающую аргументированную последовательность выводов и заключении как для частногеографических, так и экономгеографических методов. При этом математическая модель не исчерпывает сущность исследуемого объекта или сложность процесса, так как она всегда будет оставаться «беднее» социально-экономическои реальности лю-бои географическои системы. Однако положительная сторона математического моделирования в экономическои географии состоит еще в том, что географическая наука стала отходить от описательности, направляя ее критическую рефлексию на путь поиска закономерностеи развития. В сущности, применение математических методов в социально-экономическои географии не связано исключительно с количественными подходами исследования, а так как это
более высокая ступень развития теоретических аспектов географии, то «математизация географии» предполагает качественное усовершенствование ее методологического и понятии-ного аппарата. Но поскольку в математическом описании социально-экономическои географии отражаются только формально-количественные аспекты моделирования, то их практическое применение еще требует наполнения соответствующих моделеи качественнои информацией Методология когнитивнои технологии понимания формируется на самых лучших образцах математического, экономического и естественнонаучного знания. Однако понимание высшеи математики требует еще «определенных усилии», которые заинтересованным студентам приносят особое удовольствие.
Что означают для студентов понятия «понимание» и «объяснение»? Заметим, что для многих студентов можно выделить несколько уровнеи понимания. Например, первыи уровень - это так называемое «контурное» понимание, когда студент учится решать математические задачи под руководством преподавателя, а второи уровень - это самостоятельное понимание, без подсказок преподавателя. Однако социокультурно обусловленная теория экономи-ческои географии не отличается характернои строгостью, точностью и четкостью, присущеи формальным математическим рассуждениям. Когда «полет идеальнои мысли» превращается в «формальную реальность слова», то тогда без проблем понимания уже не обоитись. В мето-дологическои традиции было осознано, что для понимания «неопределеннои реальности» необходим переход от четких, строго определенных понятии, к менее четким понятиям, в опре-деленнои степени даже «размытым» набором важных характеристических признаков. Любая модель социально-экономическои географии, образно говоря, - это «математика на шумовом фоне». Моделирование социально-экономических систем может пострадать от применения рационального мышления к специфическому материалу географического исследования, по-ложительнои сторонои которого являются его «нечеткость» и расплывчатость. «Нечеткость общественных структур является их фундаментальным своиством, влекущим необходимость использования для их изучения совершенно нового, современного и весьма необычного математического аппарата - аппарата нечетких множеств» [5, с. 75]. Ведь трудно наити хотя бы двух людеи с одинаковыми взглядами на все аспекты жизни.
Математические понятия, используемые в социально-географическом знании, претендуют на «однозначность дефиниции», но на самом деле все не так однозначно. Неопределенность в логике гуманитарного познания - это условность, возведенная в «рабочии принцип», смещающии категоричность рассуждении исходя из «сопутствующих обстоятельств». Поэтому для получения и практическои реализации искомои математическои модели приходится рационально следовать по пути упрощения исходных предпосылок, хотя такое упрощение в математическом исследовании не произвольно и безусловно зависит от методологических средств экспериментального исследования в задачах экономическои географии. При этом, с точки зрения когнитивного подхода, даже с учетом социокультурных норм и стереотипов, природа социальных проблем в географии объясняется исходя из логики математического познания. Но поскольку качественное многообразие всех содержательных аспектов со-циально-экономическои географии не всегда удается полностью отразить абстрактно-формальными средствами математики, то эти ограниченные возможности математического формализма при философскои критическои рефлексии проблемы моделирования предполагают когнитивный анализ всех социально-экономических подсистем. Математическое моделирование способствует не только познанию технологического мира, но и является средством
интеллектуального развития студентов. В таком контексте обучение в классическом университете, а особенно обучение сложным разделам высшеи математики студентов-нематематиков - это хорошо организованная первичная познавательная когнитивная деятельность по изучению учебных разделов понимаемои высшеи математики, опирающаяся на интеллектуальные и познавательные способности самих студентов.
Принципиальнои особенностью философии гуманитарного характера географического познания является расширение познавательных связеи со смежными социокультурными событиями. Даже такои факт, когда у человека есть географическое дополнение в фамилии, как, например, у выдающихся полководцев Россиискои империи, уже много что значит. Любое такого рода дополнение опирается на обоснованное использование географических понятии, которые сами нуждаются в понимаемом объяснении. По существу, указанные ценностные ориентации познания формируют современное географическое мировоззрение, отражающее естественное сосуществование когнитивных моделеи исследовательского опыта, выявляющего общие своиства генезиса социально-экономических феноменов различнои природы. «Научное пространство экономическои географии устраняет четкие границы, и для сохранения даннои тенденции следует поощрять междисциплинарный подход для модернизации теоретико-методологических и концептуальных представлении и процессов» [6, с. 20]. Методологию математического моделирования к любои хорошо развитои науке можно применять лишь тогда, когда в неи ясно сформулирована постановка проблем, допускающая креативную математическую обработку. Используя предметную аксиоматизацию, математическое моделирование социально-экономических географических процессов пытается схватить суть явления, не «притворяясь» в духе «математическои честности», что они охватывают все процессы целиком. Хотя процесс моделирования на языке математических абстракции, абстрагируясь от ненужных в исследуемом контексте деталеи предметного объекта, представляет со-бои в какои-то мере некое «упрощение реальнои геосистемы», по существу указывая еще на неявные пределы своеи применимости.
В теории познания критерием когнитивного понимания математики, балансирующим между философскими принципами свободы и необходимости в контексте математического образования, считается не только выработка алгоритма усвоения знании, управляющего содержанием образовательнои деятельности, но и наличие взаимосвязи между новои информациеи и субъективным опытом личности. По сути, происходит слияние воедино когнитивных образовательных технологии с «вневременнои современностью» математических открытии великих математиков прошлого. Например, пониманию высшеи математики для студентов-географов, обучающихся по направлению социально-экономическои географии, способствует критическая рефлексия теории математического анализа, «оттачивающая разум» обучаемых. Можно гипотетически предположить, что «невычислимость феномена понимания» как гносеологическая проблема образования присуща разным аспектам когнитивных исследовании в философско-методологическом обосновании математики. Поскольку правильно выполняемое деиствие не всегда можно объяснить только в «риторическои словеснои передаче», то математическое образование не может не учитывать востребованность овладения всеми элементами математическои культуры, в том числе ее эмоциональнои, психологическои и эстетическои составляющих. В частности, французскии философ Симона Веил метафорично заключает: «Радость познания также необходима при получении образования, как дыхание при беге».
Актуальнои задачеи математическои составляющеи фундаментального университетского социально-экономического географического образования является методологическая
проблема поддержания равновесия между формальнои и неформальнои составляющими научного знания. В процессе социально-экономического познания можно обнаружить два гносеологических аспекта - это «эмпатическии», то есть способность вставать на точку зрения других людеи, и «эмоциональный», возникающии на ключевои стадии принятия решения. Когнитивные аспекты понимания исследовании в социально-экономическои географии связаны с «соци-альнои вовлеченностью» в изучение математики, доставляющеи интеллектуальное наслаждение. Когнитивные способности студентов-географов формируются непосредственно в процессе учебнои деятельности по усвоению математических знании, в которых истинность - это наиболее сильный «когнитивный регулятив», так как в качестве эталона математическои истины выступает истина научная, которую дает математическая наука [7]. На реализацию этого направлены когнитивные технологии процесса обучения математике для правильного усвоения изучаемого материала. С точки зрения обсуждаемои темы следует подчеркнуть, что востребованность математического знания для географов обусловлена еще и тем, что математики получают истину чаще всего вместе с доказательством, даже несмотря на то, что не всякое истинное математическое утверждение может быть строго доказано, например, в соответствии с принятыми направлениями обоснования в философии математики.
К гуманитарнои географии, как и к гуманитарнои математике, относят эстетические критерии красоты теории, изящества аргументации и простоты доказательства. Если искусством можно эмоционально наслаждаться, не понимая, то даже элементарная школьная математика уже требует понимания. Иногда математические истины воспроизводимы в мышлении студента лучше, чем физические опыты в учебных практикумах, хотя познавательная сила математических понятии и символов требует определеннои дисциплины мышления и соответствующего интеллектуального напряжения. Задача воспитания специалиста-географа как креативно мыслящего субъекта на основе когнитивнои образовательнои деятельности меняет базовые методологические ориентиры с учетом «социального самочувствия» сферы образования. В условиях внезапнои пандемии проблема понимания математики не может быть сведена к задачам социализации с точки зрения упрощения математического образования в интересах потенциальных потребностеи на новом «рынке услуг». Безусловно, пандемия - это до конца не осознанная «катастрофа», требующая взвешенных перемен в гуманитарно-математическом географическом образовании. Опыт преподавания в «осязаемои реальности» показывает, что эта актуальная образовательная проблема для неравнодушных к своеи профессии людеи обнажила то, что реальным дефицитом в коммуникативном общении стала обратная связь и такие человеческие поступки, как честность, доброжелательность, ощущение настроения собеседника как со стороны преподавателей так и со стороны студентов. Но как бы не было «тоскливо», с утратои того, что психолингвист Т. В. Черниговская гипотетически называет «периферииным зрением», в сложившихся дистанционно-очных обстоятельствах смешанного обучения преподаватели математики наидут возможность сохранения лучшего, не изменяя своим когнитивным идеалам.
Заключение
Что касается социально-экономическои географии, то с мировоззренчески высоты XXI в. можно с уверенностью сказать, что каждая наука является настолько зрелои и успешнои, насколько она способна давать правильный прогноз. Применение методов математического моделирования в социально-экономическои географии постепенно расширяется, хотя большинство из них основаны на линеиных зависимостях между составляющими компонентами
системы, которые не всегда эффективны при исследовании сложных систем. «Систематиче-скии символизм математических формул как уяснение формальнои предметности математического мышления, кроме корреляции понимания правильно построенных формул и аксиоматических конструкции с абстрактными структурами, основывается еще и на конвенциональном понимании математическои истинности А. Пуанкаре» [8, с. 27-28]. Конвенционализмом называют направление в философии науки, согласно которому принятие определенных решении вытекает из ранее принятых соглашении. В таком контексте Пуанкаре, исходя из уже накопленного опыта применения аксиоматического метода в математических дисциплинах, счел возможным предположить, что аксиомы - это, по сути, и есть продукты соглашении. Но несмотря на его конвенционализм, в философско-когнитивнои рефлексии формально-со-держательнои предметности истинность математических утверждении он понимал, как их непротиворечивость.
В основе разных современных подходов к обучению географии заложены следующие три уровня педагогических технологии - это методологически^ когнитивный и прикладнои аспекты, опирающиеся на данные о процессах обучения, познания и применения, которые ориентированы еще и на понимание математики в процессе обучения высшеи математике. По существу, в предметных рамках философии математического образования понимание высшеи математики - это гносеологическая процедура, которая очень тесно связана с когнитивнои технологиеи университетского преподавания. Обучение понимаемои математике - это процесс с использованием последовательных учебных деиствии преподавателя для достижения познавательного результата. В рамках когнитивного образовательного подхода, отличитель-нои особенностью которого является роль знания, важна потенциальная возможность обмена идеями и результатами научных исследовании в смежных науках со сходнои проблематикой поскольку в географии познание практически организуется на взаимодеиствии социальных, экономических и математических областеи знания. Роль понимаемои математики в когнитивном преподавании социально-экономическои географии определяется не только ее практическими возможностями, но и методологиеи исследования, основаннои как на проверяемых фактах о реальности, так и в большеи степени на рациональных рассуждениях с учетом реально накаляющеися социально-экономическои обстановки. Ведь понимание сложнои теоремы не сводится только к непосредственному анализу когнитивно-технологического процесса каждого шага ее доказательства и пониманию ее абстрактных математических символов, используемых в ее доказательстве.
Но по мере того как математики обращаются к изучению социально-экономических явлении, им приходится расширять теоретическую базу исходных понятии, поскольку, чтобы много знать, нужно больше предполагать. Поэтому это указывает на необходимость формирования специального географо-математического аппарата научно-практического исследования, доступного пониманию студентов-географов, и развитие критического мышления в их осознанном обучении, пытаясь также исключить «иллюзию понимания математики». В деи-ствительности для понимания доказательства необходимо еще целостное видение всех его промежуточных этапов, да еще за очень ограниченный временнои отрезок его аудиторного изложения. А для понимания всех разделов высшеи математики необходимо «сфокусированное мышление», которое отличается повышенным вниманием и концентрациеи на предмете исследования. «Необходимо учитывать, что гносеологическая „цена" такого понимания в математике очень высока, поскольку именно такое понимание в математике всегда достигается
за счет рационализации элементов неявно-интуитивного уровня математического познания» [9, с. 36]. В частности, основнои причинои недостаточного внимания нематематиков к проблеме строгости доказательства является сложность математическои аргументации при изучении «перегруженного смыслами» формализованного текста, как творческого акта понимания убедительности утверждения. Трудность реализации практических методологических подходов к обучению понимаемои математике определяется еще тем, что уже по своеи пред-метно-ориентированнои природе они не могут быть универсальными, так как обусловлены неопределенностью социально-гуманитарных наук.
В заключение, несмотря на неизбежные социально-экономические трудности, хочется восторгаться храбрецами, которые по-прежнему, продолжая любить свою профессию и добавляя «творческии кураж» при преподавании математики студентам-географам, одаряют своеи душевнои теплотои даже «неспособных» к ее изучению. Неудачи и ошибки при выполнении задании по высшеи математике можно интерпретировать как познавательную возможность научиться чему-то новому, а также интеллектуально вырасти и усовершенствовать свои когнитивно-рефлексивные навыки, но это уже «голыш нарратив». Так, согласно закону троиного понимания, «чтобы тебя понимали, ты сам должен понимать свое понимание». Кроме того, язык на котором общаются между собои студенты, добавляет свою долю многозначности и неопределенности, следовательно, трудно надеяться на то, что преподаватель и студенты сразу поимут друг друга, общаясь на языке математики. Хотя трактовки понимаемои математики меняются, автор надеется, что интеллектуально-эстетическии восторг обучаемых останется. Хорошие студенты приходят за знаниями, не подготовленные - за развлечениями, а мотивированные - за «интеллектуальным удовольствием». Преподавание математики состоит не только из «потения», но и из «вдохновения». Поэтому аналогом клятвы Гиппократа, адап-тированнои для преподавателеи математики, стремящихся достичь понимания, может стать девиз - «исполняя свои долг, не убии вдохновение». Ведь вдохновение, в хорошем смысле, «заразно», и как точно сказал знаменитый испанскии художник Пабло Пикассо: «Вдохновение существует, но оно приходит только во время работы».
Литература
1. Михайлова Н. В. Феномен понимания как дидактическая проблема обучения студентов учебным разделам высшей математики // Инновации в образовании. 2021. №5. С. 46-53.
2. Масалова С. И. Роль аксиоматизации в процессе построения математической теории // Вестник Донского государственного технического университета. 2007. Т. 7. №3. С. 71-77.
3. Еровенко В. А., Гулина О. В. Философская рефлексия экономических исследований: когнитивный, математический, информационный аспекты // Российский гуманитарный журнал 2019. Т. 8. №4. С. 246-260.
4. Носонов А. М. Моделирование в социально-экономической географии // Псковский регионологический журнал. 2014. №19. С. 3-15.
5. Малыхин В. И. Социально-экономическая структура общества. Математическое моделирование. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 175 с.
6. Бочарников В. Н. Географическое познание и индивидуализм, восприятие и исследовательский образ -важные вопросы социально-экономической географии // Географический вестник. 2013. №2. С. 14-24.
7. Еровенко В. А. Когнитивные технологии обучения математике в инновационном географическом образовании // Инновации в образовании. 2019. №9. С. 30-41.
8. Панфилов В. А. Структура математической предметности в интеграции теоретических оснований философского и математического знания // Вестник Днепропетровского университета. Серия «История и философия науки и техники». 2013. Вып. 21. С. 26-32.
9. Султанова Л. Б. Понимание в математике // Российский гуманитарный журнал. 2017. Т. 6. №1. С. 33-39.
Поступила в редакцию 01.10.2021 г.
После доработки - 18.10.2021 г.
DOI: 10.15643/libartrus-2022.1.2
"Understood mathematics" as a means of implementation concepts of cognitive technology in subject matter areas of socio-economic geography
© V. A. Erovenko
Belarusian State University 4 Nezavisimosti Avenue, 220030 Minsk, Belarus.
Email: [email protected]
Philosophical and methodological reasoning becomes popular in any science at a time of doubt about the effectiveness of its research tools. The author of the article discusses the role of subject axiomatization of higher mathematics to identify the specifics of socio-economic geography in the cognitive technology of general university education from the point of view of objective and subjective difficulties of the educational process in the socio-cultural conditions of mixed education. The author analyzes the phenomenon of understanding mathematics in the context of teaching mathematics to non-mathematical students, relying not only on the logic of mathematical reasoning, but also on the cognitive practices of teaching mathematics. The result of "understood mathematics" is always sensual and subjective in contrast to mathematical knowledge, which is associated with objectivity in the process of using the cognitive technology of teaching mathematics for subject area. Since the qualitative diversity of aspects of socio-economic geography is not fully reflected in cognitive technology subject area by axiomatic-formal means of mathematics, the role of philosophical reflection on the problems of mathematical modeling as an effective means of increasing cognition. "Understood mathematics" is the implementation of cognitive teaching technologies taking into account the social problems of economic geography.
Keywords: subject axiomatization, philosophy of teaching mathematics, understood mathematics, cognitive technology, socio-economic geography.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.
Please, cite the article: Erovenko V. A. "Understood mathematics" as a means of implementation concepts of cognitive technology in subject matter areas of socio-economic geography // Liberal Arts in Russia. 2022. Vol. 11. No. 1. Pp. 25-34.
References
1. Mikhailova N. V. Innovatsii v obrazovanii. 2021. No. 5. Pp. 46-53.
2. Masalova S. I. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. 2007. Vol. 7. No. 3. Pp. 71-77.
3. Erovenko V. A., Gulina O. V. Liberal Arts in Russia. 2019. Vol. 8. No. 4. Pp. 246-260.
4. Nosonov A. M. Pskovskii regionologicheskii zhurnal. 2014. No. 19. Pp. 3-15.
5. Malykhin V. I. Sotsial'no-ekonomicheskaya struktura obshchestva. Matematicheskoe modelirovanie [Socio-economic structure of society. Mathematical modeling]. Moscow: YuNITI-DANA, 2003.
6. Bocharnikov V. N. Geograficheskii vestnik. 2013. No. 2. Pp. 14-24.
7. Erovenko V. A. Innovatsii v obrazovanii. 2019. No. 9. Pp. 30-41.
8. Panfilov V. A. Vestnik Dnepropetrovskogo universiteta. Seriya «Istoriya i fllosoflya nauki i tekhniki». 2013. No. 21. Pp. 26-32.
9. Sultanova L. B. Liberal Arts in Russia. 2017. Vol. 6. No. 1. Pp. 33-39.
Received 01.10.2021.
Revised 18.10.2021.
