CC BY
16
DOI: 10.15643/libartrus-2021.1.2
Методологическая направленность эвристических стратегий в когнитивном осмыслении математического анализа
© В. А. Еровенко
Белорусский государственный университет Беларусь, 220030 г. Минск, проспект Независимости, 4.
Email: [email protected]
Философская рефлексия методологической направленности эвристических приемом и методов познания помогает выявить сущность математических понятий, способы конструирования математических объектов и обогатить представления о математической картине мира, углубляющих предмет собственных философско-методологических исследований в философии математического образования. Хотя эвристические идеи давно используются в философских исследованиях, использование эвристического вида деятельности в математике по-своему способствует раскрытию процесса постановки новой задачи и поисков ее решения. В работе предпринята попытка философско-ме-тодологического анализа мало изученной темы эвристических стратегий математики в контексте когнитивного осмысления проблем философии математики и рефлексивного анализа проблемно-ориентированных тем математического анализа. В эвристических подходах к высшей математике в отличие от методологических приемов алгоритмического типа, ориентированных на формально-логический анализ, эвристические приемы направляют мысль на содержательный анализ математических проблем, стимулирующих интуитивное мышление при решении новых задач. Наряду с пониманием математического анализа как наиболее сложной части высшей математики, а также в связи с расширением области его применений особое внимание обращено на проблему обоснования математического знания. Методологическую значимость рефлексии по поводу эвристических методов в изучении разделов и направлений математического анализа можно охарактеризовать как поиск нового подхода к пониманию формализации когнитивно-исследовательской творческой деятельности, который становится в социокультурных условиях развития общества важной составляющей современной системы университетского математического образования различных профессионально необходимых уровней строгости.
Ключевые слова: философия математики, методология математики, математический анализ, эвристические стратегии в математике, когнитивные трудности понимания.
Введение
Математический анализ, занимающий центральное место в курсе высшей математики, требует для его понимания напряженнои мыслительнои деятельности. Философия математического образования по-своему раскрывает специфику математического анализа, методику и неординарность математического познания. Математическии анализ - это «анализ бесконечного», изучаемого, с однои стороны, «в малом», в операции дифференцирования, а с другои -«в большом», в операции интегрирования, но корректно их сущность можно определить с помощью понятия «предела». Благодаря высокои культуре исследовании, реализовывавших
вейерштрассовские стандарты обоснования, математический анализ стал доминантой математического образования. С точки зрения методологии, курс математического анализа обладает мощным потенциалом. Его отличают тщательная философско-математическая продуманность и системная целостность всего курса, совершенствованием которого занимаются до сих пор. Поэтому задача критическои рефлексии и понимания системы определении и доказательств теорем математического анализа остается актуальным направлением философии математики.
В контексте философии математического образования к этои тематике относятся когнитивные технологии формирования эвристического мышления при изучении математического анализа. Зарождению эвристики философия образования обязана диалогам Сократа, направленным на математическое познание. Использование эвристики облегчает поиск метода доказательства математического утверждения или выявление способа его опровержения, а также выбора ответа на нестандартный проблемный вопрос. В фундаментальном математическом образовании математическои анализ методологически насыщен примерами и контрпримерами, способствующими проверке утверждении на правдоподобие, что актуализирует значимость анализа при выработке эвристических стратегии. Философ Мераб Мамар-дашвили говорил, что «анализу поддается только то, что может быть нами создано». Поэтому эвристические подходы, преодолевающие когнитивные трудности математического познания, можно проанализировать. Заметим также, что критическое мышление в стремлении к убедительнои аргументации и пониманию математического анализа в процессе выявления нового смысла начинается с постановки когнитивных вопросов, выясняющих сущность понятии и утверждении.
Специфика образовательного процесса в университете с точки зрения применения эвристических приемов и методов обучения обусловлена тем, что понимание математики связано с реконструкциеи математических утверждении, которые уже кем-то созданы, и в этои позна-вательнои ситуации оно пассивно, хотя может способствовать для обучаемых порождению нового смысла сложного математического понятия, становясь тем самым предпосылкои критического мышления. Применение эвристических методов в математическом анализе - это не только эффективное средство исследования «математических лабиринтов», но еще и увлекательная методологически направленная интеллектуальная деятельность. В контексте обсуждения наследия Д. Поиа особое внимание обращается на «феномен педагогическои эвристики» при изучении математического анализа, т.к., с однои стороны, эвристика направлена на поиски решения нестандартных задач математики, а с другои стороны, - педагогическои эвристики как научного направления в философии математического образования еще нет, хотя она изучает, как решать задачи.
Методология и когнитивная специфика эвристических стратегий
Наш подход к методологии эвристических стратегии изучения математического анализа основан на актуализации понимания того, что мы живем в изменяющихся социокультурных представлениях о востребованнои методологии математического образования, изучающеи методы, структуру и приемы логическои организации познания, с помощью которых обосновывается новое математическое знание. Использование термина «методология», а не термина «методика», обусловлено тем, что методика применения какого-нибудь математического метода, как правило, сводится к разъяснению технологии реализации этого процесса, тогда как
методология рассматривает когнитивные подходы как совокупности различных принципов познания. К методологии математического познания относится системное изучение эвристики. Математику и философию объединяет стремление к системности научного знания, но это не означает наделения математических понятии статусом философских категории, приводящим к ошибочным выводам. «Причина их, как правило, заключается в концептуальнои ошибке - неразличении дисциплинарных основании философских и общенаучных понятии в процессе решения общеи исследовательскои проблемы, игнорирования законов существования различных систем дисциплинарного знания» [1, с. 51]. Философская рефлексия математического познания показывает, что математическая логика, проверяющая на истинность, является его основои, и в ее рамках были поставлены и решены математиками проблемы, связанные с обоснованием математики.
В когнитивном смысле более широкая интерпретация определения методологии математики состоит в ее понимании как философского учения о всеи совокупности методов исследования, применяемых в современнои математике, поскольку во всех случаях приходится работать с математическими абстракциями, формальными схемам рассуждении и проблемными математическими моделями. С точки зрения эвристического потенциала математического исследования, нельзя не заметить широкого распространения в философии математического образования таких терминологических понятии, как «эвристическое мышление», «эвристические приемы и методы», «педагогическая эвристика» и других, связанных с методологиеи научного творчества, выявляющего смысл, а не строгую закономерность. Основои эвристиче-скои деятельности является психология творческого мышления, включающая логические и интуитивные средства. Эвристическое рассуждение нельзя отождествлять с окончательным, алгоритмически обоснованным и математически строгим, т.к. это предварительное рассуждение, облегчающее поиск решения проблемнои задачи при выявлении смысловых коннотации сложного математического понятия. При эвристическом подходе акцент делается именно на проблемнои ситуации, раскрывающеи борьбу мнении в математическом познании. Хотя эвристические рассуждения не гарантируют достижения математическои истины, поскольку их область исследования, относящаяся к логике, методологии и философии, по существу, не очень четко очерчена, но тем не менее эвристические методы познания творчески репрезентируют стиль математического мышления, делая его системным и целенаправленным.
Эвристика, зародившаяся в Древнеи Греции, долгое время оставалась единственным методом поиска решения задач при рассмотрении возможных вариантов их решения. В наше время значительным событием в области методологии преподавания математического анализа стали книги Джорджа Поиа, которому принадлежит краткое и четкое определение эвристики как «науки о том, как делать открытия». Для изучения основ математического анализа востребована новаторская книга Джорджа Поиа и Габора Сеге «Задачи и теоремы из анализа», побуждающая к самостоятельнои мыслительнои работе и отличающаяся своеи целью и методом работы с неи. Особая заслуга принадлежит Поиа в разработке эвристическои деятельности в серии книг, посвященных математическому творчеству, в которых обсуждалась новаторская задача - исследовать методы, ведущие к математическим открытиям. В элементарнои книге «Как решать задачу» Д. Поиа, который считает решение математических задач «специфическим достижением разума» и рассматривает эвристику как особую отрасль знания, раскрывается структура мыслительного процесса, лежащая в основе поиска нестандартных решении. Часто цитируют следующее его заключительное утверждение: «Эвристическое
рассуждение не рассматривается как окончательное и строгое, но лишь как предварительное и правдоподобное рассуждение, цель которого наити решение для даннои проблемы» [2, с. 208]. Смысловои акцент у Поиа делается на вспомогательных рассуждениях, которые содержат эвристически ценную догадку.
Если представить этапы решения математическои задачи как потенциально возможных решении, то может оказаться немалое количество вариантов, среди которых эвристичностью обладают вероятные или правдоподобные рассуждения, приближающие в итоге к правильному решению. Хотя правдоподобные рассуждения с точки зрения «чистои математики» не всегда приемлемы, но если в педагогических целях отнестись к ним «доброжелательно» и не отвергать изначально, то они могут нести полезную информацию. В своеи второи книге «Математическое открытие» Д. Поиа, развивая свою концепцию математического мышления, утверждает, что его нельзя считать исключительно формальным. «Математическая формализация, как „шагреневая кожа", в большинстве случаев дает не то, что от нее ждут» (В. Босс1). Математическое мышление базируется не только на аксиомах, определениях и строгих доказательствах, как отличительного признака математики, но и включает в себя такие эвристические подходы, как аналогия, индукция, обобщение и многое другое. Вопрос еще состоит в том, какого уровня строгости следует придерживаться при проведении математических доказательств с использованием эвристических стратегии? Наверное, только математику доставляет профессиональное удовольствие прослеживать формальное обоснование всеи цепочки математических рассуждении. Третья превосходная книга Д. Поиа «Математика и правдоподобные рассуждения», доступная даже студентам младших курсов университетов, посвящена эвристике, основное назначение которои - выяснить роль правдоподобного рассуждения в математическом творчестве, т.е. в неи обсуждаются логические схемы построения правдоподобных умозаключении как первого шага к строгим логическим доказательствам.
Знание современных стилеи математического мышления тоже обладает эвристическои ценностью, поскольку прилагательное эвристическии методологически раскрывается как «служащии для открытия» в начале поиска математическои истины, т.е., по существу, эвристика - это метод открытия или процедура предварительного оценивания. «Традиционно под математическои эвристикои понимают совокупность эвристических средств, т.е. приемов, методов и процедур математики, применяющихся при доказательстве теорем и решении сложных нестандартных задач, для которых не существует стандартных отработанных алгоритмов» [3, с. 242]. Методологическая функция математическои эвристики направлена на решение проблемно-ориентированных задач как когнитивного средства развития мыслительных операции анализа и синтеза и различных ответов на правильно поставленные вопросы, где в контексте анализа основнои вопрос - что надо знать для ответа на вопрос, а с точки зрения синтеза - что можно понять из данных условии, помогающих решать нестандартные задачи. Поэтому надо научить задавать эвристические вопросы, вырабатываемые по ходу самостоятельного решения математических задач при овладении методологическим искусством анализа и синтеза. Заметим, что «поисковая эвристика» в авторскои разработке эффективного решения задач математического анализа, как мощного инструмента научного предсказания,
1 В. Босс - творческий псевдоним профессионального математика, доктора физико-математических наук, профессора В. И. Опойцева, автора 16 томов популярных книг «Лекции по математике», способствующих в афористичном обзорном стиле методологическому пониманию проблемного материала из разных разделов высшей математики.
не носит алгоритмически характер и поэтому не является стандартным подходом. Каждыи математик, занимающиися исследованиями, способен выработать в поисковои эвристике собственную стратегию, зависящую от тематики его научных исследовании, поскольку эвристические и научные методы не противоречат, а даже, по сути, дополняют друг друга.
Но как бы ни была эффективна индивидуальная эвристическая стратегия, генерирующая идеи, не согласующиеся с законами логики, в процессе решения проблемных математических задач вынуждена обращаться к интуиции. О методологическои связи интуитивного мышления и эвристических методов решения задач говорили многие известные педагоги, не анализируя при этом структуру эвристики в математике, в частности, интуиция в вероятности часто бывает ошибочнои. Поэтому однои из целеи философского анализа математического познания является исследование соотношения логического и интуитивного знания в контексте пе-дагогическои эвристики, способствующеи осознанию главных идеи математического анализа при выведении интуитивных рассуждении на уровень логическои аргументации. Формальная интуиция некоторых математических понятии порождает неприятные головоломки, хотя формализация определении здесь вовсе не виновата, т.к. впечатление ясности часто обманчиво, например, когда речь идет о строгом определении непрерывности функции в точке на языке «эпсилон - дельта». Методическии опыт показывает, что некоторые содержательно насыщенные понятия математического анализа имеют геометрическую интерпретацию и требуют для их понимания значительных усилии, поэтому правильные интуитивные представления при реализации этого процесса появляются после основательного анализа и рефлексии с помощью решения специально подобранных математических задач, а также нестандартных примеров или контрпримеров.
Важным видом деятельности студентов при обучении понимаемому математическому анализу является решение задач, способствующих формированию эвристического мышления. Как правило, стандартные задачи связаны с математическими утверждениями, которые их практически иллюстрируют. Но нестандартные задачи и утверждения с глубоким математическим содержанием раскрывают понимание такого эвристического приема, как доказательство эквивалентного утверждения или поиск эквивалентных своиств, которые в более общих условиях выявляют продуктивные понятия. Он используется при определенных затруднениях доказательства прямых математических утверждении, «поскольку прямое утверждение и утверждение, обратное противоположному, - равносильные утверждения» [4, с. 131]. К указанным эвристическим приемам исследования добавим операцию предельного перехода и рассмотрение предельных случаев, эффективное использование математическои индукции, переход к более общеи по постановке проблемнои математическои задачи, использование различных степенеи аналогии для достижения математическои точности, преобразование математическои информации с помощью введения вспомогательных переменных, вспомогательных функции и вспомогательных уравнении, решение математическои задачи с помощью переформулировки условии на более удобном языке. Эвристическии прием обобщения «идеализация» является однои из причин, благодаря которои математика реально работает, т.к. в идеализированнои математическои модели уже можно рассуждать логически. К эвристическим методам можно еще отнести и математическии эксперимент, поскольку эмпирические закономерности, где замечательным примером является дельта-функция, служат выявлению логическои основы для решения новых математических проблем.
В стандартных курсах математического анализа редко обсуждаются методологические вопросы поиска способов доказательства математическои теоремы и методы решения
нестандартных проблемно-эвристических задач, способствующих пониманию дифференциального и интегрального исчисления, как главного в математическом анализе. «Мир, оказывается стоит не на трех китах, а на дифференциальном исчислении» (В. Босс). Математическии анализ, сложный сам по себе в связи с доказательством теорем, является основным курсом не только для студентов механико-математических факультетов, но и для естественно-научных направлении образования, поскольку понимание разделов анализа необходимо для успешного продолжения обучения. Кроме того, очень трудно изучать новые темы математического анализа, если предыдущие были пропущены или не поняты. Курс математического анализа имеет сложную систему обозначении, поэтому поддержание стандарта логическои строгости потребовало критического пересмотра его определении, благодаря чему педагогическая эвристика позволяет изначально отвергать ошибочные математические гипотезы в контексте активизации познавательнои эвристическои деятельности. На примере развитых теории математического анализа, по сути, видно, что с помощью языка математики не только выражают мысли, но, что еще важнее, с его помощью создаются условия возникновения математическои мысли, начиная с утверждении, доступных пониманию.
Упрощая когнитивный смыл, можно сказать, что весь математическии анализ «базируется» на понятии предела. Эвристическая значимость предела и предельного перехода обусловлена тем, что его репрезентируют как важнеишии, или даже единственный, инструмент строгого обоснования математического анализа. Определение предела - это «математическая поэма», написанная в прозе на условном языке «£-^>. Не каждый человек поимет простое определение предела последовательности, записанное на формальном языке, с первого раза. «Легендарная „заумность" этого определения (наравне с £, б - определением непрерывности) широко известна. С виду формулировка очень проста, но у многих не укладывается в голове. Словно попадает в зону какого-то слепого пятна. Причем, если „не укладывается", то математиков говорят, лучше не заниматься. Как бы лакмусовая бумажка. Но это не так. Опыт показывает, что разным людям просто требуется разное время на освоение» [5, с. 20]. В символи-ческои записи определения предела числовои последовательности есть три фиксированные позиции, на которых определенным образом располагаются «квантор общности» V и «квантор существования» 3. Заметим, что таким образом, в символическои записи имеется 23 = 8 способов расположения этих кванторов, включая их правильное расположение из определения. Эвристическии подход к уяснению этого определения показывает, что оставшиеся 7 вариантов ошибочны. Методологическая ценность такого эвристического подхода обусловлена еще и тем, что с понятием предела в математическом анализе нельзя связать никакои алгоритм его нахождения.
Эвристические умения при изучении основ математического анализа формируются во время выполнения проблемно-ориентированнои эвристическои деятельности. Например, понятие предела последовательности или функции как эвристическии прием лежит в основе курса математического анализа, т.к. нахождение первои производнои, определенного интеграла и суммы бесконечного ряда базируются на понимании операции предельного перехода. Определенные трудности связаны еще и с необходимостью определять существование предела, а иногда и с отсутствием формульно-аналитического выражения предела. В контексте такого эвристического метода как аналогия, т.е. умозаключения на основании терминологического сходства двух исследуемых объектов, обратим внимание на эвристическую сущность повторных пределов в математическом анализе. Она чаще всего проявляется в завуалированном виде понятии производнои и интеграла, когда от предельных переходов, лежащих в истоках
новых понятии, на выходе ничего неявного не остается. Это касается изменения порядка следования повторных пределов, которое, по сути, упирается в равенство повторных пределов, и где аналогия не достигает уровня математическои точности. Например, понятие непрерывности функции двух переменных аналогично соответствующему понятию для функции однои переменнои, но в отличие от последнеи точек разрыва у нее может быть бесконечно много. Кроме того, из существования предела функции двух переменных в точке эвристически, вообще говоря, не следует существования повторных пределов в этои точке. Аналогично, из существования и равенства повторных пределов функции двух переменных в даннои точке, вообще говоря, не следует существования предела функции в этои точке.
Преподавателям математики постоянно приходится искать новые эвристические подходы к пояснению базовых понятии математического анализа, одним из которых является использование иллюстративных примеров и контрпримеров. Джордж Поиа считал, что «математика состоит из теорем и контрпримеров», поэтому эвристическое умение находить нужные контрпримеры для него не менее важно, чем умение доказывать теоремы. Согласно его определению, контрпример - это пример, удовлетворяющии условиям математического утверждения, но не удовлетворяющии его заключению. Во-первых, примеры и контрпримеры помогают формулировать и осмысливать абстрактную формулировку определении, а во-вторых, с их помощью можно проверять утверждение на их истинность. Поэтому эвристическая стратегия использования контрпримеров состоит в активизации понимания смысла вводимых понятии математического анализа и логики изложения материала. Но есть определенные трудности в эвристическои методике нахождения контрпримеров к неправильным утверждениям. «Построение контрпримеров к неверным утверждениям имеет преимущество перед построением примеров функции с заданными своиствами, поскольку при построении контрпримеров мы имеем дело с опровержением, обоснованием, аргументациеи, критическим мышлением, что составляет неотъемлемую часть математического способа мышления» [6, с. 86]. Заметим также, что если в математическои теории хорошо подобранный пример подтверждает некоторую гипотезу, то фактически он лишь доказывает ее справедливость в частном случае, тогда как любои контрпример ее сразу опровергает, избавляя от дальнеиших интуитивных ошибок при интеллектуальном восхождении по «лестнице математическои абстракции».
В качестве классических примеров функции из математического анализа, использующих такую довольно сложную эвристическую процедуру аргументации, как контрпример, которая чувствительна к ошибкам, можно указать функцию Дирихле, разрывную в каждои точке; функцию Веиерштрасса, непрерывную, но нигде не дифференцируемую; функцию Кантора, непрерывную монотонную, но с производнои, равнои нулю почти во всех точках. Эвристиче-скии прием построения контрпримеров особенно полезен при анализе существенности условии теоремы, когда строится математическии объект, обладающии всеми требуемыми своиствами, кроме одного, и показывается, что заключение теоремы для него неверно. Методологически эвристическая процедура, основанная на опровержении с помощью контрпримера, на что собственно и указывает приставка «контр», направлена на совершенствование когнитив-нои интерпретации математическои эвристики при соответствующих мотивировках. «Разумеется, контрпримеры - штука приятная. Но когда их слишком много, то это уже из оперы „хороша болезнь склероз" (ничего не болит, и каждый день новости)» (В. Босс). Поэтому нереалистично говорить о контрпримерах как главнои методологическои особенности математи-
ческого анализа, поскольку в исследовательскои практике, особенно на уровне университетского образования, при формировании эвристического мышления, требующего знания и понимания математических понятии, в основном приходится сталкиваться с интуитивно ожидаемыми результатами.
Специфика эвристическои методологии в образовательнои деятельности проявляется еще в том, что она практически «высоко инструментальна», позволяя транслировать интеллектуальные образцы эвристическои деятельности в математическом анализе на другие разделы высшеи математики, не концентрируя внимание на математическои строгости. Даже когда студенты начинают осваивать тонкости дифференциального и интегрального исчисления, составляющих основу математического анализа, их не учат математическому анализу на основе тех эвристических способов, с помощью которых его открывали Исаак Ньютон и Гот-фрид Леибниц, использовавшие интуитивные понятия «флюксии» и «бесконечно малые величины», которые в обосновательных целях были заменены на понятие предел. Отметим, что Ньютон открыл анализ, отталкиваясь от смысла физических потребностей не теряющих связь с реальностью, а Леибниц - отправляясь от алгебраического подхода, направленного на формализацию математики. Поэтому от них идет условное деление на анализ-геометрию (или физику), связанную с физическим смыслом исследовании, и анализ-алгебру, ограниченную рамками математических вычислении. «И заслугои Ньютона и Леибница было то, что они, не располагая строгими доказательствами, решились все же двигаться вперед, получая все новые и новые результаты. Фактически „создание анализа" состояло в алгебраизации рассуждении, т.е. в создании формальных правил, пользуясь которыми решение задач стало по силам даже людям, не понимающим их смысла (или не интересующимся этим смыслом)» [7, с. 40]. Возможно, эта преждевременная для изучения курса анализа «концентрация» математическои строгости и точности делает математическии анализ первоначально сложным предметом для изучения математически плохо подготовленными студентами.
При исследовании проблемных вопросов математического анализа может быть полезным такои эвристическии прием, как предельный переход и рассмотрение полученных предельных случаев, что, в свою очередь, может оказаться полезным для изучения математических утверждении, близких к предельным или краиним ситуациям. Когда предельные переходы в математическом анализе выводят за пределы пространства непрерывных функции, то это дает эвристическии импульс к изучению анализа в новом направлении с помощью понятия функционального пространства, что требует привлечения новых понятииных инструментов, например, интегрирования по Лебегу. Даже сама возможность интегрирования по Лебегу поднимает математическии анализ на более высокии уровень обобщения ее теории, позволяя строить логически строго обоснованные математические утверждения и стимулируя «спо-коиствие» и понимание. Эвристическая роль функциональных пространств методологически подобна обосновательнои роли введения деиствительных чисел в математическои анализ. Так, проблемы сходимости функциональных рядов удовлетворительно решаются в рамках функционального анализа, т.е. дисциплины, являющеися расширением математического анализа, способствуя «когнитивному оживлению» математики. Когда в функциональном анализе эвристически рассматривается пространство, в котором можно решить проблемную задачу, то тогда все «становится на свои места».
Заметим, что с помощью понятия «когнитивный», которым пронизано математическое мышление, часто акцентируется внимание на методологическои сложности эвристического
анализа исследуемых процедур, поскольку признание эвристических элементов в математических рассуждениях потребует переписывания многих учебников по математическому анализу. При выявлении в философии математического образования инструментально-познавательных механизмов, как правило, обсуждается когнитивные трудности основных математических формализмов, которые содержат знание методологических основ эвристическои деятельности, поскольку смысловые значения исходных понятииных терминов формально трудно воспринимаются, если они порождены математическои интуициеи. «К примеру, при решении эвристическои задачи студент должен преобразовать представленную информацию, а затем подобрать средства, удобные для ее решения, обратиться к различным языкам представления математическои информации» [8, с. 99]. При анализе эвристическои составляющеи проблемнои темы часто нужна помощь преподавателя, которыи ознакомит студентов с образцами решении нестандартных задач. Но теоретические понятия профессионально ориентиро-ваннои эвристическои деятельности в математическом анализе пока не получили методологического осмысления. Решение проблемнои эвристическои задачи основано не на умении деиствовать по заданному алгоритму, а на таких когнитивных качествах, как рефлексивный взгляд на математические понятия и объекты через анализ их своиств, которыи выявляет полезность такого эвристического приема, как обобщение, при исследовании открытых вопросов. В частности, необходимость рассмотрения математического понятия «отображение» как методологическои процедуры эвристического приема обобщения можно обосновать желанием охватить довольно большое число уравнении достаточно общеи природы, записываемых в операторном виде.
Понятие рационального в математическом исследовании перестало быть обусловленным только лишь дедуктивнои формои как методологическои установкои на итоговый набор математических результатов и инструментальных техник, а стало включать в себя эвристику, рассматриваемую в широком философско-методологическом контексте. Владению эвристическими приемами и методами исследования в области математического анализа способствует самообразовательная деятельность студентов, нацеленная на открытие и понимание такого нового для него математического знания, как способности к саморазвитию. Формированию когнитивнои компетенции способствуют эвристические задачи, предполагающие самостоятельный способ или метод их решении. Безусловно, стандартные задачи не только полезны, но и необходимы при изучении математического анализа, если они рассматриваются для понимания математических понятии и используются в «нужнои дозе». Математические задачи иногда легче разобрать в области абстрактных рассуждении. Напомним, что в абстрактности математических понятии заключены сила и универсальность математического анализа, которые одновременно создают специфические когнитивные трудности их усвоения. «Инстинкт не дает ходу скороспелым абстракциям. Иначе голова окажется полна обобщениями, которые цитрамоном не лечатся» (В. Босс). Но у абстрактного мышления в математическом анализе не так уж много таких «опорных точек», как вполне естественная аксиома выбора, выделяющаяся таким шокирующим следствием, как парадокс Банаха - Тарского. Несмотря на все сказанное, укажем на следующие когнитивные умения, формируемые при их решении задач и облегчающие поиск решения. Например, испытание на правдоподобие с помощью использования аналогии и синтеза различных приемов исследования с опорои на математическую практику, влияющую на мотивацию профессиональнои эвристическои деятельности, открывают в когнитивном мышлении методологические закономерности использования эвристических методов.
По поводу качества математического образования и трудностеи его реализации ученые и практики, высокая профессиональная компетентность которых не вызывает сомнения, высказывают настолько противоположные суждения, поэтому можно предположить, что эти причины имеют философско-методологическии характер. Эвристика Поиа была однои из предпосылок философско-методологическои концепции, в которои математическое мышление не сводится исключительно к дедуктивным рассуждениям в рациональных терминах «де-дуктивистского подхода». Эвристические методы не являются ни точными, ни оптимальными стратегиями, т.к. они интуитивны и поэтому строго не обоснованы, хотя общие и специальные эвристические приемы могут облегчить успешный поиск решения задач, даже если они противопоставляются логическим методам точных результатов. Например, пользуясь инструментальными средствами математического анализа, «из любви к математике» можно построить пример непрерывнои на промежутке функции, в которои точка нуль является точкои локального максимума, но ни в какои окрестности левее нуля она не является возрастающеи и не является убывающеи справа от нуля. Кроме того, если преподаватели математики снижают методологические требования к обоснованности математических утверждении, то тогда математические доказательства теряют свою методическую функцию. Глубина понимания математического утверждения появляется, когда оно раскрывается через определенную семантику, но тогда это уже относится к философии обоснования математики, приобретающеи некоторую таинственность и многозначность при методологическои обработке математического знания. Несмотря на успешное развитие и практическое применение математических теории, разработанность философского обоснования математического и функционального анализа оставляет желать лучшего.
Математическое познание начинается с интуиции, в которои отражается предыдущии опыт мышления, основанный на доказательствах. Интуиция без такого опыта может обмануть, т.к. учебник математического анализа без доказательств похож на «поваренную книгу». Иногда интуитивное мышление способно навести на правильное решение и без строгого доказательства, но изучение курса математического анализа невозможно без самостоятельного решения задач, поскольку в процессе когнитивного продумывания математического учебного материала и его понимания вырабатываются правильные интуитивные представления о сложных абстрактных понятиях математического анализа, когда на смену логическим схемам и логическим критериям приходят такие правдоподобные рассуждения, как незаменимый метод педагогическои эвристики, способствующии решению задач. На этом пути в философии науки есть свои когнитивные и методологические трудности. Так, хотя язык квантовои механики стал вполне приемлемым, позволяющим многое математически вычислять, у нее до сих пор нет правдоподобнои картины мира. Как писал Джордж Поиа: «Никто еще не предложил ясного и убедительного метода вычисления правдоподобностеи в нетривиальных случаях, и если мы ясно себе представим конкретные ситуации, в которых важна правильная оценка правдоподобностеи... то мы легко сможем понять, что любое приписывание правдоподобно-стям определенных числовых значении подвергается большеи опасности показаться глупым» [9, с. 368]. Правдоподобные рассуждения обладают особои эвристичностью, поскольку они направляют критическое мышление на сужение перебора вариантов, хотя нематематиков не учат отличать доказательства правдоподобных рассуждении.
В соответствии со сказанным к эвристическим подходам в математике относятся такие методы аргументации, которые основываются на не дедуктивных способах рассуждении,
используя определенные правдоподобные рассуждения для поиска истины. К категории правдоподобных выводов можно отнести индукцию, как процесс познания с помощью анализа и сопоставления частных случаев, начиная от самых простых и переходя к ситуациям посложнее для обнаружения решения проблемнои задачи в общеи постановке, и аналогию, основанную на сходстве характеристических признаков нескольких математических понятии, которои пронизано креативное математическое мышление. «Там, где речь идет о понятиях, разговор обычно короткии, глубин с ходу не видно - поэтому внимание переносится на результаты, где „что-то происходит"» (В. Босс). Например, формулам интегрирования суммы-разности функции можно наити определенные аналогии, хотя интеграл от произведения функции находить как произведение интегралов неверно. Эвристика, связанная с правдоподобными рассуждениями, выраженными в математических понятиях, способствует выбору таких методов исследования, с помощью которых проблемная задача будет решена методологически рационально. А те, кто ошибаются при решении нестандартнои задачи или в доказательстве нетривиального утверждения, не становятся от этого «иррациональными», поскольку ошибаться могут только рационально мыслящие личности.
В огромном потоке декларативных работ, посвященных проблемам высшего математического образования, редко встречаются работы, в которых конкретная проблема преподавания связывалась бы с прояснением когнитивнои природы математического знания, но если согласиться считать проблему как «осознанное противоречие», то тогда придется признать и ее эвристическую значимость. С помощью философско-рефлексивного анализа процесса обучения математическому анализу можно выявить определенную последовательность методических шагов, направленных на понимание математики, отражающуюся на качестве преподавания. Особая роль принадлежит «положительнои эвристике», стремящеися распространить теорию на более широкую сферу применения. Анализируя курс математического анализа, способы его обоснования и проблемные ситуации, можно выявить когнитивную специфику его методологического богатства. Когнитивныи компонент математическои деятельности, характеризую-щии степень сформированности познавательных умении, наряду с логическим мышлением содержит знание теоретических методов эвристического подхода. Невозможно сразу приобрести когнитивныи навык «научиться учиться» пониманию разделов математического анализа и его обобщении, если нет соответствующего адаптированного и хорошо продуманного методологического материала с примерами и контрпримерами для студентов с разным уровнем подготовки [10]. Заметим, что «умение учиться» - это еще и стремление к самообразованию. Обучение математическому анализу - это какая-то особая интеллектуально-познавательная деятельность, в которои нельзя забывать о том, что прежде чем размышлять «чему учить» и «как учить», надо сначала представить себе «кого учить».
Хорошим полигоном для когнитивных экспериментов при формировании критического мышления является обучение математическому анализу, поскольку с точки зрения развития рефлексивного опыта именно математика является образцом аргументированности, обоснованности и научнои строгости. Так, начинать первую лекцию по математическому анализу с аксиоматики деиствительных чисел, как основного объекта математического анализа, с помощью понятия «сечения» по Дедекинду в области рациональных чисел, может как раз привести к полному непониманию, т.к. в дальнеишем изложении курса объект «сечение», как правило, ни разу не упоминается. При изучении новои темы вполне естественным является «проход через ошибки непонимания», поскольку математические ошибки - это один из способов
рефлексивного способа обучения математическому анализу с использованием эвристических стратегии. Однако к «негативною» специфике эвристического подхода в математике можно отнести то, что она не гарантирует нахождения решения проблемнои задачи даже в том случае, если оно реально существует, приводя иногда к ошибочным выводам. Хотя «учебные ошибки» при изучении математики по-своему способствуют прогрессу и их полезно «пережить», т.к. нельзя научить, не допуская ошибок. Но когда в педагогических целях упрощенное доказательство теоремы не сдается «под ключ», то тогда остается уповать на когнитивные стратегии понимания. А если для некоторых студентов сказанное будет все же недостижимо, то тогда это станет неточным предположением из области «ложечки потом нашлись, но осадок остался».
Заключение
К эвристическои деятельности, следуя Джорджу Поиа, можно отнести как эвристическии опыт решения сложнои, комплекснои математическои задачи, так и специфические приемы эвристического поиска, стимулирующие поиск решения и содержательный анализ новых проблем, использованные в наиболее развитых математических теориях и сознательно перенесенные с одних задач на решение других. Мы рассмотрели несколько разных эвристических приемов, которые могут быть полезными при когнитивном обучении математическому анализу, которые, безусловно, не исчерпывают всех возможных эвристических приемов. Например, в математическом анализе можно указать на разные эвристические приемы решения задачи интегрирования однои и тои же элементарнои функции. В более сложном теоретическом контексте интегрировать «дельта-функцию», которая позволила эвристически обобщить точечное воздеиствие, т.е. сосредоточенное в однои точке, или функцию с локализованным на бесконечно малом интервале бесконечно большого значения и с интегралом, равным единице, переходя к задаче обоснования теории обобщенных функции в разделе функционального анализа. Кроме того, эвристическии потенциал математическои теории категории, изме-нившеи общепринятые философско-методологические представления об универсальности теории множеств, свидетельствует о том, что современная математика по-прежнему сохраняет высокии уровень абстракции.
Если бы не было дерзновенного человеческого творчества, вызвавшего к интеллектуаль-нои жизни математику, то не было бы и математического анализа, не было бы анализа вообще и не было бы ни однои точнои науки. Когда эвристическая активность творческои самостоятельности студентов стимулируется за счет проблемности и новизны математическои деятельности, то совет Поиа - «осмотритесь вокруг», с успехом применяемый в математическом анализе, тоже возбуждает интерес к математике. Следует добавить, что смысловои акцент у Поиа делается не только на методах решения задач, но и на методологии изучения формализованного доказательства утверждении математического анализа, в которых эвристические приемы и рассуждения рассматриваются, по сути, как вспомогательные, но содержащие эвристически ценную догадку. Формирование творческои личности осложняется недостаточнои разработанностью теории и методики эвристическои деятельности обучения математике, поскольку она представляет методологические принципы, а не правила с четкими условиями применения. Высокии уровень формирования эвристическои компетентности студентов предполагает интеграцию ее деятельностного, когнитивного и мотивационного компонентов. Уровень владения эвристическими методами математического анализа как системы
методических приемов, стимулирующих интуитивное мышление, характеризуется уровнем развития когнитивно-абстрактного мышления в рефлексивном контексте решения проблемно-ориентированных задач, т.е. во взаимодеиствии с математическим мышлением. Но чтобы личное математическое открытие состоялось, нужен еще обозримый «горизонт проблемных вопросов», раскрывающих возможные эвристические способы аргументации проблемных математических рассуждении.
Педагогическую эвристику в математическом образовании можно охарактеризовать как продуктивный прием, способный оказать влияние на формирование творческои деятельности студентов при изучении сложных разделов математики. Все это важно для дальнеишеи успешнои работы, поскольку творческие подходы, включающие эвристические элементы, входят в стиль математического рассуждения. Определения, аксиомы и теоремы, не являясь эвристиками, неявно становятся ими при решении проблемных задач с когнитивными функциями, помогая избежать ошибочных решении. Поэтому эмоциональное отторжение математического анализа, например студентами-нематематиками, вполне преодолимо, но для этого надо еще знать определения с поясняющими примерами и контрпримерами. Нельзя забывать также о том, что рассмотренные выше эвристические способы математического рассуждения - это не методы строгого логического доказательства, претендующего на обоснованность каждого шага математического утверждения, а приемы рационального поиска. У эвристического метода математического познания есть еще один важный методическии недостаток -зависимость от уровня обученности и сформированных ранее когнитивно-познавательных умении студентов. В заключение отметим, что основным побудительным мотивом критиче-скои рефлексии является сомнение, но, как считал Анри Пуанкаре, «недостаточно еще во всем сомневаться, нужно знать, почему возникает сомнение».
Статья публикуется при финансовой поддержке издательства «Социально-гуманитарное знание» (решение №210553).
Литература
1. Князев Н. А. Актуальные вопросы методологических исследований в области философии образования // Философия образования. 2012. №1. С. 44-53.
2. Пойа Д. Как решать задачу // Квантор. 1990.
3. Султанова Л. Б. Интуиция и эвристика в математике // Российский гуманитарный журнал. 2013. Т. 2. №3. С. 237-251.
4. Калинин С. И. Эвристики в содержании обучения студентов математических специальностей дифференциальному и интегральному исчислению // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2008. №2-1. С. 126-134.
5. Босс В. Лекции по математике: анализ (Краткое и ясное изложение предмета). М.: Едиториал УРСС, 2004.
6. Климчук С. Контрпримеры в курсе математического анализа // Иванов О., Климчук С. Математический анализ для первокурсников. М.: МЦНМО. 2013. С. 81-136.
7. Пантаев М. Ю. Матанализ с человеческим лицом, или как выжить после предельного перехода: Полный курс математического анализа. М.: ЛЕНАРД, 2016. Т. 1.
8. Липатникова И. Г., Паршина Т. Ю. Эвристическая математическая задача как средство формирования когнитивной компетентности // Фундаментальные исследования. 2012. №9-1. С. 98-102.
9. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.
10. Еровенко В. А. Когнитивная технология «научить учиться» студентов, изучающих высшую математику // Aima mater (Вестник высшей школы). 2020. №1. С. 60-65.
Поступила в редакцию 12.01.2021 г.
После доработки - 17.02.2021 г.
DOI: 10.15643/libartrus-2021.1.2
Methodological orientation of heuristic strategies in cognitive understanding of mathematical analysis
© V. A. Erovenko
Belarusian State University 4 Nezavisimosti Avenue, 220030 Minsk, Belarus.
Email: [email protected]
Philosophical reflection of heuristic techniques and cognition methods reveals the essence of mathematical concepts, designing methods of mathematical objects and enriches ideas about the mathematical world picture. It deepens the subject of his own philosophical and methodological research in the philosophy of mathematical education. Although heuristic ideas have long been used in philosophical studies, the heuristic activity in mathematics is the process of setting a new problem and finding its solution. The article is devoted to philosophical and methodological analysis of mathematic heuristic strategies in the context of cognitive understanding of mathematic philosophy problems and reflexive analysis of problem-oriented topics of mathematical analysis. Heuristic approaches to higher mathematics differ from the methodological techniques of the algorithmic type, focused on formal logical analysis. Heuristic techniques direct thought to a meaningful analysis of mathematical problems, it stimulates intuitive thinking in solving new problems. The article draws particular attention to the problem of the mathematical knowledge substantiating when interpreting mathematical analysis as the most complex part of higher mathematics and in connection with the expansion of the field of its applications. The reflection of heuristic methods in the study of sections and directions of mathematical analysis has methodological significance. It is a search for a new approach to the formalization of cognitive research creative activities. This approach becomes a necessary component of the modern system of university mathematical education at various professionally necessary severity levels.
Keywords: philosophy of mathematics, methodology of mathematics, mathematical analysis, heuristic strategies in mathematics, cognitive difficulties of understanding.
Acknowledgements. The article is published under the financial support of "Sotsial'no-Gumanitarnoe Znanie" Publishing House (Decision No.210553).
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.
Please, cite the article: Erovenko V. A. Methodological orientation of heuristic strategies in cognitive understanding of mathematical analysis / / Liberal Arts in Russia. 2021. Vol. 10. No. 1. Pp. 18-31.
References
1. Knyazev N. A. Filosofiya obrazovaniya. 2012. No. 1. Pp. 44-53.
2. Polya G. Kvantor. 1990.
3. Sultanova L. B. Liberal Arts in Russia. 2013. Vol. 2. No. 3. Pp. 237-251.
4. Kalinin S. I. Vestnik Vyat-skogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universiteta. 2008. No. 2-1. Pp. 126-134.
5. Boss V. Lektsii po matematike: analiz (Kratkoe iyasnoe izlozhenie predmeta) [Lectures in mathematics: analysis (concise and clear presentation of the subject)]. Moscow: Editorial URSS, 2004.
6. Klimchuk S. Ivanov O. Matematicheskii analiz dlya pervokursnikov. Moscow: MTsNMO. 2013. Pp. 81-136.
7. Pantaev M. Yu. Matanaliz s chelovecheskim litsom, ili kak vyzhit' posle predel'nogo perekhoda: Polnyi kurs ma-tematicheskogo analiza [Calculus with a human face, or How to survive after the passage to the limit: a complete course in mathematical analysis]. Moscow: LENARD, 2016. Vol. 1.
8. Lipatnikova I. G., Parshina T. Yu. Fundamental'nye issledovaniya. 2012. No. 9-1. Pp. 98-102.
9. Polya G. Matematika i pravdopodobnye rassuzhdeniya [Mathematics and plausible reasoning]. Moscow: Nauka, 1975.
10. Erovenko V. A. Alma mater (Vestnik vysshei shkoly). 2020. No. 1. Pp. 60-65.
Received 12.01.2021.
Revised 17.02.2021.
