CC BY
8
5. Волкова С. Ю. Введение нормальных связностей на S-распре-делении // Там же. Вып. 36. 2005. С. 18—25.
6. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). 1996. № 6. С. 9—14.
S. Volkova
PLANE FIELDS PARALLEL IN NORMAL CONNECTIONS OF S-DISTRIBUTION
Analytical and geometrical signs of fields of plane parallel in normal connections of S-distributions are found out.
УДК 514.75
С. Ю. Волкова, Ю. И. Попов
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
ПОЛЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ОХВАЧЕННЫХ ОБЪЕКТОВ КООСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Приведено задание нормально Б-кооснащенной гиперполосы "Нт в репере 1-го порядка R1 и доказана теорема существования гиперполосы "Нт. Построены поля плоскостей Нордена — Тимофеева [4] и поля геометрических объектов в дифференциальных окрестностях 2-го и 3-го порядков гиперполосы "Нт.
Ключевые слова: регулярная гиперполоса, форма, многообразие, нормаль, геометрический объект, квазитензор, тензор, дифференциальное уравнение.
В данной статье используется следующая схема индексов:
i,j,k = 1,m ; I,J,K = 0,n ; a,p,y = m + 1,n -1 ; 5 = m - r ;
â,p,y = m + 1,n ; p,q,r,s,t = 1,s ; a,b,c,d,e,f = s + 1,m .
§ 1. Задание нормально 8-кооснащенной регулярной гиперполосы !^Нт в репере первого порядка
Рассмотрим регулярную гиперполосу Нт [1; 2], которая оснащена полем плоскостей Nп_г так, что в каждой точке
А е Ут выполняются соотношения
Хп_т(А) с Нп_г(А), ЛДАо) = Гт(А0) п Мп_г(А). (1.1)
Определение. Регулярную гиперполосу Нт, оснащенную полем плоскостей Ып-Г, удовлетворяющих условиям (1.1), назовем нормально s-кооснащенной регулярной гиперполосой и обозначим символом !1Нт.
Присоединим к гиперполосе *Нт точечный репер {А у } следующим образом: А0 = А е Ут , точки {А а } поместим в касательную плоскость Тт( А о) базисной поверхности Ут, точки {А } — в оснащающую плоскость Л^(А0); точки {А а } — в характеристику Хп_т_1(А0) гиперполосы Нт, точку А п выбираем произвольно, но так, чтобы она с остальными точками образовывала репер {А у }. Выбранный таким образом репер {А у } является репером 1-го порядка. В этом репере базисная поверхность Ут гиперполосы *Нт задается уравнениями
О = 0, 0)0 = 0. (1.2)
Так как {А а }с Хп_т_1^), то согласно [2]
<=0. (13)
Примем формы о 0 = { со р, о ^ } за базисные формы гиперполосы *Нт и запишем разложение остальных главных форм по этим базисным:
24
К = + a> 0, К = 0+ anaqa q,
К = °arq< + a> 0, К = a> 0+ a> I (1.4)
соар=ларк1+ларьоь0, к=кк1+л1ък0,к=кк1+кък0, где
a"[pq]= 0, a"[a0] = 0, a fpq]= 0, a ^ 0; (1.5)
K[pa1]q= 0, KioanC]d= 0; (1.6)
Va[pi+ a[pi К= aP К0, Va[ai+ a"m К0= a% К0, (1.7)
Va f+ a « с00 + a"ai с[= a [ cj, (1.8)
a [ К+ a"pi c[= a [ cj, (1.9)
Vrpi+Tpi c0+ a[pi К -S°c0p =Гр1] cj, (1.10)
vr.+ r. К0 -8V К = Ap.. aj, (1.11)
mm 0 i p mj 0' v '
VAa.+ Aa. a0-5аК = Г.. К . (1.12)
mm 0 i p mj 0 V /
Таким образом, имеет место
Теорема 1. В репере 1-го порядка Rx гиперполоса *Нт с
Р задается уравнениями (1.2 — 1.4, 1.7 — 1.12), причем функции удовлетворяют соотношениям (1.5), (1.6).
Для тензоров arp^ и a[o введем соответственно обратные
им тензоры apq и a[° :
a[pqat =3^ , Vat -aU<+<) - 0 , (1.13)
a[oa0[C =Sea, Vab[C ^(К +К[) - 0 .
§ 2. Теорема существования гиперполосы sH,
m
Теорема 2. Нормально s-кооснащенная регулярная гиперполоса *Нт а Рп существует и определяется с произволом 2(п-т-1) + rs + 1 функций т аргументов.
Доказательство. Систему уравнений (1.4) представим в виде:
п п j a a j i л i j a л a j л \
®,= aP aJo> = ao ®o> аа=Ла] со]0, co°. (2.1)
Чистое замыкание системы (2.1) имеет вид:
Aano = 0, Aaa = 0,ЛГа] = 0,AAapj = 0. (2.2)
Введем обозначения A = rs, B = 1 + 2(n - m -1). Следуя работе [3], найдем характеры системы (2.2):
s1 = A + mB, s2 = A + (m - 1)B, s3 = A + (m - 2)B,..., sml = A + 2B, sm = A + B. (2.3)
m-1 ' m
Учитывая (2.3), подсчитаем число Картана Q системы уравнений (2.2):
Q = si + 2s2 + 3s3 +... + (m- 1)sm-i + msm =
= A(1 + 2 + 3 +... + m) + B(1- m + 2(m-1) + 3(m-2) +... + (m -1) • 2+m -1) =
_ m • (m +1) a + m • (m +1) • (m + 2) b 2 6 . Разрешим систему (2.2) по лемме Картана
ЛаП = a^k0, Aaa = aajkak0, AVaj =^1 AAapj = Гр]к®к0, (2.4)
и найдем число N линейно независимых функций, стоящих в
правых частях системы (2.4):
m • (m +1) . m • (m +1) • (m + 2 ) N_ —1--A +-!-—--B .
2 6
Итак, Q = N , то есть данная система (2.1) находится в инволюции. Следовательно, в пространстве Рп гиперполоса *Нп существует с произволом [2(n-m- 1)+rs+1] функций от m аргументов.
§ 3. Поле плоскостей Нордена — Тимофеева гиперполосы 8НЖ
1. Поле нормалей 1-го рода Ып_т и поле плоскостей Л^ определяют на базисной поверхности V гиперполосы *Нт поле
(п-г)-плоскостей N - = [N - , Л ] (поле N-плоскостей).
п r п m s
Относительно локального репера Я1(А) уравнения, определяющие плоскость N(^0) поля А-плоскостей, имеют вид:
ха = 0 . (3.1)
При смещении точки А0 вдоль произвольной кривой
0)« = 0, а'в = ргв, йв = в^в1, (3.2)
лежащей на базисной поверхности Vm гиперполосы Нт, координаты точек фокального многообразия А-плоскости удовлетворяют уравнениям
(5агх0 + Яар1хр +К* "+ ">п )Р= 0, ха = 0 (р« = 0). (3.3)
р
Пусть квазитензор { V" } задает произвольную инвариантную ТЛ-нормаль 1-го рода vr ^-плоскость). При смещении точки А0 вдоль кривых
< = 0, pp-vPpa = 0,
(3.4)
принадлежащих полю v-плоскостей, система уравнений (3.3) примет вид:
xa = 0( pa = 0),
< [Sx° +( +W) +( +rnvqb )xp + (3.4) + (( + </! )xn] pb = 0. Так как не все pb равны нулю, то из (3.4) следует:
xa = 0,
det\\ S^x0 + ( + Aaapvp )xa +(Гръ +rpqvqb )xp + (3.5)
+ (( + aanpvp ) || = 0.
Уравнения (3.5) в общем случае определяют алгебраическое многообразие размерности (n r 1) порядка r, которое обозначим On-r^(N, v). Это многообразие лежит в N-плоскости.
Соответствующая Л-плоскость пересекает многообразие Фп_г_[(№, V) по алгебраическому многообразию Ф^_1(Л, V) порядка г и размерности (_1):
\ха = 0,ха = 0,
Ш\8аъх° + (л;ь+л;^ь )) = о. (36)
Линейная поляра точки А0 относительно многообразия (3.6) есть плоскость Е8^(А0) с Л5(А0), которая задается уравнениями:
ха = 0, ха = 0, х0 _ е°хр = 0,
где
= _-(Л" + vqЛa ) , + ю° =£°.аг.
р ' ра а рд / ' Р Р рг °
(3.7)
(3.8)
Таким образом, поле квазитензора определяемое урав-
нениями (3.8), задает поле ТЛ-виртуальных нормалей 2-го рода, соответствующих полю ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода vг } в проективитете Бомпьяни — Пантази (3.8).
2. С другой стороны, поле внутренних инвариантных нормалей 1-го рода Ып-т и поле v-плоскостей порождают на базисной поверхности Ут гиперполосы поле внутренних инвариантных (n_s) плоскостей (поле О-плоскостей), где ап_/А) = [^п_т(А0)^г(А0)]. Конечные уравнения плоскости Пп_/А0) (нормаль 1-го рода соответствующей Л-плоскости) имеют вид: хр _ v"pxa = 0.
Аналогично (п. 1) находим, что система уравнений
йе1
81х° +(ЛЛ _vРpVtaЛЛ)ха + ( _vbpvtaЛЛ)
+ ( _ <Ур )хп\|= 0
(3.9)
определяет фокальное многообразие ^п_х-1(0,Л), соответствующее смещениям точки Ао по кривым, принадлежащим
полю Л-плоскостей. В общем случае это алгебраическое многообразие размерности (п -5-1) порядка 5.
Многообразие ^п_5_1(О,Л) лежит в О-плоскости и пересекается с соответствующей v-плоскостью по алгебраическому многообразию Л) порядка 5 и размерности г-1:
хр = vpxа, ха = 0,
8рх° + (Лр-vPvt ЛЬ )ха = 0. (3Л0)
д 4 ад Ь а 1д '
Таким образом, в каждой v-плоскости некоторого пучка ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода, определяемой квазитензором {vP }, уравнения (3.10) задают фокальное многообразие ^г_1^,Л), соответствующее смещениям точки А0 по кривым,
принадлежащим полю Л-плоскостей. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия Л) есть (г- 1)-плоскость
р с ^(Аф), которая задается конечными уравнениями:
ха = 0, хр - vPxа = 0, х° - р°ха = 0, (3.11)
где
р° = -l(Лp-vPvtЛlP). (3.12)
~ а г ар Ь а (р' у '
Плоскость фт_1( А0 ), натянутая на линейные поляры точки А0 относительно фокальных многообразий Ф^Л^) (3.6) и ^г_1^,Л) (3.10), имеет вид:
у° -ф°уг = 0, у" = 0, (3.13)
где
ф° =р° -e°vp, ф° =е°.
Г а р а' * р р
Теорема 3. Поле ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода
vг{vp} индуцирует поле плоскостей Нордена — Тимофеева
(3.13) — поле нормалей 2-го рода регулярной гиперполосы Нт. Порядок дифференциальной окрестности, в которой внутренним образом определено поле Нордена — Тимофеева [4], на единицу выше порядка дифференциальной окрестности
квазитензора {уР}.
3. Нормаль 1-го рода Ып-т пересекает многообразие Фп-г-1(Л?, у) (3.5) по алгебраическому многообразию Фп-т-1(Ы, у) размерности (п-т-1) порядка г:
\хг = 0,
(3.14)
о а ° ,( п а , па Р\ а . { р\п|| п
5"х + \ЛаЬ+ЛарУр )х +{РЛ + РррУр )х ||= 0,
а многообразие ^п-5-1(О, Л) (3.9) по алгебраическому многообразию ^п-5-1(К, Л) размерности (п-5-1) порядка 5:
8рх° + \ЛР - Ла, ур \ха + \ ар - рр ур \ хп 11= 0. (3Л5)
х1 = 0.
' ад " ад' а Г ' I " щ " щ' а
Уравнения линейных поляр точки А0 относительно многообразий (3.14), (3.15) представим соответственно в виде:
х = 0, хо -еаха = 0; х = 0, хо - раха = 0. (3.16)
Уравнения (3.16) задают соответственно (п-т-1)-мерные плоскости Еп-т-1( А0 ) и рп-т-1( А0 ), принадлежащие нормали 1-го рода Кп-т( А0 ) гиперполосы 5Нт и не проходящие через точку А0 , то
есть они являются оснащающими плоскостями Картана гиперполосы Нт. В общем случае плоскости Еп-т-1( А0 ) и рп-т-1( А0 ) (3.16)
различны и поэтому образуют пучок плоскостей Картана гиперполосы *Нт, осью которого является плоскость Еп-т-2 (А0 ):
X = 0, хо-8°°ха = 0, хо-р°&ха = 0. (3.17) Отсюда следует
Теорема 4. Каждая ТЛ-виртуальная нормаль 1-го рода уг{уа} порождает в нормали 1-го рода Ып-т(Ао) гиперполосы
Нт пучок плоскостей Картана, осью которого является плоскость Еп-т-2 (А0) (3.17).
5
§ 5. Построение геометрических объектов гиперполосы 5ИЖ в окрестностях 2-го и 3-го порядков
В этом параграфе построим поля геометрических объектов гиперполосы *Нт во второй и третьей дифференциальных окрестностях образующего элемента гиперполосы.
Следуя работе [2], в окрестности 2-го порядка элемента (Ао ,тп) гиперполосы *Нт введем симметрические тензоры
с ^ с ааЪ и с ^ с м, аполярные тенз°рам а^ аПЬ и ^ аГ :
аЪ=лаЪ-Л° ааЪ , с РЧ=ЛРЧ-Л°аРЧ , (4.1)
а а а п ' а а а п '
са, - Лаа\ , са = X1 - Лаап , (4.2)
аЪ аЪ п аЪ ' рд рд п рд , у '
где
УсаЪ - саЪюп = 0, Усрд - срдоп = 0,
а а п ' а а п '
Уса, + са,с)0 = 0, Уса + са = 0.
аЪ аЪ ° ' рд рд °
(4.3)
С помощью тензоров а^, ард (1.13), апаЬ, апрд (1.7), саЪ, срд (4.1), с"ь, срд (4.2) строим тензоры 2-го порядка:
Кс = с >1, К = с?аяф, на = с алаь:, Нр = с^а*; (4.4) К = НаасН^, Н' = Н раН ;, Иар = И1И1, Нар = ИрлНр, (4.5)
31
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям:
ун о,+н аж° - 0, ун а,+н а к - 0,
Ж' - На>: - 0, УНр-Нрк"- 0;
(г. Л"
(4.6)
УК - К « -К) - 0, уна - н р - к) - 0,
Укар+ 2Нак00 - 0,
УНар+ 2Нак0° - 0.
(4.7)
Свертывая тензоры кР и Н р (4.5) по а и р, получим относительные инварианты 2-го порядка (основные инварианты 2-го порядка):
Н„ = но
Н° = но..
<н° -н°(к;-к°)-0,
<н° -н°(к;-к)-0.
(4.8)
Будем считать, что тензоры НР и Нр, Н Р и Нр (4.7) невырожденные и Н°Ф0, Н°Ф0. Тогда для тензоров НР и Н Р можно построить обратные им тензоры иР и Н Р:
....... =зр, НрН у = Н уНр = 8р,
у а а у а' у а а у а ' (4 9)
Укр + кркп - К) - 0, уНр + Нркп - К) - 0.
а а у п ' а ау п
Теперь, учитывая (4.6, 4.7, 4.9) во второй дифференциальной окрестности элемента гиперполосы *Нт, можно построить
симметрические тензоры 2-го порядка Ьр и Ьр :
Ьр=-1 (НуНур + куука), УЬр + ЬрК +К)-0
2 1
(4.10)
ЬрР=~-(НуНур + Н 7ВН уа ), УЬр + Ь арК°° +К" ) - 0.
Ь° = ^
Ь
ар
и Ь° = det
Ь
ар
относительные инвариан-
ты гиперполосы "Нт: 32
й 1пЬ - 2са + (п - т - 1)(®° + о") = 0, /<111Ч
° а у /у ° п' ' (4 11)
й 1п Ь - 2С + (п - т - 1)(®° + С) = 0.
° а у 'у ° п'
Для тензоров 2-го порядка Ь» и Ь» (4.10) (в общем случае они невырожденные) можно ввести в рассмотрение обратные им тензоры 2-го порядка
ЬРУ
и Ь
Ь»Ь»=5'а, УЬ»-Ь»(с° + <) ш 0,
Ь»Ь»=51, УЬ»-Ь+ <) ш 0. Введем в рассмотрение системы величин [5; 6]:
На = -(ЬаЛ + Л° ), УН а + На< - Ь» С» + С°а ш 0,
^ а» п а / ' а а ° а» п
На = -(Ь»К + К), УН а + НС - + С ш 0.
Из уравнений (4.10), (4.12) следует, что величины { Ь », Н },
(4.12)
' а»'На
{ Ь», Н а } образуют геометрические объекты 2-го порядка —
квазитензоры 2-го порядка гиперполосы 5Нт.
Аналогичное строение имеют квазитензоры 2-го порядка Н а и На:
На = -(Ьа»Лр +Лап), УН а + Наю"п - ЬаС°р +< ш 0, На =-(Ьа»л°р + Кап), УН а + Наа"п -Ь+С ш 0,
причем
Н а = Ь»Н », На = Ь» Н », Н а = Ьа» Ь », На = Ьа»Н ».
Построим поле симметричного дважды ковариантного тензора В. [2]:
В.. = аим,аткОп Б"., , УБ.. + 2Б..а° ш 0. (4.13)
г. п п гит .м>к' г. г. ° х '
В..
тензора В. (4.13) назовем дополни-
Дискриминант В° =
тельным дискриминантом 2-го порядка гиперполосы 5Нт (В° Ф 0).
(4.17)
Рассмотрим обратный тензор для тензора В..:
у
В .В* = 5), УВг - 2 В . К - 0. (4.14) Построим также величины 7 и ¿и{ [2; 4]:
п. = а"™ а"1'' О", са Л° , и = О" с т"Ла, (4.15)
II п п ™кг "т а 'Г1 г т" а п' V '
дифференциальные уравнения которых имеют вид:
х~7 , /") о п \ тк г\п а ° г\
Уп + п(2а -а )-а а О ,.с а - 0,
/г /п о п' п п ™к ит а ' / л л г\
(4.16)
Уи + и(2К -а")-Оп с тиК - 0.
г^г Г^г \ о п/ гти а п
При помощи ранее построенных величин 2-го и 3-го порядка построим новые величины 3-го порядка Т° и J°, Т° и J°:
Т = Т-л; к а, J° = J-КНа, Та = т-Л°°ка, 3° = J-КНа,
дифференциальные уравнения которых имеют вид:
<Т° - Т°( а" -а° ) - 2( 1аЮ"1 + На а" -а") - 0, dJ° - J°( а" -а° ) - 2( 1рЮ " + Н аК " -а") - 0, <Т° - Т°( а " -а°) + 2(1 аа°а - Н а а°а-а") - 0, dJ° - J°( а " -а°° ) + 2(ГРа°р - Н а а°а-а°п) - 0.
Наконец, учитывая (4.14 — 4.17), с,[2], последовательно находим тензоры 3-го порядка:
Т =п- и, УТг + Т г( 2а°о -а") - 0, Жг= ВгТ, УЖг- Жгап - 0,
I =1с, У1 + Г. к - 0, Т г= а" Т., УТг-Т гаП - 0.
г 2 г г о " . "
Список литературы
1. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 8. М., 1950. С. 197—272.
2. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Ч. 1. Калининград, 1980.
4. Норден А. П., Тимофеев Г. Н. Инвариантные признаки специальных композиций многомерных пространств // Изв. вузов. Математика. 1972. № 8. С. 81—89.
5. Столяров А. В. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 9. Калининград, 1978. С. 93—101.
6. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.
S. Volkova, Yu. Popov
FIELDS OF FUNDAMENTAL AND EQUIPPED OBJECTS OF COEQUIPPED HYPERSTRIP OF PROJECTIVE SPACE
The giving normally s-coequipped hyperstrip 6'Нт in a frame of 1st order Ri is given and the existence theorem of hyperstrip 6'Нт is proved. The fields of Norden — Timofeev's planes [4] and fields of geometrical objects in differential neighborhoods of 2nd and 3rd order of hyperstrip 6'Нт are constructed.
УДК 514.75
Н. В. Виноградова, М. В. Кретов
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
КОМПЛЕКСЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПАРАБОЛОИДОВ
В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются комплексы (трехпараметрические семейства) эллиптических параболоидов. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства исследуемых многообразий.
Ключевые слова: эллиптический параболоид, аффинное пространство, комплекс, многообразие, репер,
