Получение уравнений траектории движущейся точки по функциям тангенциального и нормального ускорения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514 + 531

А. И. Долгарев

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ТОЧКИ ПО ФУНКЦИЯМ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО И НОРМАЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ

Аннотация. Описано получение уравнений траектории движения точки по касательному и нормальному ускорению. Использованы методы 3-мерной геометрии Галилея.

Ключевые слова: методы геометрии Галилея, тангенциальное и нормальное ускорение.

Abstract. Are described obtaining a equations of trajectory motion point by tangential and normal acceleration. Are use methods of geometry 3D Galilean space-time. Keyword: methods of Galilean geometry; tangential and normal acceleration.

Движение материальной точки считается заданным, если известен способ определения положения точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета, т.е. известен закон кинетического движения [1, с. 115]. Рассматриваем движение точки с двумя степенями свободы - движение в плоскости. Считаем, что в плоскости задана система отсчета Oxy

репером B = (O, i, j), точка O - начало отсчета; i, j - единичные взаимно перпендикулярные векторы, координатные оси таковы: Ox =< O,i >,

Oy =< O, j > ; каждая ось задается началом отсчета и базисным вектором. Положение материальной точки M в системе отсчета Oxy определяется ее координатами x и y : M = (x, y); имеется разложение вектора OM по векторам базиса Б = (i, j):

Б - базис векторного пространства плоскости.

Если точка М движется, т.е. изменяется ее положение во времени, то координаты точки являются функциями времени

время ґ изменяется в некотором интервале I =[^о, ], принадлежащем оси времени Я, которая совпадает с множеством действительных чисел.

Вектор г (ґ) определяет положение точки М (Ґ) = (х(ґ), у(ґ)) на плоскости Оху . Координаты вектора г (ґ) в базисе Б совпадают с координатами точки М (ґ) в репере В:

OM = xi + yj ;

x = x(t), y = y(t);

(1)

r (t) = (x(t),y(t)), t є I;

в разложении по базису Б.

r (t)= x(t)i + y(t) j .

Функции (1) задают кинематический закон движения точки, являются параметрическими уравнениями движения точки M в декартовых прямоугольных координатах [1, с. 116]; величина t называется параметром точки M(^; всякое значение t из интервала I однозначно определяет положение

точки M^). Линия (2) на плоскости < O, i, у >, заданная уравнениями (1), называется траекторий движения точки M ; (2) есть векторное задание траектории движения и (1) называются уравнениями траектории точки M . Это координатное задание движения точки.

Рассматривая момент времени t и положение точки M(^ в этот момент времени, мы имеем упорядоченную тройку величин

^, x(t), уЦ));

а в каждый фиксированный момент времени t = to имеем тройку чисел (^, x(to),y(to)) . Всевозможные тройки чисел ^,x,у) заполняют 3-мерное пространство. Смысл первой компоненты t троек есть время; вторая и третья компоненты троек имеют пространственный смысл. Имеется 3-мерное пространство-время с 1-мерным временем. Такое пространство-время с 1-мерной осью времени Я, пространственной составляющей которого является евклидова

плоскость Е2, называется пространством-временем Галилея и обозначается Г3; оно является прямой суммой оси времени Я и евклидовой плоскости Е2 :

Г3 = Я + Е2.

В описании пространства-времени Галилея используется [2].

Точки ^, x, у) пространства Галилея Г3 называются еще событиями. Двигаясь во времени, точка ^, x, у) заполняет некоторую линию, она называется мировой линией события (^x,у). Если известно положение (x(t),у^)) точки в каждый момент времени t, то тем самым определяется галилеева векторная функция

) = ^,х( ),у( )), (3)

это векторное задание мировой линии движущейся точки M = (x, у).

2

Проекция мировой линии у(0 на евклидову плоскость Е , т.е. на плоскость Oxy, является траекторией (2) движения точки M и дает закон движения точки по траектории.

Единичный вектор направления времени обозначаем е . В пространстве-

3 ^ 7

времени Галилея Г имеем репер В =(9,6,, у). Пусть P = P(t) - произвольная точка мировой линии ), ее координаты в репере В:

РЦ) = (,х(),y(t)) .

Имеется однозначное разложение вектора у ^) = ОР по базису

Б =(е ,7, 7):

) = te + х^)/' + y(t)у = te + г ^).

Слагаемое te является временной составляющей мировой линии движения материальной точки M(х,у), сумма Г^) = х(у)/' + у(t)у является пространственной составляющей мировой линии движения точки; таким образом, траектория движущейся точки есть пространственная составляющая мировой линии движения точки. Вместе с тем получается закон движения точки, так как параметром траектории точки является время.

Производная у(t) галилеевой векторной функции у^) по времени такова:

х = у(t) = е + Г ^) = е + (х(), у()) = (1, х(), у()),

это галилеев вектор единичной длины (см. ниже п. 1.1), его модуль постоянен и не зависит от времени, т.е. время вдоль кривой течет равномерно. Евклидов вектор

• Шг

Г ^ ) = (х (О, у (0)=—= V ^ ) = V (4)

ш

есть вектор скорости движения точки по ее траектории, величина скорости равна

^х2 + у2 . (5)

V =VII =\ -X + у

Имеется зависимость между вектором касательной к мировой линии движения точки и вектором касательной к траектории движения точки:

х = е + V.

Вектор ускорения движения равен производной по времени вектора скорости:

7 7. . ^ Ш 2 Г Ц. . .... . ... .. 17

а = а^) = —=—^ = г ^) = (х(), у()) = г , (6)

Ш Л2

это евклидов вектор. Величина ускорения равна

а =|• = |И| = 4X2 + у2 . (7)

Траектория Г ^) движущейся точки лежит в евклидовой плоскости Е2

3

пространства Галилея Г . В этой же плоскости лежит единичный вектор нормали п траектории движения. Вектор ускорения а(^ однозначно разлагается по взаимно перпендикулярным единичным векторам 1 и п, где

• V Г

t = Ц^| = ЦП _ еДиничныи вектор касательной к траектории:

а^) = а{ ^) 7 + ап ^) п , (8)

величина а{ (t) называется касательным (тангенциальным) ускорением точки, величина ап ^) называется нормальным ускорением точки. Из механики известно:

аг (і) = ’ ап (*) = кЄу2’ (9)

Ш

см., например, [1, с. 130-131]; ке - кривизна евклидовой кривой г(ґ),

ке = _X у - У X

(X2 + у¥2'

Разложение (8) существует и для координатного задания траектории, а не только для задания в естественной форме Г(5), где естественный параметр 5 точки есть длина пройденного точкой пути по траектории движения от некоторого начального положения.

Геометрические свойства пространства-времени Галилея Г3 изучает геометрия Галилея. Она рассматривает, в частности, и свойства мировых линий движений материальных точек. Основы геометрии Галилея 3-мерного пространства содержатся в [3]. Приведем из [3] необходимые сведения.

1. Кривые 3-мерного пространства Галилея

1.1. Пространство-время Галилея

3

Основой пространства-времени Галилея Г является аффинное про-

33 странство А , [2]. Векторы пространства А записываются с выделением

• 12

первой компоненты в виде х = (х, х , х ). Скалярным произведением векторов 1 2

х и у = (у,у ,у ) по [3] называется число х у, определяемое равенствами

Гху, если х Ф 0, или у Ф 0;

х У = 1 11 2 2

[X у + х у , если X = у = 0.

Скалярный квадрат вектора X равен

-2 2 , г\ -2 / 1\2 , / 2\2 а

X = X , если X Ф 0 и X =(X ) + (X ) , если X = 0.

Галилеева норма || X || вектора X определяется на основе скалярного квадрата вектора:

| X |, если X Ф 0;

|т|=<

-у/(X1)2 + (X2)2, если X = 0.

Первая компонента х вектора х является временной, компоненты

12 12 х , х - пространственные. Векторы (0, х ,х ) имеют евклидову норму. Если

1 2

х Ф 0 , то векторы (х, х , х ) называются галилеевыми, их обозначение

12 12 у = (х, х , х ); а векторы (0, х , х ) называются евклидовыми и записываются

• 12

в виде Г = (х , х ). Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.

3

Аффинное пространство А , в линейном пространстве которого определена галилеева норма векторов, называется пространством Галилея и обо-

3 12 12

значается Г . Две точки А = (а, а , а ) и В = (Ь, Ь , Ь ) пространства Галилея

определяют вектор

АВ = (Ь - а,Ь1 - а1,Ь2 - а2); расстояние | АВ | между точками равно норме вектора АВ :

| Ь - а |, если Ь Ф а;

{V(Ь1 - а1)2 + (Ь2 - а2 )2, если Ь = а.

Точки пространства Галилея еще называются событиями. Множество 3

всех событий совпадает с Г и называется миром. События А и В одновременны, если а = Ь . Одновременные между собой события составляют в пространстве Галилея Г3 евклидову плоскость Е2 . Репер пространства Галилея есть В = (О, е, /, у). Точка О и евклидовы векторы /, у образуют евклидову

2 7 7 3

плоскость Е = < О, /, у >. Через всякую точку Р пространства Г проходит

единственная евклидова плоскость < Р, /, у > .

1.2. Кривая пространства Галилея в естественной параметризации

Кривые пространства Г3 изучаются в [3]. Регулярная кривая класса С3

3-мерного пространства Галилея Г3 в естественной параметризации задается галилеевой векторной функцией (3):

у(У) = (,х(),у()), Уе I с Я,

или в разложении по базисным векторам репера В = (О, е, /, у):

у(г )= + х(* )Г + у (у) у. (10)

Вектор (2) Г (У) является вектором евклидовой плоскости < О, / , у > пространства Галилея. Кривая Г (У) - это проекция галилеевой кривой у(У) (3) на евклидову плоскость < О, /, у >. Разложение (10) можно записать в виде

у(У ) = Уе + Г (У). (11)

Вектор касательной к кривой (3) равен

у (0 = (1,х (У ),у (У)). (12)

Это галилеев вектор, его длина равна 1: || у || = ||у(У)||= 1, см. галилееву норму векторов в п. 1.1. Кривизна кривой (3) вычисляется по формуле

к = 4И2 + у2 >0; (13)

кручение кривой (3) - по формуле

х у - х у

т =------------^. (14)

к2

Функции кривизны и кручения кривой

к = к(t) > 0, m = m(t) (15)

являются натуральными уравнениями кривой (3).

Функции кривизны и кручения (15) кривой связаны формулами (13), (14) с пространственными компонентами (1) х = x(t), у = y(t) кривой (3); имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

\х2 + у2 = к 2(t),

' 2 (16) [ху -х у = m(t)k (t).

Если заданы функции (15), то функции (1) х = x(t), у = у(t) являются решениями системы дифференциальных уравнений (16). Частный случай системы дифференциальных уравнений (16) при к = const, m = const решается в [3].

1.3. Отыскание мировой линии движения по полю ускорения движения точки

Задано поле ускорения движущейся точки:

a(t ) = (a1(t), a2(t)).

Требуется написать уравнения (1) траектории движения. Это задача И. Ньютона для движения с двумя степенями свободы, решенная в [4]. Траектория движения есть функция (2) r (t). По ней однозначно получается мировая линия движения (11) y(t) = te + r (t). По смыслу задания поля ускорения движения точки имеем

1 -- 2-7 1-2 . -2

a = х, a = у ; k = yj х + у ,

где к - кривизна мировой линии движения точки.

1 2

По заданным функциям а (У), а (У) отыскиваются производные х, у и кручение (14) т мировой линии движения. Функции (1) х = х(У), у = у (У) являются решениями системы дифференциальных уравнений (16). Приведем схему решения системы уравнений (16) из [4].

В результате обозначений

х = и, у = V (17)

понижается порядок дифференциальных уравнений системы (16):

I 2 , 2 ,2

\u + V = к ,

(18)

[uV - Uv = mk2.

По виду первого уравнения системы (18) вводим обозначения:

и = к cos(w + с), V = к sin(w + c), (19)

где

w = w(t) = Jm(t)dt + с, с = const. (20)

Функции (19) с функцией (20) удовлетворяют второму уравнению системы (18). Уравнения (17) принимают вид

х = ксо8(^ + с), у = к8т(^ + с). (21)

После двукратного интегрирования этих уравнений находим компоненты (1) х(У), у (У) функции (3), задающей кривую пространства Галилея Г -мировую линию движения, а также траекторию (2). Начальные условия системы уравнений (16) определяют единственную траекторию (2) по заданному

1 2

полю ускорений а (У) =(а (У), а (У)).

Вместе с тем существует схема получения параметрических уравнений галилеевой кривой по ее натуральным уравнениям (15) [5].

2. Ускорение движения точки

2.1. Касательное и нормальное ускорение

Если векторная функция (2) Г (У) = (х(У),у(У)) задает закон движения материальной точки, то вектор (4)

у(У )= г(У )=(х( ),у())

есть вектор скорости движения точки, и вектор (5)

а(У ) = 7(У ) = (х( ),у())

является вектором ускорения движения.

Для мировой линии движения (3)

у(У ) = ( ,х(У ),у(У)),

кривизна равна величине ускорения

к = а = ||г|| = 4х2 + у2 ,

см. (7). По [3, с. 59-61] каппа-функция вектора Г (У) согласно (14) такова:

х у - х у

к(г) = т = ■

к 2

Определение каппа-функции к(и) евклидова вектора и и формула для вычисления каппа-функции приведены ниже в процессе доказательства леммы 1.

Пусть х - единичный вектор касательной к мировой линии движения у(У). По (12)

х = у = е + Г,

Г = V есть вектор касательной к траектории движения, его величина по (5):

И = >/ X2 + у2 .

Через п обозначается единичный вектор нормали траектории. Он может быть найден как единичный вектор направления нормали траектории. Из

евклидовой дифференциальной геометрии известно, что вектор нормали находится в результате дифференцирования единичного вектора касательной, т.е. вектора

V Г 7

п=п=*. (22)

Вектор ускорения а движения лежит в плоскости движения и может быть разложен по векторам сопровождающего репера траектории (Р, 1, п), где Р - движущаяся точка траектории; запишем это разложение, введя обозначения коэффициентов разложения:

а = а*Т + апп , (23)

здесь а* - тангенциальное (касательное) ускорение; ап - нормальное ускорение.

При движении точки Р по траектории коэффициенты разложения являются функциями времени:

а* = аг (*), ап = ап (*). (24)

Для вычисления функций а* и ап вектор (23) умножим скалярно по-

следовательно на векторы I и п :

а I = г I = аг; а п = г п = ап .

Произведем вычисления функций (24). Для касательного ускорения

(см. (22)) находим

7 7 XX + у у

а*=г и = 12 2 . (25)

И д/Х2 + у

Согласно [3, с. 59-60]

( ^ у _Х V Ц7| 1И|/

п =

Для нормального ускорения получаем

7 7 - у X + X у

ап = г п =—, -

(26)

Лемма 1. Функция касательного ускорения движущейся точки равна производной по времени величины (модуля) скорости движения:

а* (*) = М II7(*)||.

М

Функция нормального ускорения движущейся точки равна произведению скорости движения и каппа-функции вектора скорости:

ап (* )= V#) к(Я*)). (27)

# Вычислим производную по времени величины скорости движения (5):

(28)

й і. и й Г~2 2 2х х + 2 у у

г II =~ Vх2 + у2 =

йґ йґ

2у1*2 + у2

= а

см. формулу (25).

С учетом [3, с. 59-60] для произвольного вектора и его каппа-функция к(и) определяется из равенства

Ґ - \ и

йґ

.и., VII II/

= к(и)£ ,

где § - единичный вектор, и если и =(и , и ), то

к(и) =

1/2 2/1

и и — и и

(29)

Действительно, единичный вектор направления и равен

и

Находим производную

йґ

\и\\ и

VII II II II/

и и — и и и и — и и

Так как — ||и|| =

йґ

, 1 /Г 2/2

й ц-,. и и + и и

(см. (28)), то для первой компоненты век-

тора — йґ

( - \ и

.и,.

VII II/

имеем равенства

и ^1 |и|| — и1 \\и

1 /1 . 2/2 л II -|| 1 и и + и и

' и и — и —

Ли 1ч2 , / 2Ч2Ч 1/ 1 Л , 2 /2Ч 1/2 2/12

и ((и ) + (и )) — и (и и + и и ) _ и и — и и и

Точно так же для второй компоненты вектора

( - \ и

йґ

„и„ VII и/

находим

/2 и -|| 2 и-ц 1/2 2/11

и и — и и и и — и и 1 и

2

2

2

3

2

2

2

Таким образом,

( і А'2 .2/1 ( Л .1 ^

—ґ

и

VII и

и и — и и

и и

и и

V II II II И/

Вектор

( 2 1 ^ и и

V ипк /

является единичным. Согласно определению каппа-

функции вектора и имеем выражение (29). Сравнивая формулы (26) и (29), приходим к равенству (27). #

2.2. Получение уравнений траектории движения точки по касательному и нормальному ускорениям методами евклидовой геометрии

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Касательное а{ ускорение движущейся точки и нормальное

ап ускорение точки определяют кривизну ке траектории г (ґ) движущейся точки:

ке(ґ) = ^ 2{ ^ , v(ґ) = [аґ(ґ)—ґ. (30)

V 2(ґ) •>

# Равенство (28)

— Ції =

—ґ ^ а

является обыкновенным дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции v(ґ) и заданной функцией а{ = а{ (ґ). Общий интеграл этого уравнения:

v(ґ) = |аґ (ґ)—ґ.

Теперь из второй формулы (9) находим выражение кривизны ке траектории движения в первом равенстве в (30). #

Начальные условия ґ = ґо, v(ґo) = ^ определяют значение кривизны

ке = ке (ґо) траектории в момент времени ґ = ґо.

Теперь на основании леммы 2 устанавливается

Теорема 1. Заданные функции аґ (ґ) касательного ускорения движения точки и ап (ґ) нормального ускорения движения точки с двумя степенями свободы определяют с точностью до положения на плоскости уравнения траектории г(ґ) движущейся точки.

# По лемме 2 заданные функции аг (ґ) и ап (ґ) определяют функцию кривизны ке (ґ) траектории движения г (ґ). Для получения конкретной функции ке (ґ) при решении дифференциального уравнения — ||у|| = аг нужно за-

—ґ

дать начальные условия. В евклидовой дифференциальной геометрии параметрические уравнения плоской кривой г (ґ) функцией ее кривизны ке (ґ)

определяются однозначно при выбранных начальных условиях [6, с. 137-143, 205]. В этом случае начальные условия состоят в задании точки на кривой и касательного вектора к кривой в заданной точке. #

Поставленная задача нахождения траектории движения точки по касательному и нормальному ускорениям точки решается выше методами евклидовой дифференциальной геометрии.

2.3. Использование методов геометрии Галилея

Рассмотренную задачу решим еще методами геометрии Галилея.

Лемма 3. Касательное и нормальное аг, ап ускорения точки определяют кривизну к и кручение т мировой линии у(^) движущейся точки:

к = 4а2 + аП , т2 = кек . (31)

# Разложения (8) и (23) записаны по единичным взаимно перпендику-

«-и I 2 2

Я , поэтому с учетом (13) имеем к = уа{ + ап . Кривизна к, кручение т мировой линии у(^) движущейся точки и кривизна ке

траектории движения точки связаны соотношением т2 = кек (см. [3, с. 67]). #

Теорема 2. Заданные функции касательного и нормального ускорений движения материальной точки с двумя степенями свободы определяют с точностью до положения в пространстве-времени Галилея мировую линию и траекторию точки в координатной форме.

# Для получения функций х = х(^), у = у(^), являющихся компонентами координатного задания траектории движения г (0, используется система дифференциальных уравнений (16) (см. [4]), схема решения которой изложена в п. 1.3. По заданным функциям а{ = аг (^), ап = ап (^) согласно (31) и (30)

2 2

находим функции к = к(^) и т = т (^). Рассматриваем два случая:

т1 = +л1 кек и т2 = —кек .

В каждом случае методами из [4] (см. п. 1.3) находим компоненты галилеевой кривой у(^) Х1 = Х1 (^), у1 = У1 (^), соответствующие значению т1, и компоненты Х2 = Х2(^), У2 = У2^), соответствующие значению т2 . Затем, основываясь на формуле (14) в каждом случае, находим функцию к(у (^)) . В каком случае (т1 или т2) получается совпадение ап (^) = у(^) к(у (^)), тот случай и определяет кривую у(^) = (1, х(), у()) . #

Задача отыскания уравнений траектории движущейся точки по касательному и нормальному ускорениям не совпадает с задачей отыскания уравнений траектории по полю ускорения движения точки. Решение первой из них сводится к получению векторного уравнения траектории г (5) по скалярному натуральному уравнению кривой ке = ке (^), 5 - естественный пара-

1 2

метр. Во втором случае даны функции а (^),а (^) - компоненты вектора ускорения а (^) движения точки, и компоненты х(^), у (^) траектории движения

точки отыскиваются как решения дифференциальных уравнений х (() = а ((), 62

у "(1) = а 2(0. Такой метод решения задачи обосновывается средствами геометрии Галилея.

С другой стороны, функции касательного и нормального ускорений можно рассматривать как составляющие векторного поля ускорений движущейся точки. Это поле может быть специфическим, приводящим к естественному описанию кривой; в этом случае положение точки на траектории является функцией длины пройденного точкой пути (у Рашевского П. К. по функции кривизны к (5), где 5 - длина дуги, кривая отыскивается в естественной

параметризации г(5) = (х(5), у(5)) [6, с. 139-143]). При задании поля ускорения движения точки во времени желательно описать и движение во времени, т.е. описать движение функцией времени в так называемом координатном задании. Если касательное и нормальное ускорения заданы как функции времени, то траектория г (^) движения получается в результате интегрирования дифференциальных уравнений х"^) = аг ^), у”(1) = ап ^).

Список литературы

1. Молотников, В. Я. Основы теоретической механики / В. Я. Молотников. -Ростов н/Д : Феникс, 2004. - 384 с.

2. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1989. - 472 с.

3. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.

4. Долгарев, А. И. Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 12-24.

5. Долгарев, А. И. Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : межвуз. тем. сб. научн. тр. - Вып. 33. - Калиниград : Изд-во КГУ, 2002. - С. 25-28.

6. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. -М. : Гостехиздат, 1956. - 420 с.

Долгарев Артур Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Dolgarev Artur Ivanovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 514 + 531 Долгарев, А. И.

Получение уравнений траектории движущейся точки по функциям тангенциального и нормального ускорения / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 52-63.