CC BY
72
МАТЕМАТИКА
УДК 514.7
И. А. Долгарев
ПОВЕРХНОСТИ 4-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ. ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ
Получены первые результаты по теории поверхностей 4-мерного пространства-времени Галилея. Рассматриваются поверхности, имеющие Галилеевы касательные плоскости. Введены первая и вторая квадратичные формы поверхности, нормальная кривизна поверхности. Проведена классификация обыкновенных точек поверхности. Вычислены полная и средняя кривизна поверхности.
Общие положения о 4-мерном пространстве времени Галилея содержатся в книге [1, с. 11-18]. Эти положения предваряют сведения по механике Галилея-Ньютона. Действительное 4-мерное пространство-время Галилея определено на 4-мерном аффинном пространстве соединением 1-мерного и 3-мерного евклидовых пространств. Схема определения п -мерного пространства-времени Галилея содержится в [2, с. 46-51; 3, с. 34-38, 48-49]. Подробно изучалась геометрия плоскости Галилея (см. диссертацию [4] Н. М. Макаровой и другие ее работы). Имеется популярное изложение планиметрии Галилея [5]. Пространство-время Галилея относится к пространствам с квазиметрикой [6]; изучаются и другие пространства с квазиметрикой, например флаговое [6], полуевклидово [7]. Геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея содержится в [2, 8], где определено галилеево скалярное произведение векторов. Наряду с евклидовым и псевдоевклидовыми многообразиями в [2, 3] определено галилеево многообразие. В работах [2, 8] геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея изложена на основе 3-мерного действительного аффинного пространства посредством введения в его линейном пространстве галилеева скалярного произведения векторов. В работе [9] начато построение теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея. Методами геометрии Галилея в [10] решена задача И. Ньютона об отыскании закона движения материальной точки с двумя степенями свободы по полю ускорения движения. В работе [11] построена модель гравитационной плоскости - гиперболической галилеевой плоскости, где используются силы притяжения Земли. В работах [2, 8] изложены начальные положения теории поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея, получены аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци, это основные уравнения теории поверхностей. Основная теорема теории поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея доказана в [12], это аналог теоремы Бонне для евклидовых поверхностей. Ниже начинается изучение поверхностей 4-мерного пространства-времени Галилея.
1 Пространство-время Галилея размерности 4
1.1 Галилеево векторное пространство
Пусть Ь4 - действительное линейное пространство, рассматриваем его в виде прямой суммы Ь4 = Ь1 + Ь3. Векторы из Ь4 записываем в виде
х = (х, х1, х2, х3),
1 12 3 3
выделяя первую компоненту, причем (х, 0,0,0) е Ь , (0, х , х , х ) е Ь . Счи-13
таем, что на Ь и Ь заданы евклидовы скалярные произведения векторов,
что превращает их в евклидовы векторные пространства соответственно в V1
3 13
и V . На сумме V + V зададим галилеево скалярное произведение векторов [2, с. 32]. Пусть у = (у,у1,у2,у3) - еще один вектор из Ь4 . Галилеевым скалярным произведением х у векторов х и у называется число
Гху, если х Ф 0, или у Ф 0;
х у = 1 11 2 2 3 3
[х у + х у + х у , если х = у = 0.
1 3
Векторное пространство V + V с галилеевым скалярным произведением векторов называется галилеевым и обозначается V]4. Это прямая сумма евклидовых пространств. Выполняются свойства:
x y = y x , (t x + s y )(u z ) = t u x z + s u y z для t, s , u eR, x , y y e Vj4.
Скалярное произведение x x называется скалярным квадратом вектора x , обозначается x2 . Согласно определению скалярного произведения векторов
2 |(x)2, если x Ф 0;
x = \
l(x1)2 + (x2)2 + (x3)2, если x = 0.
Галилеевой нормой ||х|| вектора х называется ||х|| =\х2 . Имеем Г| х|, если х Ф 0;
И = 1 I-------------------- (1)
^(х1)2 + (х2)2 + (х3)2, если х = 0.
Свойства галилеевой нормы векторов отличаются от свойств евклидовой нормы.
12 3
Векторы (х, х , х , х ), х Ф 0 , называются галилеевыми, векторы
12 3
(0, х , х , х ) называются евклидовыми, они содержатся в евклидовом про-
3 12 3 12 3
странстве V ; записи (0, х , х , х ) и (х , х , х ) отождествляем. Всякий вектор х =(х, х1, х2, х3), как вектор линейного пространства Ь4 , единственным образом представляется в виде разложения
х = х(1,0,0,0) + х1 (0,1,0,0) + х2 (0,0,1,0) + х3 (0,0,0,1).
Векторы
е = (1,0,0,0), Г = (0,1,0,0), 7 = (0,0,1,0), к = (0,0,0,1)
составляют базис пространства V]4, который обозначается Б =(е,/',7,к).
Всякий другой базис пространства V]4 содержит хотя бы один галилеев вектор. Мы рассматриваем базисы, содержащие один галилеев вектор и три евклидовых вектора. От любого базиса можно перейти к указанному. Легко получить формулы замены координат векторов при переходе от одного базиса к другому [9].
Галилеево векторное пространство V] имеет две составляющих: V]4 =
1 3 1 3
= V1 + V . Первая из них (V ) называется временной, вторая (V ) называется пространственной. Вектор е базиса Б называется единичным вектором
13 времени. Все векторы из V называются временными. Все векторы из V , в
том числе и векторы /, 7, к , называются пространственными, они же евклидовы векторы. Векторы х , у называются перпендикулярными (ортогональными), если х у = 0. Обозначение перпендикулярных векторов обычное: х ± у . Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Базис Б является ортонормированным.
Г 12 3
Для всех галилеевых векторов х = (х, х , х , х ) с фиксированной временной составляющей х галилеева норма ||х|| равна
1 2 3 1 2 3 3
Все векторы (1, х , х , х ), где векторы (0, х , х , х ) пробегают V , яв-
12 3
ляются единичными. Всякое направление (х, х , х , х ), х Ф 0 , является временным. Так как время в V]4 имеет размерность 1, то разные векторы 12 3
(х, х , х , х ) при х > 0 задают одно и то же временное направление и все век-12 3
торы (х,х , х , х ), х < 0, задают противоположное направление. В связи с
этим углов между временными направлениями не существует. Углы между
12 3 12 3
пространственными векторами (х , х , х ) и (у , у , у ) определяются как
обычно в евклидовом пространстве на основе скалярного произведения векторов. Галилеево векторное пространство V]4 содержит единственное 3-мерное подпространство, являющееся евклидовым.
1.2 Пространство-время Галилея
Аффинное пространство А4, в линейном пространстве Ь4 которого определено галилеево скалярное произведение векторов, называется 4-мерным
пространством-временем Галилея и обозначается Г4. Его векторное пространство выше обозначено V]4 . Репер аффинного пространства, превращенного в пространство со скалярным произведением, является репером пространства
Галилея. Рассматриваем репер В = (O,е,1,7,к), где O - точка из Г4,
(е, 1, 7, к) - базис векторного пространства V]4. Точка М (х, х1, х2, х3) аффинного пространства является точкой пространства-времени Галилея. Она еще называется событием пространства-времени Галилея. Событие М происходит в момент времени х, если х > 0, и происходило в момент х за |х| еди-
12 3
ниц времени до начала отсчета. Все события N(х, у , у , у ) одновременны с событием М . Они составляют 3-мерное евклидово подпространство пространства Галилея Г4 . Через всякую точку пространства Галилея Г4 проходит
единственное 3-мерное евклидово пространство Е3 .
Рассматриваем ортонормированные реперы пространства-времени Галилея. Считаем, что в Г4 выбран репер В = (О,е,1,7,к).
12 3 12 3
Два события А(а, а , а , а ) и В(Ь, Ь , Ь , Ь ) определяют вектор
АВ = (Ь - а,Ь1 - а1,Ь2 - а2,Ь3 - а3).
Галилеево расстояние |АВ| между событиями А и В, согласно определению галилеевой нормы векторов (1), равно
||Ь -а|, если Ь Ф а;
^ В |д/(Ь1 - а1)2 + (Ь2 - а2 )2 + (Ь3 - а3 )2, если Ь = а.
Если Ь Ф а , то |АВ| есть длительность события АВ, если Ь = а , то |АВ|
есть протяженность события АВ. Для галилеевых расстояний между событиями-точками не выполняется неравенство треугольника. Например, все
расстояния |ОМ|, где О =(0,0,0,0), М = (х, х1, х2, х3), равны между собой и равны |х|. Для точек М = (1,4,0,0) и N = (1,0,0,0): |ОМ| + |ON| < |MN|.
Прямые аффинного пространства являются прямыми пространства Га-
12 3
лилея. Прямая р, определяемая точкой А(а,а ,а , а ) и ненулевым вектором 12 3
т = (т, т , т , т ), обозначается р =< А, т > и описывается уравнениями
1 1 1 2 2 2 3 3 3
х = mt + а, х = т t + а , х = т t + а , х = т t + а ;
12 3
величина t е Я является параметром точки М (х, х , х , х ) прямой р . Всякий вектор т есть вектор прямой р; векторное пространство прямой р =< А, т > 1-мерно, порождается вектором т , т.е. это оболочка < т > вектора т ,
< т > = \^т 11 е я} .
Прямая < А, т > является 1-мерным подпространством пространства Г4 . Если т - галилеев вектор, то прямая р =< А, т > определяет в пространстве Г4 временное направление. Можно считать т = 1, т.е. можно рассматри-
Г 12 3
вать единичный галилеев вектор т =(1, т , т , т ), указывая временное направление. Такая прямая описывается и галилеевой векторной функцией
у^) = ^ + а, тЧ + а1), 1 = 1,2,3;
можно считать а = 0 . Тогда
у ^ ) = (, тЧ + а1). (2)
Если т = 0, то вектор т евклидов, прямая р =< А, т > есть прямая
3-мерного евклидова подпространства пространства-времени Галилея Г4 , содержащего точку А :
У(1 ) = (а, тЧ + а).
Взаимное расположение прямых в Г4 такое же, как в аффинном пространстве А4 , из которого получено пространство Галилея.
Плоскости аффинного пространства являются плоскостями пространст-
12 3
ва Галилея. Плоскость П, определяемая точкой А (а,а ,а ,а ) и неколлине-
12 3 12 3
арными векторами т = (т,т ,т ,т ) и п = (п,п ,п ,п ), обозначается
П = < А, т,п >; параметрические уравнения плоскости:
х = ти + пуа, х1 = т1п + п1 + а1; 1 = 1,2,3, (и, V) е Я2;
параметры и, V независимо пробегают Я. Векторами плоскости П являются векторы из оболочки
< т,п > = |ит + уп |(и,у)е Я2} .
Плоскость есть 2-мерное подпространство в Г4 . Если хотя бы один из векторов т,п галилеев, то плоскость П = < А, т, п > галилеева. В галилеевом векторном пространстве < т, п > можно выбрать базис, состоящий
12 3
из единичного галилеева вектора «1 = (1, п , п , п ) и евклидова вектора Г 12 3
т =(0, т , т , т ). Галилеева плоскость П описывается галилеевой векторной функцией
у(у,и) = (у, п\ + тги), 1 = 1,2,3, (и,у)е Я2. (3)
Евклидова плоскость пространства-времени Галилея задается функцией
у(у,и) =(а, п\ + тги), 1 = 1,2,3, (и,у)е Я2.
Нормальным вектором галилевой плоскости П =< А, т^ Я1 > является Г 12 3
евклидов вектор д =(д , ^ , д ), перпендикулярный евклидову вектору
г 12 3 Г Г
т = (т , т , т ), он не является вектором этой плоскости. Имеем д ± Я1,
т.к. всякий евклидов вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.
Тройка п^, тъ д состоит из попарно ортогональных векторов (вектор д отыскивается ниже, в п. 2.2).
1.3 Кривые пространства-времени Галилея
Гомеоморфное отображение у класса С4 интервала I действительной
оси Я в пространство Галилея Г4 называется регулярной кривой простран-
4
ства-времени Г :
у : I ^ Г4 .
Кривые пространства Г4 описаны в [9]; приведем из [9] необходимые сведения. Кривая описывается векторной функцией
У(1 ) = (х(1 ), х1 (1)), 1 = 1,2,3 ; t е I.
Вектор производной
у'(1 )= ( х'(1), х'1 (t))
определяет касательную прямую < Р, у'(1) > в каждой точке Р кривой у(1 ). Возможно, что вектор у'(t) галилеев в точке Р, т.е. х'(1) Ф 0, а возможно, что вектор у'(1) евклидов в точке Р; в этом случае в окрестности точки Р кривая у(1 ) евклидова, такие кривые изучает евклидова геометрия. В геометрии
Галилея интересно рассматривать кривые, имеющие только галилеевы касательные векторы.
Пусть значение определяет точку Р кривой, значение ^ определяет точку Q . Координаты точек: Р = (х(!0), х1 (10 )), Q = (х(^), х1 (^)). Длина дуги PQ кривой при х(1) Ф 0 , < t < ^, равна
5 = х(^) - х(10) .
Все функции х(1 ), х (1) имеют класс С4 . Функция х(1 ) обратима, обратная функция t = t(х) также имеет класс С4 . Поэтому кривую с галилеевыми касательными векторами можно задать функцией вида
У(1) = (1, х1 (0), 1 = 1,2,3; t е I с Я (4)
(здесь мы заменили обозначения), это естественная параметризация кривой: длина дуги от точки to = 0 до точки ^ = t равна
t1 - 10 =t.
Функция у(1 ) (4) есть сумма двух составляющих
У(1 )= 1с + г (1), г (1) =( х1(1), х2(1), х3(1 )); (5)
составляющая временная, составляющая г (1) пространственная - это про-
екция галилеевой кривой у(1) в 3-мерное евклидово пространство, т.е. это
евклидова кривая. Евклидова кривая г (1) однозначно определяет галилееву кривую у(1) в естественной параметризации, см. (5). Прямая (3) есть пример задания линии в естественной параметризации.
Если Р = Р(^) - событие, принадлежащее линии у(1), т.е. Р = у(^), то линия у(1) называется мировой линией события Р . Мировая линия задана как функция времени. Если Р есть материальная точка и у(1) - мировая линия движения точки Р, то г (1), см. (5), есть траектория движения точки Р и закон движения точки Р . Производная первого порядка
у (1 )= (1, х1 (1)) = е + г (1)
является единичным евклидовым вектором, указывает на равномерное течение времени при движении материальной точки и задает вектор скорости г (1) точки в движении по траектории г (1) . Производная второго порядка
у(1 )= (0, х1 (1)) = г (1)
есть евклидов вектор кривизны кривой у(1). Так как вектор у(1) единичный, то у ^у; это верно и потому, что галилеев вектор перпендикулярен евклидову вектору. Кривизна к кривой определяется как модуль вектора производной второго порядка от векторной функции, задающей кривую в естественной параметризации:
к =1 |у (1 ^|.
С другой стороны, если п - единичный вектор главной нормали кривой, то
к = у п = ||у||, (6)
т.к. векторы у и п коллинеарны.
2 Поверхности пространства-времени Галилея Г4
2.1 Определение регулярной поверхности
Рассматривается галилеева плоскость Г2 пространства-времени Галилея Г4 . Такие плоскости описаны в п. 1.2. На плоскости задана область Б, которую считаем прямоугольником. Для всякой точки Н(1,и) из Б выполняются условия, определяющие область
а < 1 < Ь, с < и < ё .
Прямоугольник Б является окрестностью своей точки Н.
Поверхностью пространства-времени Галилея Г4 называется отобра-
4
жение у класса С :
у: Б^Г4.
Точке Н (1, и) области Б соответствует точка М (х, х) в Г4 и вектор
ОМ = (х, х), где О - начало отсчета. Каждая компонента х, х1, 1 = 1,2,3 , точки М является функцией параметров 1, и . Поэтому поверхность у описывается четырьмя скалярными функциями
х(1, и), х (1, и), 1 = 1,2,3; (1, и) е Б, и одной векторной функцией
у(1,и) = (х(1,и),х(1,и)), 1 = 1,2,3; (1,и)е Б.
При и = щ имеем 1 -линию на поверхности
У(1,и0)=(х(1,и0),х1 (1,и0)).
Если 1 = 10, то на поверхности имеется и -линия:
У(10, и)=(х(10, и), х1 (10, и)).
В точке Р = у(10, и0) на поверхности у(1, и) векторами частных производных уг и уи определены касательные < Р, уг > и < Р, уи > к 1 -линии и к и -линии соответственно. Если векторы уг и уи неколлинеарны, то точка Р поверхности у(1, и) называется обыкновенной и поверхность называется регулярной в окрестности точки (10, и0).
Пусть 1 1 (у), и = и (у) - непрерывные и дифференцируемые функции
ёи
на области Б . Они задают направление — в области Б и линию на поверхности у(1, и):
у (у) = у (1 (у), и (у)) = х(1 (у), и (у)), х1 (1 (у), и (у)).
Вектор
у (у) = (хЛ ^ хииу,х А ^ х ииу ) = уА + уииу есть вектор касательной к линии у (у), он является линейной комбинацией векторов уг и уи, касательных к 1 -линии и к и -линии поверхности. Таким образом, касательная ко всякой линии на поверхности у(1, и) лежит в плоскости < Р,уг,уи > и эта плоскость является касательной к поверхности у(1,и) в точке Р . Если касательная плоскость к поверхности у(1, и) является евклидовой, то в окрестности точки Р поверхность евклидова. В геометрии Галилея интересен случай, когда поверхность у(1, и) имеет галилеевы касательные
плоскости. Это возможно при условии, что хотя бы один из векторов уг, уи галилеев. Пусть вектор уг галилеев. Тогда в векторном пространстве касательной плоскости < Р,уг,уи > существует ненулевой евклидов вектор.
Так как отображение у: Б ^ Г4 имеет класс С4, то функция х(У, и) обратима по каждому из параметров; имеем У = У(х, и), и тогда поверхность описывается 2-параметрическими скалярными функциями вида
х = У, X = X(У,и), i = 1,2,3; (У,и)е Б,
и векторной функцией
у(У, и )=(У, х{ (У, и)), i = 1,2,3; (У, и) е Б с Г2. (7)
В этом случае вектор уУ = (1, х1{ (У, и)) галилеев, а вектор уи =
(0, хги (У, и)) евклидов. Функция, описывающая поверхность, есть сумма двух составляющих:
у(У, и )= Уе + г (У, и), г (У, и) =^' (У,и)), i = 1,2,3. (8)
Параметризация (7) галилеевой поверхности называется естественной. Составляющая Уе является временной, е - единичный вектор времени; составляющая Г (У, и) является пространственной, это поверхность в 3-мерном
евклидовом подпространстве пространства-времени Галилея Г4 . Пространственная составляющая г (У, и) галилеевой поверхности у(У, и) есть проекция
4
галилеевой поверхности галилеева пространства-времени Г в 3-мерное евклидово пространство - подпространство пространства Галилея. Можно считать, что точки Н (У, и) составляют область Б на евклидовой плоскости в Г4.
Между поверхностями у (У, и) (7) пространства-времени Галилея Г4, имеющими галилеевы касательные плоскости, и поверхностями г (У, и) евклидова пространства имеется взаимно однозначное соответствие:
у(У, и )= Уе + г (У, и) ^ г (У, и),
см. (8). Галилеева плоскость пространства Г4 описывается таким же уравнением (3), как поверхность (7) в естественной параметризации.
2.2 Подвижный репер поверхности
Поверхность записываем в виде
У (У, и )= (У, х(У, и), у (У, и), г (У, и)) = Уе + г (У, и). (9)
Галилеева поверхность в Г4 является 2-мерным галилеевым многообразием (определение в [7, 8]). Точку Р на поверхности у(У, и) сопровождает репер, состоящий из репера касательной плоскости в точке Р и нормали к поверхности. Одним из векторов касательной плоскости < Р, уг, уи > поверхности у(У, и) является единичный галилеев вектор уг = (1, х{, уг, г); другой, перпендикулярный ему евклидов вектор касательной плоскости, есть уи = (0, хи, уи, ги), или он же
ги
ги = (хи, уи, ги). Возьмем единичный вектор ? = тгг\\ . Тогда третьим вектором
\\ги II
подвижного репера поверхности у(і, и) следует взять евклидов единичный вектор п , перпендикулярный вектору ги . Этот вектор можно найти как производный единичного вектора ?, который, как известно, перпендикулярен ?. Евклидов вектор п перпендикулярен галилееву вектору уг.
— — 3 3
Пусть и = и (і) є V , где V - евклидова (пространственная) составляющая галилеева векторного пространства V]4 = V1 + V3 (п. 1.1.) Вектор ци? яв-
ляется единичным. Производная единичного вектора ему перпендикулярна.
называется
Определение. Модуль вектора производной т = —
ёУ
к -функцией к(и) евклидова вектора и .
Лемма. Выполняется равенство
( - \ и
„и„
VII II/
- , и . .—. — . . 1
т = т(|Ы|) = к(и) 8(0 = імі
аі и и
(
ии
и --
(10)
к -функция к(и) вектора и равна
\\и х и к(и) = —
(11)
единичный вектор направления т равен
т
\\т\\ и х и
—, ии — и-----------------— и
, 18 (і )|| = 1.
(12)
# Известно, что
а /и—н\ а 1—2 и и
---(1|и ) =-----уи = .. ..
аг” 11' аі и
Теперь находим
.ии
( -и
и и - и
т =
аі
.и..
V» II/
—/її—м2 — ,——/ч (
и и - и (ии ) 1
и -
л
ии
и
2
||и|| /
равенство (10) установлено. Вычислим скалярный квадрат т ; угол между векторами и и и обозначим через а .
—2 —2 и т =
— ии — и-----------— и
V
—2 2(ии )(и и) (и и) —2 —2 (ии)
= и------------------1-— и = и---------------—
/
—2—2 2 II—1|2 II—'||2 • 2 || —.. —.'||2
—,2 и и соэ а и —,ц2 и—/м2 2 и—/ц2 • 2 и и 8іп а ихи
— -= и - и со8 а = и 8іп а = jl.il 11 11 11
2
и
2
и
2
2
3
таким образом,
II II и х и
N = 2 = к(м),
и соотношение (11) доказано. Теперь имеем равенство (12). #
— — 1 2 Вычислим вектор т в случае и =(и , и ,0), подставив в (10) коорди-
наты; получаем
и1и/2 - и 2и / .—. —
----------2----= к(и), 8 =
и2
( 2 1 Л
и и о
Это совпадает со значениями из [2, с. 59-61].
Свойство 1. к -функция евклидова вектора касательной ги поверхности (9) у(У, и) равна
\ги X гии II
к(ги Ии и ; (13)
единичный вектор нормали поверхности (9) таков:
г 11г II
п = Д. =,, II'и I — ,
Ги Х Гии
Г Г
г и'ии г
ии ., ..2 и
(14)
# Формулы получаем по (11) и соответственно (12). #
Имеем ортонормированный подвижный репер поверхности у (У, и):
в р=(р,у? Л,п),
где п есть (14). Выполняется
Свойство 2. Ортонормированным сопровождающим репером поверхности (9) у(У, и) является
Вр =( Р, уг, ?, п),
где Р - точка поверхности; уУ - единичный галилеев касательный вектор; ? - единичный евклидов касательный вектор направления ги; п - единичный вектор нормали (14) поверхности пространства-времени Галилея Г4 . # Реперы Вр , Вр сопровождают точку Р при ее движении по поверхности у(У,и) .
2.3 Первая квадратичная форма поверхности
Для измерения расстояний на поверхности (9) у(У, и) 4-мерного пространства-времени Галилея Г4 на этой поверхности задается направление. Задать направление на поверхности можно посредством задания направления в области Б евклидовой плоскости, на которой определена поверхность
y(t, и) . Расстояния измеряются на основе первой квадратичной формы поверхности.
Теорема 1. Первая квадратичная форма поверхности (9) y(t, и) такова: dt2, если t изменяется; ( )
V ^ )
E(t,и), если t неизменяется, E > 0;
вид первой квадратичной формы поверхности y(t, и) в пространстве-
времени Галилея Г4 такой же, как вид галилеева расстояния между точками в п. 1.1.
# На поверхности (9) y(t, и) направление задается направлением в области D евклидовой плоскости. Взяв на D функцию и = u(t), получаем направление du/dt. В частности, исключительное направление имеем при t = to, направление t -линии получается при и = const. Направление вдоль линии и = и (t) на поверхности определяется линией на поверхности:
y(t)= y(t, и (t)) = (t, х (t, и (t)), y (t, и (t)), z (t, и (t))), точнее, вектором производной
y,(t) = (1,xt + хииУг + Уииzt + zuu') = Уг + Uru . (16)
Все направления на поверхности (9), кроме одного, определяются галилеевыми векторами yt + иги ; исключительное направление совпадает с и -линией поверхности. Квадраты дифференциалов расстояний по галилеевым направлениям равны
ds 2 = dt2,
и квадрат дифференциала расстояния вдоль и -линии равен
ds 2 = ги 2 du 2 .
Обозначим:
2 2 2 2 Ги = Хи + Уи + Zu = E(t, и). (17)
Выполняется
E > 0.
Согласно приведенным рассуждениям первая квадратичная форма поверхности (9) y (t, и) есть (15). #
Первая квадратичная форма произвольной поверхности имеет единственный непостоянный коэффициент E = E(t, и), он называется метрической функцией поверхности.
2.4 Нормальная кривизна поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности
Нормальная кривизна поверхности 4-мерного пространства Галилея Г4 вводится по аналогии с нормальной кривизной поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея Г3 .
Теорема 2. Нормальная кривизна поверхности (9) у(г,и) вычисляется по формуле
к = Ад2 + 2Вд + С , (18)
коэффициенты нормальной кривизны есть
Гиип = А, Гигп = в, гиип = А , (19)
и величина
ёи
— = д ёг
определяет направление на поверхности.
# Пусть Р - точка поверхности (9) у(г, и), п - единичный вектор нормали (14) поверхности (9) в точке Р и V - любая плоскость, проходящая через прямую < Р, п > . Имеем линию пересечения 1о плоскости V с касательной плоскостью к = < Р, уг, ги > поверхности у (г, и) в точке Р и линию пе-
ресечения I плоскости V с поверхностью у(г, и) . Направление линий ^ и I в области Б задается функцией и = и (г). Линия I на поверхности описывается векторной функцией
у(0 = (, ( (, и (г)), у (г, и (0), г (г1, и (г)))
или это есть и -линия
у(^0, и) = (о, (о, и), у(го, и), г (го, и)),
проходящая через точку Р(^о, ио). Для функции у(г) находим производные первого и второго порядка. Имеем согласно (16)
ёи -
у = у + Ги ;
у угг ^ уги & ^ Гии ^ & \ ^ Гш ^ ^ Ги .
В последней сумме
угг = Ггг, уги = Гги = Гиг.
Кривизна линии I на основании (6) в п. 1.3 равна
, &и ч2
к = у п = Гггп + 2Гшп~ + Гиип|
где п есть (14). Это кривизна нормального сечения поверхности, иначе говоря, нормальная кривизна поверхности у(г,и) . Введем обозначения (19). В этих обозначениях нормальная кривизна поверхности у(г, и) равна (18).
При изменении направления на поверхности величины A, B, C не изменяются, они вычислены в точке P, изменяется направление q . #
Теорема 3. Вторая квадратичная форма поверхности (9) y(t,u)
4-мерного пространства Галилея Г4 есть
II = Adu2 + 2 Bdudt + Cdt2. (20)
# Перепишем равенство (18) в другом виде:
2 2 2 ,du „ „ du ^ Adu + 2 Bdudt + Cdt
k = A—- + 2B— + C =--------------------------.
dt2 dt dt2
Выражение в числителе представляет собой вторую квадратичную форму (20) поверхности y(t, u) с коэффициентами (19). Функции
A = A(t, u), B = B(t, u), C = C(t, u)
зависят только от точки P поверхности. #
Нормальная кривизна на всех направлениях на поверхности, кроме направления u -линии, равна отношению первой и второй квадратичных форм поверхности (для изменяющегося t первая квадратичная форма поверхности
есть ds2 = dt2 , см. (17)).
При вычислении значений коэффициентов A, B, C второй квадратич-
- \\ru х ruu||
ной формы поверхности учтена к -функция (13) K(ru )= евклидова
вектора ru касательной поверхности (9).
Для направления u -линии параметр u от параметра t не зависит. Функцию y(to, u) можно дифференцировать только по параметру u . Имеем B = C = 0 .
В этом случае вторая квадратичная форма поверхности принимает вид
2 2
II = ruundu = Adu .
Если u -линии поверхности заданы (как евклидовы кривые) в естественной параметризации, то
A = run = k (21)
есть кривизна u -линии поверхности. Итак, для u -линии нормальная кривизна k (19) поверхности у(t, u) превращается в (21), при этом B = C = 0 .
2.5 Классификация точек поверхности.
Полная и средняя кривизна поверхности
Функция (20) нормальной кривизны поверхности (9) y(t, u) является функцией направления q на поверхности:
2
k = f (q) = Aq + 2Bq + C, или k = A ;
в случае u -линии k = const, см. (21), т.к. имеется только одно направление u -линии.
Направление на поверхности называется асимптотическим, если в этом направлении к = о. Так как квадратный трехчлен /(д) (2о) может иметь о, 1 или 2 корня, то на поверхности в точке Р может быть о, 1 или 2 асимптотических направлений. Корни трехчлена /(д):
- В ±у1 В2 - АС
д=--------А-------•
Свойства трехчлена / (д) (2о) описаны в [2, с. 78-8о].
Точка Р поверхности у(г, и) называется
- гиперболической, если в этой точке поверхность имеет два асимптотических направления; выполняются условия: А Ф о, В - АС > о или А = о, В Ф о; поверхность с касательной плоскостью имеет точно две общих прямых, расположена по обе стороны касательной плоскости;
- параболической, если в этой точке поверхность имеет одно асимптотическое направление; выполняются условия: А Ф о, В - АС = о или
А = В = о, С Ф о; поверхность имеет с касательной плоскостью одну общую прямую и лежит по одну сторону от касательной плоскости;
- эллиптической, если в этой точке поверхность не имеет асимптотических направлений; выполняются условия А Ф о, В - АС < о;
- точкой уплощения, если каждое направление на поверхности в этой точке асимптотическое; выполняются условия А = В = С = о .
На поверхности (9) у(г, и) выделяются два направления. Одно из них -экстремальное направление, на поверхности определяется из условия
-В
/'(д) = о . При этом дэ =---. Экстремальное значение кривизны равно
А
кэ =
АС - В2
Другое есть направление и -линии, в котором к = А . Полной кривизной поверхности у (г, и) называется К = кэ А, средней кривизной поверхности называется Н = ~(кэ + А). Вычисляем значения:
2 „ АС + А2 - В2
К = АС - В2, Н =
2 А
Здесь имеется совпадение с соответствующими формулами для поверхностей 3-мерного пространства-времени Галилея Г3 [2, с. 8о-81].
2.6 Вычислительные формулы для коэффициентов второй квадратичной формы
Для вычисления коэффициентов А, В, С воспользуемся их определением (18) и значением (12) единичного вектора нормали поверхности.
Теорема 4. Вычислительные формулы коэффициентов второй квадратичной формы поверхности таковы:
4Е
# Вычисляем:
\\ги хгии\\ 1 ( 1 ^ 1 ( 1
А = -—!=-“■ , В = АI гииги -Е(гигии)(гигш) I, С = —I гииггг - —(гигии)(гиг«)
, I ии и \ и ии'\ и
АI Е
А гиип Гии
\\ги х Гии
Г Г
г ’и’ии г
ии ., „2 и
Ги
ги х гии
(гг )2
У и ии >
г 2 у'и‘ии>
ии ,, ц2
- \\[Ги Гии (гигии) )
. х Г.— ' '
Г N Г
7 1! II' 1І-
¥и ШГи х гии
\\ги х Г„,
и\\ ІІ'ии || Л 2 \ |Ги х'ии|
, , ———гг! 1 - 008 а) =----------------=- 1
\ги IIПги х гиип ''Iе
Коэффициенты В, С находим аналогично. #
Легко получить значение коэффициента А в координатах:
А =
V(Уи^ии 2иУии ) (2иХии ~Хи^ии) ^ (ХиУии УиХии )
+ Уи + ги
Замечание. Квадратичные формы поверхностей пространства Г имеют точно тот же вид, что и квадратичные формы поверхностей пространства
Г и количество коэффициентов квадратичных форм то же самое. Полная и
средняя кривизны поверхности вычисляются в Г3 и Г4 по общим формулам.
Отличие состоит в том, что при вычислении коэффициентов Е, А, В, С в
Г3 используются 2-мерные евклидовы векторы, а в Г4 используются 3мерные евклидовы векторы, что значительно усложняет вычислительные
формулы.
Список литературы
1. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1989. - 472 с.
2. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. - 306 с.
3. Долгарев, А. И. Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии : учебное пособие / А. И. Долгарев. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - 132 с.
4. Макарова, Н. М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Макарова. - Л., 1962.
5. Яглом, И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И. М. Яглом. - М. : Наука, 1969. - С. 304.
6. Розенфельд, Б. А. Геометрия групп Ли, симметрические, параболические и периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. - М. : МЦНМО, 2003. - 560 с.
7. Головина, Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л. И. Головина. - М. : Наука, 1985. - 392 с.
8. Долгарев, А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований / А. И. Долгарев. - Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. - Препринт 63. - 116 с.
9. Долгарев, А. И. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 2-11.
10. Долгарев, А. И. Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 12-24.
11. Долгарев, А . И . Модели гиперболических плоскостей с псевдоевклидовым и галилеевым расстояниями между точками / А. И. Долгарев // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск : СВМО. - 2003. - Т. 5. - № 1. -С. 262-266.
12. Долгарев, И. А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2006. - № 5 (26). - С. 51-60. - (Естественные науки).
