Получение начального опорного плана многоиндексной задачи траспортной логистики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.681

ПОЛУЧЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ОПОРНОГО ПЛАНА МНОГОИНДЕКСНОЙ ЗАДАЧИ ТРАСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКИ

2. Метод построения начального опорного плана для многоиндексной задачи. Получение соотношения для расчета элементов плана для задачи произвольной индексности

Общая формулировка q-индексной транспортной задачи такова: найти набор X= (Xj^.j ), минимизирующий целевую функцию

АХИЕЗЕР Е.Б., ГЕЛЯРОВСКАЯ О.А., ДУНАЕВСКАЯ О.И., ПРОЦАЙ Н. Т.________________

Рассматривается методика построения начального опорного плана многоиндексной задачи транспортной логистики. Предлагается эффективный метод нуль-преобразования исходных матриц стоимостей для получения начального опорного плана. Описываются соответствующие вычислительные процедуры.

1.Ведение

Актуальность. В реальных задачах транспортной логистики необходимо учитывать не только различия в пунктах производства и потребления, но и промежуточных центров, вида товара, типа транспортных средств. Такая задача описывается многоиндексной моделью транспортной задачи [1].

При высокой размерности задачи, характерной для всех многоиндексных задач, трудно формализуемыми становятся традиционные процедуры построения начального опорного плана, использующие стандартные методы (метод «северо - западного угла», метод минимальной стоимости, метод Фогеля) [2, 3].

Т очное решение многоиндексной транспортной задачи может быть получено методом потенциалов [1, 4]. Однако практическая реализация этого метода является трудоемкой, так как содержит большое число итераций. Основная причина - начальный опорный план никак не связан с матрицей стоимостей и поэтому может быть произвольно далеким от оптимального. При этом вычислительная сложность решения быстро растет с увеличением размерности задачи.

Цель: построить начальный опорный план многоиндексной задачи траспортной логистики на основании метода нуль - преобразований исходной матрицы стоимостей.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ традиционных методов построения начального опорного плана в транспортных задачах.

2. Разработка метода построения начального опорного плана для многоиндексной задачи. Получение соотношения для расчета элементов плана для задачи произвольной индексности.

3. Модификация метода нуль - преобразований исходной матрицы стоимостей.

4. Анализ эффективности метода нуль - преобразований.

П1 П2 nq

L (X )= Z Z ••• Z Cj1j2 ...jq Xj1j2 ...jq (1)

j1=1j2=1 jq=1

и удовлетворяющий ограничениям

n1

Z Xj1j2 --jq =bj2j3 --jq , jk Є Jk , k={2,3,...,q} , j1=1

Z2 Xj j ■ =b: : : , jk Є Jk , k= {Uv,q} , (2)

j2=! j1j2-jq j1j3-jq

Z , Xj1j2"0q bj1j2-jq-1 , jk Є Jk ,

jq =1

k= {l,2,...,q-l} , Xj1j2..Jq > 0, j1 Є J1, j2 Є J2,..., jq Є Jq, (3)

n

Cj1j2. jq - матрица, определяющая стоимость транспортировки единицы груза в условиях (j^vjq) ; bj j j - суммарный объем груза, транспортируе-

J1J2"-Jq-1 / ш \

мого в условиях (jj2>---Jq-1) .

Простая технология расчета элементов плана задачи основана на условиях существования решения, сформулированных применительно к триаксальной тре-хиндексной транспортной задаче.

Соотношения для расчета элементов плана задачи:

j2

bj j bj j bj j bj

X. . . = j1j2 I j1j3 I j2j3 j3

j1j2j3 П3 П2 П1 П1П2 П1П3

j1

П2П3 n,n2n

1n2n3

(4)

где bj1= Z bj1j2,

j2=1

bi2-“.ZZ1bi2i3 ,bjj" 2= bi,j3 ,S- Z Z j .

j3=1 j1=1 j1 =1 j3 =1

Неотрицательный, удовлетворяющий условиям баланса набор, определяемый (4), есть план задачи:

n1 1 n1 1 n1

Z Xjbj2j3 ^ Z Ь.1.9+_ Z Ь.і.3 +

ji=1

3 ji=1

j1j2

A2 ji=1

j1j3

1 n1

+ - Z bj2j3

n1ji=1 ^3 n1n2 ji =1

1 n1 - Z v

n n

1 n1 Z j

1 n1 1

Z bj+-

n9n

1U3 ji=1 n1

Z S

(5)

2n3 ji=1

n1n2n3 ji=1

16

РИ, 2014, № 2

Учтем условия баланса, в соответствии с которыми

3JU3 , ji=1,2,...,n1,

n2 n3

2 bjlj2= 2 bj j2=1 j3=1

n1 n3

Zbj1j2=Zbj2j3 , j2 = 1,2,...,n2,

j1=1 j3=1

n2 n1

2=1bj2j3 = .I=1bj1j3 , j3 = 1,2,...,n3, j2=1 j1=1

n1 n2 n1 n3 n2 n3

2 2 bj1j2 = 2 2 bj1j3 = 2 2 bj1j3 =S j1 = 1j2=1 j1=1j3=1 j2=1j3=1

Преобразуя (5), получаем

n1 1 n1 1 n1

2 Xj1j2j3 = "n 2 bj1j2 2 bj1j3+bj2j3"

j1=1 n3 j1=1 n2 j1=1

11 1 n1 1

----bj3---bj2-------Z bj1+-------S

n2 n3 n2n3 j1=1 n2n3

Далее, так как

1 1 n1 bj3 = 2 b

j1j3

n2j1=1

1 1 n3 1 n1

"n bj2 = "n 2 bj2j3 = "n 2 bj1j2 ,

n3 n3 j3=1 n3 j1=1

1 n1 1 n1 n2 1

------2 bj1=--------2 2 bj1j2=-----------

n2n3 j1 =1 1 n2n3 j1 =1 j2 =1 12 n1n2

(6)

(7)

то (6) выражение с учетом (7) упростится к виду

n1

,2=1 Xj1j2j3 bj2j3, j2 = 1,2,...,n2, j3 = 1,2,...,n3. (8) j1=1

Аналогично этому в результате суммирования (4) по j2 , а затем по j3 , получим соответственно

3. Модификация метода нуль - преобразований исходной матрицы стоимостей

Нуль-преобразование исходной матрицы стоимостей для обычной двухиндексной транспортной задачи имеет вид

e(0)=C1j-(сц+р j), (12)

Pj = min{Cij-ai} , ai = min{Cij} .

Полезный эффект, возникающий при использовании этого преобразования, состоит в том, что

min{c°] =0, j=1,2,...,n, min{C0] =0 , i=1,2,...,m.

Таким образом, в каждой строке и каждом столбце матрицы стоимостей {сЦ] появляется по меньшей мере один нулевой элемент. Это приводит к тому, что начальный опорный план ближе к оптимальному, а следовательно, для решения задачи понадобится значительно меньшее число итераций.

Обобщим соотношения (12) на случай транспортной задачи произвольной индексности. При этом нуль-преобразование исходной матрицы стоимостей имеет вид

С(0) . =Cj j j ■

j1j2..js j1j2..js

( . +a(2) j +...+a(s) j

j1j3...js j1 j3 ---js j1j3-js

где

a(1). ■ =min{Cj1j2 j } a(2) . =min{Cj j j -a(1). . ]

-te-te-Os j1 I jlj2---jsj, j1j3."js j2 1 j1j2---js j2j3...js J

n2

021 Xj1j2j3 =bj1j3, j1=1,2,-,nb j3 = 1,2,-,n3, (9)

j2=1

n3

■21Xj1j2j3 =bj1j2 , j1=1,2,-,n1, 02 = 1,2,...,П2 . (10)

j3=1

Таким образом, из (8) - (10) следует, что набор (4) -план задачи. Соотношение (4) легко обобщается на случай произвольного числа индексов. В частности, при S=4 соотношение для расчета компонентов плана имеет вид:

b b . . b. . . b

X.. . . = _ 020304 І 010304 ,010204 ,010203

01020304 n1 n2 n3 n4

b ■ ■ b ■ ■ b. ■ b ■ ■ b. ■ b ■ ■

0102 0103 0104 0203 0204 0304 |

n3n4 n2n4 n2n3 n1n4 n1n3 n1n2

+ b01 + b02 1 bj3 + bj4 S

n2n3n4

n1n3n

1И3И4

П!%П4

(11)

%n2% n1n2n3n4

РИ, 2014, № 2

j1 j2.. ..s-1

= min{C

-a

(1)

-...-a

s-1)

js

I Ш2"0!! .b-b-Js ***

4. Выводы

Эффективность метода нуль-преобразований исследована экспериментально при решении двухиндекс-ных и трехиндексных транспортных задач (рис. 1 и 2). Условия задач формировались с помощью имитационной модели. Каждая задача решалась дважды: а) начальный план формируется традиционным методом северо-западного угла; б) начальный план формируется методом нуль - преобразований. Критерий оценки эффективности имеет вид

Пк (N)

vkT>(N) vk0)(N)’

k=2,3 .

Здесь vkT) (N) - количество итераций улучшения начального плана, полученного традиционным мето-

дом до получения решения; Vj(0) (N) - количество итераций улучшения начального плана, полученного

17

методом нуль - преобразований до получения решения; N - размерность задачи.

n2=1.5x10-3NL5;

0 N 500

Рис. 1. График зависимости оценки эффективности метода нуль - преобразований от размерности двухин-дексной задачи

0 N 500

Рис.2. График зависимости оценки эффективности метода нуль - преобразований от размерности трехин-дексной задачи

Научная и практическая значимость. Таким образом, использование условий существования решения для многоиндексных задач транспортной логистики позволяет получить начальный опорный план путем расчета по формулам, не прибегая к стандартным трудоемким алгоритмическим процедурам. Для решения многоиндексной задачи управления транспортировками предложен эффективный метод нуль-преобразований матриц для получения начального опорного плана, что существенно ускоряет процедуру решения.

Методика построения начального опорного плана многоиндексной задачи транспортной логистики была

разработана для линейных транспортных задач. В дальнейшем планируется усовершенствовать алгоритм для использования его при решении нелинейных транспортных задач, которые возникают в результате, во-первых, учета более адекватных, чем линейные, зависимостей стоимости транспортировки от объема перевозимого груза, и, во-вторых - в результате построения моделей транспортных задач, параметры которых носят стохастический характер.

Литература: 1. Раскин Л.Г. Многоиндексные задачи линейного программирования / Л.Г. Раскин, И.О. Кириченко. М., 1982. 240с. 2. Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа / Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн. М.: Сов. радио, 1969. 382с. 3. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач / К.Н. Лунгу. М.: ФИЗМАЛИТ, 2005. 128с. 4. Лукин-ский В.С. Модели и методы теории логистики / В.С. Лукинский, И. А. Цвиринько, Ю.В. Малевич. СПб.: ПИТЕР, 2003. 175с.

Поступила в редколлегию 27.05.2014

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пиротти Е.Л.

Ахиезер Елена Борисовна, канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры компьютерной математики и математического моделирования Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 707-63-51.

Геляровская Оксана Анатолиевна, доцент кафедры компьтерной математики и математического моделирования Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 707-63-51.

Дунаевская Ольга Игоревна, канд. техн. наук, старший преподаватель кафедры компьютерной математики и математического моделирования Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 707-63-51.

Процай Наталья Тимофеевна, канд. техн. наук, доцент кафедры компьютерной математики и математического моделирования Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 70763-51.

18

РИ, 2014, № 2