Полнота системы собственных функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке в пространстве с суммируемым квадратом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ГРАФЕ-ПУЧКЕ В ПРОСТРАНСТВЕ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ

© В. В. Провоторов

Если процесс в сложной системе, являясь динамическим, описывается линейными уравнениями в частных производных, то естественным является вопрос применимости метода Фурье, приводящий к важной задаче: разложению заданной функции по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля на сети [1, с. 33]. Ниже рассматривается модельный случай, когда сеть представляет собой пучок, состоящий из трех физически одинаковых одномерных континуумов (трех ребер с одним узлом). К таким задачам приходят, например, при моделировании колебательных процессов упругой мачты с поддерживающими упругими растяжками [2]. Все рассуждения без особых затруднений переносятся на случай произвольного числа ребер графа.

3 3

Пусть 7к = (0, §) (к = 1, 2), 73 = (2,п). Обозначим Г = У 7к; очевидно Г = и 7к.

_ к=1 _ к=1 Множество Г представляет собой граф-пучок с узлом П>. На графе Г рассмотрим множество 9 функций у (х) Є С (Г) П С2 (Г) (непрерывность в узле П означает выполнение соотношений у (х)х= Ж= У (х)х= ке^2 = У (х)х= ке^3), производные которых в точках 2 Є 7к (к = 1, 2, 3) (т.е. в узле П) удовлетворяют условиям согласования (условия трансмиссии [1, с. 27]):

2

(х)х=|= у' (х)х=|•

к=1

На функциях у (х) Є 9 рассмотрим краевую задачу Штурма-Лиувилля

-У" + Я (х) У = Ху,

(:у'(х) - Ну (х)) х=0е% = 0 (к = 12), (у'(х) + Ну (х)) х=п€_з = 0,

здесь Х — спектральный параметр; д(х), Н, Н > 0 — вещественные; д(х) д(х)1-1 = д(х)у2 = д(п — х)^ •

Пусть функции и (х, Х), V (х, Х) Є С [0, п] П С2 (0, п) — решения уравнения (2), удовлетворяющие начальным условиям и (0, Х) = 1, и' (0, Х) = Н, V (п,Х) = 1, V (п,Х) = —Н, соответственно.

Пусть О(Х) = 2и'( П ,Х)и( П, Х) — и'(., Х)и( П, ,Х). Обозначим О', О'' — множества чисел {Хп} для которых Б(Хп) = 0, и(П,, Хп) = 0 соответственно; О — множество собственных значений краевой задачи (2), (3).

Т е ор е м а 1. Имеет место О = О' и О'' (О' П О'' = $), причем каждое собственное значение является простым нулем функции О(Х) (Х Є О') или и(П,, Х) (Х Є О'')•

Теорема 2. Система собственных функций {ф (х, Хп)}п>о краевой задачи (2), (3) полна и образует ортогональный базис в Ь2 (Г) •

(1)

(2)

(3)

є С(Г),

Доказательство теоремы основано на методе, который играет важную роль в исследовании прямых и обратных задач спектрального анализа для многих классов операторов — методе интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра [3, с. 21]. Для функции f (x) £ L2(r), ортогональной всем собственным функциям краевой задачи (2), (3), рассматривается истокообразно представимая функция y(x,X) = f G(x,t, X) f (t)dt (G(x,t,X) — функция Грина краевой задачи (2),

г

(3). Устанавливается, что вычеты функции y(x, X) при X = Xn (Xn — собственные значения краевой задачи (2), (3) равны нулю. Это, и асимптотические формулы для G(x,t, X), приводит к f (x) = 0 п.в. на Г. Метод контурного интегрирования применим также для получения условий разложимости заданной функции на графе Г по собственным функциям краевой задачи (2), (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004. 227с.

2. Провоторов В.В. Математическое моделирование колебательных процессов поддерживающих растяжек упругой мачты // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. Воронеж, 2006. №2. С. 28-35.

3. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Саратовского педагогического института, 2001. 499 с.

Провоторов Вячеслав Васильевич Воронежский государственный ун-т Россия, Воронеж e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

К АНАЛИЗУ МОДЕЛИ КРЕДИТНО-ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕСУРСОВ ПРЕДПРИЯТИЯ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ВОЗМУЩЕНИЕМ

© Д. Н. Протасов

Рассматривается экономико-математические модели, основанные на решении обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущениями, описывающих различные способы инвестирования в бизнесе (самофинансирование, государственная поддержка, кредитование). Данные модели позволяют исследовать динамику развития различных предприятий в зависимости от выбранных инвестиционных стратегий: «чистых» (использование одного