Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы из m струн Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 10. 2012. Вып. 1

УДК 517.958

В. В. Провоторов

ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ГАШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ т СТРУН

1. Введение. Задачам управления дифференциальными системами на графах посвящено достаточно много работ, которые условно можно разделить на два класса: управляющие воздействия прилагаются во всех узлах графа и только в граничных узлах (граничная управляемость) [1, 2]. В настоящей работе представлен метод нахождения граничных управляющих воздействий в задаче о гашении колебаний в системе из т струн, закрепленных по типу графа-звезды, т. е. в задаче перевода системы из некоторого наперед заданного состояния в состояние полного покоя. Постановка задачи формулируется для решений класса С2. Для упрощения полученных формул длины ребер графа кратны п, волновое уравнение используется в простейшей форме: иа = ихх. Мы применяем спектральную технику (анализ Фурье) в решении поставленной задачи, так как полагаем, что она более естественна: сравнительно легко преодолеваются сложности, порожденные геометрией графа. Результат анализа поставленной задачи представлен в виде готовых формул, определяющих искомые граничные управления как функции времени.

2. Основные понятия и определения. Пусть Г - граф-звезда, состоящий из т одинаковых ребер и одного внутреннего узла При этом ребра (к = 1,то — 1) параметризованы отрезком [0, п/2] (ориентация на ребрах «к узлу £»), ребро 7т - отрезком [п/2,п] (ориентация на ребре - «от узла £»). Здесь и ниже используются понятия и обозначения из монографии [3].

Обозначим через С (Г) множество непрерывных на Г функций, С[Г] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными), С2[Г] - множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат С [Г]. Сужение функции / (х) на ребро 7 будем обозначать через /(х)7. Интеграл от функции /(х) по графу Г понимается

т

как сумма интегралов от сужений /(х)1 по каждому ребру: / /(х)йх = ^ / /(х)1к¿х.

Г к=11к

Рассмотрим спектральную задачу на звезде Г (задача Штурма-Лиувилля [3]) в С (Г) П С2 [Г], которая определяется набором уравнений

Провоторов Вячеслав Васильевич — доктор физико-математических наук, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета. Количество опубликованных работ: 85, по теме статьи — 3 публикации. Научные направления: краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графе, граничное управление дифференциальными системами на графе, численные методы анализа. E-mail: [email protected].

© В. В. Провоторов, 2012

на ребрах при фиксированной параметризации, уравнением в узле £

ш— 1

е 2)7, =

к=1

и краевыми условиями

у(0)7к=0 (к=1,т-1),

У(п)~,

0,

(3)

(4)

здесь Л - спектральный параметр.

Имеют место следующие необходимые в дальнейшем утверждения, являющиеся следствием теорем 3 и 4 из [4].

1. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (1)-(4) вещественны. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны в Ь2(Г).

2. Множество {Лп}п^1 (Лп = и2) образует совокупность собственных чисел, при этом если и нечетное, то Лп простое, при и четном - кратное, кратность его равна т — 1.

Структура множества собственных функций, их представление определяются кратностью собственных значений:

при и = 21 — 1 (I = 1, 2,...) Лп простое, собственная функция имеет вид

и21-1(х)

2

вт(2/ — 1)ж, ж € к = 1, то;

(5)

при и = 21 (I = 1, 2,...) Лп кратное, собственные функции имеют вид

1(х) =

у/узш21х, ж € 71,

0, ж € к = 2, то — 1, у/Щяп2к, х € 7т,

и21(х)

(¿=2,т-2)

/^1(-^)вт21х, хе1к, к = 1,1-1, вт 2/х, X € 7г, 0, ж € 7д;, /г = г + 1, то — 1, ж € 7т,

(6)

ш-1

(х)

/т — 1

8И121х, ж€7д;, к = 1,т — 2,

ут—Твт2/ж, ж € 7т-1, 1 ° ЭШ 2/ж, ж € 7т-

1

Упорядочим собственные значения {Лп}п^1 по возрастанию

Л1 < Л2 < ... < Л2 < Л3 < Л4 < ... < Л4 < ...

ш-1 ш-1

(собственное значение входит в цепочку неравенств столько раз, какова его кратность). Каждому собственному значению цепочки соответствует собственная функция (5) или одна из (6). Такое множество функций обозначим {мп(х)}п^1, очевидно, оно является ортонормальной системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (1)-(4).

1

2

2

1

2

Используем следующие утверждения [4, теоремы 7 и 8].

3. Система собственных функций {ип(х)}п^1 полна и образует ортогональный базис в Ь2(Г).

4. Для любой абсолютно непрерывной функции / (х), х € Г, имеет место разложение в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям {мп(х)}п^:

f = anun(x), an = f (t)un(r)dr,

апип ( х = 1 г

причем ряд сходится равномерно на Г.

3. Постановка задачи. Колебания на каждом из ребер при произвольном значении времени £ описываются уравнениями

■щ= (7)

внутри каждого ребра (к = 1, т — 1), £ € (О,Т) и соотношениями в узле £ (условия непрерывности и гладкости)

Щ,1)1к=Щ,1)1т (к = I, m — 1),

- 2 > Пк — "12' / 7т

д о ( 7т j-\ _ д о ( 7т j-\

t g (0,T). (8)

ôœ v 2 ' Lhk — Эж v 2 ' 'VTmi

к=1

К соотношениям (7), (8) добавляются начальные условия при х € Г, £ = 0:

П(х,0) = ф), §-(П(х,0) = ф(х) (9)

и граничные условия в граничных узлах графа:

п(о,г)Ук=1лк(г)(к = 1,т-1), = г е [о,Т\; (ю)

^>(х), ф(х), ¡ли(£), V(£) — заданные функции.

Обозначим через Д(Г) объединение ребер графа, не содержащих концевых точек: Д(Г) = Г\(дГ и {£}). Областью задания переменных уравнений (7) будем считать цилиндр Ц = Д(Г) х (0,Т), соотношения (8) задаются на 7(Ц) = {£} х [0,Т]. Решением краевой задачи (7)-(10) является функция П(х, £) класса О2 (Г х [0,Т]), удовлетворяющая уравнениям (7) в Ц, соотношениям (8) в 7(Ц), начальным условиям (9) при £ = 0, х € Г и граничным условиям (10) при х € дГ, £ € [0, Т].

Для функций ц>(х),ф(х),лк (¿)^(£) выполнены условия согласования

= M0) (к = 1), (р(тт)7т = 1/(0), Ф(0К = К(0) (k = l,m- 1), ф(тг)7т = 1/(0),

при этом должны выполняться условия гладкости у>(х) G C2[Г], ф(х) G C 1[Г] и nk(t)(k = 1 ,то- 1), i/(t) G С2[0,Т].

Задача гашения колебаний системы (7)—(10). Задача гашения колебаний дифференциальной системы (7)-(10) состоит в определении времени T и управляющих функций /j>k(t)(k = 1 , то — 1), i/(x) таких, что в момент времени t = Т выполнялись условия

П(х,Т) = 0, §тП(х,Т)=0, ж G Г. (И)

4. Решение задачи гашения колебаний.

4.1. Решение задачи (7), (8) будем искать в виде ряда Фурье по системе {пп(х)}п^1 (см. п. 1)

0,(х, *) = ап(Ь)пп(х), ап(Ь) = I £1(х,Ь)пп(х)3,х. (12)

п=1 Г

Тогда, подставляя (12) в уравнение (7), получим

г .. Г д2

«п(^) = / П(х,¿)мп(Ж)С£Е = / -^—^П(х^)ип(х)с1х.

Г Г

После вычисления интегралов дважды по частям на каждом из 7к (к = 1, то) получим

Йп^ + АпОп(*)= * € (0,Т), (13)

где

т-1 ^ ^

= (лф)—ип{0)7к - г/(£)—мп(тг)7т.

к=1

Определив ап(Ь) из уравнения (13) с начальными условиями ап(0) = рп, ап(0) = фп (фп, фп - коэффициенты Фурье функций у>(х), ф(х) соответственно, при разложении их по системе {пп(х)}п^1, Ап = и2), находим

П(х,г) = ип(х){срп совпЬ + ^ эшп^ + ^ / гп(т) sm^l(¿ - т)(1т} (14)

оо

= ип(х){— гирп ётпЬ + фп совпЬ + / гп(т) cosn(t — т)с1т}, (15)

п=1 0

гп(Ь) указано выше.

Колебания системы (7)-(10) можно погасить за время * = п. Учитывая представление гп(Ь) и соотношения (14), (15), условия гашения колебаний системы (7)-(10), т. е. условия (11), принимают вид (и = 1, 2,...)

и

¡рп СОВ П7Г+±/

т—1

к=1

Бт и(п — т )в/г = 0 (16)

фп сов ип + /

0

— 1

с

к=1

Е Мк(т)£ип(0)7к - 1у(т)£ип(тт)7гг

сов и(п — т )3т = 0. (17)

Заметим, что полученные соотношения (16), (17) являются моментными равенствами [5] для определения управляющих воздействий на систему (7)-(10).

Следуя идеям монографии [6], в соотношениях (16), (17) определим коэффициенты Фурье для функций, разложенных по системе {пп(х)}п^1. Вычислим интеграл в (17) по частям:

и

п /m—1 \

^„cosnTT + i/ £ ^Ик(т)£ип(0)7к ~ £^(т)£ип(-к)1т SU1 п(тГ - т)йт = 0. (18) 0 \k=1 /

Далее в соотношениях (16) и (18) проделаем следующие действия. Интегралы, содержащие функции /xfc(r), вычислим, заменив г на 7г — г (для простоты в качестве переменной в новых интегралах оставим прежнюю переменную т), интегралы, содержащие функции и(т), -£v(t), рассчитаем при помощи формулы sinn(7r — г) = — cos nn sin nn. Получим (n = 1, 2,...)

п m— l

cpncosnn + ± f 2 Mfcí^ - r)¿Mn(0)7fc sinAnrdr +

0 k=1

п

+ i / !Лг£и„( 7г)7гг1 COS П7Г sin nrdr = 0,

n 0 ж m

п m— 1

V>„ eos птт - ^ / 2 ¿Mfcí^ - T)£;un(0)7fc sin пт<1т +

0 k=1

п

+ 7Г / ¿H^Í^Wt™. sinAnrdr = 0.

0

(19)

(20)

Для l = 1, 2,..., учитывая представления (5) и (6), получим при п = 21 — 1

m—1 d 2 m—1

Mfc(^)^-«2í-i(0)7fc = (21 - l)-¡= Y^

dx л/

k=1 v k=1

при n = 2l

m— 1

k=1 v

г— 1 ,- / г— 1

d „.г /"п^ _ о7 2 / rrt [

«o

ЕйМйт^а^;^ ^ E^-W + Vi^Mj, г = 2,m — 1,

и далее

при n = 2l — 1

v(t)^-u2i-i(Tr)7m = (21 - 1) cos(21 - 1)ттг/(т), dx ^Jmn

при n = 2l

d 2 I rri 1 _

Кт)—иг21(тг)7т = 21—=J-——=cos21hv(t), i = l,m- 1; dx \Jmn у г + 1 у г

т— 1

выражения ^ £ик(т)-£ип(0)7к и ^(1)-£ип('к)7т в (18) представляются аналогично

и=1

с заменой /х&(т) на £цк(т) и г/(т) на ^г/(г). Учитывая полученные формулы, соотношения (19) при различных п принимают следующий вид (/ = 1, 2,...):

1) при и = 21 — 1

п т—1

<Р21-1 сов(21 — 1)и + / -т= Е - т)вт(21 - 1)тс1т +

0 к=1

0

2) при и = 21

7Г _

соэ21тт / -т= - т) вт21т(1т +

о \/тп

0

¿—1

(22)

^,С08 2I 8И1 21т<1т +

0

+ !■

0

2

/тэт у ¿+1

4- 8И121т<1т = 0, г = 2, т — 1

(здесь ^2г, - коэффициенты Фурье, соответствующие собственным функциям п2г(х), г4г(ж) в соотношениях (6) для г = 1, то — 1). Аналогичный вид принимают и соотношения (20) (I = 1, 2,...): 1) при и = 21 — 1

п т—1

+ /

0

0

_2__

ртж '/т

т7Г 2—' '1т'

к=1

V(т) вт(2/ — 1)тйт = 0,

(23)

2) при и = 21

ФЬ сов 2/тг - / ^(7Г - г) 8Ш 2/ГЙГ + / 2 ^¿^(г) вт 2/(т)<*т = О,

0

0

Ф21 сов 21п — /

2

7Г

+ Г-т2=4т#г/(1")8т2/гсгг = 0, г = 2, то - 1.

■1 фгш ф, ат V / ' '

(24)

На графе Г введем функции МДж) (г = 2, то — 1), У(ж):

/XI (тг -х), х £ 71 и 7т; Ам Гж) = I Ж^1^"31)' О, ж € 7^-, = 2, то - 1, Ц ' \ 0, ж € з = 2, то - 1,

М - 1 ^ ~х)+ Ж 6 7г> А М С VI - I ^^ ~Х)~ х е

(¿=2^1) Ъ-. = т ^ X °>х е :7 = 1, т 0 ± »

= I ^ 6 71 ^^(ж) = ( Ж 6 71 и 7т'

О, ж € 7^-, = 2, то — 1, ^ 1 0, ж € 7^-, ] = 2, то — 1.

Запишем интегралы в соотношениях (21)-(24) в виде интегралов по графу Г, используя функции Мг(х), У(х), -£Мг(х), -£У(х) и учитывая представления (5), (6) собственных функций ип(х). Соотношения (21), (22) принимают вид (/ = 1, 2,...) 1) при п = 2/ — 1

1

«P2J-1 cos(2l - 1)п + е SMi (t )u2i—i (T)dT + / V(t)u2i-i (t )dT = 0,

j=1 Г г

2) при n = 2l

(25)

m—1

^2i cos2ln + £ ¡Mj(t)u1i(t)dT + / V(t)u^(t)dT = 0,

j=1 Г Г

m—1

^*2l cos 2ln + E f Mj (t)u*2i (t)dT + / V(T)u*2i (t)dT +

j=i_r г

л- ¿-1 ir/2

— J — t)sin2lTdT + E f ^j (t)sin2lTdT —

n/2 _ j=2 0

n/2

+

2 2 _

v^ Vm7r V i+1

n/2

= 0, i = 2,m — 1;

(26)

(27)

— if /Лг(т )sin2lTdT + f v (t )sin2lTdT

00

соотношения (23), (24) (l = 1, 2,...) - вид 1) при n = 2l — 1

m— 1

V>2i-icos(2Z-l)7T- E / ¿MJ-(r)M2i_1(r)CÎT + / A1/(t)M2î_1(t)cît = o, (28)

j=1 г г

2) при n = 2l

1

V^cOS2/TT- E /¿М3-(гЦ(гИг + Л:У(гЦ(фг = 0

j=1 г

(29)

m—1

^С08 2/7Г+ E /¿М,-(гК2г(г)йг + /А1/(гК2г(г)йг +

l 2 2 / m

vï Vm7r V »+1

j=1 г г

7Г ¿-1 тг/2

" / -r)sin2/rdr+ E / ^:Aij(r)sin2/rdr - (30)

n/2 j=2 0

n/2 n/2

-i f ±ih{t) sin2/rdr+ / iHr) sin 2/rdr о т о T

= 0, i = 2,m — 1.

Итак, система соотношений (16) и (18) (т. е. условия гашения колебаний системы (7)—(10)) принимает вид (25)-(27) и (28)-(30).

Пусть функции fj,i(t) (i = 1, m — 1), v(t) удовлетворяют условию

/XI(г) - 2/4*(г) + г/(г) = 0, 4 е [О, тт/2] (г = 2, ш - 1), (31)

тогда в соотношениях (27) и (30) суммы всех интегралов на отрезках [0,^/2] и [^/2,^] для любого г = 2, то — 1 представляются интегралами

22

% л/тптт \ г + 1

п/2

21

(т) — ^¿(т) + V(т)

3 = 1

Бт 2штд,т

22

% л/тип V г + 1

■ж/2

2—1

ЕЯ ч

—Н{т)-г -т-1н(т) + -г^т)

3=1

Бт 2штв,т,

которые равны нулю.

Для дальнейшего исследования соотношений (25)-(30) потребуются продолжения сужений 1р{х)1к, ф(х)7к{к = 2, ш — 1) функций у>(ж), ?/>(ж) на отрезок [0, тг]. Обозначим продолженные функции через

^РШт (х) =

<р(х)71, ж е [о, §],

ФИ1т (х) =

Ф(х)71, X е [о, §],

т

и

т

и пусть

С Ч — / х 6 [°> §]>

Ф7к (ж) =

(й=2,т-1) ^ 2^717

ф(ж) = / <^717™ (Ж)> ж £ 71 Ц 7т,

^ ' I /Г) I Т» I Т» I £-» - ) Г~П

(р7к(х), х £ 7к(к = 2, т - 1),

Ф(а

Ф717т

(х), х € 71 и 7т,

ф7к{х), X е 7ь(/г = 2, т - 1);

ясно, что Ф(х) = у(х), Ф(х) = ф(х), х € Г.

После умножения соотношений (25)-(27) и (28)-(30) на собственные функции и21-1(х), (к = 1, ш — 1), I = 1, 2,..., и последующего суммирования получим

т—1

—ф(п — х)+ £ М2(х) + У(х) = 0,

2=1 т1

-Ф(тг - ж) - £ ¿м4(ж) + ¿1/(ж) = 0. 1

(32)

Уравнения (32) на ребрах (/г = 1, то) имеют следующий вид: на 71 и 7т (х € [0,п])

— (П — х)+ М1 (П — х)+ V(х) = 0

-•ФчпЛк -х)- - ж) + £и(х)

на 7^, /г = 2, то — 1 (ж € [0,7г/2]),

—^ (п — х)+ Цк (п — х)+ Цк (х) = 0, -ф7к(тг - ж) - -х) +

(33)

(34)

Итак, задача гашения колебаний системы (7)-(10) свелась к решению систем (33), (34) относительно управляющих функций ¡лк{х) (к = 1, то — 1), v(x) при условии (31) на эти функции и получению следующего утверждения.

Теорема. Дифференциальная система (7)-(10) точно управляема на промежутке [О, T] (Т = 7г). Функции fj,k(x)(k = l,m — 1), v(x) удовлетворяют системам (33), (34) при условии (31) на эти функции.

Замечание 1. Если Г - простейший граф, Г = 71U Ym (т. е. х G [0, п]), то управляющими функциями являются функции ^1, v и задача гашения колебаний системы (7), (8) сводится к системе (33) (условия (31) отсутствуют). Такая ситуация рассмотрена

в [6]. _

4.2. Определим управляющие воздействия (k = 1 , то — 1), v(t) из систем (33), (34). Рассмотрим систему (33). Второе уравнение проинтегрируем от х до п, и полученный интеграл приведем к переменной т = п — х:

(35)

(п — х) + Л1(п — х)+ v(x) = 0

п — х

— I Фц1т (т + Л1(п — х) — V (х) = С0.

0

Складывая и вычитая равенства в (35), имеем

п — х

2Л1(п — х) = ^717т (п — х)+ / ф717т (т^т +

0

п — х

2V(х) = ^Щт (п — х) — / Фц 1т (Т)ЛТ — С0 .

0

Отсюда для функций ¡1 и V находим выражения

г

= ^шЛ^ + \ I ФщЛт)^ + со,

0 — ^ € [0, п]; (36)

v(t) = 2^717т(тг - t) - 2 / Ф-/uAT)dT - со,

0

постоянная со определяется из первого соотношения (36) и условий согласования: со = 1/2^(0)71.

Интегрируя второе уравнение системы (34) от х до п/2, получаем

(п — х) + !Лк (п — х) + !Лк (х) = 0,

п/2

— f Ф^к (п — T)dT + !Лк(п — х) — ¡Лк(х) = 0

x

и далее

п/2

2^к (х) = ф1к (п — х) — f ф7к (п — т)dT,

x

п/2

2^к (п — х) = ф1к (п — х)+ f ф7к (п — т)dT,

x

откуда для /лк (t) (t G [0,п]) находим

п-1

fk(t)= U t 42 (37)

(fc=2,m-i)^ | Vlk{t)+ f ф7к(т)(1т, tG[n/2,тг].

п/2

Vjk (п — t) — / ф1к (T)d'T, t G [0,П/2],

Нетрудно убедиться, что условие (31) для функций /xfc(t) (к = 1, m — 1), v{t), определяемых формулами (36), (37), выполнено.

Замечание 2. Решение задачи гашения колебаний дифференциальной системы (7)-(10) будет аналогичным представленному, если граничные условия (10) имеют более общий вид при t € [0,T]

(fc=l,m-l)

(граничные условия 3-го рода); hk(k = l,m — 1), Н - фиксированные положительные числа. Единственное отличие - выбор собственных функций un(x) задачи Штурма-Лиувилля (1)-(4), краевые условия которой (3), (4) заменяются условиями

±у{0)7fc - hky{0)7fc = 0, ±у(ъ)1т + Ну(ъ)1т = 0.

(fc=l,m-l)

5. Заключение. Ассоциированная с графом-звездой Г динамическая система (7)-(10) является точно управляемой для времени T = п при условиях (31) на управляющие воздействия ¡j,k(t) (к = l,m — 1), v(t). Доказательство конструктивно: предлагается процедура, описанная в п. 4 (4.1 и 4.2), управляющие функции представлены формулами (36), (37). Переход к задаче гашения колебаний дифференциальных систем с пространственной переменной, изменяющейся на произвольной сети типа графа-дерево, приводит к изучению свойств собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на графе-дерево (аналог задачи (1)-(4) на графе-звезде). Подробный анализ некоторых видов таких задач представлен в монографии [7]. Отметим, что в случае, когда сеть содержит цикл(ы), динамическая система неуправляема граничными воздействиями -система собственных функций содержит функцию, аннулирующуюся на граничных ребрах (т. е. примыкающих к граничным узлам) [8].

Литература

1. Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of exponentials. The Method of Moments in Controllability Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 93 с.

2. Белишев М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (на деревьях) // Зап. науч. семинаров Петерб. отд. Мaтем. инта РАН. 2004. Т. 308. С. 23-45.

3. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. М.: Физматлит, 2004. 227 с.

4. Провоторов В. В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде // Матем. сб. 2008. Т. 199, № 10. С. 105-126.

5. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

6. Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. 176 с.

7. Провоторов В. В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж: Научная книга, 2008. 248 с.

8. Провоторов В. В. Спектральная задача на графе с циклом // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1665-1666.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.