Квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Квантование на пара-эрмитовых симметрических

пространствах 1

© В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: представления групп Ли; эрмитовы симметрические пространства; пара-эрмитовы симметрические пространства; исчисления символов.

Строится квантование (исчисление символов) в духе Березина на пара-эрмитовых симметрических пространствах.

§ 1. Квантование по Березину

Напомним концепцию квантования, предложенную Березиным, см. [1] - [3]. Мы не будем излагать ее в полной общности, мы ограничимся несколько упрощенной версией.

Пусть М - симплектическое многообразие. Тогда С°°(М) является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона {А, В}, А, В € С°°(М).

Квантование в смысле Березина состоит из двух шагов.

Шаг первый: надо построить некоторую совокупность ассоциативных алгебр A(h), содержащихся в С°°(М) и зависящих от параметра h > 0 (называемого постоянной Планка), умножение в A(h) обозначается *, оно тоже зависит от h. Эти алгебры должны удовлетворять следующим условиям (а) — (е£):

(а) lim А\ * А2 — А1А2] (1.1)

h—>0

(б) ИшД (Ах * А2 - А2 * Ai) = {Ai, Л2}; (1.2)

п—+0 II

умножение в правой части (1.1) есть обычное поточечное умножение; в правой части (1.2) стоит скобка Пуассона; условия (а), (6) вместе называются принципом соответствия;

(c) функция Ло = 1, тождественно равная единице, есть единичный элемент каждой алгебры А (/г);

(d) комплексное сопряжение А н-» А есть анти-инволюция каждой алгебры

A{h).

хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474 и Темпланом 1.5.07.

Шаг второй: надо построить представления алгебр А(К) операторами

в гильбертовом пространстве.

Березин главным образом исследовал случай, когда М есть эрмитово симметрическое пространство С/К. Следовательно, оно имеет инвариантную комплексную структуру. Пусть оно реализовано как ограниченная область в Ст. В этом случае функции А - это функции А(г,г), г Є М, раздельно аналитические по 2 и по г. Комплексное сопряжение сводится к перестановке гиг: А(г,г) = А(г, г).

Пусть В(г, г) - ядро Бергмана области М. Исходным пунктом в конструкции Березина является так называемая переполненная система (система когерентных состояний):

где Л < Л0 (А0 - некоторое число), я - род соответствующей йордановой алгебры. Пусть Т\ - пространство Фока на М. Это - гильбертово пространство аналитических функций на М, квадратично интегрируемых относительно меры с(А) • В(г,~г)х^(1и(г), где с(А) - некоторый нормирующий множитель (аналитически зависящий от А), <1и(г) - инвариантная мера на М. Функция Ф™(~) как функция от г принадлежит Т\ и обладает воспроизводящим свойством:

скалярное произведение берется в Т\.

Пусть А - ограниченный оператор в Т\. Сопоставим ему функцию от двух переменных г, ъи € М:

Ее ограничение на диагональ, т.е. функция А(г,г), есть функция на М, она называется ковари,ант,ным символом, оператора А. Функция А(г, Ш) восстанавливается по А(г,г) по аналитичности. Оператор А вполне определяется своим ковариантным символом:

Ядро В называется ядром Березина, оператор с этим ядром называется преобразованием Березина, оно действует в функциях на М. Березин ([3], см. также [14]) нашел выражение преобразования В через операторы Лапласа на М

Фш(г) = Ф(г,ги) = ФА(^, ги) = В(г, ю) х/н

(/. Фгїї) = /Ы,

М

где с = с(А). Умножение операторов дает умножение символов:

м

Аі(г, уо) А2(иі, г)В(г, г', ги, и>) (1і/(иі), (1-3)

где

В(г, г; ги, ги) = с

Ф(г, го) Ф(ги, г)

Ф(г, г) Ф(ги, ги)

(образующие в алгебре инвариантных дифференциальных операторов на М) и нашел асимптотику В при Л —> — оо:

В~ 1-ІД, (1.4)

Л

где Д - оператор Лапласа-Бельтрами на М. Это решает задачу построения квантования на М: в качестве постоянной Планка надо взять к — —1/А, алгебры Л{Ь) состоят из ковариантных символов ограниченных операторов в пространстве Фока Т\ с умножением *, заданным (1.3), принцип соответствия вытекает из (1.4).

Кроме того, Березин определяет контравариантные символы операторов:

О

функция А (г, г) на М называется контравариантным символом оператора А, определяемого формулой

(Я/)(г)=с!м°а <“’®) ШМ т <м“)-

Оказывается, что переход от контравариантного символа к ковариантному символу того же самого оператора дается преобразованием Березина.

§ 2. Параэрмитовы симметрические пространства

В этом параграфе мы изложим необходимый нам материал из [13]. Пусть (3 -связная полупростая группа Ли. Пусть о - некоторый нетривиальный инволю-тивный автоморфизм (инволюция) группы (2. Обозначим через С* подгруппу, состоящую из неподвижных точек для о. Пусть Н - подгруппа в С, лежащая между Са и ее связной компонентой единицы (Са)е\

[Са)е С Н С Са

(т. е. Я-открытая подгруппа в С7). Однородное пространство С/Н называется полупростъш симметрическим пространством.

Как правило, мы будем считать, что группы действуют на своих однородных пространствах справа, так что С/Н это пространство правых классов смежности Нд.

Существует инволюция Картана т группы С, коммутирующая с а. Обозначим в = от = то. Положим К = Ст.

Пусть д - алгебра Ли группы С. Пусть В0 - ее форма Киллинга.

Инволюции сит индуцируют автоморфизмы алгебры Ли д, мы их будем обозначать теми же самыми буквами о и т.

Алгебра Ли д распадается в прямую сумму 0 = ^ + 4 собственных для о подпространств с собственными значениями +1 и —1, соответственно. Аналогичное разложение 0 = I + р имеет место для инволюции т. Подпространства [)

pié - алгебры Ли групп Я и К, соответственно. Поскольку сг и т коммутируют, имеет место совместное разложение

g = tnfj + £nq + pnf) + pnq.

Подпространство q инвариантно относительно группы Н и ее алгебры f) в присоединенном представлении. Это подпространство можно отождествить с касательным пространством к G/H в точке а;0 = Не (е - единица группы G).

Картановским подпространством в q называется максимальная абелева подалгебра в q, состоящая из полупростых элементов. Все такие подпространства имеют одинаковую размерность. Она называется рангом симметрического пространства G/H. Предположим, что пара (g, f)) - эффективная, т.е. [} не содержит нетривиального идеала алгебры д.

Теперь предположим, что G/H - симплектпическое многообразие. Тогда f) имеет ненулевой центр Для простоты мы будем считать, что G/H есть

G-орбита элемента Z0 G g в присоединенном представлении Ad группы G. В частности, тогда Zq е Z(t)).

Далее, мы можем считать, что G - простая группа Ли. Симплектические полупростые симметрические пространства G/H с простой группой G делятся на 4 класса: (а) эрмитовы симметрические пространства; (Ъ) полукэлеровы симметрические пространства; (с) параэрмитовы симметрические пространства;

(d) комплексификации эрмитовых симметрических пространств. Пространства из класса (а) римановы, из остальных трех классов псевдоримановы (не ри-мановы). Римановой формой для пространства из классов (Ь), (с), (d) служит эрмитово симметрическое пространство. Для пространств класса (а) алгебра Ли f) совпадает с алгеброй Ли £. Для пространств классов (а), (Ь), (с) центр Z(tj) одномерен, так что Z(f)) — R-^o- Для пространств класса (Ь) и (с) элемент Zq лежит соответственно BÉnfjHpnf}.

Предметом нашего изучения будут пространства класса (с). В этом случае элемент Zq может быть нормирован так, что оператор I — (adZo)|q в q является инволюцией. Симплектическая структура на G/H определяется билинейной формой

u(X,Y) = Be(X,IY)

на q. Пусть q* - собственные для / подпространства в q с собственными значениями ±1, соответственно. Оба эти подпространства являются абелевыми подалгебрами в д, они инвариантны относительно Н и неприводимы. Кроме того, оба эти подпространства лагранжевы. Таким образом, алгебра Ли g становится градуированной алгеброй:

g = q~ + J) + q+

с соотношениями коммутации [{),[)] С f), [í), q—] С q_, [f),q+] С q+.

Введем характер h i—> b(h) группы H (он нетривиален):

b(h) — det(Ad/¿)|q+.

Инволюция а сохраняет подпространства q1*1, инволюции г и 9 дают линейные изоморфизмы q"11 —» q^. Кроме того, мы получаем следующие линейные

142S

изоморфизмы:

1 + т: q±-^Énq, 1-т: q* —> р П q, а также изоморфизм -0 : t П q —»■ р П q, определенный формулой

ф(Х + тХ) = X - тХ, Xeq+.

Отображение ф определяет двойственность между двумя римановыми симметрическими алгебрами (6,6 U íj, а) и (д0, 6 U Í), а), где g0 = {!nf) + pnq. Первая из них компактного типа, вторая - некомпактного.

Пара (q+, q~) есть йорданова пара с умножением {XYZ} = (1/2) [[X, У], Z], см. [12]. Пусть г и к - ранг и род этой йордановой пары. Возьмем в q+ максимальную систему ег,... ,ег попарно ортогональных идемпотентов: {e¿e*ej} = SijCj, где е* — —rej G q". Пусть а С р П q, bCÉflq - подпространства с базисами Xi = e¿ + е* и Yi — e¿ — е*, соответственно. Они - максимальные абелевы подпространства (картановские подпространства) в pflq и даже в q. Мы видим, что ранги пары (q+,q~) и пространств G/Н и К/(К П Я) совпадают (так что, в частности, G/Н обладает дискретной серией).

Положим Q± = exp q±. Подгруппы Р± = HQ± = Q±H являются максимальными параболическими подгруппами в G, для них Я есть подгруппа Леви. Мы имеем следующие разложения:

где черта означает замыкание, а множества под чертой открыты и плотны в С. Назовем разложения (2.1) - (2.4) соответственнно разложениями Гаусса, "анти-Гаусса Ивасавы, "анти-Ивасавы". Для элемента д £ С все три множителя, соответствующие разложениям (2.1), (2.2), а так же первые множители, соответствующие (2.3), (2.4), определены однозначно, а вторые и третьи множители, соответствующие (2.3), (2.4). определены с точностью до элемента из К П Я (например, для (2.3): д — (Ьк — гДе Л-1 = /г/, к\ = 1ггк, I Е К П Я).

Для всякого элемента д 6 С определим преобразование £ н-> £ = £ • д пространства q_ и преобразование г) ь-> т] — г) о д пространства q+ с помощью разложений Гаусса и "анти-Гаусса" соответственно:

где X £ q~, У е q+. Эти действия определены на открытых и плотных множествах, зависящих от д.

Следовательно, С действует на q~ х q+ : (£,77) •—» (£,??)• Стационарная подгруппа точки (0,0) 6 q~ х q+ есть Р+С\Р~ — Я, так что мы получаем вложение

G = Q+HQ-

= Q-HQ+ = Q+HK = Q-HK,

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

ехр £ ■ д = exp Y ■ h ■ exp £, exp r¡ ■ g — exp X ■ h ■ exp 77,

(2.5)

(2.6)

q-xq+м G/H.

(2.7)

Оно определено на открытом и плотном множестве, его образ - тоже открытое и плотное множество. Следовательно, мы можем рассматривать £, т] как координаты на С/Я, назовем их орисферическими координатами.

Однородные пространства 5+ = С/Р~, 5~ = С/Р+, 5 — К/К П Я - компактные многообразия, диффеоморфные друг другу с помощью соответствия

в°к *—* в±к, к е К, (2.8)

где 5+ = Р~е, — Р+е, в0 — (К П Я)е - базисные точки, е - единица группы. Естественные действия группы на дают два действия группы С на 5:

5 и ? и 5 н ?, где й = в°к, 3" = й°А;, ? = в°к, а к и к получается из разложений

Ивасавы и анти-Ивасавы

кд = ехрУх ■ кг ■ к. (2.9)

кд — ехр Хх • Н\ ■ к. (2.10)

Обозначим

тогда

s = s-g; (2.11)

s = s-r(g). (2.12)

Группа G действует на 5~ х 5+ естественым образом. Стационарная иод-группа точки (s~, s+) есть снова Я, так что мы получаем следующее эквивари-антное вложение

G/H 5" х 5+. (2.13)

Отождествления (2.8) дают эквивариантное вложение

G/H^SxS, (2.14)

где G действует на 5 х 5 следующим образом: (s, t) >—■» (s’, t). Таким образом, s, t служат координатами на G/H, назовем их тоже орисферическими. Образ вложения (2.14) есть одна открытая и плотная G-орбита. Обозначим ее £2. Таким образом, 5x5 есть некоторая компактификация пространства G/Я. По поводу структуры пространства G-орбит на 5 х 5 см. [10]. Отметим, что пространство G/H можно рассматривать как касательное (или кокасательное) расслоение многообразия 5.

Связь между разложениями Гаусса и "анти-Гаусса" дает нам очень важные

оператор и функцию, см. ниже (2.16), (2.17). Пусть £ 6 q~, г/ G q+. Разложим

произведение "анти-Гаусса" ехр £ ■ ехр (—77) по Гауссу:

ехр £ • ехр (—г]) = ехр Y ■ h ■ ехр X, (2.15)

где X G q_, Y € q+. Обозначим полученный элемент h € Я через /i(£,7/). Определим оператор Я(£,//) на q+:

^(£>77) = Ad /i(£, r])~1 (2.16)

Это - аналог преобразования Бергмана для эрмитовых симметрических пространств. В терминах йордановых пар этот оператор записывается так:

К(^г,)Т = Т- 2{т£Т} + №Т£}г]}.

При действии группы С оператор К(£,т]) преобразуется следующим образом:

К(IV) = (Ас!/;-1) + ка,г,) (даЛ.)

' я+

где /г и К берутся из (2.5) и (2.6), соответственно.

Определитель с\еіК(^,т]) есть многочлен от £,т]. Более того (см. [12]), он есть степень N(£,7])* неприводимого многочлена N(£,7]) степени Г ПО £ И ПО 7) отдельно. В силу (2.7) мы можем функцию

Ь(^л) = (М£,ї?)) = А'(^гу)]-1 = ЛГ(£, г\У* (2.17)

рассматривать как функцию на (7/Я. Это аналог ядра Бергмана. Она инвариантна относительно Я.

Напишем в орисферических координатах метрику гія2, симплектическую форму си и меру сіх на С/Н, инвариантные относительно С.

Размерность пространства С/Н и, следовательно, размерность пространства я - четная, пусть она будет равна 2тп. Тогда ограничение на я формы Киллинга Вв имеет сигнатуру (тп,тп). Отождествим пространство я- с пространством Мт каким-нибудь способом: например, возьмем в базис ..., ЕПі так, чтобы Вв(Еі, 0Е3) — сбу, где с - некоторый множитель, и отождествим егс со стандартным базисом в Ет. Тогда 9Еі, ...,0Ет - базис в я+. Пусть & и т?* -координаты в я" и в этих базисах соответственно. Возьмем в я” и я1" евклидовы меры = с££і... сі^т и сії] = ¿т/х... (к/т. соответственно. Обозначим мере-№(€,7)) матричные элементы оператора К(£, г/)-1. Тогда

ОІв2 = 2 ^ № (£, 7]) <¿£¿6^-, ш = 2 0 (£, г]) А ёт]],

(¿ж — |6(£, г/)| <¿£¿7/. (2.18

Сходство первой и второй формул отражает тот факт, что С/Я имеет струк туру многообразия над алгеброй "двойных чисел" г = х + гу, х, у Є М, г2 = 1. Функция .Р(£,ї7) = 1пЬ(^.?7) есть потенциал метрики:

<92^

2А:У =

^6% ’

Пространства q~ и q+ могут быть вложены в S:

£ і—> S° • exp 6 7] I—> S° ■ exp т(г/),

где £ G q~, г) G q+, с открытыми и плотными образами. Следовательно, мы

можем рассматривать как £ = (£ъ £m)j так и г] — (r/i,..., r/m) в качестве ко-

ординат в 5. В этих координатах А"-инвариантная мера ds на S записывается так:

ds = v/b(g,g(Q)de (2.19)

= VWivhvj dr). (2.20)

Определим теперь следующую важную функцию ||s, ¿|| на S х S. Для s, t G 5 возьмем ks, kt G К так, чтобы s°ks — s, = l. Применим к ksk^1 разложение

Гаусса:

kgk^1 — exp Y ■ h ■ expX. (2-21)

Оказывается, что для h из (2.21) определитель оператора (Ad h)q+ зависит только от s и t и не зависит от выбора представителей ks и kt. Положим

\\s,t\\ = |(detAd /г)ч+Г1/г<, (2.22)

где h берется из (2.21). Формула (2.22) определяет функцию ||s,i|| на открытом плотном множестве в S х S. Эта функция непрерывна, симметрична (т.е. ||s,/.|| = ||i,s||) и инвариантна относительно диагонального действия группы К, т. е. ||s/c.ifc|| = ||s,i||. Ее можно распространить по непрерывности на все S х S с сохранением этих свойств. Напишем ее явное выражение. В силу К-инвариантности достаточно это сделать для точек из (s°,s°expb) с Ь С t П q, см. выше. Используя базис У* в Ь, мы получаем

||s°, s° exp UiYi|| — | cosMi]... | cosur\. (2.23)

Теперь мы можем переписать (2.18) следующим образом:

dx — dx(s, t) = ||s, t\\-*ds dt,

где x нч- (s,i) no (2.14). Орбита ii характеризуется условием ||s,i|| ф 0.

Следующая таблица содержит список простых симметрических алгебр Ли g/f), которые отвечают параэрмитовым симметрическим пространствам G/II с простой G, см. [11]. Здесь Gpg(F) обозначает грассманово многообразие р-мерных плоскостей в F”, где F есть R либо Н, п — р + g; S'm_1 есть сфера в Rm; Р2(0) обозначает октавную проективную плоскость. По эстетическим причинам мы обозначаем алгебры Ли заглавными латинскими буквами вместо строчных готических.

0 Ь 5

БЬ (гг, М) ЭЬ (р,Е) + 8Цд,Е) + Е СИ(Е)

Би*(2п) Би*(2р) + Би*(2д) + Е Си(И)

Би(п, п) 8Ь(п,С) + Е и(гг)

ЭО*(4п) Эи*(2гг) + Е и(2п)/Эр(п)

ЭО (гг, п) ЭЬ (п, Е) + Е ЭО(п)

БО (р, д) ЭО (р — 1, д — 1) + Е (5Г-1 х

Эр(п, К) ЭЬ (п, Е) + Е И (гг)/О (гг)

Эр (гг, гг) Б1Г(2п) + Е Эр(гг)

Еб(б) ЭО (5,5) + Е С22(Н)/Х2

Еб(-26) БО (1,9) + Е Р2(0)

Е7(7) Еб(б) + Е Эи(8)/8р(4) • Х2

Е7(-25) Е6(_26) + ® 51 • Я6/Я4

§ 3. Максимально вырожденные представления

В этом параграфе мы рассмотрим серии представлений группы С, индуцированных характерами максимальных параболических подгрупп Р±, см. § 1. Мы в основном опираемся на [13].

Пусть и>\, Л Є С, обозначает следующий характер подгруппы Я:

шх(1г) = |К/г)ГА/* (3.1)

Распространим этот характер на подгруппы Р+ и Р~, полагая его равным 1 на <3+ и Рассмотрим индуцированные представления группы (7:

7Гд = ІП(1рТ йЛрА-

Представление 7Гд действует правыми сдвигами:

(тгл Ы/) Ы = ІІ919) в пространстве Т>^(С) функций / Є С*00(С), удовлетворяющих условию

1{рд) =о*¥х(р)І(д), реРт.

Рассмотрим реализацию представлений 7Гд в компактной картине. Они действуют в пространстве Р(5') следующим образом:

ОгдЫр) (5) = ^а(Лі)¥?(5), (’Гд (зМ (в) = ^а(Лі)^(3),

мы используем (2.9), (2.10) и полагаем в — з°к, в — з°к, з' = з°к. Заметим, что і) и определены корректно, поскольку Шх(1) = 1 для І, Є К П Я.

КБЫ 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 14, вып.6, 2009

Представления 7Гд с одним и тем же параметром Л связаны с помощью инволюции Г! 7Гд = 7Гд О Т, Так ЧТО еСЛИ Т - Внутренний аВТОМОрфиЗМ, ТО 7Гд И 7Гд

эквивалентны.

Рассмотрим следующую эрмитову форму в Р(5):

(Ф,Ф)з = I (3.2)

■УЗ

где мера с?5 дается формулой (2.19) или (2.20). Эта форма инвариантна относительно пар (тг+ тг+х_^ и (тгд, тг15_ж):

(тгд = (V, (3-3)

где берутся либо верхние, либо нижние знаки ±. Поэтому для ИеЛ = —х/2 представления 7Гд унитаризуемы, и мы получаем непрерывную серию унитарных представлений.

Для Л общего положения представления 7Г^ неприводимы, приводимость имеет место только для вещественных Л, удовлетворяющих некоторым условиям целочисленности. Следовательно, представления непрерывной серии неприводимы для 1т А ф 0.

Определим на Т>(Б) оператор Ах:

(Ах<р)(з) = I ||в, <||_А“Ж (3.4)

Интеграл сходится при Ее А < —х + 1 и распространяется по аналитичности на всю плоскость А до мероморфной функции. Этот оператор сплетает 7Гд с 7г^л_^:

Лдтг ±(д) = 7Г 1х_„{д)Ах, (3.5)

где берутся верхние или нижние знаки ±. С формой (2.1) он взаимодействует так:

(Ахф, <р)3 = (Ф, А$р)в- (3-6)

Далее,

Л_л_*Лл =-¿т Д, (3.7)

с(А)

где Е - тождественный оператор и с(А) - некоторая мероморфная функция.

Кроме эрмитовой формы (Ахф, рассмотрим еще билинейную форму Ьх(ф,Ч>) на ОД:

Ьх(Ф, у) = (Ахф,Щэ = I ||з, Щ-х-*ф(в) <р$) йз<И. (3.8)

■¡Б

Распространим представления 7г^ и оператор Ах на пространство V(8) обобщенных функций на 51 - с помощью формул (3.3) и (3.6).

Для изучения представлений 7Гд полезно использовать их Я-типы. Приведем некоторые факты.

Ограничение любого представления 7Гд на группу К есть квазирегулярное представление Я этой группы на Б:

(Я(к)<р) (з) = фк), р € V{S), кеК.

Поскольку 5 - компактное симметрическое пространство, Я. распадается в прямую однократную сумму неприводимых представлений р^ группы К со старшими весами , действующими на подпространствах С Р(5). Эти подпространства - собственные для оператора А\ с собственными числами а(А,//). Мы имеем а(А,//)а(—А — к, //) = 1/с(А), так что с(А) инвариантна относительно А н-» —А — к.

Напишем для а(А,/л) интегральное представление. Возьмем д0, о, Ь, Х^, У -как в § 1. Для и = (щ,... ,иг) положим Х(и) — У(и) — Группа

В = ехр Ь есть подгруппа в К, поэтому компактна. Введем в В координаты и с помощью отображения и ехр У (и). Пусть - система положительных корней пары (до, а), обозначим через га кратность корня а. Возьмем в сферическую функцию "(/'д, инвариантную относительно К П II, нормированную условием тр^0) — 1. Тогда по (2.4), (2.23) и [7] мы получаем

а(\,/1) = С ( ]^[ | соъщ |~А_И ^ | зто;(Х(и))|Га ^(в0 ехр У (и)) ¿и,

^ г=1 абЕ+

где с1и = (1щ ... с1иг и С - постоянная, не зависящая от А и р.

При иследовании неприводимости решающую роль играет оператор 7Гд (Zo) (оператор 7г^(Zo) отличается только знаком). Достаточно проследить, как этот оператор действует на сферические функции Его К П //-радиальная часть есть дифференциальный оператор по переменным щ,... ,иг. Вот его явное выражение:

1 г д ( г 2т \

В* = 2^8[п2и^~Х 1'52сов2щ~г + ~^) ’

¿=1 1 \г=1 /

где, напомним, 2т. = сНтб'/II.

§ 4. Переполненные системы и символы

В этом параграфе мы даем основные конструкции квантования в духе Березина на пара-эрмитовых симметрических пространствах С/Я. Условия (а) —(с/) из § 1 нужно несколько изменить: например, надо опустить множитель г в (1.2), вместо комплексного сопряжения надо взять некоторую перестановку аргументов, наконец, мы отказываемся от гильбертовой структуры в пространствах представлений.

Координатам г и г в Є/К аналогичны орисферические координаты £ и г] (или в и і) в Є/Н. Роль пространства Фока играет некоторое пространство функций у>(в) от одной из этих координат, например, пространство Т>(Б). Как и в § 1, алгебры Ли появляются как алгебры ковариантных символов операторов, действующих на эти функции. В качестве переполненной системы мы берем ядро сплетающего оператора из § 3, т. е. функцию

Ф(М) = Фа (г?, 0 = ||М||Л-

Она обладает воспроизводящим свойством, это формула (3.7), переписанная в другом виде:

ф) = с(X) [ Ф)с1х(и,у). (4.1)

Jsxs

Пусть А - некоторый оператор, действующий на функциях на б1. Определим ковариантный символ Л(й, ¿) оператора А следующим образом:

(л«і)Ф(5.о ^ 7 Ф(М)

Мы можем рассматривать его как функцию А(х) на С/Н, используя (2.14). Оператор восстанавливается по своему символу:

(!<£>) («) = С(Л)^ 5 Ф)М'^у). (4-2)

Символ единичного оператора есть тождественная единица на С/Н. Умноже-

ние операторов А\А-2 дает умножение А\ * А2 символов:

(Ах * А2) (в, ¿) = / Лі(5,^)Л2(гі, ¿)й(й,і;гі, у)сІх(и, у), (4.3)

і вхБ

где

Назовем функцию В(э, Р, и, у) ядром Березина.

С другой стороны, пусть А(я, Ь) - функция на 5х Б. Она порождает оператор А формулой:

(Яр) (в) = с(Л) [ Р(и, у) ~5- <р(и) <Ь{и, т;). (4.4)

4 / Jsxs Ч?(и,У)

Назовем функцию /^(5, ¿) контравариантным символом оператора А. Формула

(4.4) отличается от (4.2) только первым аргументом у символа. Этот оператор является оператором типа Теплица. В самом деле, отображение Р : / <р,

определяемое формулой

ф) = с(\) [ ¡(и, у) ^*'”1 (Ь(и,у), (4.5)

¿Яхв Ч>{и,У)

переводит Р(5 х 5) в Р(£) и, в силу (4.1), является проектированием. Формула

(4.4) означает, что А(р = Р(Рф).

Мы получаем цепочку соответствий: ^ ь-> А н-* А. Назовем их композицию В преобразованием Березина. Оно переводит контравариантные символы в ковариантные и задается тем же самым ядром Березина, что и умножение (4.3):

А{в,Р) = / £>(з, Р, и, у) Р(и, у) с1х(и, у).

Jsxs

Таким образом, мы получили метод для построения ассоциативных алгебр Аь.'- они состоят из ковариантных символов Л(в,£) = А(х) операторов из некоторого класса (алгебры), умножение * в Д дается (4.3). Соответствие А н-* А есть представление элементов алгебры Ан операторами. В качестве постоянной Планка мы берем к = — 1/Л (при надлежащих нормировках мер).

В частности, если в качестве алгебры операторов взять алгебру, состоящую из операторов 7Гд (X), где X пробегает универсальную обертывающую алгебру Епуд алгебры Ли д, то получается полиномиальное квантование, см. [6].

Для оператора А обозначим через А! оператор, сопряженный относительно формы (3.8): Ь\(Аф,<р) — А'<р). Ковариантные символы этих операто-

ров связаны перестановкой аргументов: А'(зЛ) — Л(£, й). Отображение А н-> А' меняет порядок множителей: [Ах * А?)' — А'2 * А\, так что оно является антиинволюцией для всякой алгебры Ан-

В силу (2.14) ядро Березина можно рассматривать как функцию В(х,у) на С/Н х С/Н. В орисферических координатах г/ ядро Березина выражается через функцию (2.17):

В[х\у) = с(А) М«,ДОМГА"‘

Ь(£,гі)Ь(а,Р)

где (£,г/) н-> х, (а,/?) н-> у согласно (2.7). В частности, (напомним, что х° — Не есть базисная точка в С/Н):

В(х-х°) = с{\)Ш,г,)\х/”.

Ядро сплетающего оператора зависит от реализации представлений. Если мы используем переменные £,77, то мы должны взять функцию Ф(£, 7/) = |£>(£, 7/)|_л/>с - в полной аналогии с эрмитовым случаем.

§ 5. Тензорные произведения

Тензорное произведение

= ТГ1А_Х ® 7Г+Л_^,

действующее на V{S х S), обладает следующей инвариантной полуторалинейной формой:

(<Pi, ^2)л = с(А) J ipi(s,t)(f2(u,v) (||s,v|| • ||М||)А dsdtdudv. (5.1)

Оператор Q\ в V(S х S) с тем же самым ядром, т. е.

(Q\4>)(s,t) = с(А) J <p(u,v) (||s,v|| • ||it,i||)A dudv,

сплетает R\ с Д-д-*.

Представление R\ группы G на V(S х 5) вместе с формой (5.1) есть каноническое представление, см. [5]. Надгруппой служит прямое произведение G х G, форма (5.1) является формой Березина.

Ограничим представление Rx на пространство V(Cl), см. § 2. Отображение </с> і—>• /, определенное на V(Q) формулой

f(s,t) = tp(s, i)||s, i||A+>i,

переводит представление R\ в представление U сдвигами, см. (2.11), (2.12), в пространстве V(Q):

(U(g)f) (s,t) = f(s,t), форму (5.1) - в форму с ядром Березина (форму Березина)

(/, h) = J f(s, t) h(u, v) B(s, t; u, v) dx(s, t) dx(u, v), (5.2)

а оператор Q\ - в преобразование Березина, или, в терминах G/H:

(U(g)f)(x) = f{xg),

E\(f,h) = J B(x; у) f(x) h(y) dx dy, (5.3)

(.Bf)(x) = [ B(x] y) f(y) dy.

Jg/h

Поэтому назовем оператор Q\ тоже преобразованием Березина.

Мы можем рассматривать функцию В(х',х°) как Я-инвариантную обобщенную функцию на G/H. Предположим, что нам удалось разложить ее по сферическим функциям (Я-инвариантным обобщенным функциям) на G/H. Это эквивалентно формуле Планшереля для формы Березина, и это дает нам возможность выразить преобразование Березина через операторы Лапласа Дь ..., Дг. Отсюда мы находим асимптотику преобразования Березина при А —> — оо. Это позволяет нам сказать, где (на каких сериях и т. д.) имеет место принцип соответствия.

Сам принцип соответствия заключается в двух предельных соотношениях: пусть А —» — оо, тогда

Ai * А2 —* AiA2', (5-4)

—А {Ai * А2 — А2 * Аі) —» {Аі, Л2}; (5-5)

как уже сказано, отличие от (1.1) и (1.2) - отсутствие во втором соотношении мнимой единицы г. Этот принцип равносилен асимптотическому соотношению

В~1-ІД, (5.6)

Л

где Д - оператор Лапласа-Бельтрами.

§ 6. Пример

Рассмотрим пара-эрмитово симметрическое пространство G/H, где G — SL (n,K), H = GL (та — 1,М), та ^ 3. Оно имеет размерность 2та — 2, ранг г = 1 и род к = та. Его можно реализовать как G-орбиту в алгебре Ли относительно присоединенного представления, однако нам сейчас будет удобнее использовать слегка измененную реализацию.

Пусть х° есть следующая матрица та х та, записанная в блочном виде относительно разбиения та = (та — 1) + 1:

*"=(£?)• (18-1)

Тогда G/H есть G-орбита в Mat (та, М) точки х° относительно действия х н-> д~1хд. Это многообразие есть множество матриц, ранг и след которых равны

1. Стационарная подгруппа Н точки х° состоит из матриц diag{a,6}, где а € GL (та — 1, R), b — (det a)“1.

Подалгебры q~ и q+ состоят соответственно из матриц

X = I ? ? V у = ^ 0 г/

С о ) ’ V 0 0

где £ есть строка (£ь ..., £„-1), а г/ есть столбец (щ,..., т)п-1) из К"-1. Вложение (2.7) есть

х^Щуп){ ^ 1??)’ =

Инвариантная метрика ds2 на пространстве С/Н с точностью до множителя есть ^(е?ж2). Она порождает меру ¿х, оператор Лапласа-Бельтрами Д, симплектическую форму и> и скобку Пуассона {/. /г}. В координатах £,77 имеем:

ds

2

-2 w«,4r2{£

dx = |iV(£, 77)1 n didr] (d£ = dfi...dfn-і),

dÇi dr].

'З

Lu' —

i/,4 =

/ \ ^ \ f df dh df dh N(t r,) Y. (âv - M {д^д^~д£гдїїі

Возьмем в Мп евклидово скалярное прозведение (х, у) — х\у\ + ■ ■ • + хпуп и норму |х| = у/(ж, х). Многообразие S есть единичная сфера S'”-1 : |ж| = 1 с диаметрально противоположными точками, т. е. (га — 1)-мерное проективное пространство. Мы имеем ||s,i|| = |(s,i)|, так что Ф(в,#) = |(s,i)|A. Многообразие Q = G/Я и его граница даются условиями (s, t) ф 0 и (s, t) = 0, соответственно. Матрица х G G/H с координатами s,t дается формулой х — t's/(s,t), штрих означает транспонирование. Ядро Березина в терминах матриц есть

В(х,у) = c(\)\tr(xy)\x,

где

с(Л) = {2"+17г"“2Г(-Л - га + 1)Г(Л + 1) cos (Л +

П7Г

7Г — COS-------

2 J

-і

Квазирегулярное представление U группы G на G/Я разлагается по неприводимым унитарным представлениям двух серий: представлений непрерывной серии Tffj£, сг = (—п + 1)/2 + гр, р Є К, є = 0,1, и дискретной серии Тст(т), <т(т) — (—га + 2)/2 + т, т = 0,1,2,...; все с кратностью 1, см. [4], [8], [9]. Напишем выражения формы Березина для Re А < (—га + 1)/2 через оператор Д:

Г(—А + а) Г(—А — а — п + 1) cosAît + (—l)ffcos<77r

В =

Г(—А) Г(—А — га + 1) cosAtt + I

Г(—А + а) Г(—А — (7 — га + 1) sin А7г + (—1)є sin(77r Г(—А) Г(—А — га + 1) sinA7r + l

соответственно для нечетного и четного п. Правые части нужно рассматривать как функции от Д = сг(о + п — 1). В обоих случаях первая дробь ведет себя при А —» —оо как 1 — А-1Д. Это как раз то, что нам нужно для принципа соответствия. Во вторых дробях слагаемое с (—1)£ исчезает на дискретном спектре для четного га. Таким образом, принцип соответствия справедлив на дискретном спектре для четного га.

Каноническое представление Яд, действующее в Т>(Б х 5), исследуется аналогично [5]: для А из полосы (—га — 1)/2 < 11еА < (—га + 1)/2 оно разлагается подобно квазирегулярному представлению, при движении А из этой полосы направо или налево добавляются дополнительные слагаемые, входящие в граничные представления.

Литература

1. Ф. А. Березин. Квантование. Изв. АН СССР, сер. матем., 1974, 38, № 5, 1116-1175.

2. Ф. А. Березин. Квантование в комплексных симметрических пространствах. Изв. АН СССР, сер. матем., 1975, том 39, № 2, 363-402.

ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т.14, вып.6,2009

3. Ф. А. Березин. Связь между ко- и контравариантными символами операторов в комплексных симметрических областях. Докл. АН СССР, 1978, том 19,

№ 1, 15-17.

4. В. Ф. Молчанов. Формула Планшереля для касательного расслоения проективного пространства. Докл. АН СССР, 1981, том 260, N2 5, 1067-1070.

5. В. Ф. Молчанов, А. А. Артемов, Л. И. Грошева. Канонические и граничные представления (см. настоящий том).

6. В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова, О. В. Гришина, С. В. Цыкина. Полиномиальное квантование (см. настоящий том).

7. С. Хелгасон. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

8. G. van Dijk, V. F. Molchanov. The Berezin form for rank one para-Hermitian symmetric spaces, J. Math. Pures Appl., 1998, t. 77, No. 8, 747-799.

9. G. van Dijk, V. F. Molchanov. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group SL(ra,R). J. Math. Pures Appl., 1999, t. 78, No. 1, 99-119.

10. S. Kaneyuki. On orbit structure of compactifications of parahermitian symmetric spaces. Japan. J. Math., 1987, 13, No. 2, 333-370.

11. S. Kaneyuki, M. Kozai. Paracomplex structures and affine symmetric spaces. Tokyo J. Math., 1985, vol. 8, 81-98.

12. O. Loos. Jordan Pairs. Lect. Notes Math., 1975, 460.

13. V. F. Molchanov. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2, vol. 175 (Adv. in the Math. Sci.-31), 1996, 81-95.

14. A. Unterberger, H. Upmeier. Berezin transform and invariant differential operators. Comm. Math. Phys., 1994, vol. 164, 563-598.

Поступила в редакцию 25 апреля 2009 г.

V.F. Molchanov. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces.

Quantization (symbol calculus) in the spirit of Berezin on para-Hermitian symmetric spaces is constructed.

Keywords: representations of Lie groups, Hermitian symmetric spaces, para-Hermitian symmetric spaces, symbol calculi