CC BY
42
УДК 621.313.8 ББК 31.261
А. А. АФАНАСЬЕВ, ТАМ НГУЕН КОНГ, В. А. НЕСТЕРИН
ПОЛЕВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БЕСПАЗОВОГО МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВЕНТИЛЬНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Ключевые слова: немагнитный зазор, периодические комплексные потенциальные функции.
Основные и добавочные явления магнитоэлектрического беспазового вентильного двигателя могут рассматриваться в немагнитном зазоре, к которому следует отнести и слой высокоэнергетического магнита. Комплексные периодические потенциальные функции являются математической основой для аналитического решения задачи Дирихле в немагнитном зазоре в виде бесконечной горизонтальной полосы с границами из двух параллельных прямых. Мнимые составляющие комплексных потенциальных функций на границах указанной полосы, представленные тригонометрическими рядами Фурье, являются известными скалярными магнитными потенциалами источников магнитного поля - обмотки статора и постоянных магнитов ротора. Сравнительно большая ширина рассматриваемой полосы из-за наличия в ней постоянных магнитов вызывает двухмерный характер магнитного поля в полосе.
Все основные физические явления в электрических машинах (взаимное преобразование электромагнитных и механических энергий, формирование электромагнитного момента) происходят в воздушном зазоре между статором и ротором. Массив современного высокоэнергетического магнита, имеющего относительную магнитную проницаемость, близкую к единице, также может считаться немагнитным зазором.
Ниже будет показано, что с помощью периодических комплексных потенциальных функций можно описать магнитное поле в воздушном зазоре с гладкими границами беспазового магнитоэлектрического вентильного двигателя.
Магнитное поле бесконечной полосы с гладкими границами. Известно общее решение граничной задачи Дирихле для бесконечной полосы при периодическом изменении магнитного потенциала
u (x) = ^ bn sin nax
n=1
на нижней граничной стороне (для которой y = 0), полученное методом разделения переменных [3]:
, . ^ bn sinnaxsh[na(5- y)l ...
u( x, y) = £---ш, (1)
n= sh nao
где a = л/т; т - полюсное деление; 5 - ширина полосы.
Если считать эту зависимость (1) (после умножения её на мнимую единицу j) скалярным магнитным потенциалом и вычислить сопряженную ей гармоническую функцию магнитного потока v(x, y), то получим комплексный скалярный магнитный потенциал для бесконечной полосы плоскости z
w( z) = v( x, y) + ju (x, y).
Источником плоскопараллельного магнитного поля призматического магнита с прямоугольным поперечным сечением являются встречные токи 1м = 2НсБНм двух параллельных шин, имеющих высоту 2b = Нм (Им - высота магнита в направлении его намагниченности), толщину a и находящихся на расстоянии ширины магнита Ьм [2].
В общем случае с учетом характера расположения магнитов на ярме ротора распределение потенциала на нижней стороне полосы можно представить тригонометрическими рядами с наличием косинусных и синусных слагаемых:
j <Х)
u( x) = — у (an cos nax + bn sin nax). (2)
2 n=i
Комплексный скалярный магнитный потенциал в бесконечной горизонтальной полосе плоскости z = x + jy, вызванный током 1м магнитных шин ротора применительно к основной косинусной гармонике выражения (2), будет иметь вид [1]
—ai I
wcos( z) = v(x, y) + ju(x, y) =-— {sinax ch[a(y—5)] + j cosax sh[a(y—5)]} =
2sha5 „ ч
j (3)
= —ТГГ^ sin[a(z—j5)].
2sha5
Тогда для комплексного скалярного магнитного потенциала, учитывающего весь спектр косинусных гармоник, получим í \ = 1м v an sin[ na(z — j5)] =
wcos( z) =-------=
2 n=i sh na5
n=1 (4)
= 1м ^ an [sin nax ch na(y — 5) + j cos nax sh na(y — 5)] 2 n=1 sh na5
Аналогично может быть сформирован комплексный скалярный магнитный потенциал, обусловленный синусными гармониками выражения (2):
1м V1 bn {cos nax ch[na(5 — y)] — j sin nax sh [na(5 — y)]}
wsin (z) =--У-=
2 n=1 sh na5
n1 (5)
= 1м -Л bn cosna(z' + j5)
2 n=1 sh na5
где z* = x — jy - комплексно-сопряжённый вектор.
Выражение (5) можно записать в комплексно-сопряжённой форме для вектора w%m( z)
1м V1 bn {cos nax ch[na(5 — y)] + j sin nax sh [na(5 — y)]}
W * sin ( z) =--м У
2 sh na5
n=1 (6) = 1м -A bn cosna(z — j5)
2 sh na5
Для комплексно-сопряжённого вектора магнитной индукции справедливо [4]
B' (z) = j^^. (7)
dz
Из этого выражения, используя формулу (4), можем получить формулу для магнитной индукции, созданной косинусными гармониками скалярного магнитного потенциала магнитов ротора:
в. (z) = _ 7Цо a Iм у na„ cos [na(z - jS)] =
COS V / ^ / j 1 <-»
2 ~r sh naS
(8)
ц0 aIм ^ nan{sin naxshna(y -S) + jcos naxchna(y -S)} 2 ~í sh naS
Поскольку [5]
B(z) = -,„0^, (9)
dz
с помощью формулы (6) можем получить выражение для магнитной индукции, созданной синусными гармониками скалярного магнитного потенциала магнитов ротора:
B n (z) = - j^o aIм у nbn sin[na(z - jS)] =
sin ^ ' 'Л / j i o
2 r-f sh naS
n_í (10) ц0 a Iм ^ nbn {- cosnaxsh na(y -S) + j sin n ax ch na(y -S)}
2 n=í sh naS
Представляя скалярный магнитный потенциал магнитов на поверхности
ярма ротора синусным рядом
u(x, S) =У bn sin nax = -У cos P(2n - í) sin[a(2n - í)(x - S)], (íí) 2 n~í л 2 n~í 2n - í
получим в соответствии с формулой (10) составляющие магнитной индукции
по осям x и y, вызванной магнитами ротора:
2ц0о1м ^ cosP(2n - í)
BpX(х,у,д) = ^ Т ' ' ^[а(2п-1)(х-3)Ща(2П-1)(у-5)], (12)
% И=1 sn а(2п -1)5
Вру (х, у, д) = ¿^^'^т^п-1)(х-д)сЬ[а(2п-1)(у-5)], (13)
% п=1 sn а(2п -1)5
где д - сдвиг продольной оси ротора относительно аналогичной оси магнитного поля статора.
На рис. 1 показаны кривые магнитной индукции макетного образца беспазового вентильного двигателя с номинальным моментом 7 Нм, имеющего неодим-железо-боровые магниты высотой 7,3 мм1.
1 Некоторые параметры рассматриваемого беспазового вентильного двигателя следующие: диаметр расточки статора Д = 75,5 мм; длина ротора I = 140 мм; число полюсов 2р = 6; число виртуальных пазов г = 36; число виртуальных пазов на полюс и фазу д = 2; частота тока / = 50 Гц; немагнитный зазор 5 = 12,05 мм; число витков в катушке м>к = 8; число витков в фазе ^ = 96; шаг обмотки у = 5/6т; коэрцитивная сила магнитов НсВ = 915 кА/м; 1н = 4,4 А.
X, м
Рис. 1. Составляющие магнитной индукции по осям х (кривая 2) и у (кривая 1) на поверхности магнитов (у = йм), вызванные МДС магнитов
m 2
Для магнитодвижущей силы (МДС) m фазной обмотки статора справедливы выражения бегущих волн основной и высших гармоник [6]:
Ftxv = FÄtxv + Fßtxv + Fctxv +----=
. ( хл\ ® „ . ( (2mk +1)х%Л ....
Fmisinl ra t —— I + 2iFm(2mk+i)Sinl rat----I + (14)
. ( (2mk -1)хлУ + ¿_,Fm(2mk-i)Sinl rat +---I
2Л/2 Twkwi 2V2 wkwv mtt^
где Fm1 =-1-; Fmv =-1-- амплитуды МДС, соответственно,
л p л vp
основной и высших (обмоточных) гармоник одной фазы обмотки статора;
k = 1, 2, ...
Для основной бегущей волны координаты х и t связаны между собой равенством, вытекающим из формулы (14):
ra- „ ra
x(t) =—t + С =—t + C , (15)
л а
где C - некоторая константа, связанная с фиксацией фазы бегущей волны.
Эта временная зависимость подразумевается для всех предыдущих и последующих формул, содержащих координату х.
Выражение (14) можно записать и в таком виде:
m „ (. хл . хл^
Ftxv =—Fm1I sin rat cos--cos rat sin— I +
2 I - - I
m^„ (. (2mk+1)хл . (2mk+1)хлЛ +—^ F m(2mk+1) I sin rat cos--cos rat sin-I+ (16)
2 k=1 V - - I
m (. (2mk -1)хл . (2mk -1)хл\
+—^ F m(2mk-1) I sin rat cos-+ cos rat sin-I.
2 k=1 V - - I
Для комплексного скалярного магнитного потенциала в немагнитном зазоре, вызванного всем спектром пространственных косинусных гармоник выражения (16), получим, учитывая формулу (4):
ж.
, ч 42т ж Т. . ч =---I Sln((D?)
кж1 sin[а( г)] sh а5
+ уГ кж(2ттк+1) sin|(2^иk + 1)аг] + кж(2тйк-1) sln[ (2тк - 1)аг] к=1 ^ (2тк +1) sh (2тк + 1)а5 (2тк -1) sh (2тк - 1)а5
42.1
т ж
I sin((D?)
кж1 [sln(аx) с|ау) + у cos(аx) sh(аy)]
(17)
+х
к=1
sh (а5)
[т(2тк + 1)ах ch(2»Jk + 1)ау + у cos(2«k + 1)ах sh(2«k + 1)ау] (2тк +1) sh (2тк + 1)а5
кЖж(2тк-1) [т(2тк - 1)ах ch(2mиk - 1)ау + у cos(2«k - 1)ах sh(2mk - 1)ау]Л (2тк -1) sh (2тк - 1)а5 ,
где I - действующее значение тока обмотки фазы статора.
Аналогично для комплексного скалярного магнитного потенциала в немагнитном зазоре, вызванного всем спектром пространственных синусных гармоник выражения (16), будем иметь
. . 42т ж Т . . Ж;т(2) =---1 COS((D?)
кж1 то^ а(г)] sh а5
+ у кж(2тк+\) ^ (2тк + 1)аг] + к^т-ц ^ (2тк - 1)аг] к=\ (2тк + 1^(2«^ + 1)а5 (2тк - 1)sh(2^~k -1)а5
421
тж
I COS((D?)
кж\ [cos(аx) Л(ау) - у sln(аx) sh(аy)] sh (а5)
(18)
-я
к=1
кЖж(2тк+1) [cos(2mk + 1)ах ch(2»Jk + 1)ау - у sln(2mk + 1)ах sh(2mk + 1)ау] (2тк +1) sh (2тк + 1)а5
кЖж(2тк-1) [cos(2mk - 1)ах ch(2»Jk - 1)ау - у sln(2mk - 1)ах sh(2mk - 1)ау] (2тк -1) sh (2тк - 1)а5 ,
Тогда в соответствии с формулой (16) комплексный скалярный магнитный потенциал всей обмотки статора будет равен
Жстатор(х, у) = [М^(Х, у) + Жзщ (х, у)] =
42т ж ( . ( ) кж1^тах Л(ау) + у cosаx sh(аy)]
% р
sh (а5)
, ч кж1 [cosax Л(ау) - / slnax sh(ay)] - COS((D?)—----\_zil +
sh (а5)
• , кж(2тк- 1) ^т(2тк - 1)ах ch(2»Jk - 1)ау + у ^(2тк - 1)ах sh(2mk - 1)ау] к=1 (2тк -1) sh (2тк - 1)а5
п
п
к
ж
ж(2тк+1)
71
71
+ ( ^) ^ к„(2~к-1) ^cos((2mk - 1)ах Л(2отк - 1)ау - у - 1)ах sh(2отk - 1)ау] +
¿=1 (2тк -1) (2/йк - 1)а8
+ . ( ^^ к„(2~к+1) [т(2отк + 1)ах Л(2отк + 1)ау + у cos(2отk + 1)ах sh(2отk + 1)ау] + к=1 (2тк +1) (2тк + 1)а8
( ^^ к^2тк+1) [со8(2т((к + 1)ах с11(2отк + 1)ау - у 8т(2отк + 1)ах sh(2отk + 1)ау] ] к=1 (2/йк + 1^((2отк + 1)а8 )
Этой формуле можно придать более компактный вид:
Ж;татор(г) = [в^) + =
■Лт w / . , . к^т аг] . .kw1[cosаz]
=---11 sin(co ^--cos(cD ^-+
% р ^ sh (а8) sh (а8)
+ «П(га?)£ к*<2»к-1)[sin(2п(k - 1)аг] + ^^^ kw(2,йk-l)[^(2шк - 1)аг] + (20) к=1 (2тк - 1).^ ((2тк - 1)а8 к=1 (2тк -1).^ (2тк - 1)а8
+ «П(га ?)£ kw(2ff(k+l) [sin(2^((k + 1)аг)] - ^^ ^ kw(2й(¿+l) [(2тк + 1)аг)] ] к=1 (2тк + 1)5^(2тк + 1)а8 к=1 (2тк + 1).^ (2тк + 1)а8 )
На рис. 2 показаны составляющие скалярного магнитного потенциала обмотки статора на наружной поверхности магнитов рассматриваемого макета беспазового вентильного двигателя, рассчитанные по формуле (20) для момента времени ^ = 0. Кривые 1 и 3 соответствуют поверхности статора (у = 5), кривые 2 и 4 - поверхности магнитов (у = hy).
1 ^
*•« < м ч Ч /*2 1 ь* Г ¡Гл
V 1 V •* Р 1 3 -
-
0,02 0,04 0,06 0,08
л: м
Рис. 2. Составляющие скалярного магнитного потенциала по осям х (кривые 3 и 4) и у (кривые 1 и 2), вызванные МДС обмотки статора
Видим, что кривая 1 является классической МДС трёхфазной обмотки статора, имеющей q = 2.
Для комплексно-сопряжённого вектора магнитной индукции, вызванной током обмотки статора, в соответствии с формулой (20) будет справедливо
В (г) = у|о-— = -у--1 х
а г % р
( кж^^аг] Ак„,1[т аг] х| Sln((D?)-1-- + COS((Bt)-1-- +
^ sh (а5) sh (а5) (21)
+ ,пИ)£ кж(2тк-1) [^(2йгк - 1)аг] - ^ф^ кж(2тк-1) [(2тк - 1)аг] +
к=1 sh(2mk -1)а5 к=1 sh (2т~к -1)а5
+ ,пИ)£ кж(2тк+1) [^(2»гк + 1)аг] + ^ф^ кж^ты) [(2тк + 1)аг] ] к=1 sh(2mk + 1)а5 к=1 sh(2mk + 1)а5 )
Выделяя в этой формуле вещественные и мнимые части, получим выражения для составляющих магнитной индукции по осям х и у, вызванной током обмотки статора
ж ( кж1[тахshау] kw1[cosaxshау]
Всх(х,у,?) =---II sm(юí)-——--^(в?)-——-+
% р ^ sh (а5) sh (а5)
+ •(?):: кж(2тк-1) [т(2тк - 1)ах sh(2mk - 1)ау] + к=1 sh (2т~к -1)а5
+в.ПСшг):-
+ кж(2тк-1) [(2тк - 1)ах sh(2mk - 1)ау] + (22)
к=1 sh (2т~к -1)а5
кж(2т~к+1) [т(2тк + 1)ах sh(2mk + 1)ау]
к=1 sh (2тк + 1)а5
- COS((D ?): кж(2тк+1) [(2тк + 1)ах sh(2mk+1)ау]
к=1 sh(2mk+1)а5
„ „ ч л/2ти,0а ж ( . , чkw1[cosax Л ау] „ ч кж1^т ах Л ау]
Всу(х,у,/) =--II sm(ю/)-——-+ ^(га/)-——-+
% р ^ sh (а5) sh (а5)
+ ^ ( /):: kw(2mk-1)[cos(2mk-1)ax^^тк-1)ау] к=1 sh(2mk -1)а5
- ^ф/)£ кж(2тк-1) [т(2т/с - 1)ахск(2тк - 1)ау] + (23)
к=1 sh (2тк -1)а5
+ ^ ( /):: кж(2тйк+1) [cos(2mk + 1)axch(2mk + 1)ау] +
к=1 sh (2тк + 1)а5
+ ( /):: кж(2ттк+1) [т(2тк+ 1)ахс^2тк + 1)ау] к=1 sh (2тк + 1)а5
На рис. 3 показаны составляющие магнитной индукции на поверхности магнитов рассматриваемого беспазового вентильного двигателя, вычисленные по формулам (22), (23) для момента времени / = 0.
Рис. 3. Составляющие магнитной индукции по осям х (кривая 2) и у (кривая 1) на поверхности магнитов (у = hм), вызванные током обмотки статора
Электромагнитный момент. Определим результирующие составляющие магнитной индукции на поверхности магнитов при сдвиге полей статора и ротора на половину полюсного деления = т/2)
Вх (х, hм, г, т/ 2) = Врх (х, hм, т/ 2) + БСх (х, hм, г), (24)
Ву (х, hм, г, т/2) = Вру (х, hм, т/2) + Всу (х, hм, г) . (25)
На рис. 4 по этим формулам построены составляющие по осям х (кривая 2) и у (кривая 1) результирующей магнитной индукции на поверхности магнитов беспазового вентильного двигателя для времени г = 0.
X, н
Рис. 4. Составляющие по осям х (кривая 2) и у (кривая 1) результирующей магнитной индукции в воздушном зазоре на поверхности магнитов
Тогда электромагнитный момент найдётся по формуле метода натяжений [5]
М(г) = ^ Г Ву (х, ^, г, т/2)Вх (х, К, г, т/2)с1х, (26)
2Мю 0о
где p - число пар полюсов; l, D - активная длина статора и диаметр наружной поверхности магнитов ротора, соответственно.
Это будет значение момента, соответствующее сдвигу основных гармоник МДС статора и ротора на половину полюсного деления.
Возможен другой способ нахождения электромагнитного момента через среднее значение за период изменения электромагнитной мощности.
Мгновенные значения ЭДС фазы обмотки статора с q = 2, наведенной результирующим потоком магнитной индукции в воздушном зазоре по оси у, и электромагнитного момента с учётом формулы (15) будут равны
(&(?) = а (х(0+у х(0+у+^ ^
e(t) =--= -2plwK —\ J By [x(t), К, x/2]dx + J By [x(t), К, x/2]dx
dt at I x(t) x(t)+tt
= -2PlwK fX(tJ+ У B [x(t), ^, V2] x + x(t)+jy+t* dBy [x(t), hM, V2]
V x(t) x(t)+y
- 2pwkl-(By [(x(t) + y),hм, V2] - By [x(t),hм, V2] +
a
+ By [(x(t) + y + tz),h«, V2] - By [(x(t) + y), h«, V2]),
dx I-
(27)
1
M (t)
Q
j=i
t - О-Ж
m
t -
m
(28)
где у < х - шаг катушек обмотки статора; ^ - зубцовый шаг; wk - число витков в катушке; Т - период переменного тока.
Тогда для средних значений электромагнитной мощности и момента будет справедливо
~ T
Рср = m Je(t)/(t)dt; Mcp = Pcv/Q , (29)
T 0
где i (t) = 4lI cos — t - ток статора, мгновенное значение которого является основной гармоникой благодаря ШИМ-модуляции преобразователя частоты, а его фаза с помощью резольвера будет совпадать с фазой основной гармоники ЭДС холостого хода e0(t).
Для рассматриваемого беспазового вентильного двигателя значения электромагнитного момента для номинального тока I = 4,4 А, подсчитанные с помощью математической программы Mathcad 15 по формуле (26) для времени t = 0 и формуле (29), оказались, соответственно, равными 6,5 и 6,95 Нм.
На рис. 5 показаны мгновенные значения электромагнитного момента и результирующей ЭДС вентильного двигателя, построенные по формулам (28), (27).
Видим, что амплитуда переменной составляющей электромагнитного момента равна
AM = 699-691100 = 0,58%.
2 • 6,95
e
I, с
Рис. 5. Электромагнитный момент (кривая 1) и результирующая ЭДС обмотки статора (кривая 2)
Выводы. 1. Комплексные периодические потенциальные функции являются математической основой для аналитического решения задачи Дирихле в немагнитном зазоре в виде бесконечной горизонтальной полосы с границами из двух параллельных прямых.
2. Мнимые составляющие комплексных потенциальных функций на границах указанной полосы, представленные тригонометрическими рядами Фурье, являются известными скалярными магнитными потенциалами источников магнитного поля - обмотки статора и постоянных магнитов ротора.
3. Сравнительно большая ширина рассматриваемой полосы из-за наличия в ней постоянных магнитов вызывает двухмерный характер магнитного поля в полосе.
4. При беспазовом исполнении обмотки статора амплитуда переменной составляющей электромагнитного момента составляет менее одного процента.
Литература
1. Афанасьев А. А. Расчёт магнитного поля магнитоэлектрических машин на основе комплексной потенциальной функции // Электричество. 2014. № 1. С. 41-47.
2. Афанасьев А.А. Математическая модель постоянного магнита в воздушном зазоре электрической машины // Электричество. 2013. № 10. С. 42-47.
3. Домбровский В.В. Справочное пособие по расчёту электромагнитного поля в электрических машинах. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1983. 256 с.
4. Иванов-Смоленский А.В., Абрамкин Ю.В. Применение конформного преобразования в электромагнитных расчётах электрических машин. Аналитические методы. М.: Типография МЭИ, 1980. 85 с.
5. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. шк., 1989. 312 с.
6. Сергеев П.С. Электрические машины. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1962. 280 с.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
НГУЕН КОНГ ТАМ - аспирант кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
НЕСТЕРИН ВАЛЕРИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры электромеханики и технологии электротехнического производства, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
