Поиск сигнала в нормальном шуме методом анализа статистики спектра Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 53.087/.088

Г.А. Семенов

Поиск сигнала в нормальном шуме методом анализа статистики спектра

G.A. Semenov

Signal Search in Gaussian Noise by Spectrum’s Statistics Analysis

Рассмотрен статистический метод детектирования периодических компонент сигналов в нормальном шуме. Разработан алгоритм для автоматического детектирования сигналов спектральным методом анализа.

Ключевые слова.: выделение сигнала на фоне шума, спектральный анализ.

In this paper the statistic method of periodical signal detection in Gaussian noise is described. The spectral analysis algorithm for automatic signal detection is created.

Key words: signal detection in noise, spectral analysis.

Задачи обнаружения периодических сигналов в шуме решаются при приеме и обработке сигналов различной природы во всевозможных технических устройствах. Спектральный анализ применяется для обнаружения периодических сигналов малой длительности в различных областях, таких как радио- и эхолокация, лазерная доплеровская анемометрия, пассивное зондирование, лидарные измерения. Периодические сигналы малой длительности в шуме также могут быть сгенерированы разного рода открытыми динамическими системами, эволюционирующими в режиме перемежаемости (например, генерация лазера).

Настоящая работа посвящена статистической формализации детектирования периодической компоненты сигнала классическим спектральным методом.

Пусть существует некоторая реализация квази-случайного центрированного сигнала х(0 на отрезке времени 0 < 1 < Т. Разобьем отрезок [0, Т] на одина-

ковые интервалы A =

T Tn

—, т.е. tn = —. Сигнал x(t),

N n N

измеренный в этих точках, порождает числовую последовательность (временной ряд) хп = х(4). Будем считать число N элементов этой последовательности достаточно большим, т.е. N >> 1.

Рассмотрим сигнал вида:

Г хР (/) = (оД 0 < t <аТ

х(0 = 1 (.) Т <. < Т (1)

I хШ (/), аТ < t < Т,

где а << 1 - относительная длительность периодического фрагмента; хШ(0 - случайный сигнал

(шум), имеющий несмещенную статистическую плотность распределения р(х) (нормированную на единицу) со средним квадратическим отклонением аШ.

Вероятность dW(x) получить в некоторый произвольный момент времени значение сигнала х в интервале йх при этом равна:

dW(x) = р(х)йх, (2)

доля значений х, не превосходящих некоторое

хо е[°; ”),

-'0

W (x < x0) = I p (x) dx.

(3)

Естественным обобщением выражения (2) на дискретный сигнал xn является соотношение:

AN (x)

N

■ = p(x)Ax.

(4)

По известной статистической плотности распределения сигнала получим выражение для плотности распределения значений его спектральной плотности. Это позволит сформулировать критерий выброса, позволяющий выявить значения спектра, не принадлежащие статистике нормального шума. При этом будем считать, что для анализа доступен только дискретный набор значений одной реализации сигнала, т.е. временной ряд хп.

Фурье-образ сигнала (1) можно представить

в виде:

А(ф) = ^= Г х()e-шdt =

, аТ , т

= ^= Г хР и)e-шdt Г хШ О)е~шй1 =

л/2л п° фп а

= АР (ф) + АШ (ф) (5)

где АР (а) и АШ (ф) - Фурье образы регулярной и

случайной составляющих соответственно.

В дискретном случае (для временного ряда хп)

N 2жк

a к )=^2гі-

\Jn=i

T

ФИЗИКА

Односторонняя спектральная плотность мощно- Используя (12), запишем выражение для вероят-сти сигнала (односторонний спектр): ности попадания значения модуля Фурье-образа

12 |А(Ф)|2 со> 0 ИШ| в элементарное кольцо d (|АШ |) на комплекс -

£ (а) = <! II’ (7) и

10 со < 0 ной плоскости:

^ ' А I2

Ясно, что в дискретном случае объем массива л 1\ 11 п |\ 1 _~—г

односторонней спектральной плотности мощности Ш (1Аш|) = 2п|Аш| d (АШ\)пге "А =

Б(тк), соответствующей временному ряду хп объе- А

N |А I Аш1 1 1А™1

мом N, равен —. Для сигнала (1) односторонний е 2— d (|АШ |) =__-е 2—1 d Ааш |2 ) =

2 —А Ш 2-А У Ш '

спектр (о> > 0) представится в виде: 2

( 1 _2АШ|

Б(ф) = 2|А(®)|2 = 2(|Ар(°|2 +|Аш(®)|2 + =------те 4-А d(2|АШ\2), (13)

. .4 4—А

+Ар(а)АШ(о) + АР(о)Аш(а)). (8) откуда, можно выделить плотность распределения

Пренебрегая в выражении (8) малыми слагае- квадрата модуля Фурье-образа сигнала |АШ| :

мыми, можно записать: |Аш р

Б(ф) и Бр(ф) + Бш (о). (9) р (аш |2 ) = ——-е 2стА . (14)

Дальнейшие преобразования будем проводить в 2—а

приближения (9). Таким образом, из выражений (13)-(14) следует,

Рассмотрим компоненту спектра БЩю), соответ- что функция распределения односторонней спек-

ствующую случайной составляющей xШ(t) в пред- тральной плотности мощности БШ(®) имеет вид

положении, что ее функция распределения р(х) яв- экспоненциального распределения:

ляется нормальной. . . 1 _,Ш \

п(Б \ = е -аш) Б > 0 (15)

В работе Р. Фано «Передача информации. Ста- /Ч°Ш^ — а )

тистическая теория связи (М., 1965, с. 188) показа- 2

но, что для случайного центрированного сигнала где - (Бш ) = 4—а - среднее квадрагическ°е откло-

xШ(t), имеющего плотность распределения Гаусса: нение значений спектральной плотности случайной

1 _составляющей сигнала. Среднее значение {БШ)

р (хш ) =---/Т= е 2-Ш , (10) массива БШ(тк) при этом равно:

-ШV 2п »

действительная и мнимая части Фурье-образа (БШ) = { БШ Р (БШ )d (БШ ) =

Ащ(т) имеют гауссовские (нормальные) плотности 0

распределения с одинаковыми дисперсиями - | БШ (Ш") ( БШ 1 - -

-А=—г^еаш = -таш и нулевыми сPедними, т.е. = ст(Бш)| —ашшуе Ш d[-(ШШ))=—ш) .(16)

1 (Ге^ш )2 Используя соотношение (3) для односторонне-

р (Яе АШ )=------т= е 1-А , го дискретного спектра БШ (юк), получим выраже-

_ *у2п ~

_

ние для количества элементов массива N, удов-

1 (ідАш )2 летворяющих условию БШ (ті) < £0 для произ-

р (ішАШ )=----------------------------------= е _ . (11) вольного <$>:

аА\ 2П ^

С учетом независимости действительной и мнимой N (^о) = ] р (')^' =

частей Фурье-образа сигнала хШ запишем выражение 0 (17)

для вероятности dW (АШ) попадания комплексного 1 ~_Ш^, N 1 ~_Щ)

= Ы|_______1_

значения АШ в элемент площади d (е Аш )d (іш Аш ) 2 о _(ш )

в

на плоскости комплексных чисел:

(

ds'=N 1 - е

2

V

N _ Мах

= —, где

2

, ч , Ч / Ч / Ч / Ч Ясно, что N(мса8Ш )= —, где маБт - макси-

^ (АШ ) = р ( Яе АШ ) р ( іш АШ ) d ( Яе АШ ) d ( іш АШ ) =

2 2 мальный элемент массива БШ (тк).

(ЯеАШ) , (1ш АШ) , ,

1 1 , ч , ч „ „ „ Ч N

те 2_ ---/=е 2 d(ЯеАШ))(ішАШ)= Найдем ^0 такое, что N(^0)>---------1:

_АЫ 2п _АЫ 2п 2

1 (е АШ )2 +(1ш АШ )2 N

е 2_ d (Яе АШ )d (іш АШ )= 2

2п_а

1 - е

_^Ш )

-ИШ2 откуда

2п_а

у ШI ✓ N

е 2_А d (Яе Аш )d (іш Аш ). (12) ^0 >_(^Ш )ІП ^ . (18)

1

Выразим значение о(БШ) через параметры исходного сигнала. Для этого запишем теорему Пар-севаля для случайной составляющей сигнала хщ(^:

| х2ш(ї) dt = | |Аш (®)|2 da

{\-а)Т

| хШ = | |АШ (®)|2 й?® =

2

= 2 | \Аш (®)|2 ^.

(19)

где (1 _а)Т - длительность случайной составляющей сигнала (1); АО.Ш - ширина частотной полосы шума.

С учетом того, что компоненты Яе АШ и 1т АШ имеют идентичные плотности распределения, исходя из определения односторонней спектральной плотности (7), выражение (19) можно переписать в виде:

АПШ

(1-а)Т — 2

| хШ А) dt = 2 | |АШ (о) dо =

2

I ((АШ (®))2 +(ішАШ (®))2)d® =

0

2 , ,

I (( АШ (®))2 + (еАШ (®))2 ) da, т.е.

= 2

(1 -а)Т

ДО„, (20) - на----Ш :

(1 -а)Т

да

(1 -а)Т 2

да

2

.(21)

2 / Поскольку хШ и Яе АШ - нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними, после интегрирования выражение (21) примет вид:

2 2 да г™ 2

_ш =----------— _а .

(1 -а)Т

(22)

В дискретном случае ширина частотной полосы определяется как

2ПЛ' (23)

Да ш =-

Т

где N - количество элементов временного ряда хп.

Выражая из (22) с учетом (23) величину 4—А, равную искомому среднему квадратическому отклонению односторонней спектральной плотности — (БШ), получаем:

, ч 2 (1 _а)Т2 2

— (Бш ) = 4—а =------N— -ш.

пЫ

Таким образом, условие (18) примет вид:

Б >

(1 -а) Т2

пN

°ш1п | у

(24)

(25)

(1_а)Т 2

| х2Ш А) dt = 4 | (е АШ (а))2 dо . (20)

0 0

Домножим обе части соотношения (20) на 1

числитель и знаменатель правой части

Выражение (25) будем считать критерием выброса (промаха) для массива значений БШ (ок),

позволяющим выявить элементы, принадлежащие другой статистике (в нашем случае соответствующей регулярной компоненте сигнала). То есть в случае если существует Б0 е Б (ак), удовлетворяющее

условию (25), возможно обнаружение регулярной составляющей в сигнале типа (1) с помощью анализа спектра мощности исходного сигнала.

Таким образом, алгоритм детектирования периодичности дискретного сигнала хп можно представить следующим образом:

1. Вычисление одностороннего спектра мощности Б (ак) временного ряда хп (используя выражения (6), (7));

2. Поиск максимального значения МахБ (оу)

массива Б (ок);

3. Проверка условия (25) для значения

Б (ю,):

В случае положительного результата делается вывод о наличии в сигнале регулярной составляющей с частотой а0 и для некоторого у.

Отметим, что условия (18) и (25) являются эквивалентными, однако вычисление правой части (25) требует меньшего количества математических операций.

Созданный алгоритм позволяет осуществлять техническую реализацию детектирования периодических сигналов в нормальном белом шуме классическим спектральным методом. Формализацию данного алгоритма для шумовых сигналов, имеющих иную статистику, следует проводить аналогичным образом, подставляя в исходные соотношения соответствующие плотности распределения сигнала.

-<ю

да

Ш

2

да

0

Ш

2

да

Ш

да

Ш

да

Мах