CC BY
48
увеличение внутрисистемной интерференции по причине неописанных хэндоверов между секторами сети. С помощью аналитических расчетов и проведенного тестирования при некорректной конфигурации радиоподсистемы для максимальной удаленности абонента от обслуживающей соты получено увеличение нагрузки от одного
абонента с голосовым сервисом CS AMR 12.2 минимум в 5-7 раз. Предложенный метод, основанный на анализе сообщений «RRC measurement control», собираемых с помощью трейсов на радиоподсистеме, является альтернативой проведению драйв-тестов, требующих больших трудозатрат.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. [Электронный ресурс] http://support.huawei.com, 31183622-DBS3800-iDBS3800 Product Documentation-(V100R011C00_08), SE0000447644
2. [Электронный ресурс] 3GPP TSG-RAN WG1 Meeting #40bis, On the Accuracy of RTWP and RoT Measurements (R1-050330), Апрель 2005
3. HSDPA/HSUPA for UMTS: High Speed Radio
Access for Mobile Communications [Текст]/ЕА by H. Holma, A Toskala. -2006. -John Wiley & Sons, Ltd. С. 95-98.
4. Иванов, М.В. Расчет пропускной способности радиоканала HSUPA с учетом особенностей высокоскоростной передачи данных [Текст]/М.В. Иванов// Вестник связи.-2009.-№8.
УДК 53.087/.088
С.А. Останин, А.М. Шайдук, Г.А. Семёнов
ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ МАЛОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
Задачи обнаружения сигналов малой длительности, скрытых в шуме, решаются при приеме и обработке сигналов различной природы в разных технических устройствах: радиолокаторах, лидарах, лазерных доплеровских анемометрах, устройствах связи. Эффективные методы обнаружения периодических сигналов в смеси с шумом основаны на спектральном анализе [1, 2]. При применении спектральных методов для обнаружения периодических сигналов малой длительности в смеси с шумом существует необходимость оценки величины таких специфических параметров этих сигналов, которые определяют границы применимости спектральных методов. К таким параметрам относится, например, скважность передачи. При некотором значении этого параметра спектральные плотности мощности периодического и непериодического фрагмента на частоте периодического фрагмента становятся сопоставимы, и вероятность обнаружения становится неприемлемой. Цель настоящей статьи - анализ эффективности спектрального метода обнаружения периодических сигналов малой длительности
Оценим критическое значение скважности передачи, при которой возможно обнаружение периодического сигнала малой длительности. Рассмотрим отрезок гармонического колебания: ГхР (0 = х0 8т(ю0*), 0 < ? < аГ Х^~\хшУ),аТ<1<Т, (1)
где а << 1 - относительная длительность периодического фрагмента, хш(?) - случайный сигнал (шум), имеющий несмещенную статистическую плотность распределения р(х) (нормированную на единицу) со средним квадратическим отклонением ош.
Вероятность получить в некоторый произвольный момент времени значение сигнала х в интервале dx при этом равна
dW(x) = p(x)dx,
(2)
доля значении x, не превосходящих некоторое
Хо е (0; да)
W(x<;c0) = ^p(x)dx.
(3)
Естественным обобщением выражения (2) на дискретный сигнал x является соотношение:
АЛГ(;с) ЛГ
- р(х) Ах.
(4)
Оценим значение а, при котором еще возможно обнаружить регулярную компоненту в сигнале типа (1), анализируя спектр мощности исходного сигнала. При этом будем считать, что для анализа доступен только дискретный набор значений одной реализации сигнала, т. е. временной ряд хп. Фурье-образ сигнала (1) можно представить в виде:
А(со) = °°\х{г)е-Ш(И = АР(со) + Аш (со), (5)
где Лр(ю) и Лш(ю) - Фурье-образы регулярной и случайной составляющих соответственно.
В дискретном случае (для временного ряда хп):
(6)
л/2п „=1 " »у
Односторонняя спектральная плотность мощности сигнала:
Х(щ) = |2 ИН2, 0. (7) [о, ю< 0
В дискретном случае обЪм массива односторонней спектральной плотности мощности Т(юк), соответствующей временному ряду хп объемом N равен N/2. Для сигнала (1) односторонний спектр
(8)
5(ю) = 2А(ю) = 2|АР(со) + Аш(со) +
+ Ар (со) Аш (со) + Ар (со) А^ (со)). Пренебрегая в выражении (8) малыми слагае мыми, можно записать:
Т(ю) ~ Тр(ю) + Тш(ю).
(9)
Рассмотрим компоненту спектра Тш(ю), соответствующую случайной составляющей хш(?) в предположении, что ее функция распределения р(х) является нормальной. В [3] показано, что для случайного центрированного нормально распределенного сигнала хш(?) действительная и мнимая части его Фурье-образа Лш(ю) также являются центрированными и нормально распределенными с дисперсиями а2А = = а2ш. С учетом независимости действительной и мнимой частей Фурье-образа сигнала хш запишем выражение для вероятности dW(A ) попадания комплексного значения Аш в элемент площади d(AШe) d(AШ) на плоскости комплексных чисел:
Ш{Ат) = р(А^)р(А^ЖА«еЖА^) =
2 па:
2ла'
-е ¿(АКеМ(А1ш).
Используя (10), запишем выражение для вероятности попадания значения |Аш| в элементарное кольцо d(|A ш|) на комплексной плоскости
2(Тд _
<Р№(\Ат ) = 2я Аш й ( Аш )
1
2па,
1-^дГ 2о2Л
(11)
2а]
¿(Ап ).
откуда можно выделить плотность распределения величины A |2:
Р(\АШ\ ) =
1
|4ц| 2<А
2а1
(12)
Таким образом, плотность распределения односторонней спектральной плотности мощности Тш(ю) имеет экспоненциальный вид:
р(Бш) = —±—е (5Ш>0), (13)
где о(Тш) = 4о2 - среднее квадратическое отклонение значений односторонней спектральной плотности случайной составляющей сигнала.
Используя (3) для одностороннего дискретного спектра Тш(ю), получим выражение для количества элементов массива N, удовлетворяющих условию Тш(ю.) < Т0 для произвольного Т0:
(14)
0 ~ N
Найдем Т0 такое, что ) >--1, исполь-
зуя (14):
50>а(5ш)1пА.
(15)
Выражение (15) будем считать критерием выброса (промаха) для массива значений Тш(юк), позволяющим выявить элементы, принадлежащие другой статистике (в нашем случае - соответствующей регулярной компоненте сигнала). То есть в случае, если существует 00еТ(юк), удовлетворяющее условию (15), возможно обнаружение регулярной составляющей в сигнале типа (1) с помощью анализа спектра мощности исходного сигнала. Данное условие легло в основу алгоритма детектирования периодичности в дискретном сигнале х .
и
В соответствии с теоремой Парсеваля для регулярного сигнала:
| 0)|2 Л = 21АР (со)|2 ¿/со, о
2 \ 2 я
дер )аГ
■Аю« (|А„| ) — а т
(16)
(17)
где (х2р1 и \ИР1/ - средние квадраты (интенсивности) регулярной составляющей сигнала и ее Фурье-образа соответственно. В оценке (17) использовалось соотношение неопределенностей ДшаГ ~ 2п. Аналогично для хш(/) в случае дискретного преобразования Фурье, получаем:
АО 2лЛГ "
где Д£2Ш =- - величина частотной полосы
шума (в дискретном случае).
Из (17), (18) получаем уравнение, позволяющее оценить величину а:
а
1
1-а
АГ
(19)
ЧП / |
Разрешая (19) относительно а с учетом а << 1, получаем:
ос =
1Ш
1
р
аш\2)х ла/лг
(20)
где Т| =
чп
- относительная интенсивность
|2 \
периодического фрагмента; р2 =
- относи-
тельная оценка спектральной плотности мощно-
Вероятность обнаружения
сти регулярной компоненты.
Так как в алгоритме поиска периодичности используется не усредненное значение (^р), а максимальное значение $>тах массива спектральной плотности, на которое накладывается условие (15), перепишем выражение для в в виде:
ЛГ
~пшх аСб'ш)!^—) 12 _ ¿Р __
'Ш/
о' n 2- = 1п(-), (21)
где 8ра - максимальное значение £ш(шк). С учетом (21) получим:
(22)
Границы применимости стандартного спектрального метода анализа также были установлены посредством численного моделирования. На рис. 1 приведена зависимость вероятности обнаружения периодического фрагмента от его относительной длительности при разных относительных интенсивностях периодического фрагмента. Объем выборок, используемых для оценок, составлял 104 элементов. Видно, что успешное детектирование (с вероятностью > 0,9) периодического фрагмента с единичной относительной интенсивностью (п2 = 1) возможно при а > 3 %, для фрагмента с половинной относительной интенсивностью (п2 = 0,49) - при а > 5 % (линии, соединяющие экспериментальные точки на рис. 1, 3, 4, проведены для наглядности, смысловой нагрузки не несут).
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
Ч) /1 <
/
1 /
■ -»-Г|=0,9 -*- Т]= 0,8 -•- Т|= 0,7 -»- Т|= 0,6 Г)= 0,5 -*- Т]= 0,4 —Т]= 0,3 -*- Т)= 0,2
1
/ || - относительная длительность периодического фрагмента
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Относительная длительность периодического фрагмента а, %
4
Относительная длительность периодического фрагмента а, 12
\ ,
■ -Теореп зависиг ■ Экспер! зависни 1ческая ЛОСТЬ л ментальная ЛОСТЬ
\
а=1/34г| X* 1-
1 1 ■ ■
1 I 1 ——— 1
ч
0,2
0,3
0,4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
Относительная интенсивность периодического фрагмента Г|
Рис. 2. Зависимость относительной длительности периодического фрагмента от его относительной интенсивности (при успешном поиске периодического фрагмента) для выборок объемом 104 элементов
На рис. 2 представлены зависимости относительной длительности периодического фрагмента сигнала, необходимой для его успешного детектирования (с вероятностью > 0,9), от относительной длительности периодического фрагмента, полученные экспериментально и теоретически в диапазоне 0,3 < п2 < 1,0 для выборок объемом 104 элементов. Теоретические значения параметров периодического фрагмента, при которых еще возможно его успешное детектирование в шуме, несколько ниже значений, полученных экспериментально (все отличия лежат в пределах 20 %), что естественно, по-
скольку данные значения являются граничными.
На рис. 3 приведены результаты аналогичного численного эксперимента по выявлению границ применимости стандартного спектрального метода анализа для выборок объемом 105 элементов. В данном случае успешное детектирование (с вероятностью > 0,9) периодического фрагмента с единичной относительной интенсивностью (п2 = 1) возможно при относительной длительности периодического фрагмента а > 1 %, для фрагмента с половинной относительной интенсивностью (П2 = 0,49) - при а > 1,5 %.
Анализ условия обнаружения периодического фрагмента (22) показывает, что допустимая относительная длительность периодического фрагмента тем меньше, чем больше отношение средних значений спектральных плотностей мощности регулярной и случайной компонент. Это говорит о принципиальной возможности повышения эффективности обнаружения периодического фрагмента при изменении соотношения длительностей периодического и непериодического фрагментов. Для реализации этой возможности использовался оконный спектрально-статистический метод анализа - метод разделения сигнала с помощью временного окна и исследования статистических свойств каждого фрагмента в отдельности [4].
Для нормально распределенного шума получены оценки граничных значений дисперсии спектра, позволяющие установить критерий выброса, аналогичный условию (15) для выборок объемом 104 и 105 элементов: интегрирование плотности распределения дисперсии спектра (аналогичное (14)) проводилось численно. Плотность распределения дисперсии спектра мощности по центральной предельной теореме при больших значениях объема выборки стремится к нормальной, однако в ходе численного эксперимента установлено, что последнее утверждение справедливо для выборок объемом более 103 элементов (что превышает величину используемого временного окна). Для выборок меньших объемов условия теоремы не
выполняются, и вид распределения существенно зависит от количества элементов в выборке, что и вызвало необходимость проведения численного эксперимента по получению оценок граничных значений дисперсии спектра. Границы применимости оконного спектрально-статистического метода анализа были установлены в программной среде LabVIEW.
На рис. 4 представлена зависимость, аналогичная приведенной на рис. 1, для оконного метода. Объем используемых для оценок выборок составлял 104 элементов, величина временного окна - 1 % от объема выборки. Из рисунка видно, что успешное детектирование периодического фрагмента с единичной относительной интенсивностью возможно при а > 0,5 %.
Для выборок объемом 104 элементов в диапазоне относительной интенсивности периодического фрагмента 0,5 < п2 < 1,0 чувствительность стандартного спектрального метода поиска периодического фрагмента в шуме удалось повысить почти на порядок.
Аналогичные результаты получены для выборок объемом 105 элементов. Установлено, что успешный поиск (с вероятностью > 0,9) периодического участка оконным спектрально-статистическим методом возможно при а > 0,06 % (оценки выполнены для п2 = 1). Чувствительность спектрального метода удалось повысить более, чем на два порядка.
Вероятность
■-1 1-1 ■-■ ■-■ ■-■ 1
►-< ►
- п = 1
Т| - относительная интенсивность периодического -♦- П = 0,9 —А— 1*1 = 0,8 -•- п = 0,7 -я- п = о,б П - 0,5
фраг мента
/ /
у
< ( _________________
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
0,2
0,3
0,4
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Относительная длительность периодического фрагмента а, %
Таким образом, теоретически получено аналитическое выражение для критерия обнаружения периодических сигналов малой длительности спектральным методом. Результаты численного моделирования обнаружения периодических сигналов малой длительности спектральным ме-
СПИСОКЛ
1. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения [Текст]/Г. Дженкинс, Д. Ваттс.-М.: Мир.-1971. -Вып.1.-316 с.
2. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях [Текст]/Ж. Макс.-М.: Мир.-1983.-Т. 1.-312 с.
тодом и оконным спектрально-статистическим методом удовлетворительно согласуются с теоретическими оценками. В ходе численного моделирования спектрального и оконного спектрально-статистического методов показано, что последний имеет более высокую эффективность.
ГЕРАТУРЫ
3. Фано, Р. Передача информации. Статистическая теория связи [Текст]/Р. Фано.-М.: Мир.-1965.-438 с.
4. Останин, С.А. Корреляционный метод поиска скрытых периодичностей в кинетике генерации лазера [Текст]/С.А. Останин, Г. А. Семёнов/Научно-технические ведомости СПбГПУ-2009.-№ 3 (83).-С. 88-94.
УДК 621.391
О.В. Чернояров, А.Е. Розанов
КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА И ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ
Под случайным импульсным сигналом с произвольной модулирующей функцией будем понимать мультипликативную комбинацию вида [1-3 и др.]:
«ьад/^/^и,-!;-
I х М * ) [0, >1/2.
Здесь гк0 - время прихода; т - длительность; /(^ -модулирующая функция; £(?) - реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса, обладающего спектральной плотностью
(2)
£2 ) у О
В - центральная частота; О - ширина полосы частот; П0 - дисперсия процесса £(?).
Полагается, что флуктуации £(?) являются «быстрыми», т. е. длительность импульса т и характерное время изменения & функции/(?) существенно превышают время корреляции процесса £(?), так что
т >> 2п/ О, & >> 2п/О. (3)
В [3] рассмотрена задача оценки времени прихода гк0 сигнала (1), наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума и(?) с односторонней
спектральной плотностью при условии, что все остальные параметры импульса априори известны. Однако в ряде практических задач дисперсия П0 процесса £(?) может быть неизвестна. В этой связи представляет интерес найти структуру и характеристики измерителя времени прихода и дисперсии сигнала (1).
При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия [4, 5]. Согласно этому методу необходимо формировать решающую статистику - логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) Ь(Х, П) - как функцию текущих значений X и П неизвестных параметров Х0 и П0 . При выполнении (3) согласно [2] имеем
П 1,2
l{x,d)=—M(X,D)-H f In
Д7 J
-1/2
1+^-f2(t)
dt,
(4)
M(XD)-7 n^hh2(t)dt M{KD)\l2EN+Dnt-mdt'
где ц = xQ/2n, En = NQQ/2n - средняя мощность шума n(t) в полосе частот процесса £(t), а y(t)= i x(t')h(t-t')dt' - отклик фильтра, пере-
J—oo
