CC BY
7Пример. Интегрируется система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
У'г
У'2
2/2(0) =
1
0 ^ х ^ Xf, хf
(12)
Таблица!
Nh h ¿2 Nf
43 0,1 -0,22 х Ю-15 0,65 х 10~15 34468
29 0,15 0,37 х Ю-14 -0,32 х Ю-14 23254
15 0,3 -0,38 х Ю-14 0,26 х Ю-14 12040
13 0,35 -0,34 х Ю-14 0,54 х Ю-14 10738
И 0,4 0,66 х Ю-13 -0,99 х Ю-13 8836
10 0,45 -0,10 х Ю-12 0,14 х Ю-12 8260
9 0,5 -0,99 х Ю-13 0,71 х Ю-13 7234
8 0,55 0,43 х Ю-12 -0,46 х Ю-12 6608
... —, Ш(0) = 1, У2 У1
Компонента У\{х) решения имеет большую производную, так как представляет со-
2
бой быстрорастущую функцию У\{х) = ех ,
1 _ 2
а вторая компонента решения у2{х) = —е х .
Для системы (12) задавалось разбиение промежутка интегрирования [0, Ж/] на несколько частичных сегментов длиной Л, ^ ж/, и на каждом таком сегменте решение представлялось в виде (£;+1)-й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва при к = 25. Число частичных сегментов длиной ¡г, на которые разбивался отрезок интегрирования (т.е. число шагов ЛУ, значения ¡г, относительные погрешности ¿1 и 52 приближенных значений уи /); вычисленных в конце промежутка интегрирования Xf, а также количество вычислений Nf правой части системы (12) приведены в табл. 1.
В таблице 2 приведены резуль- Таблица2
таты интегрирования задачи (12), полученные одношаговыми методами Фельберга и Ингленда пятого порядка точности с автоматическим выбором шага и многозначным методом Гира с автоматическим выбором шага и переменным порядком (максимально допустимый порядок равен семи).
Во втором и третьем столбцах табл. 2 показаны относительные погрешности ¿1 и 52 приближенных значений компонент решения у\{х), У2{%), отвечающие наилучшей фактически достигнутой точности в точке Ж/. В четвертом и пятом столбцах дано количество выполненных шагов Л^ и число вычислений Nf правой части системы (12), использованных для достижения такой точности.
Как видно, приближенное решение задачи (12) в точке Xf методом рядов Чебышёва получено с большей точностью за значительно меньшее число шагов и с существенно меньшим количеством вычислений правой части системы (12), чем указанными численными методами.
Метод ¿2 Nh Nf
Фельберга 0,44 х Ю-12 -0,46 х Ю-12 8432 50637
Ингленда 0,86 х ИГ12 -0,85 х 10~12 34285 211914
Гира -0,48 х Ю-12 0,51 х Ю-12 7577 15588
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва // Вычисл. методы и програм. 2016. 17. 121—131.
2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.
Поступила в редакцию 7.02.2017
УДК 515.162.6
ПОГРУЖЕНИЯ ГРАФОВ В ПРОЕКТИВНУЮ ПЛОСКОСТЬ
М. А. Ивашковский1
Исследуются погружения графов в проективную плоскость. Получена классификация погружений с точностью до регулярной гомотопности. Построен полный инвариант погружений с точностью до регулярной гомотопности. Случай погружений графов в любую компактную поверхность, отличную от проективной плоскости, был известен.
1 Ивашковский Максим Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: frankl581Qyandex.ru.
Ключевые слова: регулярное погружение графа, регулярная гомотопия погружений, движения Рейдемейстера, число самопересечения.
Immersions of graphs to the projective plane are studied. A classification of immersions up to regular homotopy is obtained. A complete invariant of immersions up to regular homotopy is constructed. The case of graphs immersions to any compact surface different from the projective plane was known.
Key words: regular immersion of a graph, regular homotopy of immersions, Reidemeister moves, self-intersection number.
Пусть дан связный граф G (возможно, имеющий петли и кратные ребра) с выделенной на нем вершиной v. Рассмотрим погружение 7 : G Ч-> M графа G в связное компактное гладкое двумерное многообразие M (определение 1 см. ниже). Требуется получить классификацию всех возможных погружений с точностью до регулярной гомотопности (определение 2 см. ниже). В настоящей заметке излагается решение этой задачи в случае, когда M = RP2 — проективная плоскость, и построен полный инвариант погружений графа G в проективную плоскость в терминах индекса самопересечения кривых по модулю 2. Полный инвариант погружений графа G в любую поверхность M ф RP2 был построен Д. А. Пермяковым [1] в терминах чисел вращения кривых.
Перейдем к точным формулировкам. Будем предполагать, что граф G состоит из одной вершины и п ребер (петель) а, г = 1,..., п, т.е. является букетом п окружностей. Случай произвольного графа легко сводится к этому случаю [1]. Выберем и зафиксируем параметризацию на каждом ребре вг графа G.
Определение 1. Отображение 7 : G —>■ M назовем погружением графа G в поверхность M (и обозначим через 7 : G ^ М), если его ограничение на любое замкнутое ребро ël является регулярной кривой (относительно параметризации t > (7Iei)(t), t € [0,1], отвечающей заданной параметризации ребра eî) и, кроме того, 2п касательных векторов ^|t=o(7lë~)) —^|i=i(7lë~)) ^ = 1,..., п, в точке 7(f) попарно несонаправлены, где v — вершина, в которой сходятся петли графа G.
Определение 2. Семейство погружений 7и : G М, и € [0,1], графа в поверхность назовем регулярной гомотопией, если оно является гомотопией в обычном смысле (т.е. отображение Г : G х [0,1] —>■ M, Т(х,и) = Ju(x), непрерывно) и ограничение этой гомотопии на любое замкнутое ребро Щ задается С°°-гладким отображением [0,1] х [0,1] —> M, (t,u) н> (7u\ëi)(t), t,u € [0,1]. Два погружения 7о, 7i назовем регулярно гомотопными (обозначение 70 71), если их можно соединить регулярной гомотопией 7u : G Ч-> M, и € [0,1].
Опишем построение полного инварианта регулярной гомотопности погружений.
Определение 3. Обозначим 7|6i =: ёъ г = 1,... ,п. Из вершины v' := j(v) графа G' := 7(G) выходят полуребра ... ,e'n, и в нее входят полуребра (е^)-1,..., (е^)-1. Пусть or — локальная ориентация касательной плоскости Т^^М в точке 7(f). Выберем обход вершины v1, согласованный с ориентацией or. Будем выписывать полуребра (е^)-1 в порядке их появления во время обхода. Соответствующий набор из е^, е"1 (т.е. соответствующее слово в алфавите {е\,..., еп, е~[1,..., е"1}) с точностью до циклической перестановки элементов набора назовем циклическим, порядком полуребер в вершине, отвечающим погружению 7 и локальной ориентации or. При изменении локальной ориентации будем иметь другой циклический порядок; полученную неупорядоченную пару циклических порядков назовем циклическим, порядком полуребер в вершине для погружения 7.
Существует биекция между множеством всевозможных циклических порядков для оснащенных погружений и множеством перестановок Ï2ra-i порядка 2п — 1. Изменение локальной ориентации дает действие (тривиальное при п = 1, свободное при п > 1) группы Z2 на множестве S2n-i-Получаем биекцию между множеством всевозможных циклических порядков для погружений и пространством Орбит S2n-l/^2-
Так как фундаментальная группа проективной плоскости абелева, она не зависит от выбора базисной точки. Поэтому будем опускать базисную точку в обозначении фундаментальной группы.
Определение 4 (индекс самопересечения замкнутой регулярной кривой на поверхности). Пусть 7 : [0,1] Ч-> M — замкнутая регулярная кривая (быть может, имеющая "излом" в точке 7(0) = 7(1)) и в точке 7(0) фиксирована ориентация касательной плоскости Т7(0)М, причем векторы 7(0) и 7(1) не являются противоположно направленными. Предположим, что все точки самопересечения этой кривой являются трансверсальными (этого можно добиться малой деформацией кривой). Пусть
(¿1,^2) точка самоисрсссчсния кривой 7, т.е. 7(^1) = 7(^2) =: А причем 0 ^ < ¿2 ^ 1 и (¿1,^2) ф (0,1). Перенесем ориентацию вдоль кривой 7|[о,*1] в точку А. Возьмем репер (7(^1), 7(¿2)) 11 сравним его ориентацию с перенесенной ориентацией. В зависимости от согласованности припишем точке самопересечения (¿1^2) знак +1 или —1. Просуммировав эти числа но всем точкам самопересечения, получим ч)н)сне самопересечения кривой 7 относительно заданной локальной ориентации, обозначим его через 1(7) € Ъ. Заметим, что число 1(7)тоё 2 € не зависит от выбора локальной ориентации.
Теорема. Пусть 71,72 два, погружения графа С в проективную плоскость МР2. Эти погружения, регулярно гомотопны (т.е.. 71 72) тогда и только тогда, когда 1пу(71) = Ъгу^г). Здесь функционал, 1пу : {7 : С Ч->- МР2} —>■ (£2^-1/^2) х {0,1}2га определяется, формулами
Invi(7) := {^циклический порядок полуребер для, 7J € 5^2«—i/^25
Inv2(7) := ([7|eJ, • • •, [7|ej) € (^(MP2))" = (Z2)n = {0,1}'\ Inv3(7) := (l(7|ei) mod 2,..., I(7|eJ mod 2) € (Z2)n = {0,1}",
Inv(7) := ^Invi(7),Inv2(7),Inv3(7)J.
Теорема следует из лемм 1 и 3, приведенных ниже. Для каждой петли e¿, г = 1,... ,п, храфа G возможны два случая. Первый петля 7i|e¿ стягиваема. Второй эта петля неетягиваема.
Замкнутую кривую 7 : S*1 —>■ М назовем кривой общего положения, если она регулярна (и, возможно, имеет "излом" в вершине), все ее точки самопересечения (см. определение 4) являются транс-версальными и образы 7(íi) = 7(^2) се точек самопересечения (íi, Í2) попарно различны. Согласно известной теореме Рейдемейетера [2|, две замкнутые кривые общего положения 70,71 : [ОД] ~~^ М на поверхности М гомотопны тогда и только тогда, когда существует гомотопия, разлагающаяся в последовательность движений Рейдемейетера 1, 2 и 3-го типов (рис. 1).
Рис. 1. Движения Рейдемейетера 1, 2 и 3-го типов
Лемма 1. Если 71 72, то Inv(7i) = Inv(72).
Доказательство. Если погружения 71 и 72 регулярно гомотопны, то они локально регулярно гомотопны в некоторой окрестности вершины v. Значит, циклический порядок относительно ориентации меняться не будет.
Если погружения 71 и 72 регулярно гомотопны, то две петли 7i|ei и 721е, регулярно гомотопны, а потому гомотопны. Значит, они либо обе стягиваемы, либо обе неетягиваемы.
Для замкнутой регулярной кривой индекс самопересечения mod 2 при регулярной гомотопии меняться не будет. Это следует из "регулярного аналога" теоремы Рейдемейетера [2|: индекс самопересечения кривой сохраняется при движениях Рейдемейетера 2-го и 3-го типов, а потому и при любой регулярной гомотопии.
Таким образом, если 71 и 72 регулярно гомотопны, то значения введенного функционала на них совпадают, т.е. функционал инвариантен относительно регулярной гомотопности погружений. □
Теперь проведем доказательство в обратную сторону.
Лемма 2. Если замкнутые регулярные кривые 70,71 : S*1 Ч-> М на, поверхности М гомотопны, то 7о 7i для, некоторой регулярной кривой 71, получающейся из кривой 71 прибавлением.; некоторого количества, .маленьких петель (завитков). Если при этом, кривые 70,71 совпадают на, некоторой дуге. 5 С S1, то указанная, регулярная, гомотопия, может, быть выбрана, неподвижной на, дуге 5.
Доказательство. По теореме Рейдемейетера [2| ввиду гомотопности кривых существует последовательность движений Рейдемейетера, приводящая кривую 70 к кривой 71. Выполним эту последовательность движений со следующей модификацией: каждый раз, когда предполагается совершить движение Рейдемейетера 1-го тина (рождение или уничтожение завитка), мы вместо этого будем оставлять на малом участке кривой маленький завиток (который будет сохраняться, жестко двигаясь по поверхности вместе с этим участком кривой, в течение всей последующей регулярной
гомотопии).
Более подробно: если движение Рейдемейетера 1-го типа состоит в уничтожении, завитка, то вместо уничтожения мы сохраним его (в течение всей последующей регулярной гомотопии) в виде маленького завитка. А если движение Рейдемейетера 1-го типа состоит в рождении, завитка,
,, , ,, то мы непосредственно перед выполнением
Рис. 2. Взаимное уничтожение пары маленьких петель , .
этого движения породим (как на рис. 2) регулярной гомотопией пару близлежащих завитков противоположных знаков и один из них (нужного знака) используем в качестве рожденного завитка при движении Рейдемейетера, а другой завиток сохраним (в течение всей последующей регулярной гомотопии) в виде маленького завитка на данном участке кривой.
В результате мы получим регулярную гомотонию, преобразующую кривую 70 в некоторую кривую 7i искомого вида, т.е. получающуюся из 71 добавлением нескольких завитков. □
Для замкнутой регулярной кривой 7 на RP2 введем движение, которое будем называть про-таскиваиием через бесконечность. Для этого перейдем к накрытию проективной плоскости RР2 сферой S2 и ирод сформируем некоторую простую духу 7|¿, 6 ^ v, при помощи регулярной гомотопии, неподвижной вне 6 и преобразующей духу 7|¿ в духу вида 7|¿ с двумя петлями одного знака, как показано на рис. 3. Итак, с помощью данного движения можно менять индекс самопересечения любой замкнутой регулярной кривой 7 в RP2 на +2 или —2 поередетвом регулярной гомотопии, неподвижной в некоторой окрестности концов кривой.
в©<2)
Рис. 3. "Протаскивание через бесконечность"
Лемма 3. Если, Inv(7i) = Inv(72), то 71 j¿-
Доказательство. Совместим точки 71 (v) = v[ и 72(1') = v'2 так, чтобы совпали циклические порядки в вершине v для погружений 71 и 72. Так как циклический порядок один и тот же, то сами эти погружения можно совместить в малой окрестности U С G вершины v с помощью регулярной гомотопии, неподвижной в вершине v.
Пусть U' С М = RP2 малая круговая окрестность вершины v' = v[ = v'.2 графа G\ = 71(G). Фиксируем локальную ориентацию касательной плоскости Tt/RP2. Фиксируем любое ребро e¿ графа G, i = 1,... ,п. Обозначим через I¿ индекс самопересечения I(7i|ei) mod 2 = 1(72|ei) mod 2 € {0,1}, который будем рассматривать как целое число. Возможны два случая.
Случай, 1: петля 7i|e¿ стягиваема. Из-за стягиваемости петли 7i|e¿ существует последовательность движений Рейдемейетера 2-го и 3-го типов, преобразующих эту петлю в некоторую петлю 7i|e¿ С U' С RP2, причем эта деформация неподвижна в некоторой окрестности V С U вершины V графа G. Аналогично существует последовательность движений и для 72, такая, что 72(61) С U'. Петля 7i|e¿ по лемме 2 регулярно гомотопна в диске U' положительно ориентированной окружности с некоторым числом завитков, причем соответствующая регулярная гомотопия неподвижна на Víle-í.
Любую пару соседних завитков, имеющих один знак, взаимно уничтожим регулярной гомотопной, обратной к "протаскиванию через бесконечность" (рис. 3). А любую пару соседних завитков с противоположными знаками можно взаимно уничтожить регулярной гомотопией (неподвижной на V П e¿) в диске U', изображенной на рис. 2. Отметим, что все указанные гомотопии неподвижны на V П e¿. Таким образом, петлю 7i|e¿ можно преобразовать с помощью регулярной гомотопии, неподвижной на V П e¿, в положительно ориентированную окружность с 0 или 1 положительным завитком. Заметим, что количество завитков равно (так как индекс самопересечения по модулю 2 регулярной замкнутой кривой сохраняется при движениях Рейдемейстера 2-го и 3-го типов, а значит, и при любой регулярной гомотопии). Поэтому к такому же виду можно преобразовать и петлю 72 к-
Отсюда следует, что петли 7i|e¿ и 721ei можно соединить регулярной гомотопией, неподвижной на V П e¿.
Случай 2: петля 7i|e¿ нестягиваема. В данном случае петля 7i|e¿ пересекает ленту Мёбиуса МР2\[/'. Петля 7i|e¿ но лемме 2 регулярно гомотопна некоторой кривой, пересечение которой с указанным листом Мёбиуса является простой дугой, а пересечение с диском U' имеет вид простой дуги с некоторым количеством маленьких завитков. При этом соответствующая регулярная гомотопия неподвижна в малой окрестности Ffle¿ вершины v.
Взаимно уничтожим пары соседних завитков, как в случае 1, с помощью регулярной гомотопии, неподвижной на V П e¿. То есть в данном случае получаем, что нестягиваемую петлю 7i|e¿ можно преобразовать с помощью регулярной гомотопии, неподвижной на F П e¡, в петлю, пересечение которой с листом Мёбиуса RP2 \ U' является простой дугой, а пересечение с диском U' имеет вид простой дуги с 0 или 1 положительным завитком. Как и в случае 1, получаем, что количество завитков равно Д. Поэтому к такому же виду можно преобразовать и петлю 72|ei) что и завершает доказательство леммы. □
Автор приносит благодарность Е. А. Кудрявцевой за постановку задачи и полезные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пермяков Д. А. Регулярная гомотопность погружений графов в поверхности // Матем. сб. 2016. 207, № 6.
93-112.
2. Reidemeister К. Elementare Begründung der Knotentheorie // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1926. 5. 24-32.
Поступила в редакцию 01.03.2017
УДК 539.31
О ЗАПИРАНИИ СВЕРХВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЙ В ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ СОСУДАХ
Н. Ф. Андрианов1
Получена аналитическая формула, позволяющая рассчитать максимальное давление внутри многослойного сферического сосуда при обеспечении линейного снижения давления между слоями.
Ключевые слова: сверхвысокое давление, многослойный сферический сосуд.
An analytical formula is obtained, which allows us to find the maximum pressure within a multilayer spherical vessel in the case of a linear decrease of pressure between the layers.
Key words: super high pressure, multilayer spherical vessel.
Из технических приложений теории упругости наибольший интерес представляют вопросы создания сосудов и аппаратов сверхвысоких давлений — газостатов, аппаратов для синтеза алмазов и т.д. В данной проблеме наиболее разочаровывает факт ограниченной прочности существующих
1 Андрианов Николай Филиппович — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. ВНИИНЕФТЕМАШ (Москва), e-mail: ZWETMETMASCHQmail.ru.
