CC BY
127
УДК 51:378.11 Кисельников Игорь Васильевич
кандидат педагогических наук, доцент кафедры дидактики математики Алтайской государственной педагогической академии тел.: (905) 985-17-02
ПОЭТАПНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ПОНЯТИЯМ В СИСТЕМЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ КАЧЕСТВА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Kiselnikov Igor Vasilievich
Candidate of Pedagogics, associate professor of the chair of mathematical didactics, Altai State Pedagogical Academy tel.: (905) 985-17-02
PHASING DESCRIPTION OF PROCESS OF TEACHING MATHEMATICAL NOTIONS IN SYSTEM ENSURE QUALITY OF LEARNING MATHEMATICS
Аннотация:
В статье рассматривается проектирование процесса обучения математическим понятиям в системе обеспечения качества обучения математике.
Ключевые слова:
математическое образование, качество обучения математике, процессный подход к управлению качеством, понимание, деятельность.
The summary:
This article discusses the planning process of learning mathematical concepts in quality assurance of teaching mathematics.
Keywords:
mathematical education, quality of mathematical education, process approach to quality management, understanding, activity.
В последние годы во всем мире происходит усиление внимания общества к проблемам обеспечения качества образования на всех его уровнях. Такая тенденция затрагивает, в частности, основное и полное (общее) образование по математике.
Обеспечению качества обучения может способствовать внедрение процессного подхода к обучению, в частности, математике, основанного на принятом в современном менеджменте качества понимании процесса. «Процесс - это совокупность взаимосвязанных или взаимодействующих видов деятельности, преобразующая входы в выходы» [1]. Процесс представляет собой последовательность исполнения функций (работ, операций), направленных на создание результата, имеющего ценность для потребителя. Обучение математике можно рассматривать как сеть взаимосвязанных процессов: проектирование и разработка процессов обучения; обучение понятиям, математическим методам, правилам и алгоритмам и др. Адекватное описание сети процессов возможно с применением моделирования для создания точного, достаточно лаконичного, удобного для восприятия и анализа описания системы как совокупности взаимодействующих компонентов и взаимосвязей между ними.
Этапами построения процессной модели являются:
1. Выделение процессов, их идентификация. Типизация и классификация процессов.
2. Определение характера взаимодействия процессов и проектирование их сети.
3. Описание процессов.
4. Определение критериев результативности и эффективности для управления процессом.
Разработка сети процессов обучения направлена на обеспечение прозрачности системы его осуществления и обозначения четких границ его реализации.
Подробнее рассмотрим процесс обучения математике. Наглядно такая сеть процессов может быть представлена на схеме, представленной на рис. 1.
Рис. 1 - Сеть основных процессов обучения математике
Следует заметить, что предлагаемый подход не предполагает радикального изменения путей осуществления обучения, а призван способствовать единству взгляда на различные компоненты этого процес- 173 -
са. Для практики обучения такой подход имеет существенное значение, поскольку позволяет встроить процесс обучения в создаваемые образовательными учреждениями системы менеджмента качества. Процессный подход позволяет отладить функционирование деятельностно-смысловой организационнометодической системы обучения. «Смыслопоисковое обучение математике способствует развитию качеств теоретического мышления, создает предпосылки для дальнейшего образования школьников» [2, с. 80].
В настоящее время в теории и методике обучения недостаточно разработок, связанных с реализацией процессного подхода. Требуется детальное рассмотрение отдельных процессов, выявление их существенных свойств.
Рассмотрим один из возможных подходов к описанию на примере процесса обучения понятиям в образовательной области «Математика и информатика», который основан на выявлении и отражении его существенных характеристик.
1. Определение (назначение) процесса (формулировка сущности, основное содержание процесса).
Понятие является формой мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира, в частности идеальных математических объектов.
Процесс обучения понятию охватывает овладение учащимися содержанием понятия, постепенное накопление знаний о его существенных признаках, выстраивание личностно-значимого образа понятия. Различные аспекты этого процесса подвергались исследованиям на протяжении длительной истории с позиций философского, психологического, педагогического и частно-методического видения (А.В. Брушлинский, В.В. Давыдов, В.П. Зинченко, Э.В. Ильенков, А.Н. Леонтьев, В.В. Мантатов, А.Л. Никифоров, Г.И. Рузавин, П.Я. Гальперин, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина, М.А. Холодная, А.В. Хуторской,
Н.И. Чуприкова, С.А. Шапоринский, В.С. Швырев, Н.В. Метельский, Е.И. Лященко, В.В. Репьев, О.Б. Епишева, Г.И. Саранцев, Э.К. Брейтигам и др.). «Данное извне понятие «формируется» в той мере, в какой оно является продуктом мыслительной деятельности учащихся. Отсюда возникают последовательные этапы в процессе овладения содержанием понятия, постепенное «движение» от неполного знания к полному» [3]. Приоритет реализации данного процесса следует отдавать фундаментальным математическим понятиям. В современном российском образовании предпринята попытка нормативного выделения «фундаментального ядра образования», в частности на уровне основного общего образования [4]. Разработчики фундаментального ядра образования отмечают, что «не следует включать в него понятия и идеи, смысл которых не может быть достаточно популярно и полно раскрыт школьнику» [5, с. 7].
В дидактике и психологии разработана получившая в дальнейшем широкое распространение теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина и др.), реализующая операционный подход к формированию понятий. Согласно этой теории, усвоение математического понятия происходит в процессе осуществления учебных действий: подведение под понятие (формируется при решении задач на распознавание объекта); выведение следствий (формируется при решении задач, в которых требуется вывести свойства объекта из факта его принадлежности определяемому классу); сравнения (задачи на понимание места усваиваемого понятия среди других); классификации (задачи на понимание родовидовых отношений, выделение подклассов объектов, входящих в объем изучаемого понятия) и др. Действия не усваиваются, если не выполняются. Выполняемые действия с признаками понятий служат инструментом построения понятия, его порождения. Если действие, на основе которого формируется понятие, после поэтапной обработки становится автоматическим и подсознательным умственным процессом, то понятие возникает как целостный образ.
Образное мышление есть деятельность, обеспечивающая создание образов, оперирование ими, перекодирование их в заданном или произвольном направлении, использование разных систем отсчета для построения образов, выделение в образе различных признаков и свойств объектов, значимых для человека. В процессе обучения математическим понятиям образное мышление учащихся формируется и используется под воздействием двух факторов. Во-первых, содержание понятий, условия и формы предъявления подлежащих изучению фактов. Во-вторых, субъективная избирательность школьников, их склонность к работе с образом, эмоциональное отношение к познаваемым фактам. Наглядность содержания идей, лежащих в основе математических понятий, возможности их выражения в различных пригодных для восприятия формах позволяют задействовать образное мышление учащихся. Склонности учеников к образному восприятию математики во многом зависят от предшествующего опыта, сложившегося при изучении математики на ранних этапах.
Начинать обучение математическим понятиям возможно с раскрытия заложенных в них перво-смыслов. Поскольку достичь этого средствами только аналитического мышления затруднительно, важно, чтобы у ученика был сформирован образ. На первом этапе обучения - визуальный образ, который впоследствии развивается до концептуального образа. При этом для познания каждого из математических понятий необходимо прохождение учеником ряда этапов.
Охарактеризуем сущность каждого из этапов формирования понятия.
Этап «житейских» представлений.
Без внимания к личностно значимым психическим образованиям - стихийно образовавшимся донаучным «житейским» представлениям - маловероятна возможность организации сознательного усвоения математики, так как нет гарантии того, что представляемые вниманию ученика факты будут им приняты безотносительно к имеющимся знаниям. В связи с этим подвергаются анализу «житейские» представления, связанные с терминами, используемыми для обозначения математических понятий, с целью выяснения их адекватности научному смыслу понятий.
Этап мономодальных математических представлений.
На этом этапе, основываясь на «житейских» представлениях, ученику предъявляются в наиболее адекватной форме объекты - представители объема подлежащего изучению понятия.
Выбор той или иной формы для представления математического материала в школе обусловлен соответствием двум основным требованиям:
а) представление содержания должно в наиболее ярком виде отражать сущность изучаемого понятия, то есть необходима адекватность с математической точки зрения;
б) эта форма должна способствовать развитию образа понятия, став первым этапом в познании. Так выражается адекватность с психологической точки зрения.
Эту роль может выполнять геометрическая форма, благодаря которой формируется зрительный образ.
Этап комплексных представлений.
Образы, в которых объекты отражаются в совокупности их свойств и отношений, в психологической литературе называются комплексными представлениями [6]. В рамках таких представлений учащийся может переходить от анализа одних свойств объекта к анализу других его свойств, проявляя гибкость мышления. Это свойство, заключающееся в перестройке имеющихся способов решения задачи, в изменении способа, перестающего быть эффективным, на оптимальный. Гибкость связана с характером образного отражения и проявляется при выполнении заданий (решении задач), включающих возможность выделения различных контекстов интерпретации при использовании одного и того же объекта. Существует два плана оперирования комплексными представлениями: актуальный (объект отражается с помощью оперативного образа, исходя из условий решаемой задачи) и потенциальный (объект отражается в совокупности свойств и отношений безотносительно к решаемой задаче). Для того чтобы сформировать у школьников гибкость мышления, необходимо, чтобы они использовали в своей деятельности четыре типа мыслительных действий: уподобляющие действия (отсутствие внешних проявлений гибкости), абстрагирующие действия (ориентация на внешние признаки), обобщающие действия (ориентация на существенные в данной ситуации признаки), действия по выделению «новых» свойств и отношений в объектах.
Понятийный этап.
Основываясь на комплексах представлений, отражающих в различных формах свойства математических объектов, выделяются существенные свойства. На этом этапе дается определение понятия на том уровне строгости, который отвечает целям обучения. Отрабатываются формальные процедуры оперирования понятием.
Реализация операционного подхода дает хорошие результаты при изучении таких понятий, которые:
а) не противоречат «житейским» представлениям учащихся;
б) имеют первый уровень абстракции;
в) реализуются внутри одного предмета;
г) имеют образ, выражаемый в одной форме, причем никакой другой объект не имеет похожего образа.
Операционный подход может быть использован, например, при изучении понятий евклидовой геометрии. В процессе преподавания начал математического анализа операционный подход применим к формированию понятий, играющих вспомогательную роль (например, интервала, аргумента функции, значения функции в точке, приращения функции в точке и др.).
Переход от «житейских» представлений через определение к понятию не может быть осуществлен по операционной схеме, поскольку осуществляемые действия не могут быть сразу соотнесены с индивидуальными образами, необходимо предварительно провести работу по доведению индивидуальных образов до такого уровня, когда они будут характеризоваться четкостью (позволяющей выделять свойства понятия), обобщенностью. Игнорирование индивидуальных образов, ранний переход к абстракциям ведет к тому, что у учеников формируются неадекватные представления, хотя формальные знания ученик демонстрирует.
Концептуальный этап.
На этом этапе формируется целостное содержание понятия, содержащее логический (знание свойств понятия) и интуитивный (энергетически сильный обобщенный образ понятия, характеризующийся возможностью актуализации) компоненты. Концепт не сводится к отдельным элементам представлений, а характеризуется осознанием смысла. Это обеспечивает применение понятия для построения другой теории, решения «нестандартных» задач, требующих самостоятельного выбора учеником адекватной формы представления понятия, оптимального перевода содержания из одной формы представления в другую (зачастую осуществляемого в свернутом виде).
Анализ философской и психологической литературы, касающейся формирования математических понятий приводит к осознанию необходимости выбора методических средств для формирования целостных образов математических понятий. Таким средством могут выступать специальные задания и задачи. К формированию математических понятий возможно привлечь средства образного мышления. В образах фиксируется: идейный смысл, благодаря которому осознанно осуществляется оперирование понятием, применение его для решения нестандартных задач, субъективно переработанный опыт. Невозможно создать и удерживать образ, тем более оперировать образом, к содержанию которого субъект безразличен.
2. Цель процесса обучения понятиям (необходимый или желательный результат, достигаемый в ходе выполнения процесса
Понимание как результат раскрытия, усвоения основной идеи, сущности понятия, установление взаимосвязей с уже имеющимися знаниями, включение знаний в смысловую сферу личности. Понимание сообщаемой информации осуществляется через установление первичных, в значительной мере обобщенных связей и отношений между предметами, явлениями и процессами, выявление их состава, назначения, причин и источников функционирования. В основе понимания лежит установление связей между
новым материалом и ранее изученным, что, в свою очередь, является основанием для более глубокого и разностороннего осмысления учебного материала.
3. Входы процесса (материальные и информационные потоки, поступающие в процесс извне и подлежащие преобразованию).
Предметные (житейские) представления учащихся, их первичные образы, основанные на предыдущем знании, ранее изученные понятия.
4. Выходы процесса (результаты преобразования, добавляющие ценность).
Математическое понятие.
5. Процессы поставщиков (внутренние или внешние поставщики - источники входов процесса).
Процесс проектирования и разработки.
6. Процессы потребителей (процессы внутреннего или внешнего происхождения, являющиеся пользователями результатов рассматриваемого процесса).
Процессы обучения математическим предложениям, математическим методам, правилам и алгоритмам, решения математических задач.
7. Показатели результативности процесса (отражающие степень соответствия фактических результатов процесса запланированным).
Результативность понимающего усвоения выражается в следующих характеристиках:
1. Отчетливость понимания.
2. Полнота понимания.
3. Глубина понимания.
4. Обоснованность понимания.
Наличие таких характеристик свидетельствует о достижении цели процесса обучения понятию, следовательно, эти характеристики и выступают в качестве показателей результативности такого процесса. Таким показателям качества может быть противопоставлен формализм в усвоении понятия. Как справедливо отмечал Н.В. Метельский [8], «формальное, поверхностное усвоение понятий ведет к их смешению, неточному пониманию и неправильному использованию, а в конечном счете - к формальному прохождению курса, плохому, поверхностному усвоению его». Разработка критериев результативности может осуществляться, исходя из специфики понятия, целей обучения, уровня обучения и др.
В зависимости от того, с чем производится сравнение действий ученика при оценке результативности, можно выделять способы оценивания:
- личностный, при котором сравниваются действия, производимые учеником в настоящем, с аналогичными действиями, произведенными им же в прошлом;
- нормативный, при котором произведенные действия сравниваются с установленной нормой их выполнения;
- сопоставительный, при котором сравниваются действия, производимые учеником, с аналогичными действиями, выполненными другими учениками.
Показателями, по которым учитель имеет возможность судить об овладении понятиями учащимся, служат погрешности, допущенные учащимися при работе со средствами контроля, предложенными учителем.
8. Порядок выполнения процесса (последовательность действий).
Процесс формирования понятий может строится двумя различными способами в зависимости от природы изучаемых понятий: классификационно-операционный и актуализированный.
В современной научно-педагогической литературе существуют различные подходы к выделению этапов в процессе обучения понятиям.
А.В. Усова [9], исследуя процессы формирования сложных научных понятий, выделяет в них следующие этапы:
1. Чувственно-конкретное восприятие (носящее целенаправленный характер, управляемое некоторыми специальными приемами, например, «обогащение знаний» [10]).
2. Выявление общих существенных свойств класса наблюдаемых объектов.
3. Абстрагирование.
4. Определение понятия.
5. Уточнение и закрепление в памяти существенных признаков понятия.
6. Установление связи данного понятия с другими понятиями.
7. Применение понятий в решении элементарных задач учебного характера.
8. Классификация понятий.
9. Применение понятий в решении задач творческого характера.
10. Обогащение понятия.
11. Вторичное, более полное определение понятия.
12. Опора на данное понятие при усвоении нового понятия.
13. Новое обогащение понятия.
14. Установление новых связей и отношений данного понятия с другими.
О.Б. Епишева [11], основываясь на выявлении в педагогической психологии трех ступеней понимания математического материала, выделяет три этапа формирования понятий, условно автором называемые:
1) подготовительным (приоритетны: учет представлений учащихся, использование методических приемов создания проблемных ситуаций),
2) основным (работа над определением понятия, применение методических приемов для усвоения определений);
3) этапом закрепления (установление и развитие связей и отношений нового понятия с другими, усвоение всей системы понятий теории или дисциплины в целом).
Г.И. Саранцев [12], исследуя упражнения как средства формирования понятия, выделяет следующие этапы:
1. Мотивация введения понятия.
2. Выделение существенных свойств понятия.
3. Синтез выделенных свойств, формулировка выделения понятия.
4. Понимание смысла слов в определении понятия.
5. Усвоение логической структуры определения понятия.
6. Запоминание определения понятия.
7. Применение понятия.
8. Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями.
Учитывая психологические особенности процесса образования понятий, Э.Г. Гельфман, М.А. Холодная, Л.Н. Демидова [13] выделяют компоненты понятийного мышления:
1. Формирование способности к словесно-образному переводу.
2. Выделение признаков усваиваемого понятия.
3. Включение исходного понятия в систему связей с другими понятиями.
4. Развитие основных мыслительных операций.
5. Подключение предметного (житейского) опыта учащихся.
Эти компоненты мышления могут рассматриваться в качестве основы процесса обучения понятиям, причем в такой последовательности, которая обусловлена спецификой изучаемого понятия, личности учащегося, направленностью обучения.
Ссылки:
1. ГОСТ Р ИСО 9001-2001. Системы менеджмента качества. Требования. М., 2001.
2. Брейтигам Э.К. Новые образовательные тенденции в обеспечении качества понимающего усвоения математики // Человек и образование. 2010. № 2. С. 78-81.
3. Метельский Н.В. Дидактика математики: общая методика и ее проблема: учеб. пособие для вузов. Минск, 1982.
4. Фундаментальное ядро содержания общего
образования: проект / под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. М., 2009. (Стандарты
второго поколения). URL:
http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2619 (дата обращения: 12.10.2011).
5. Там же.
6. Ермакова Е.С. Изучение психологических механизмов гибкости мышления дошкольников // Вопросы психологии. 1996. № 1. С. 124-131.
7. Там же.
8. Усова А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. М., 1986.
9. Метельский Н.В. Указ. соч.
10. Шардаков М.Н. Мышление школьника. М., 1963.
11. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: курс лекций: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. Тобольск, 1997.
12. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе. М., 2002.
13. Гельфман Э.Г. Психологические основы конструирования учебной информации (проблема интеллектоемких технологий преподавания) /
Э.Г. Гельфман, М.А. Холодная, Л.Н. Демидова // Психологический журнал. 1993. Т. 14. С. 39-41.
References (transliterated):
1. GOST R ISO 9001-2001. Sistemy menedzhmenta kachestva. Trebovaniya. M., 2001.
2. Breytigam E.K. Novye obrazovatel'nye tendentsii v obespechenii kachestva ponimayushchego usvoeniya matematiki // Chelovek i obrazovanie. 2010. No. 2. P. 78-81.
3. Metel'skiy N.V. Didaktika matematiki: obshchaya metodika i ee problema: textbook for high schools. Minsk, 1982.
4. Fundamental'noe yadro soderzhaniya obshchego
obrazovaniya: proekt / ed. by V.V. Kozlova,
A.M. Kondakova. M., 2009. (Standarty
vtorogo pokoleniya). URL:
http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2619 (date of access: 12.10.2011).
5. Ibid.
6. Ermakova E.S. Izuchenie psikhologicheskikh mek-hanizmov gibkosti myshleniya doshkol'nikov // Vo-prosy psikhologii. 1996. No. 1. P. 124-131.
7. Ibid.
8. Usova A.V. Formirovanie u shkol'nikov nauchnykh ponyatiy v protsesse obucheniya. M., 1986.
9. Metel'skiy N.V. Op. cit.
10. Shardakov M.N. Myshlenie shkol'nika. M., 1963.
11. Episheva O.B. Obshchaya metodika prepodavaniya matematiki v sredney shkole: kurs lektsiy: uchebnoe posobie dlya studentov fiz.-mat. spets. ped. in-tov. Tobol'sk, 1997.
12. Sarantsev G.I. Metodika obucheniya matematike v sredney shkole. M., 2002.
13. Gel'fman E.G. Psikhologicheskie osnovy konstruiro-vaniya uchebnoy informatsii (problema intel-lektoemkikh tekhnologiy prepodavaniya) / E.G. Gel'fman, M.A. Kholodnaya, L.N. Demidova // Psikho-logicheskiy zhurnal. 1993. Vol. 14. P. 39-41.
