CC BY
13
ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
УДК 621.983; 539.374
ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ СТРИНГЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КАНАЛАМИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ТЕОРИЯМ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПОВРЕЖДАЕМОСТИ
С.Н. Ларин, В.И. Платонов, Е.П. Куприн, С.С. Яковлев (мл.)
Представлены выражения для определения накопленной повреждаемости для различных групп материалов, подчиняющихся энергетической, кинетической теориям ползучести и повреждаемости, в условиях вязкотастического течения материала, что подразумевает использование в качестве основы как энергетической, так и кинетической теорий кратковременной ползучести и разрушения
Ключевые слова: формоизменение, мембрана, деформации, повреждаемость, цилиндрические каналы.
Медленное деформирование в условиях вязкого или вязкопластиче-ского течения является кратковременной ползучестью. Пренебрегаем упругими составляющими деформации [1-3]. Считаем, что если величина эквивалентного напряжения ое меньше некоторой величины а ео, например, соответствующей эквивалентной остаточной степени деформации ге =0,2% при эквивалентной скорости деформации ^ =0,02 1/с, то
процесс формоизменения будет протекать в условиях вязкого течения материала и с учетом повреждаемости уравнения состояния, описывающие поведение материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости, записываются как
о)
а применительно к группе материалов, подчиняющихся кинетическим уравнениям ползучести и повреждаемости, так:
о.
У
а
ео
1
К =
эе
(2)
(1 — Со5 ) ' ^епр
Уравнения состояния при вязкопластнческом течении материала (ое > ое) имеют вид
Ое =ве0
,ср "ео У
4
е0 У
СО
ср
а, &
АСР пр
(3)
если поведение материала описывается энергетической теорией нелинейного вязкопластического течения и разрушения, и
С
Ое=С>е0
,ср
гср
(
1СР\ ( \ ЪСР
(1-СО
>е0
ср -епр
(4)
если поведение материала описывается кинетической теорией нелинейного ползуче-пластического течения и разрушения.
Далее описывается формоизменение оболочки из материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости, свойства которого в предположении, что ое < оео, характеризуются уравнениями (1) (рисунок).
Схема к расчету деформированного состояния срединной
поверхности оболочки
4
Подставив в первое из уравнений состояния материала (1) входящие величины se,,получим
n í sin j Л
C1° Jo (1 -wCA) mhn (sin a)
pndt =
V
j sin a
ctg a
da
BD1nan
С учётом второго соотношения (2) повреждаемость
w A =
D1Q pa
sin ahA<Cp
sin j
- ctg a
a.
(5)
(6)
v j sin a
Так как давление p равномерно распределено по поверхности оболочки, для определения его величины во времени достаточно рассмотреть случай, когда j = 0. Кроме того, именно в этом направлении идет более интенсивное утонение толщины оболочки и накопление повреждаемости. При j ® 0 уравнения (5) и (6) преобразуются как
Qs eo (1 -wA Г hn (sin a)
c \m,nt
n
pndt
1
sin a
- ctga
da
dwCA
D1C1 pa
sin ahAn р
BD1nan
í 1 V sin a
ctg a
da.
(7)
(8)
Уравнения (7) и (8) можно записать в следующем виде:
p(t ) = A0(t)(1 -wA) т'П
(9)
n+1
Л/n
где A =
с1 se0h02
n
í b
V a
n+2 n f 1/ n
B1 nDxa
0(t ) = t
(n+2 )f -1 f 2
/ [1+412f
a 2
n
2n+1
n
D1C1 pbf
dw°A
1 +
bl 12 f
a
J-1
dt
h0 Acp
(10)
Система уравнений (9) и (10) решается совместно методом итераций. Решение этой системы при известном перемещении вершины купола от времени позволяет найти давление ), обеспечивающее заданное деформирование, и определить предельную высоту купола при деформировании оболочки, для чего нужно принять накопленную повреждаемость
«А =1.
Как и в предыдущем случае, если формоизменение оболочки определяется давлением p, необходимо воспользоваться системой уравнений
2 a
(7) и (8), куда нужно подставить h = h0 cos —. Решение этой системы
осуществляется в общем случае так же, как было указано раньше. Рассмотрим вариант, когда p = const. Интегрируя уравнение (8) при началь-
ных условиях t = 0, wA = 0, a = 0, найдем
wA=DC^a a
f
1
sin a
■ctga
da
h0 Апр 0 sin a cos2 —
2
(11)
откуда следует
wA =
D C1 pa 1 hn Ac 3
sin
a
2 ^ a
— + 2 tg-3 a 6 2
(12)
cos
v 2
Из выражения (12) в момент разрушения определяется угол раствора дуги a*, принимающего при wA = 1 вид
3 a* _ a* 3Amh0
tg — + 3 tg— =-^—
2 2 DC pa
(13)
При постоянном давлении уравнение (7) определяется следующим образом:
pndt = A11 — w
A
)m (sina)
n
1
V
sin a
ctga
2n a . cos — da,
2
(14)
где
Ai
n ^.n in C1 se0 h0
B D1 an
Безразмерное время разрушения t* = pn—t* можно записать как
A1
1
a* / Лт/ \
J \ 1 — wa) (sina)
n
1
V
sin a
ctg a
2n a , cos —da. 2
(15)
Рассмотрим случай, когда Xe = Xe1 = const:
p =
' Aл1/n v C1J
1 — wA)n sin a cos 2 2 (xe1)
m
2 a
1/n
(16)
Путем подстановки первого уравнения состояния (1) во второе вычисляется накопление повреждаемости
t
0
W A =
< c \m/n . . 1 -aj se0 (^el)
Byn Ac
D Anp
n+1 n
(17)
Проинтегрируем это уравнение с начальными условиями
t = 0; wA = 0:
n
WCA =1 -
n+1
1 +
n - m (xe1) n se0t
n AD
1 n
m - n
(18)
Это выражение определяет юСА = юСА ^). Изменение угла а в зависимости от времени при начальных условиях t = 0, а = 0:
Xe1 = const = Q
1
sin a
ctg a
da
dt''
Xe1t = C ln
(19)
cos
,2 a 2
Xc1t
a = 2arccos e 2C1 . (20)
Определив wA (t) из выражения (17) и a(t), также подставив их в выражение (16), получим значение давления p(t), обеспечивающее деформирование при Xe1 = const.
Рассмотрим формоизменение оболочки из материала, подчиняющегося кинетической теории ползучести и повреждаемости (2).
Накопление повреждаемости wce можно вычислить, подставив выражение se из первого уравнения состояния (2) во второе. В результате получим
wc k xc — ( 1 ^
B
B
v
sin a
ctga
a,
которое справедливо при ф = 0.
Интегрируя это уравнение при начальных
t = 0, юсе = 0, а = 0, определим
(21)
данных
a>c =—Qln-B
1
cos
„2 a 2
1
При юе = 1 получим из уравнения (22) угол а* в момент разрушения:
( _в Л о
а* = 2агссоБ
e 2C
(23)
V J
Давление p(t) может быть определено с использованием выражений (7) с заменой wA на wc и (22).
Рассмотрим случай, когда Xe = Xe1. При этом интегрирование уравнения (21) с учетом начальных условий t = 0, wce = 0 записывается в виде
w e = B xc1 . (24)
Определим значение wc по формуле (24), подставим в выражение (7), получим зависимость деформирующего давления p от величины накопленных микроповреждений wc (t). Если, кроме этого, принять во внимание, что
Xe1t = • (25)
cos
2
т. е.
Xe1t
2C
a = 2 arccos e 1, (26)
то выражение (7) даст зависимость давления от времени, обеспечивающее
условие деформирования, при котором Xc = Xe1 = const.
Далее рассматривается случай, когда p = const. Угол a* в момент разрушения будет определяться по формуле (23), а величина накопленной повреждаемости wc - по выражению (22). Безразмерное время разрушения
определяется по формуле (15) с заменой в ней wcA на wec и использованием выражения (22).
Пусть формоизменение задается перемещением вершины купола в зависимости от времени. В этом случае первое уравнение состояния системы (2) может быть преобразовано к виду (9) при j = 0 .
Уравнение, характеризующее накопленную повреждаемость, будет иметь вид
С05
2« В
= -С11п
а
1 * 2 /■ 1 н—Т-Г
Л
(27)
Использование выражения (27) в соотношении (9) позволяет вычислить деформирующее давление как функцию времени. Если направление длинных сторон вырезанной заготовки совпадает с осью анизотропии
у, то %у =0,Од; = Дуах/(1 + Ду), где аг = аф=^, причем по
условию несжимаемости.
Эквивалентное напряжение в этом случае
= = °2
РР И
(28)
где
1 + М
2(ЯХ + +1)
а эквивалентная скорость деформации
~ ~ С2
БШф
С/£0С
а
где
Сл
фБиюс
у[зяхя112{ях+ку+\)
(29)
Заметим, что С\1\ = С2^2 = 1.
Рассмотренные выше выражения могут быть использованы и во втором варианте вырезки заготовок. Для этого нужно в них заменить С\ и
Д на С2 и £>2.
В случае, когда ае > аео, процесс формоизменения реализуется в условиях вязкопластического течения материала, и поведение материала может описываться уравнением состояния (3) по энергетической теории или выражением (4) по кинетической теории кратковременной ползучести и разрушения.
Пусть формоизменение оболочки определяется давлением р(V).
Подставив в первое из уравнений состояния материала (3) входящие вели-
/
чины ое, ^ и гс/ - Ж при ф = 0, получим
О
s
1/ k
p1 kdt _
Ci ln
2
V cos a
dlk
(б1п а)
1 к
СОБ
a 2
,2/ к
h
1 к
(e «0)dlk X e0 D
1 vk
X
x (1 -wj) ^kC1'
V
1
Бш а
- ctga
da.
(30)
Из второго соотношения (4) может быть вычислена величина повреждаемости
' 1
dwcp _ C1D1ap dt
Б1п а
- а
da _ QD^pda
Anp sin a h0 cos2 — dt 2A^P ho cos4 —
(31)
^np
2
2
dt
Путем решения системы уравнений (30) и (31) определяются величины р и Юр . Разрушение оболочки происходит в момент времени, когда
<=1.
Рассмотрим случай, когда скорость деформации постоянна: Xср = ХеР. В этом случае, если учесть, что ф = 0, из уравнения (30) получим соотношение для нахождения давления р, которое запишется следующим образом:
s
e0
Р
Ciln
Vcos2 aj
d
2 a
sin a cos h0 2 0
V
1 -®A
(eeo ) dDx
a
ix. \k x eo
(32)
В этом случае повреждаемость юср будет определяться как
w
cp
\
CDa ^^ pda
2 Acph^ n 4 a 2Аи»ho 0 cos —
2
(33)
Система выражений (32) и (33) решается методом итераций и определяется так р = р(а) и Юр (а). Зависимость а от времени находится из условия
Xe1t _ C1J
1
Б1па
- ctga
da_ Qln
1
cos2(a/ 2)
(34)
т. е.
a _ 2 arccos e 10
X e1t
2Ci
1
0
Предположим теперь, что p = const, поэтому повреждаемость будет находиться согласно второму соотношению (3), на основании которого имеем
cp _ QD^p a da
A _ 2 AcPhe j 4 a 2Апрh0 0cos —
2
(36)
Принимается, что A^p
s
ср
se
xep
Xe0
_ const.
se
_ const,
_xcp. _ xcp
^e min ^e0'
Окончательно получим следующее уравнение:
cp _ i cidi pa f tg 3 3tgaЛ
3 h(,Acp
n0Лпр
(37)
2 2 у
Угол раствора дуги средней линии в момент разрушения а* опре деляется из уравнения (37) при юСр = 1:
3 а*
tg'
+ 3 tg
a* _ 3A<nph0
(38)
2 2 С^! ра Из соотношения (30) при постоянном давлении безразмерное время разрушения будет определяться выражением
a* i \ ,
t*_ i(l -ю*)rkIn
1
V
cos2 (a 2)
(sin a)1 k (cos a)2/ktga da, (39)
/
где
pV k ef x e0 d1 'J1 k
d+k
V ^^h1 k
(40)
S20 C1
0
Для материалов, подчиняющихся кинетической теории вязкопла-стического течения и разрушения, повреждаемость находится из второго уравнения (4) так:
( 1 Л Q —--ctg a
со
cp _.
V
sin a
da
Citg
a
2 da
e
Из этого следует, что
C a
cp e np
wf _-C— j tg a da
dt
Ci
e
cp dt e пр
(41)
e cP 0^2
ce пр 0
cp e пр
In
cos
,2 a 2,
(42)
0
t
t
1
Принимается, что ecfnp = const, т.к. _______,
V se ) Хe0 Xe0
Угол a* в момент разрушения определяется из условия, что we = 1:
ecp
e пр
a* = 2arccos e 2Cl , (43)
т.е. предельные возможности формоизменения не зависят от времени.
Если подставить WrJp по формуле (42), то величину давления p(t) можно найти из выражения (30).
Рассмотрим вариант, когда ХСР =Xep. Если учесть выражение (19) при j = 0, то получим уравнение (32) для определения давления p(a). Повреждаемость вычисляется по выражению (42). Зависимость a от времени находится из условия
const
x cp _x
cp
e min
1.
xcpt=Clin-
1
cos
2 a 2
a = 2arccos e
e cP
e el
2Ci
(44)
Пусть p = const. По формуле (42) определяется повреждаемость. Безразмерное время разрушения оболочки t* при p = const находится по
формуле (39) с заменой wrp на Wf.
Принимаем, что деформация оболочки описывается перемещением вершины купола от времени. Таким образом, уравнение (30) запишется как
d+k
sV kCV
p
1 k
in
a
i b 2 2 f 1 + t2f
djk 1+k 2k+1 'bЛ
2 k
v a
k h1/k h0
2+k
X
dlkt t^H kay k
(e e0 ) dk Xe0 ^
(2k+1) f - k
1 + ^t 2f a 2
2
k
Xt
k
1 -»cp
k
(45)
В соответствии с энергетической теорией разрушения повреждаемость может быть определена согласно уравнению (31), которое преобразуется следующим образом:
t
^Е^ар
dwcp
Ь
а
/г
I-1
^г
(46)
Величины давления р и повреждаемости юср определяются решением системы уравнений (45) и (46). Моменту времени г*, когда юср = 1,
соответствует разрушение оболочки.
Если материал подчиняется деформационному критерию разрушения, повреждаемость находится из уравнения (41), которое преобразуется к виду
Ь I^Ь
dw сер=
С V 2 1-1
а а
г
ср -е пр
Ь 2 21
^г
Откуда следует, что
ю
ср.
С
е
ср е пр
V
1п
1 + -2 г
а
(47)
1 +
г 21
а
(48)
Время разрушения г* определяется из (48) при ю ^ = 1.
Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания №2014/227 на выполнение научно-исследовательских работ Министерства образования и науки Российской Федерации на 2014 - 2020 годы и гранта РФФИ № 16-08-00020.
Список литературы
1. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В. А. Голенков, С.П. Яковлев, С. А. Головин, С.С. Яковлев, В. Д. Кухарь; под ред. В. А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.
2. Изотермическое деформирование металлов / С.З. Фиглин, В.В. Бойцов, Ю.Г. Калпин, Ю.И. Каплин. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.
3. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.Н. Ларин [и др.]; под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., тр/-ги1а@,гатЬ1ег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., тр1-1и1аа,гатЫег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Куприн Евгений Павлович, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@,rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Яковлев Сергей Сергеевич, студент, mpf-tula a ramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
APPROACH TO ASSESSMENTDAMAGEABILITYDURING DEFORMATION STRINGER GOVERNMENTAL STRUCTURES WITH CYLINDRICAL CHANNELS OF DIFFERENT THEORIES CREEP AND DAMAGE
S.N. Larin, V.I. Platonov, E.P. Kuprin, S.S. Yakovlev
In the article the expression for determining the cumulative damage of different groups of materials that obey the energy, kinetic theory of creep and damage, and in a viscop-lastic material flow, implying the need to use as a basis for the use of both energy and kinetic theories of short-term creep andfracture.
Key words: forming, membrane deformation, defect, cylindrical channels.
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kuprin Evgenij Pavlovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Yakovlev Sergey Sergeevich, student, mpf-tiila a ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University
