ПОЧТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА π1 НА ОБОБЩЕННО РИЧЧИ-СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 4

Физико-математические пауки

2009

УДК 513.7

ПОЧТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА п НА ОБОБЩЕННО РИЧЧИ-СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

В.Е. Березовский, И. Микеш

Аннотация

Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие с лилейной связностью допускало почти геодезическое отображение типа п в смысле Н.С. Си-шокова па обобщенно риччи-симметрическое пространство.

Ключевые слова: почти геодезическое отображение типа , обобщенно риччи-сим-метрическое пространство, пространство аффшшой связности.

Введение

Настоящая статья посвящена изучению почти геодезических отображений типа П1 пространств аффинной связности на обобщенно риччи-симметрические пространства аффинной связности.

Почти геодезические отображения пространств аффинной связности ввел в рассмотрение Н.С. Сипюков, который выделил три типа таких отображений: П1, П2 и (см. [1]). В работе [2] доказано, что других типов почти геодезических отображений не существует.

В работе [1] рассматривались почти геодезические отображения типа п1 пространств аффинной связности Ап на римановы риччи-симметрические пространства. Для этого случая найдены основные уравнения в виде замкнутой системы типа Коши в ковариантных производных. Эти результаты был обобщены в работе [3]

Ап

исевдо-риманово) пространство.

В настоящей статье получено обобщение указанных выше результатов для случая канонических почти геодезических отображений типа п1 пространств аффинной связности на обобщенно риччи-симметрические пространства аффинной связности.

1. Почти геодезические отображения типа п1

Понятие почти геодезических отображений использовалось В.М. Чернышен-ко [4]. Такое же понятие (но в другом смысле) было введено в рассмотрение и изучалось Н.С. Сишоковым [1. 5. 6].

Пусть Ап и Ап - пространства аффинной связности без кручения, размерность которых п > 2.

Определение 1 [1, 5, 6]. Диффеоморфизм /: Ап ^ Ап называется почти

Ап

переходит в почти геодезическую линию пространства Ап.

Почти геодезические отображения типа П1 в общей по отношению к отображению системе координат {хг} характеризуются уравнениями

РЬ) + ра р£)« = + Ч*рм, (!)

где Рг( (х) = Г( (х) — Г( (х) - тензор деформации объектов связностей Г ( (х) и Г( (х) пространс тв Ап и Ап соответствен но, - символ Кроне кера, аг- и Ъг -некоторые тензоры.

Запятой здесь и далее обозначаем ковариантную производную по отношению к связности пространства Ап.

Н.С. Сишоковым были выделены канонические почти геодезические отображения, которые он обозначил через п1. Эти отображения характеризуются нулевым тензором Ъг. Таким образом, отображения типа тг1 характеризуются уравнениями

Р(1з,к) + Р(г-Рк)а = а( г- ^к)- (2)

Заметим, что любое отображение типа п можно представить в виде композиции отображения типа п1 и некоторого геодезического отображения.

2. Риччи-симметрические и обобщенно риччи-симметрические пространства

Риччи-си.м,м,етрическим пространством называют пространство аффинной связности Ап, в котором тензор Риччи абсолютно параллелен (то есть он кова-риантно постоянен):

Ргз;к = 0,

где ":" обозначает ковариантную производную по отношению к связности пространства Ап.

В [1] доказано, что множество всех отображений тт1 пространства аффинной связности Ап на риччи-симметрические (псевдо-) римановы пространства Ап , получается из решений некоторой системы дифференциальных уравнений тнпа Копти в ковариантных производных (более детально это объясняется в монографии [1, с. 34 35]). Следовательно, семейство всех рнччн-снмметрнческнх римановых пространств, па которые допускает отображение типа тг1 заданное пространство

Ап

В дальнейшем этот результат мы обобщаем на случай обобщенно риччи-симметрических пространств аффинной связности.

Обобщенно риччи-симметрическим пространством Ап называем пространство аффинной связности, в котором тензор Риччи удовлетворяет условиям

Ргз;к + Ргк;з = 0. (3)

Если тензор Риччи является симметрическим и выполняются условия (3), то он абсолютно параллельный, то есть Дг-;к = 0, и, таким образом, Ап есть риччи-симметрическое пространство.

3. Почти геодезические отображения типа 7т1 на обобщенно риччи-симметрические пространства

Пусть Ап и Ап - п-мерные пространства аффинной связности. Диффеоморфизм /: Ап ^ Ап будет каноническим почти геодезическим отображением типа 7Г1 тогда и только тогда, когда в общей по отношению к отображению системе координат выполняются условия [1, 6]:

3(Ргк, к + Рка) = Щгз) к — Щгз)к + а(г-$к), №

где РЦ - тензор деформации, ац - некоторый тензор, Рцк """"" тензоры кри-

визны пространств Ап и Ап соответственно.

Соотношение (4) можно рассматривать как систему уравнений в ковариатных производных относительно неизвестных функций Рц в Ап. Условия интегрируемости уравнений (4) имеют вид:

Щц)[к,£] = Р\гц)[к,£] + $\ъазк),1 - $Цгац£),к + 3(Ргц^аМ - РцЦЩк£ )-

- РЦк (Р {ц)£ - Р{ц)£ + $(1аз£)) + РЦ£(ЩЛк - Щц)к + $ {га]к) )-

Переходим от РЦк ; к РЦк-1 и 113 условий интегрируемости системы (4) в итоге получим уравнения:

Р(ц)[к;£] = ${гаЦк),£ - $\гаЦ£),к + (цк£ > (5)

(1цЦк£ = Р\ц)[к,£] + 3(РгЦРик£ - РцЦР<а)к£)-

- Р^к (Р{ц)£ - Р{ц)£ + $'(газ£)) + Р0:£(Цц)к - Щц)к + 5{газк) )-

ра о! па о! I ра о! I ра о!

Р1 (гР|аЦ)к Р£ (гРЦ)ак + Рк (гР1аЦ)1 + Рк (г РЦ)а£-

Здесь символ |а| обозначает, что индекс а не участвует в циклическом суммировании. Используя тождества Риччи, условия (5) можно записать в виде

Рикц + Рц£к;г = $(гацк),£ - $(гаЦ£),к + (гцк£ ■

Свертывая последнее соотношение по индексам Н и к, получим следующее

Аоп

Рг£ц + Рц£;г = (п + 1)ащ - а£(гц) + &Цае ■ (6)

Аоп

риччи-симметрическим пространством. Поэтому тензор Риччи этого пространства удовлетворяет условиям (3). Тогда (6) можно записать в виде

(п + !)ац,£ - а£гц - аЦ,г = -(%а£. (7)

Из уравнений (7) в силу (3) получим:

1 а 2

а£г,Ц + аЦ,г = - п((Ц£аЦ) + П^^

С учетом этого равенства уравнение (7) можно записать в виде

п2 + п - 2 „ = (а 1 (а (о\

--- ац,£ = - (ца£ - п °(г1£аЦ). I»)

Аоп

Аоп

Ап

водных РР(гЦ)1.кт, получим

Щгц)к;£т - Щц)£;тк = $(га]к),£т — $\гаЦ£),кт + ТЦк£т, (9)

где

Тк _ щк Ща _ Ща щк _ Ща щк _ Ща щк

т г-к£т Щатк Щ(г])£ Щ£ткЩ(г])а Щ]ткЩ(га)£ Щгтк Щ(]а)£

_ РкЛа1к),1 _ Рт-5\гаак),1 _ Ртг$(аа]к),£ _ Р^к$(ааг]),£ _ ^^(^-к),.

Х\(аа]£),к + $иаа£),к + Ф "

_ Рта^{газ£),к + Р^г${ аа]£),к + Рт- $(гаа£),к + Р^к ${га-£),а _ Р^1,$ [га]а),к_

_ фк I Рк фа _ Ра фк _ ра фк _ ра фк _ ра фк

фг-к£,т + Гатфъ-к£ Г тгф а-к£ Гт-фгак£ Гткфъ-а£ Г т£ф г-ка-

Проальтернируем уравнения (9) по индексам I, т. Имеем: Щг-)т;£к _ Щг-)£;тк = $%азт),Ы _ $%ао£),кт + Т-к[1т] +

-I- рк ра -I- рк ра ра рк -I- рк па I

+ Щ (г\ак\ 1г])т£ + Щ (г])аЩкт£ Щ (г])кЩат£ + Ща (г\к\Щ-)т£ +

+ $(аа]к) Щ'£т + $(аагк) Щит + ${газа)Щ<а£т _ $(га-к) Щ^т- (Ю)

Учитывая свойства тензора Римана Щ-к, условия (10) можно привести к виду

ЩП^т£;-к + Щт£;гк = $\га]£),кт _ $\газт),Ы _ Щ-к£т, (И)

к к р а р к р а р к р а р к ^ г-к£т = Т ЦЩт] + Щгт£Щ(а])к + Щ]т£Щ(аг)к + Щкт£Щ(г])а

_ Ррат£ Щъ])к + $\аазк) Щ£т + $\аагк) Щ£т + $1{аагз)Щк£т _ а(ЦЩк)£т-

Проальтернируем (11) по ] и к. Получим

Щт£;гк _ Рркт£;г] = $\га]£),кт _ $\га]т),к£ _ $\гак£),]т + $\гакт),]£ _

__ N к I рк ра | пк ра + пк па _ па пк

г[]к]£т + Щат£11гк- + Щга£Щткз + ЩгтаЩ£кз Щгт£Щак- - К1^')

В соотношении (11) поменяем местами индексы г и к, а затем сложим с (12). В результате получим

2 Щт£;гк = $(га]£),кт _ $(га]т),к£ _ $(кк а]т),И +

+ $(гакт),]£ _ $(гак£),]т + $(-£ак),гт + ^%к1т, (13)

С^к _ _N к + N к _ рк ра + пк па + пк па _

г-к£т 1уг]к£т + к[г]]к£т Щат£Щ(к])г + Щза£Щтгк + ЩзтаЩ£гк

— рк ра | пк па + пк па _ пк па _ пк па + па пк

Щаг(з Щк)т£ + Щза£Щтгк + ЩзтаЩ£гк Щат£11гк- Щга£Щткз + Щгт[£11а]к- -

Апп

Ап

2 Щт£,гк = $(га]£),кт _ $(га]т),к£ _ $\ка]т),г£ +$ \гакт),]£ _ $(гак£),]т _ $(ка]£),1т +^1-к£т ,

где

сЬ _ глЬ _ 2

аг]Ыт _ 2

до рЬ _ рЬ ра _

_ ОЬ Ра _ рЬ ра _ рЬ ра +

1 ]а£,1Ртк £г]та,1р1к р^т1,аргк +

О- ( ра г>в рЬ ра рЬ ра рЬ ра\рЬ

+ раг рат1р1] р]а1р1т Р]тарИ )рвк

( ра рЬ рЬ па рЬ ра рЬ ра \ рР

\л0т1рав лат1рво Л]а1рвт ^тарв1)^к

( ра рЬ рЬ ра рЬ ра рЬ ра\р@

\-nвme-Pаi ■патерт ^вае^т 1втарИ )ртк

вт1р аi 1 ат1р вi 1 ва1р im 1 втар И )р jk

>а рЬ рЬ ра рЬ ра рЬ рал рв ^в1раЛ 1авlPji 1jаlPвi 1jварil )ркт

_ ( ра рЬ _ рЬ ра _ рЬ ра _ рЬ ра ) рв

(1 тврал 1 атвр ji 1 ^аврmi 1 ^тарвi)P к£

Введем в рассмотрение тензорное поле типа (1,4) следующим образом

■°ЬтИ = ^ЬтЕ^, (14)

и с учетом последнего запишем ковариантную производную этого тензорного поля в пространстве Ап:

2ЩтН,к _ $(^е),кт _ $(iajm),M _ 5(kajm),U + $ \акт)^1 _ $%аЫ)^т + $ \kajl),im +С^к£т ■

(15)

Заметим, что в левой части (15) можно заменить вторые ковариантные производные тензора а,ц , используя (8).

Таким образом, заключаем, что уравнения (4). (8). (14) и (15) для функций р^ (х), а^ (х), Р^к (х) и Р^кт (х) в пространстве Ап образуют систему дифференциальных уравнений в ковариантных производных типа Коши. Указанные выше функции должны также удовлетворять дополнительным алгебраическим условиям:

(х) _ Р*(х), а^(х) _ саф (х),

(16)

Щт (х) _ Щзк) (х) _ 0 Р\0к)1 (х) _ Щг0к)1 (х) _

Итак, справедлива

Ап

шло каноническое почти геодезическое отображение типа п на обобщенные

Арп

нем, существовало решение смешанной системы типа Коши (4), (8), (14), (15), и (16) относительно функций р^ (х), а^ (х), Р^к (х) и Р^кт (х).

Теорема 1 обобщает результаты полученные Н.С. Сишоковым [6]. Как следствие получим

Предложение 1. Семейство всех обобщенно риччи-силышпрических пространств аффинной связности, которые являются образом заданного пространства аффинной связности Ап относительно отображений типа , зависит не более чем, от 6 п(п + 1)2 (2п2 _2п + 3) параметров.

Работа выполнена при поддержке гранта МБМ 6198959214 Чешской Республики.

Summary

V.E. Berezovski, J. Mikes. Almost Geodesic Mappings of Type ni onto Generalized Ricci-symmetric Spaces.

We deduce necessary and sufficient conditions in order that, a manifold with linear connection admit an almost geodesic mapping of type ni in the sense of N.S. Sinyukov onto a generalized Ricci-symmetric manifold.

Key words: almost geodesic mapping of type n1, generalized Ricci-symmetric manifold, affinely connected space.

Литература

1. Сииюкоо Н.С. Геодезические отображения римаповых пространств. М.: Наука, 1979. 256 с.

2. Berezovsky V., Mikes J. On a classification of almost geodesic mappings of affine connection spaces // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. Rerum Nat.., Math. 1996. V. 35. P. 21 24.

3. Berezovski V.E., Mikes J. Vanzurova A. Canonical almost geodesic mappings of type ni onto pseudo-Riemannian manifolds // Diff. Geom. and its Appl. Proc. Conf., Olomouc, August, 2007. World Sci. PuU. Сотр., 2008. P. 65 76.

4. Чериылиеико B.M. Пространства аффинной связности с соответствующим комплексом геодезических // Науч. зап. Днепр, уп-та. 1961. Т. 55, Л' 6. С. 105 118.

5. Сииюкоо Н.С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и римаповых пространств // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, 4. С. 781 782.

6. Сииюкоо Н.С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и римаповых пространств // Итоги пауки и техп. Сер. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 13. С. 3 26.

Поступила в редакцию 19.08.09

Березовский Владимир Евгеньевич кандидат физико-математических паук, заведующий кафедрой математики Умапского государственного аграрного университета, г. Умапь, Украина.

E-mail: berez.voloderambler.ru

Микеш Йозеф доктор физико-математических паук, профессор кафедры алгебры и геометрии естествешго-паучпого факультета Университета им. Ф. Палацкого, г. Оло-моуц, Чешская Республика.

E-mail: mikes Qinf. upol. ez