CC BY
41
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.16.8
О ЖЕСТКОСТИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© И. ГИНТЕРЛЕЙТНЕР1, Й. МИКЕШ2 1 Технический университет г. Брно (Чехия), кафедра математики e-mail: [email protected] 2Университет им. Палацкого г. Оломоуц (Чехия), кафедра алгебры и геометрии e-mail: [email protected]
Гинтерлейтнер И., Микеш Й. — О жесткости специальных геодезических отображений // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 57—61. — В настоящей статье доказаны некоторые свойства жесткости относительно специальных геодезических отображений «в целом». Это позволяет уточнить многие результаты, доказанные ранее локально для симметрических, рекуррентных и обобщенно рекуррентных пространств.
Ключевые слова: геодезическое отображение, риманово пространство, жесткость
Hinterleitner I., Mikes J. — On rigidity of special geodesic mappings // Izv. Penz. gos. pedagog.
univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 57—61. — In this article we study some questions of rigidity of special geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian spaces. This allows us to specify the many results which have previously been proven in locally for symmetric, recurrent and generally recurrent spaces.
Keywords: geodesic mapping, Riemannian space, rigidity
Введение.
Многие работы посвящены изучению теории геодезических отображений, см. [1] - [27]. Проблемы жесткости и однозначной определенности как в локальном так и в глобальном смысле рассматривались многими авторами, напр. [2, 6, 7, 10], [12], [14]-[26].
В монографии [20, р. 181] сформулирована и доказана теорема о жесткости специальных геодезических отображений, уточнению и обобщению которой посвящаем настояшую работу. При помоши этого результата легко доказать, что многие результаты сформулировынные ранее локально для геодезических отобажений специальных пространств (напр. для симметрических, рекуррентных и обобщенно рекуррентных [6, 7], [12], [14]-[26]) справедливы и «в целом» при более низких требованиях на гладкость метрик.
Мы предпологаем, что метрики рассматриваемых п-мерных римановых пространств УП имеют общую сигнатуру, т.е. мы рассматриваем как классические так и псевдо-римановы пространства. Заметим, что проективные преобразования являются частным случаем геодезических отображений, которые в свою очередь обобшают свойства пространств Клингенберга [9].
1. Специальные геодезические отображения.
Как известно [1, 3, 18, 20], диффеоморфизм / между римановыми пространствами УП и УП называют геодезичеким отображением, если при нем любая геодезическая пространства УП отображается на геодезическую пространства УП.
делены на «общем» п-мерном дифференцируемом многообразии М. В этом случае принято обозначать
Отображение УП на УП является геодезическим тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Леви-Чивита
где дгу (ж) и дгу (ж) - компоненты метрик д и д в рассматриваемой координатной окрестности V С М. Очевидно, что дгу(ж) € С1(и) и дгу(ж) € С1(и).
Во многих случаях уравнения Леви-Чивита (1) геодезических отображений сопровождаются следующими соотношениями
где B и B - постоянные, X и Y - произвольные касательные векторные поля.
Собственно римановы пространства характеризуюшиеся этими условиями А.С. Солодовников [27] обозначил пространствами V(K), в общем случае - Й. Микеш [12] - пространствами Vn(B), см. [18, 20].
Многие свойства пространств Vn(B) доказаны в диссертации [12] и упоминаются в работах [18, 20]. В частности, доказана однозначная определенность B заданного пространства Vn(B).
Дифференцированием формул (2) при предположениии, что B = 0 или B = 0 из уравнений (2) вытекает справедливость уравнений Леви-Чивита (1). В работах [10, 11] это условие опущено, поэтому здесь сформулированные свойства некорректны.
Уравнениями (2), как известно, характеризуются геодезические отображения пространств постоянной кривизны [3, 20, 23] и пространств Эйнштейна [13], (см. [12, 18, 20]). Необходимость выполнения формул (2) при геодезическом отображении пространств Эйнштейна доказана Микешем в [12, 13]. Выполнение этих формул равносильно здесь сформулированной теореме о замкнутости пространств Эйнштейна относительно нетривиальных геодезических отображений.
Доказательство необходимости выполнения формул (2) при геодезическом отображении пространств Эйнштейна, приведенное Киосаком и Матвеевым в [10], более сложным образом «копирует» алгоритм найденный в [12, 13]. Эти формулы в работе [12, 13] доказаны для достаточно гладких функций и как нетрудно убедиться в данных работах - это для Vn G C3 и Vn G C3. Те же предположения и в работе [10]. Заметим, что необходимость формул (2) для существования геодезического отображения между пространствами Эйнштейна справедлива при предположении ненулевой скалярной кривизны в одном из отображаемых пространств. Кроме того, задача о строении метрик геодезически соответствующих Эйнштейновых пространств решена в работе Формеллы и Микеша [4].
Используя то, что / - диффеоморфизм, можно считать, что метрики д и д пространств УП и УП опре-
Vn = (M,g) и Vn =
(V -V)xX = 2ф(Х) • X,
(1)
где V и V - связности пространств УП и УП, ф - линейная форма и X - произвольное касательное поле на М. Если ф = 0, то геодезическое отображение тривиальное или аффиное.
Уравнение (1) выполняется в случае, когла УП € С1 и УП € С1. Как хорошо известно,
VX VYФ = VXФ • VYФ + Bg(X, Y) - Bg(X, Y),
(2)
В работах [10, 11] также доказывается тождество полученное ранее Синюковым (о коммутативности тензора Риччи и тензора а); это свойство в Эйнштейновых пространствах в силу симметричности тензора а выполняется тривиально. Заметим, что это свойство Синюковым [23] доказано корректно для Vn G C2 и Vn G C2, что предполагается и в [10, 11].
2. Теорема о жесткости специального геодезического отображения.
Имеет место:
Теорема 1. Пусть M - связное n-мерное дифференцируемое многообразие, которое представляется в виде дизъюнктного разложения M = cl(Mi U M2 U • • • U Ms), где Ma (а = 1, .. ., s) - связные открытые области.
Пусть f: Vn = (M, g) G C1 ^ Vn = (M, g) G C1 - геодезическое отображение.
Пусть на каждой области Ma, а = 1, .. ., s, имеют место уравнения (2):
Vx WФ = vxФ • Vyф + Ва g(X, Y) - Bag(X, Y) (3)
где Ba и Ba - постоянные, функция Ф дважды дифференцируема на всем M.
Если хотя бы на одной области Ma рестрикция отображения f является геодезически тривиальной, то и отображение f: Vn ^ Vn является тривиально.
Замечание. Случай, когда геодезическое отображение тривиально на Ma, т.е. когда Ф = const, также описывается уравнением (3), в этом случае Ba = Ba = 0 или g = Ba/Ba • g.
Если хотя бы один из коэффициентов Ва, Ba не нулевой, то f - гомотетия, т.е. g = const • g, при этом эти коэффициенты «согласованы».
В случае, когда Ba = Ba = 0, тривиальное решение может не быть гомотетией.
Доказательство. Пусть выполняются предположения теоремы, f: Vn ^ Vn - геодезическое отображение и имеют место уравнения Леви-Чивита (1). Рассмотрим геодезическую линию Y(t) на Vn отнесенную к натуральному параметру t и обозначим Ф^) = Ф(7^)), таким образом, 'f(t) = ^(Y(t)), где ' = d/dt. Так как g и е-4ф g - первые интегралы геодезических (см. [20]), имеет место
g(Y,7) = е = ±1, 0 и g(Yf, 7) = се4ф(4), с = const.
Для геодезической линии Y на области Ma, после подстановки X = Y = 7 в (3), мы получим
ф=(ф)2 + ba е4Ф - аа, (4)
где аа = е Ва и Ьа = с Ва.
Пусть область Ma/ отображается тривиально, т.е. для всех точек х G Ma/ имеет место Ф(х) = const, VФ(x) = 0.
Пусть геодезическая 7 проходит из области Ma/ до области Ma и пусть xo = 7(to) G cl(Ma) р| cl(Ma/).
Очевидно, что для 7(t) G Ma/: Ф(t) = Ф0 и Ф^) = Ф^) = 0. Так как Ф^) дважды дифференцируемая
функция имеем: Ф(^) = Ф0 и Ф(^) = Ф^о) = 0.
Поэтому
baе4Ф(*°) = аа ^ Ф(t0) = 1 ln а- (= Фо).
Уравнение (4) имеет в области cl(Ma) единственное решение Ф^) = Фо, удовлетворяющее начальным условиям Ф(^) =0 и Ф(to) = Фо.
Потому, что многообразие M связное, нетрудно убедиться, что Ф(х) = Фо, для всех x G M. ■
3. Приложения теоремы о жесткости специальных геодезических отображений.
На основании предыдущего имеет место:
Теорема 2. Симметрические, рекуррентные и т-рекуррентные (псевдо-) римановы пространства Vn, отличные от пространств постоянной кривизны, не допускают нетривиальных геодезических отображений на (псевдо-) римановы пространства Vn.
Доказательство. Синюков [23, 20] доказал это утверждение «локально» для симметрических, рекуррентных и некоторых обобщенно рекуррентных римановых пространств. Для многих обобщенно рекуррентных пространств это свойство обобщил Микеш [18, 20, 23]. Следовательно, доказательство настоящей теоремы вытекает на основании Теоремы 1. ■
Из результатов Й. Микеша [18, 20, 23] о геодезических отображениях пространств Эйнштейна, а также риччи симметрических и риччи 2-симметрических пространств, которые характеризуются условиями на тензор риччи: = 0 и WRic = 0, вытекает:
Теорема 3. Не Эйнштейновы риччи 2-симметрические пространства Vn не допускают нетривиальных геодезических отображений на римановы пространства Vn.
Подобное справедливо для других обобщенно рекуррентных пространств на основании локальных результатов Микеша и Собчука [18, 20, 24, 25, 26].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aminova A. V. Projective transformations of Riemannian manifolds // J. Math. Sci., New York 113, No. 3, 367-470 (2003).
2. Chuda H., Mikes J. On first quadratic integral of geodesics with a certain initial conditions // 6th Int. Conf. APLIMAT, (2007).
3. Eisenhart L. P. Non-Riemannian Geometry. Princeton Univ. Press. 1926. Amer. Math. Soc. Colloquium Publications 8 (2000).
4. Formella S., Mikes J. Geodesic mappings of Einstein spaces. Szczecinske roczniky naukove, Ann. Sci. Stetinenses. Vol. 9, fasc. I, 31-40 (1994).
5. Hinterleitner I. Selected Special Vector Fields and Mappings in Riemannian Geometry. Vedecke spisy Vysokeho uceni technickeho v Brne, Edice PhD Thesis, 525, 1-20 (2009).
6. Hinterleitner I., Mikes J. Geodesic mappings onto Weyl manifolds // J. of Appl. Math. Aplimat, 2, 1, 125-133,(2009).
7. Hinterleitner I., Mikes J. On fundamental equations of geodesic mappings and their generalizations // J. Math. Sci. 174, 5, 537-554 (2011) ; translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 124, 7-34 (2010).
8. Hinterleitner I., Mikes J. Projective equivalence and manifolds with equiaffine connection // J. Math. Sci. (2011) ; translation from Fundam. Prikl. Mat., 16:1, 47—54 (2010).
9. Jukl M. On homologies of Klingenberg projective spaces over special commutative local rings // Publ. Math. 55, 113-121 (1999).
10. Kiosak V.A., Matveev V.S. Complete Einstein metrics are geodesically rigid. Comm. Math. Phys. 289, No.
1, 383-400 (2009). arXiv 0806.3169.
11. Kiosak V.A., Matveev V.S. Proof of the projective Lichnerovicz conjecture for pseudo-Riemannian metrics with degree of mobility greater than two. Commun. Math. Phys. 297, No. 2, 401-426 (2010).
12. Mikes J. Geodesic and holomorphically projective mappings of special Riemannian spaces (Russian) // PhD. Diss. Odessa University (1979).
13. Mikes J. Geodesic mappings of Einstein spaces // Math. Notes 28, 922-923 (1981); translation from Mat. Zametki 28, 935-938 (1980).
14. Mikes J. Geodesic Ricci mappings of two-symmetric Riemann spaces // Math. Notes 28, 622-624 (1981); translation from Mat. Zametki 28, 313-317 (1980).
15. Mikesh I. Equidistant Kahler spaces // Math. Notes 38 (4), 855-858 (1985); translation from Mat. Zametki, 38:4, 627-633 (1985).
16. Mikes J. Geodesic, holomorphically projective and F-planar mappings of Riemannian spaces (Russian) // DrSc. Diss., Palacky University Olomouc (1995), Charles University Prague (1996).
17. Mikes J. Geodesic mappings of affine-connected and Riemannian spaces // J. Math. Sci., New York 78, No.3, 311-333 (1996); translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 11, 121-162 (2002).
18. Mikes J., Chodorova M. On concircular and torse-forming vector fields on compact manifolds // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.) 26, no. 2, 329-335 (2010).
19. Mikes J., Chuda H. On geodesic mappings with certain initial conditions // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.) 26, no. 2, 337-341 (2010).
20. Mikes J., Jukl M., Juklova L. Some results on traceless decomposition of tensors // J. of Math. Sci. 1-14, (2011); translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 124, 139-158 (2010).
Mikes J., Sobchuk V.S. Geodesic mappings of 3-symmetric Riemannian spaces // (English. Russian original) J. Math. Sci., New York 69, No.1, 885-888 (1994); translation from Ukr. Geom. Sb. 34, 80-83 (1991).
21. Mikes J., Strambach K. Differentiable structures on elementary geometries // Result. Math. 53, No. 1-2, 153-172 (2009).
22. Mikes J., Vanzurova A., Hinterleitner I. Geodesic mappings and some generalizations. Palacky University Press, Olomouc, 304p, (2009).
23. Sinyukov N.S. Geodesic mappings of Riemannian spaces. M.: Nauka, Moscow, 1979. 256p.
24. Sobchuk V.S. On the Ricci geodesic mapping of 4-symmetric Riemannian spaces. Sov. Math. 35, No.4, 68-69 (1991); translation from Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat. 1991, No.4(347), 69-70 (1991).
25. Sobchuk V.S. On geodesic mappings of projective 2-recurrence Riemannian spaces. (Ukrainian) Mat. Stud.
5, 53-56 (1995).
26. Sobchuk V.S. Projectively 2-recurrent Riemann spaces. (Ukrainian. English summary) Nauk. Visn. Chernivets’kogo Univ., Mat. 46, 107-108 (1999).
27. Solodovnikov A.S. Geodesic classes of V(K) spaces (Russian)// Dokl. Akad. Nauk SSSR 111, 33-36 (1956).
