Почти экспоненциальная последовательность экспоненциальных многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 88-106.

УДК 517.5

ПОЧТИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

A.C. КРИВОШЕЕВ

Аннотация. В работе изучается специальная последовательность экспоненциальных многочленов, показатели которых разбиты на относительно малые группы. Доказывается, что в любой выпуклой области комплексной плоскости она является почти экспоненциальной последовательностью. При помощи этого результата найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы указанная последовательность являлась базисом в замкнутом и инвариантном относительно оператора дифференцирования подпространстве пространства функций, аналитических в выпуклой области. Приводятся также два способа описание всего класса базисов в инвариантном подпространстве, элементы которых являются экспоненциальными многочленами.

Ключевые слова: экспоненциальный многочлен, инвариантное подпространство, аналитическая функция, выпуклая область, базис.

Пусть D — выпуклая область в С и [Кр1 — последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая область D, т.е. выполнено следующее: 1) Кр С intKp+1 для всехр > 1 (int обозначает внутренность множества), 2) D = 1 Кр. Пусть Нм(z) обозначает опорную функцию множества М (точнее говоря, комплексно сопряженного с М множества):

Нм(z) = sup Re(zw), z E С.

weM

Тогда из условия 1) следует, что для каждого р > 1 существует число ар > 0 такое, что

НКр(z) + aPlz| ^ НКр+1 (z), z E С. (1)

В работе [1] было введено следующее понятие. Последовательность функций |ет}^= 1, аналитических в области D, называется почти экспоненциальной, если найдутся числа Хт E С т > 1 | \т| ^ то при т ^ то, для которых выполнены два условия: 1) для каждого р > 1 существуют постоянная а > 0 и номер s такие, что

sup lem(w)l ^ a exp(HKs (Хт)), т =1, 2,...; 2) для каждого р > 1 существуют постоянная b > 0 и номер s такие, что

b exp(HKp (Хт)) ^ sup lem(w)l, т = 1, 2,...

weKs

Отметим, что определение почти экспоненциальной последовательности привязано к конкретной выпуклой области D. Поэтому корректнее называть такую последовательность почти экспоненциальной в области Д, Числа \т E С, т > 1 называются показателями функций |ет}^= 1. Примерами почти экспоненциальных последовательностей служат,

A.S. Krivosheyev, An almost exponential sequence of exponential polynomials. © Кривошеее А.С. 2012. Поступила 5 июня 2011 г.

естественно, последовательности самих экспонент, а также последовательности экспоненциальных мономов {znexp(Amz)}^=™ra=1 при условии кт/|Ат| ^ 0 (см, [1]), В работе [2] рассмотрена более общая последовательность функций {ет}^=1; составленная из линейных комбинаций экспоненциальных мономов, показатели которых разбиты на так называемые "относительно малые группы". Подобные последовательности возникают естественным образом при изучении классической задачи представления функций из пространства, инвариантного относительно действия некоторого линейного оператора, посредством собственных и присоединенных функций этого оператора, В работе [2] исследовались замкнутые подпространства W, инвариантные относительно оператора дифференцирования, в пространстве Н(D) функций, аналитических в выпуклой области D, с топологией равномерной сходимости па компактных подмножествах из D. Если W нетривиальное {W = Н(D) и W = {0}) подпространетво в Н(D), то спектр оператора дифференцирования в W является не более чем счетным множеством {Ак} (см, [2]), При этом если спектр бесконечен, то единственная его предельная точка то, Таким образом, собственными функциями оператора дифференцирования в W являются экспоненты с показателями Ак, Присоединенными функциями будут соответственно экспоненциальные мономы zn exp(Akz), где п = 1,... ,пк — 1 (натуральное число пк можно определить как кратность нуля некоторой целой функции экспоненциального типа, связанной с подпространством W [2]), В случае, когда множество {Ак} конечно, подпроетранетво W совпадает с пространством решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (см., например, [3, глава 4]), Тогда согласно фундаментальному принципу Л, Эйлера, каждое решение такого уравнения является линейной комбинацией собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W. В связи с этим имеет смысл рассматривать лишь инвариантные подпространства W С Н(D), с бесконечным спектром {Ак}£=1. Для таких подпространств мы имеем бесконечную систему £ = {zn exp(Ak^)}те,Пгг—о ственных и присоединенных функций. Если точки спектра достаточно отделены друг от друга (см, [4]), то при некоторых дополнительных условиях на спектр {Ак}£=1 и натуральные числа Пк, к = 1, 2,..., (см. [4],[5]) в подпространстве W также имеет место фундаментальный принцип: каждая функция из W представляется рядом по системе £, который сходится абсолютно и равномерно на компактах из области D. При "слипании"точек спектра такое представление невозможно [4]. Однако и в этом случае в подпространстве W может существовать базис, составленный из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования, показатели которых разбиты на относительно малые группы (см., например, [6]),

Пусть последовательность {Ак} разбита на группы Um, т = 1, 2,..., Сделаем перенумерацию членов этой последовательности. Точки Ак, попавшие в группу Um, будем обозначать Xm>i, а их кратности (т.е. числа пк) — Здесь первый индеке т совпадает с номером группы, а второй индекс меняется в пределах от 1 до Мт, где Мт — число точек спектра, попавших в группу Um. Говорят, что группы Um, т = 1, 2,..., относительно малы, если выполнено следующее:

т |Am,7 Хт.11 „

lim max -—-:-= 0.

т^те 14j,l4Mm |Атд|

Заметим, что числа Ат>1 здесь можно заменить любыми другими предетавителями \mj групп ит. Это сразу следует из соотношения

1 • 1 ^т, j1 - v 1 ^т, j Xт, 11 . п • 1 ^т, 11

lim max —-- ^ пш max -—-.--+ lim —-- = 1.

т^те |Ат,11 т^те 14j4Mm |Атд| т^те |Атд|

В новых обозначениях система собственных и присоединенных функций выглядит следующим образом £ = {zn exp^^i^Н^и^ТП-1- Пусть Мт — число точек спектра, попавших

в группу ит т = 1, 2,..., с учетом их кратности, т.е. Мт = ^ = пт,[. По системе £ построим систему функций £ = {ет'Р(г)}т=1тп=1- Положим

е ( ,)=(Р- 1)! Г Ят(Л, ^Л н т =12 (2)

ет'Р^)= 2пг ] ( д -Хт1у, Р=1,...,Лт т =12(2)

|А-АтД| = 1

Здесь

дт (Л, ^^ [ ^ т = 1,2,...,

2Ш } (С - Л)Шт(С)

Гт — контур, охватывающий точки Лт,1,1 = 1, 2,..., Мт, группы ит,ъ шт(Л) — многочлен с этими нулями с учетом их кратности и со старшим коэффициентом, равным единице, т.е.

ш.

м,..

П( Л -Лт,1 )п™,1, т =1, 2,...

т

I=1

Из (2), используя теорему о вычетах, получаем равенства

Мт пт,1-1

е т,р (*) = ^ ехр( Лт,1 г), т = 1, 2,..., р=1, 2,..., Мт. (3)

1=1 п=0

В работе [2] при условии, что последовательность £ является почти экспоненциальной,

получены необходимые и достаточные условия того, что £ = {е-тр(г)}с^=^1'пр=1 — абсолютный и равномерный базис в подпространстве Ш. При этом же условии найдено описание всех возможных базисов в Ш вида (3), построенных то относительно малым группам ит.

В связи с этим естественно возникает задача выяснения условий, при которых система £ = {ет,п(^)}с^=^]'гр=1 является почти экспоненциальной последовательностью. Цель данной работы — показать, что при выполнении равенства

М„

Я = Ит —^ = о (4)

|Лт,11

последовательность £ будет почти экспоненциальной,

В работе [2] доказывается (следствие из леммы 5), что при М = 0 для каждого ] > 1 существуют постоянная С^- и номер в > ] такие, что

йир | ет,р М| ^С) ехрНКд (Лт,1), т =1, 2,..., р=1,...,М,

т

Это означает, что для системы £ = {етр(х)}^^™^-^ выполнен пункт 1) из определения почти экспоненциальной последовательности, В дальнейшем мы покажем, что при М = 0 для £ выполнен и пункт 2), При доказательстве этого факта мы будем опираться па теорему 1 из работы [2].

Нам понадобятся некоторые дополнительные определения и обозначения. Для выпуклой области И и каждо г о 5 = 1, 2,... определим банахово пространство целых функций экспоненциального типа

тек^

Р3 = {/ е Н(С) : ||/||в = 8ПР |/(Л)| ехр(-Нк3(Л)) < то},

Аес

и через То обозначим индуктивный предел проетранетв V Отметим (см., например, [3]), что преобразование Лапласа ¿(¡¡)(А) = (¡, ехр Аг) устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством Рд и пространством Н*(И) — линейных непрерывных функционалов на Н(И).

Для каждого 5 = 1, 2,... введем еще банахово пространство комплексных последовательностей

Rs = {b = {bmJ} : ||&||s = sup(|bmJ| exp(—(Am,i))) < то}.

m,j

Здесь m = 1, 2,... и j = 1,..., Nm. Пуст ь R(D) — индуктивный предел пространств Rs.

( )

-(A. Я = 2Ъ / ^f-Aj^^ m =1,2,...,

Гт

где контур Гт и многочлен шт(() такие же, как и выше. Эта формула определяет известный интерполяционный многочлен степени не более чем Nm — 1, который в точках Am,i

вместе со своими производными до порядка nm,i — 1 включительно принимает значения,

( )

(t\ Am,i, /) = f(n)( Am,i), 1 = 1, 2,...,мт, n = 0,1,..., nm,t — 1. Разложим qm(A, f) то мономам ( A — Am,1)j:

qm( A, /)=$5 Qm,j ( f)(A — ^, m =1, 2,...

3=0 J'

В работе [2] (лемма 5) показывается, что для любой функции f из пространства Vd последовательность чисел q(f) = {qm,j-1(/)}т^"?=1 принадлежит пространству R(D), Пусть В (z, г) и S(z, г) обозначают соответственно открытый круг и окружность с цен-

выше, нам необходимо доказать следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть h(z) — положительно однородная порядка один и непрерывная в комплексной плоскости, функция. Для, любого £ > 0 существует 8 > 0 такое, что выполнено неравенство

sup h( A) ^ inf h( A) + e inf |A|, г£ C.

xeB(z,s\z\) xeB(z,s\z\) xeB(z,s\z\)

> 0 h( ) на окружности S(0,1) найдется 8 G (0,1/2) такое, что для любого z G S(0,1) и всех A,w G B(z, i) выполнено неравенство

|h( A) — h(w)| ^ e/2. h( )

sup h( A) = |z| sup h( A) ^ Ы inf (h( A) + e/2) = Ы inf h( A)+

xeB(z,s\z\) xeB(z/\z\,s) xeB(z/\z\,s) xeB(z/\z\,s)

+2-1 e|z| ^ inf h( A) + 2-1(1 — ¿)-1e inf |A| ^ xeB(z ,s\.z\) xeB(z ,s M)

< п Ы(\)+£ ^ |Л|, ге С.

\ев(х ,8 И) \ев(х,&И)

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть И — выпуклая область, и последовательность [Лт,1} разбита на относительно малые группы ит. Предположим, что Мт/|Лтд| < 2-т и |Лт+1д| > 2|Лтд|, т = 1, 2,... Тогда, для каждой последовательности, Ь = {Ът^} из пространства К(И) существует функция / е такая, что Ьт^ = дт^-1(т = 1, 2, ...,] = 1,..., Ыт.

Доказательство. Пусть последовательность Ь = {6т,.,} принадлежит К(Б). Тогда по определению пространства Я(И) существует номер 5 такой, что

\\Ь\\3 = вир(|Ьт,^ ехр(НКа ( Лт,1))) < ГО,

т,

т.е. для некоторой постоянной С > 0 выполнены неравенства

| &т,,-| <С ехр(-Нк„ (ЛтЛ)), т =1,2,..., з = 1,...,М.. (5)

Построение целой функции, существование которой утверждается в лемме, мы произведем в два этапа. На первом этапе для каждой группы ит, т = 1, 2,..., будет построен многочлен Рт, удовлетворяющий необходимой оценке сверху, и такой, что дт,]-1(Рт) = ] = 1,..., Мт. На втором этапе, несколько подправив, указанные многочлены, мы осуществим их "склеивание"до требуемой целой функции. Перейдем к первому этапу. Положим

Рт(Л) = Ът,3+1 (Л -Лт1У , т =1, 2,...

3=0

т = 1, 2, . . .

( )= 1 Г Рт(0(Шт(0 -^т(Л))^,,

Чт ( Л,рт ) = ^ -77--7Т\-«V

2ттг ] (( — Л)шт(С)

Это равенство определяет многочлен степени не более чем Мт — 1, который в точках Лт,1 вместе со своими производными до порядка пт,1 — 1 включительно принимает значения, совпадающие с соответствующими значениями многочлена Рт(Л) и его производных. Поскольку Рт(Л) также имеет степень не выше чем Мт — 1, а число точек Лт,1 в группе ит с учетом их кратноетей пт,1 равно Мт, то многочлены дт(Л, Рт) и Рт(Л) совпадают. Тогда из определений многочлена Рт(Л) и чисел дт,](Рт) легко получаем равенства

Ьт,з = Ят^-1 (Рт), т =1, 2,..., ] = 1,...,Ит. (6)

Теперь мы найдем оценки сверху для модулей многочленов Рт(Л). По условию ат = |Лтд|/Мт > 2т, Учитывая, что ]\ > ^/3 при всех ] > 1, и функция 4х-11п(3х) убывает при х > 1, для всех т = 1, 2,... и 4] = 0,1,..., Мт — 1 имеем:

1п(|Лтд|У,Я) < 1п(3ЦЛт^/31) = 31п(?>1ЛтЛ1/з) < N.т Щ^Л^ /М.) = 1п(3ат) = ^

1 Лт,11 |Лт,1| |Лт, 1| |Лт,1| ат

где е(т) ^ 0 при т ^ <х. Отсюда получаем Лт,1

^^ < ехр(е(т) | Лт,11), т = 1, 2,..., 3 = 0,...,Мт — 1. \

Таким образом, для всех т = 1, 2,... и Л € В(Лтд, |Лтд|) верна оценка

Nт — 1\/\ Л N га 1 |л N га 1

1Рт(А)| ^ £ |Ьт^У+л-^ ^ £ |^ exp(e(m)|Лm,l|) £ |Ьт^^.

Отсюда с учетом (5) получаем:

|Рт(Л)| ^ СЫтexp(HKв(Лш,1)+е(т)|Лт,1|), т = 1, 2,..., Л €В(Лт,1, |Лтд|).

Так как Мт/|Лтд | ^ 0, то можно считать, что для некоторого номера т0 верны неравенства

Мт ^ exp(2-1as|Лm,l|), т > то, где а3 — постоянная го формулы (1). К роме того, е(т) ^ 0 при т ^ то. Поэтому можно также считать, что

2е(т) ^ а3, т > т0. Следовательно, из предыдущего и (1) получаем:

|Рт( Л)| ^ С exp(Hкs (Лт,1) +а,|Лт,1|) ^ С exp(Hкs+1 (Лт,1)),

т > то, Л € В(Лт,1, |Лт,1|). Увеличивая при необходимости постоянную С > 0, можно считать, что

|Рт( Л)| ^ С exp(Hкs+l (Лт,1)), т > 1, Л € В(Лт,1, | Лт, 11). (7)

Перейдем теперь ко второму этапу, в результате которого и будет построена требуемая

величин модулей точек Лт,1 с учетом их кратноетей пт,17 сходится. Действительно, имеем:

те Мт те Мт , , | те Мт

^Г^ пт,1 = ^^ 1 V1 Пт,1 |Лт,1| < ^^ 1 ^^ пт,1 =

т=.к ^=т=1 ^ ¿г ^ ¿г^=

т

Мга те J.J

1 \ > X л IVт

„, -I \/хт, 1 \ "т , -, „,1

т=1 \ЛтД\Ьт = ' т=1 \ЛтД \Ьт ' где Ьт = min1^^Mm \Лтд\/\Лтд\. Поскольку группы Um относительно малы, то

, . \Лт,1 — Лт,1 + Лтд\ ^ . \Лтд\ — \Лт,1 — Лт,1 \

от = min -—-:- > min —

ККМга \ЛтД \ 1^КМт \Лтд\

(1 \Лт,1 — Лт,1 \ \

V ЛЛ-)

, \Лт,1 — Лт,1 \ \ 1 \Лт,1 — Лт,1 \ ^ 1 \ЛтА — Лт1 \

min 1----:- =1 — max ---.- > 1 — max ---.-

1^Мт У \Лтд\ ) ЫЫМга \Лтд\ ^мт \Лт,1\

= 1 — 8(т) ^ 1, т ^ то. Отсюда с учетом условия леммы получаем:

те Мт те ,, те

пт,1 ^ хг^ Мт ^ 1

^ ^ < то.

, | Лт,11 |Лт,1| ит 2 ит

т=1 ¿=1 1 ' 1 т=1 ' 1 т=1

Сходимость этого ряда означает, что каноническая целая функция р множества {Лт,1 ,пт,1} имеет экспоненциальный минимальный тип (см. [7, теорема 3.9]). Эта функция

Лт, пт,

Мт , \ \

М) = П п( 1 — Л^г)

т,

т=1 1=1 4 ' 7

(если какая-то из точек Лк^ совпадает с началом координат, то сомножитель (1 — Л/Лк¿) в этом произведении надо заменить на сомножитель ЛПк'■?), Тогда по теореме 2,3 из книги [7] плотность нулевого множества функции <^(Л) равна нулю. Отсюда легко следует, что это множество является правильно распределенным (см, [7, гл. I, § 6, п, 3]), Отметим, что в силу минимальности типа функции <^(Л) ее индикатриса роста (см, [7, гл. I, § 5, п, 4]) тождественно равна нулю. Поэтому согласно теореме 6,2 из книги [7] выполнено соотношение

Um = 0, (8)

|АН<х,А</Е \А\

где Е — множество кругов В(гр) нулевой линейной плотности, т.е.

lim - V гр = 0. (9)

Г^Х f -'

| fp|<r

Отметим, что множество Е покрывает нулевое множество функции <(А), и на его границе выполнено соотношение (8), Для построения требуемой целой функции нам понадобится подобное покрытие, обладающее еще и дополнительным свойством: каждая связная компонента покрытия содержит лишь одну группу Um нулей <р. К построению такого покрытия множества { Am,i} мы сейчас и приступим.

Прежде всего заметим, что круги В(Ат,1, 4-1\Атд\), т = 1, 2,..., попарно не пересекаются, Действительно, по условию леммы \Ат+1д\ > 2\Атд\, т = 1, 2,... Поэтому расстояние между центрами соседних кругов имеет следующую оценку снизу:

I л \ I ^ |\ I |\ ^т+м! , б^тД1 |Ат+1,1| |Ат,1| |^т+1,1 — Лт, i| ^ |Am+i;i | — | Лтд | ^ ----+ ---|Атд| >

4 4 1 4 4

Отсюда следует, что эти круги не пересекаются. Поскольку последовательность модулей центров является возрастающей, то и любые два круга не пересекаются.

Выберем теперь возрастающую подпоследовательность натуральных чисел т(6) < т(7) < ... < т(к) < ... такую, что выполнены следующие два условия: 1) для каждого к > 6 группа Um при т > т(к) целиком лежит в круге В(Хт1\, &-1|Атд|), 2) для каждого к > 6 и всех т = т(к),т(к) + 1,... ,т(к + 1) — 1 существует чиело тт из отрезка [к-1, ( к — 1)-1] такое, что окружность S(Ат>1, тт|Атд|) не пересекает множество Е. Первое условие будет выполнено, поскольку группы ит относительно малы, т.е.

1 Ат, 1 — Ат,11 п

max ---:--> 0, т ^ х>.

ыммт |Атд|

Выполнение второго условия обеспечивается соотношением (9), Действительно, относительная длина отрезка [&-1|Атд|, ( к — 1)-1|Атд|], т.е. величина

|( к — 1)-11 Ат,1| — к-1 |Ат,11| 1 1

|Лтд| к — 1 к

для каждого фиксированного к > 6 постоянна при т ^ ж, В то же время, в силу (9), относительная сумма радиусов всех кругов В(£р, гр), имеющих непустое пересечение с кругом В(Лт>1, (к — 1)-1|Лтд|), стремится к нулю при т ^ ж,

т(6)

неравенство

|Лт(6),1| +1 ^ |Лт(6),1|

5 + ^ 4 . Тогда круги В(Лт,1,1 + тт|Лтд|), т > т(6), попарно не пересекаются.

Положим Пт = В(Лт,1, тт|Лтд|), т > т(6), По построению множество Пт целиком содержит группу ит, и его вздутие Qm + В(0,1) те пересекается с множествами П + В(0,1) для всех ] = т, ] > т(6), В частности Пт + В(0,1) те содержит точек любой группы и^, ] = т, > т(6), Увеличивая при необходимости номер т(6), можно считать, что для всех т > т(6) множество Пт + В(0,1) те содержит также ни одной точки группы Uj при ] < т(6). Тогда для каждого т < т(6) мы можем выбрать открытое множество Qm таким образом, что Пт целиком содержит группу ит, и множества П.,-, ] < т(6), попарно не пересекаются между собой и имеют пустое пересечение с множествами П ^ + В (0,1), к > т(6).

Фиксируем произвольное число е € (0,1), Так как граница 5Пт множества Пт для всех т > т(6) те содержит точек Е, то, в силу (8), найдется постоянная а > 0 такая, что

|р( Л)| > а exp(—е|Л|), Л € дПт, т = 1, 2,... (10)

( ( Л)

( ( Л)

Ь > 0, для которой выполнены неравенства

|р( Л)| ^ Ьexp(e|Л|), Л € С. (11)

( Л)| ^ ^(е|Л|), Л € С. (12)

Пусть т € дПт и Л € В(т,exp(—3е|Лт,1|)). По формуле для первообразной с учетом (12) получаем:

И Л) - p(w)| = I (£)d£| ^ max (£)||A - w| ^ b max exp(e|£|)|A - w| ^ J ie[w,x] ie[w,x]

w

^ &exp(e(|w| + 1))exp(-3e|Am,i|) = &exp(e(|w| + 1 - 3|Am,i|)). Отсюда с учетом (10) имеем:

|<р(Л)| > |<p(w)| - &exp(e(|w| + 1 - 3|Am,i|)) > aexp(-e|w|) - &exp(e(|w| + 1 - 3|Am,i|)) =

= exp(-e|w|)(a - 6exp(e(2|w| + 1 - 3|Am,1|)).

По построению для всех т > т(6) верно включение Qm С В(Лт,1; 5-1|Лтд|), Следовательно, верно неравенство |w - Am,1| ^ 5-1|Am,1|. Тогда из предыдущего получаем:

И A)| > exp(-e|w|)(a - 6exp(e(12|Am,1|/5 + 1 - 3|Am,1))) =

= exp(-e|w|)(a - 6exp(e(-3|Am,11/5 + 1))), A G В(w, exp(-3e|Am,1|)), где w G dQmnm > т(6), Выберем номер то > т(6) такой, что для всех т > то выполнено неравенство: 6exp(e(-3|Am,1|/5 + 1)) ^ a/2, Учитывая, что |A - w| ^ exp(-3е|Am,1|) < 1 и е G (0,1), получаем:

A)| > (2е )-1aexp(-e|A|), A gB(w,exp(-3e|Am,1|)), w G dQm, т > т0.

A

По построению множества Пт + В(0, ехр(—3е|Лтд|)), т > т(6), попарно не пересекаются между собой и не пересекаются также с множествами П j, ] < т(6). Поэтому найдется постоянная 7 > 0 такая, что множества Пт + В(0, ехр(—3£|Лт,11)) уже для всех т > 1 попарно не пересекаются. Поскольку все пули функции ^ лежат в объединении []т> 1 Пт, то, уменьшая при необходимости число а > 0, можно считать, что верны оценки:

Л)| > (2е) аехр(—е|Л|), Л еВ(ш, ехр(—3е|Лт,1|)), ш е дПт, т > 1.

(13)

Для каждого т = 1, 2,... через /т обозначим функцию, обладающую следующими свойствами: 1) /т е С~(С), 2) 0 ^ /т(г) ^ 1, ге С, 3) /т(г) = 1, г е Пт, 4) /т(г) = 0, г е Пт + В(0,7ехр(—3е|Лтд|)), 5) Кй3т(г)/(Щ ^ ехр(3е|Лтд|), г е С, где постоянная а > 0 не зависит от номера т > 1 (по поводу построения таких функций см., например, [8], теорема 1.4.1 и формула (1.4.2)).

Рассмотрим функцию

те

3 (Л) = ^Рт(Л)Рт(Л).

т=1

Она определена во всей комплексной плоскости, отлична от нуля лишь на множествах Пт + В(0,7ехр(—3е|Лтд|)), т > 1, и на каждом из этих множеств совпадает с функцией /т(Л)Рт(Л). При этом та множестве Пт она совпадает с функцией Рт(Л). Таким образом, в силу аналитичности Рт(Л), т > 1, функция й/(Л)/¿Л отлична от нуля лишь на множествах (Пт + В(0, уехр(—3£|Лт,1|))) \ Пт, т > 1, и на каждом из этих множеств совпадает с функцией Рт(Л)ё,3т(Л)/¿Л. Согласно неравенству (7) и свойству 5 функций /т получаем оценку:

¿3 ( Л)

¿Л

^ С ехр(НКа+1 (Лтд) + 3е |Л.д|), Л е В (Л т, 1 | т, 1

|), т > 1.

(14)

По построению диаметр множества Пт стремится к нулю, когда т ^ ж, Следовательно, т1 т > т1

Пт + В(0,7ехр(—3е|Лтд|)) С В(Лт,1, ^|Лт,1|), где 6 > 0 определяется по числу е > 0 в лемме 1. Согласно этой лемме имеем:

(15)

НКе+1 (ЛтА) + 3е|Лт, 11 <НКе+1 (Л) + 4е|Л|, Л е В(ЛтА, ^|Лт,1|), т > 1.

С1 > 0

нены неравенства

3( Л)

¿Л

^С1 ехр(Нк+1 (Л) + 4е|Л|), Л е Пт + В(0,7ехр(—3е|Л.д|)), т > 1. Отсюда с учетом (13) и сказанного выше относительно функции й/(Л)/¿Л получаем:

1 ¿33 (Л)

^ (Л)|

<р(Л) ¿Л

ехр(Нк+1 (Л) + 5е|Л|), Л е С,

где С2 = 2еа 1С1. Отсюда следует, что

|г;( Л)|2ехр(—2Нк+1 (Л) — 11еЩ)^Л) = С3 < ж,

где d<7 — плоская мера Лебега, Функция Нкв+1 (A) — выпуклая, а, следовательно, и субгармоническая, Тогда, как известно (см., например, [9, гл. 3, § 6, п,2, теорема 3,6,2]), в пространстве локально интегрируемых с квадратом модуля функций в C найдется эле-

dg/<iA = v (16)

и, кроме того, оценке

У |0( A)|2exp(-2HKs+1 ( A) - 12e|A|)da( A) = C4 < то. (17)

с

Покажем, что она является элементом пространства Pd, В силу (16), обобщенная производная / по A равна нулю всюду в плоскости. Хорошо известно, что это означает ана-

функции /( A). В силу субгармоничности функции |/( A)| имеем:

|/( A)| ^ 1 i |/(w)|d7(w) ^ 1 i |/(w)|d7(w) + 1 i |^(w)y(w)|d7(w). (18) ж J ж J ж J

B(A,1) B(A,1) B(A,1)

Используя (7), лемму 1, а также свойства функций /m(A) и множеств Qm, как и выше для функции d/3(A)/dA, получаем неравенство

|/(w)| ^ C5exp(HKs+1 (w) + e|w|), w G C, где C5 — некоторая положительная постоянная. Тогда для всех A G C

1 I |/3(w)|d7(w) ^ C5 sup exp(HKs+1 (w) + e|w|) ^ Coexp(HKs+1 (A) + 2e|A|).

ж J weB(A, 1)

B(A,1)

Здесь в последнем неравенстве мы вновь воспользовались леммой 1, Аналогичным образом, используя (11), получаем:

sup |p(w)| ^ C7exp(2e|A|), A G C.

w€B(A,1)

Таким образом, с учетом предыдущего неравенства согласно (18) имеем:

|/( A)| exp(HKs+i(A) + 2e|A|) + C7exp(2e|A|) 1 J (w)|d7(w). (19)

B( A,1)

Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравенством Коши-Буняковекого, В силу (17), получаем:

У ^(w)|d7(w) ^

B( A,1)

( \

J (w)|2exp(-2HKs+1 (w) - 128e|w|)d7 J exp(2 HKs+1 (w) + 12e|w|)d7

B( A,1) B( A,1)

1/2

<

( \ 1/2

ехр вир (НКв+1 (т) + 6еМ) ^ \т^в(л,1) у

С4 j ехр(2НКе+1 (■ы) + 12е\ш\)й(г

\ В(л,1) )

^ъСзехр(Нк3+1 (Х) + в£|Л|), Л е С,

где Сз — некоторая положительная постоянная (при получении последнего неравенства мы использовали лемму 1), Отсюда с учетом (19) получаем:

|¡(Л)| ^ С6 ехр(Нкв+1 (Л) + 2е|Л|) + С7С8 ехр(Нкв+1 (Л) + 8е|Л|) ^

ехр(Нк+1 (Л)+8е|Л|), Л е С.

Поскольку число £ > 0 можно выбрать сколь угодно малым, то, в силу (1), будет верна оценка

и(Л)| ^ С9 ехрНке+2 (Л), Л е С,

которая означает, что функция Л) является элементом пространства Р Остается проверить равенства

Ьт,з = (1т,з-1( Л, ш = 1, 2,..., ] = 1,...,Ит. По определению числа f) являются коэффициентами многочлена

(\ л 1 [ №М0 -Шт(Л)) Л(.

Л Л = -77-ГГ-Т^-

2т ] (( — Л)шш(С)

разложенного по степеням Л — Лшд. В последней фор муле Гш — произвольный контур, охватывающий целиком группу иш. По построению множество содержит группу иш. Поэтому в качестве контура Гш можно взять границу дмножества На множестве а значит, и на его границе дфункция /(Л) совпадает с функцией Рш(Л) — р(Л)д(Л). Таким образом, д(Л) = (Рш(Л) — Л))/р(Л) — функция, аналитическая на и имеющая возможно некоторые полюсы в точках группы иш. Однако, наличие хотя бы одного такого полюса противоречит неравенству (17), Следовательно д( Л) не имеет особых точек в 0,ш. Тогда мы имеем:

„ (Л п = ± ( }'(0(шш(0 — иш(Л)) =± Г Рш(0(ищ(0 — чщ(Л))

дш(Л П 2т ] (С — Л)сш(С) ^ 2пъ У (С — Л)иш(0 *

1 С р(()д(0(шш(0 — шш(Л_))

2ш у (С — Л)шш(0

Многочлен шш(() обращается в ноль лишь в точках группы иш. Функция р(() также обращается в ноль в этих точках. Поэтому р(С1)/шш(С1) является целой функцией. Также целой функцией является и дробь шш(() — шш(Л)/(( — Л). Таким образом, по теореме Коши последний интеграл равен нулю, и мы имеем:

(Л п 1 Г №М0 — Щш(Л)) „

(1ш(\ Л = — -77-ГТ--=

2т ] (( — Л)шш(С)

Шт

1 Г Pm(Q(^m(0 -^m(A)) )

J (С - A)^m(C) ^ = ^^ Pm).

9Пт

Отсюда с учетом (6) получаем

дт^-1(/) = Ят^-1( Рт) = Ьт,з , т =1, 2,..., = 1, . . . , Л^.

Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть Б — выпуклая область в С, последовательность (Лтд} разбита на относительно малые группы ит так, что N = 0, и последовательность функций =1'^р=1 определена, по формуле (2). Тогда, £ — почти экспоненциальная последовательность в области Б с показателями Лт,1 (точнее говоря, с показателями, К», где Лт,3 = Лт,Ь 3 = 1, . . . , ^т).

Доказательство. Как уже отмечалось выше, в работе [2] установлено (следствие из леммы 5), что при М = 0 для сиетемы £ выполнен пункт 1) из определения почти экспоненциальной последовательности. Покажем, что при М = 0 для £ выполнен и пункт 2).

каждого 5 = 1, 2,... найдутся номера т(з) ^ го, когда 5 ^ го, и /(в), при которых верно неравенство

s exp(Hkp( Am, 1)) > sup |e(m(s),i(s)(w)|. (20)

weKs

Таким образом, мы получили последовательность функций {е m(s),iобладающую свойством (20), Поскольку |Am,1| неограниченно возрастает при т то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что |Am(s)+1,1| > 2|Am(s),1^ s = 1, 2,... По условию М = 0 т-е- ^m/|Am,11 ^ 0 при т ^ го. Поэтому можно также считать, что ^m(s)/|Am(s),1| ^ 2-s, s = 1,2,... Тогда по лемме 2 для каждой последовательности b = {bs,j} го пространства ^(D) существует функция / G Vd такая, что bs,j = qm(s),j-1(f), s = 1, 2,..., j = 1,.. .,Nm(s)-

Пусть W' — замыкание в пространстве H(D) линейной оболочки системы функций

{zn exp( Am( s),i! ^fr^Oi^'1 ■ Тогда, как нетрудно заметить, W' является замкнутым и инвариантным относительно оператора дифференцирования подпространством в H(D),

а функции системы {zn exp( Am(s),i1 ^ГП^О^^ являются собственными и присоединенными функциями этого оператора в W', По построению подпространство W не пусто и отлично от H(D), Действительно, пусть z — какая-нибудь точка области D и номер t таков, что компакт K содержит z, Рассмотрим функцию </3(Л) = ^(A)exp(Az), Л G C, где, как и в лемме 2, <^(Л) — функция, которая обращается в ноль только в точках Am(s),j с кратностью nm(s)j, s = 1, 2,..., j = 1,..., Nm(s). В силу (11) и выбора компакта Kt, верно неравенство

|£(Л)| ^ 6exp(e|Л| + Де(zA)) ^ 6exp(e|Л| + HKt(Л)), Л G C. Поскольку е > 0 можно выбрать сколь угодно малым, то с учетом (1) имеем:

|£(Л)| ^ bexp Hk4+1 (Л), Л G C.

Эта оценка означает, что функция (p(A) принадлежит проетранетву Vd. Тогда, как отмечалось выше, найдется функционал ^ е Н * (D), для штор ого <p(A) является преобразованием Лапласа: </3(A) = (ц, expAw), Дифференцируя последнее равенство, получаем:

0 = ф(п)(\т(8),1 ) = (/!, zn exp(Am(s),i w), s = 1, 2,..., 1 = 1,..., Mm(s), n = 0,... ,nm(s),i - 1.

Следовательно, ненулевой функционал ^ обращается в ноль на всех функциях системы {z exp( Am( s),iz)\ s=ll=1(П=0 ( , а значит, по линеиноети и непрерывности и па всем подпространстве W', Поэтому W' те может совпадать с пространством Н(D).

Таким образом, все условия теоремы 1 из работы [2] выполнены. Согласно ей существование указанной выше целой функции f е Vd для каждой последовательноети b = {bs,i}

из пространства R(D) равносильно тому, что система функций {em(s)j}^=^'™=s1) является почти экспоненциальным базисом в подпространстве W с показателями Am(s),1; s = 1, 2,... (точнее говоря, с показателями Am(s) j, где Am(s) j = Am(s)t1, j = 1,..., Nm(s)). В частности,

{em(s)j}^=ij=S1 является почти экспоненциальной последовательностью в области D с по-

Am( s),1 = 1, 2, . . . р существуют постоянная с > 0 и номер s(p) такие, что

cexp( НКр ( Am(s),i}} ^ sup | em(s)j(w)\, s=1, 2,..., j = 1,..., Nm(s). Поскольку Ks — возрастающая последовательность компактов, то отсюда следует, что

cexp( Нкр(Am(s),i)) ^ sup |em(s),i(s)(w)|, s > s('p).

weKs

Это неравенство для всех s > s(p) таких, что s-1 < с, противоречит (20), Таким образом, наше предположение о том, что пункт 2) из определения почти экспоненциальной последовательности для системы £ не выполнен, является неверным. Теорема доказана.

Замечание. Условие Я = 0 в теореме 3 существенно, В подтверждение этого рассмотрим следующий пример. Пусть е G (0,1) и (Am}^=1 — неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел с кратностями nm, равными целым частям [еAm\ чисел еAm, т = 1, 2,... Разобьем последовательноеть (Am}^=1 на относительно малые группы Um так, что каждая группа Um содержит лишь точку Am. Тогда Nm = nm, т = 1, 2,..., и поэтому

кг т. nm т. [^Aml „

Я = lim — = li^ —- = £ > 0.

m—^^о Am m—те Am

В этом случае система функций £ = {еm,p(z)}c^^1mnj=1 легко определяется. Действительно, для всех т = 1, 2,... имеем: шm(() = (( — Am)nm. Следовательно, функция

/л \ 1 [ ^p^QQ^O — ^(A)) „

4m(A- z) = 2nJ-к—дк—ö-

Г

Г m

A

nm — 1 = 0, . . . , nm — 1 Am

ответствующей производной функции exp(z A), вычисленной в точке Am. Последняя равна z3 exp( Amz). По определению функцпя еmj(z) является (j — 1)-й производиой qm(A, z), вы-Am

em,j(z) = z3-1 exp( AmZ), j = 1,...,nm, т =1, 2,...

В качестве области D возьмем треугольник с вершинами в точках (0, 0), (-1,1) и (1, -1),

= 1 , 2, . . . т = 1 , 2, . . . = 2, . . . , nm

sup |е mj(w)| ^ sup |е mj(w)| = sup |zJ-1 exp(Amw)| =

weKa weD weD

= sup exp((j - 1) ln(-л/2х) + xAm).

ж€(1,0)

При помощи простых вычислений находим, что последний супремум достигается в точке х = (1 - j)/Am, и от равен exp((j - 1)1п(л/2((7 - 1)/Am)) + 1 - j), Отсюда при j = nm,

т = 1, 2, . . .

sup |em,nm(w)| ^ exp(([eAm] - 1) 1п(л/2(([еAm] - 1)/ Am)) + 1 - [eAm]) ^

weKs

^ exp(([eAm] - 1)ln(V2(([eAm] - 1)/ Am)) + 1 - [eAm]) ^ exp(1 - [eAm]) ^

^ exp(2 - eAm) ^ 9exp(-£Am). (21)

Hkp (1) >Hd(1) - e/2 = -/2.

т = 1, 2, . . .

HKP (Am) = AmHKp (Am/Am) = AmHKp (1) > -^Am/2.

С учетом (21) это означает, что пункт 2) из определения почти экспоненциальной последовательности не выполняется для системы £.

W H( D)

{zn exp( Am,i-г;)}^=1^=':ПП=0 1 Тогда, как нетрудно заметить, W является замкнутым и инва-

H( D)

W

Непосредственно из теоремы 3 и теоремы 1 в работе [2] вытекает следующий результат,

D C { Am, }

на, относительно малые группы Um так, что N = 0, и последовательность функций £ = {е m,j (<¿0 }^=ij=1 определена по формуле (2). Тогда, следующие утверждения эквивалентны:

1) си,стем,а, функций £ является, базисом, в подпространстве W;

2) для, каждой последовательности, b = {bmij} ш пространства ^(D) существует функция / G VD такая, что bm,p = qmj-1 ( /), т =1, 2,..., j = 1,..., Nm.

Будем говорить (см,[2]), что система функций £ = {emj(z)}^^"^=1 обладает групповым свойством Кете, если для любого номера р существуют номер s и постоянная C, удовлетворяющие следующему условию: для каждого т = 1, 2,... и каждой функции hm вида

Nm =1

выполнено неравенство

Nm

^Т |®m,j | sup | е mj(^)| ^ C sup |hTO(^)|.

j=1 zeKp zeKs

Теорема 5. Пусть Б — выпуклая область в С, последователь»ость {Ат,1} разбита на, относительно малые группы ит так, что N = 0, и последовательность функций £ = {е т,з (<¿0 }т=Ь=1 определена по формуле (2). Тогда £ обладает групповым свойством, Кете.

Доказательство. Предположим, что система £ не обладает групповым свойством Кете, Тогда существует номер р такой, что для каждого 5 = 1, 2,... найдется номер т(з) ^ го, когда 5 ^ го и функция Л 8 вида

^га^)

N„ i=i

для которых верно неравенство

N

m(s)

У] \am(s),j\ sup |em(s),j(z)\ > s sup (22)

j=i zeKp zeKs

Поскольку \Атд \ неограниченно возрастает при m ^ го, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что \Am(s)+i,i\ > 2\Am(s),i^ s = 1, 2,... По условию N = 0, т.е. ^m/\Am,1\ ^ 0 при m ^ го Поэтому можно также считать, что Nm(s)/\Am(s),1 \ ^ 2-s, s = 1, 2,... Тогда по лемме 2 для каждой последовательноети b = {6sj} из пространства Д(-О) существует фупк ция / е "Рд такая, что bsj = qm(s)j-1(f), s = 1, 2,..., j = 1,..., Nm(s). Пусть W' — замыкание в пространстве Н(_D) линейной оболочки системы функций

{zn exp( Am(s), iz)}^= ! (s),i 1- Как и в теореме 3, все условия теоремы 1 из работы [2]

выполнены. Тогда согласно этой теореме система функций {е m( s)j}^= ij=i является почти

W' Am( ),1 = 1, 2, . . .

Поскольку Nm(s)/\Am(s),1\ ^ 2-s, s = 1, 2,..., то ряд

Е

Nm(s)

~1 |А™(«),1|

сходится. Отсюда легко вытекает, что величина J(Л), определенная в работе [1], для последовательности Л = {Ак}£=1, составленной из точек Ат(8)д, 5 = 1, 2,..., причем каждая точка Ат(8)д встречается в ней ровно Мт(3) раз, равна нулю. Тогда по следствию из теоремы

3 в работе [1] система функций {ето^^}^!^! является базисом Кете в Ш', В частности, для номера р найдутся номер з(р) и постоянная В > 0 такие, что для любой функции д € Ш' верно неравенство

oo,N,

m(s)

^Т \dm(s),j\ sup \em(s)j(^)\ ^ В SUp (z) \,

s=1j=1 z^kp zeKs(p)

где

s)

А'(^) = dm(т(3)^(г), ге Б.

8=1¿=1

Поскольку К — возрастающая последовательность компактов, то отсюда следует, что

а)

^Т \ dm(s),j\ sup \ em(s),j(z)\ ^ В SUp (z) \, S > s(p). s=1j = 1 z&Kv z£Ks

Это неравенство для всех э > з(р) таких, что 8 > В, противоречит (22), Таким образом, наше предположение о том, что система £ не обладает групповым свойством Кете, неверно. Теорема доказана.

Наряду с системой £ рассмотрим и другие системы функций £' = {е^ Д

Положим

N„

e'm,j(z) = ^2am,j,kem,k(z), m =1, 2,..., j = 1,..., Nm. (23)

k=1

Будем говорить, что система ¿'нормирована, если для всех m = 1, 2,...

max |am,j,k| = 1, j = 1,...,Nm.

Непосредственно из теорем 3 и 5, а также леммы 8 и теоремы 2 в работе [2] вытекают следующие результаты.

Теорема 6. Пусть D — выпуклая область в C, последовательность {Ami} разбита на относительно малые группы Um так, что Я =0. Тогда, любая, нормированная си,стем,а, £' = {е m,j(z)}m=1j=1> определенная по формулам (23) и (2), является почти экспоненци-

D Am,1

Теорема 7. Пусть D — выпуклая обла, сть в C, последовательн ость {Ami} разбита на относительно малые группы Um так, ч,то Я = 0, и система £ = {emj(z)}mm^Lj=1

W

си,стем,а, £ также является, базисом, в W.

Теорема 7 сводит проблему существования базиса по относительно малым группам в подпространстве W сводит к проверке базисное™ системы £ в этом подпространстве, В

W

Для каждого m = 1, 2,... через Лm = (am,j,k) обозначим матрицу, составленную из коэффициентов разложения функций е 'mj(z) то сиетеме £m = {еm, j(z)}N=Ii- Пусть Am — невырожденная и ^m1 = (bmj,k) — матрица, обратная к Am. Положим

| bm,j,k |

lim max

т, 11

Отметим, что в случае, когда И — ограниченная выпуклая область, величина а(А) совпадает с величиной ао(А), введенной в работе [2].

Теорема 8. Пусть И — выпуклая облас ть в С, последовательн ость {Лт,[} разбита, на, относительно малые группы ит так, что N = 0. Предположим,, что си,стем,а, £ = {ет^(г)}т=1^=1> определенная по формуле (2), является, базисом, в подпространстве

Ш, а система £' = {е'т^(г)}гп^[',}=1' определенная по формуле (32), является нормированной последовательностью. Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

1) систем,а, £' является, базисом, в Ш.

2) систем,а, £' обладает групповым свойством, Кете.

Если И — ограниченная область, то утверждения 1) и 2) эквивалентны.

3) а(А) = 0.

Доказательство. Эквивалентность утверждений 1) и 3) установлена в теореме 3 работы [2]. Докажем эквивалентность 1) и 2),

Предположим, что система £' является базисом в подпространстве Ш. Поскольку £' — нормированная последовательность, то согласно теореме 6 она является почти экспоненциальным базисом в Ш с показателями Лт,1 (точнее говоря, с показателями Л'т^, где

А'т^ = Атд, ] = 1,..., В силу нетривиальное™ подпространства Ш найдется ненулевой функционал и € Н*(-0), который обращается в ноль на всех функциях из Ш. В частности, это относится к функциям системы {гп ехр(Ат,гПуСТь ^(А) — преобразование Лапласа функционала и- Тогда верны равенства

0 = ф{п)(Ат,1) = (и, гп ехр(Ат,г ш), т = 1, 2,..., / = 1,...,Мт, п = 0,...,Пт,г - 1,

т.е. функция -0(А) обращается в ноль в точках Атд с кратностью не меньше чем птд, т =1, 2,..., I = 1,..., Мт. Так как ^(А) — целая функция экспоненциального типа, то по теореме 2,3 из книги [7, гл. I] плотность ее нулевого множества конечна, В силу того, что группы ит относительно малы конечную плотность будет иметь и последовательность Л = { Аксоставленной из точек Атд, т = 1, 2,..., причем каждая точка Атд встречается в ней ровно Мт раз, Отсюда легко вытекает, что величина 3(А), определенная в работе [1], равна нулю. Тогда по следствию из теоремы 3 в работе [1] система функций £' является базисом Кете в Ш, т.е. для каждого номера р найдутся номер 5 и постоянная В > 0 такие, что для любой функции ^бШ верно неравенство

те, N„

Y Hmjl sup Ie 'mJ (z)\ ^ В sup Iflf(z)

S=1J=1 zeKp zeKS

где

те, Nm

= Y1 dm,ie 'm,3(z) Z G ^

s=1,j=1

В частности для любого номера т = 1, 2,... и любой функции hm вида

Nm

hm(z) emj(z)

=1

выполнено неравенство

Nm

У \am,j\ sup Iem,j(^)| ^ В sup |hm(z)|. (24)

j=1 ze kp ze K

Это означает, что система £' обладает групповым свойством Кете,

Обратно, пусть система £ обладает групповым свойством Кете, Тогда для каждого т = 1, 2,... матрица Am = (amj,k) является невырожденной. Действительно, в противном случае для некоторого номера т = 1, 2,... найдется набор коэффициентов атд,..., am,Nm, не равных одновременно нулю и таких, что

Nm

hm= ^2am,je'm,j(z) = 0. =1

Тогда для каждого р, s = 1, 2,... имеем:

Nm

У kmjl sup I е 'mj (z)\ > 0 = sup |hm(^)|.

j=1 zeKp zeKs

Это противоречит неравенству (24),

I те, N, lm=1

теореме 3 система £ будет и почти экспоненциальным базисом в W с показателями Am,1

По условию система £ = {em,j(z)}^re^1nj=1 является базисом в подпространстве W, а по

Тогда, как и в случае с системой £', для каждого но мера р найдутся номер 5 и постоянная С > 0 такие, что для любой функции д Е Ш верно неравенство

оо, И„

| | вир |ет^(г)1 ^ С вир (г)1,

геКр хеКа

(25)

«=1,^=1

где

оо, Ип

9(г) = ^2 &т,,зетл(г), г Е И. 8=1^=1

Пусть Лт1 = (Ьт^,к) — матрица, обратная к Ат, т = 1, 2,... Для любой функции д Е Ш имеем:

те,Мт те,Мт ит

( ) = т, т, ( ) = т, т, , к т, к( ) =

з=1,j=1 т=1,]=1 к=1

те,Ит Мт те,Ыт

ет,к ^т,]Ьт,],к = ^^ ^"т,кет,к(г),

=1

(26)

т=1,к=1

т=1,к=1

Таким образом, мы имеем разложение функции д(г) то сиетеме £'. Поекольку д(г) — произвольная функция из подпространства Ш, то для установления базисное™ системы £' в Ш достаточно доказать, что последний ряд сходится равномерно на компактах в области И, и разложение функции д(г) то еиетеме £' является единственным.

Фиксируем р > 1. Имеем:

те, м„

те, м„

V ^т,к| йир | е'т,к( ^ = V виР | е'т, к № | хек.

т=1,к=1 те, Ит

т=1,к=1 хеКр

оо,Ип

3 = 1

<

^ ^ Эйр | е'т,к Ш^^З^к| = ^ | dт,3|J2| Ьт,3,к| ^ | е'т,к Ш.

геКр

т=1,к=1'

=1

т=1,к=1

3=1

По условию система £' обладает групповым свойством Кете. Следовательно, в силу (24),

В

м„

У^ | Ьт,1,к | вир | е'т>к (г) ^В вир | ет = 1, 2,..., ] = 1,...,ИП

к=1

е К

гек,

Отсюда и из предыдущего с учетом (25) получаем

те,

те, Ип

^ ^к| Эир | е 'т,к Ш ^ В |dт,j| йир | ет¿Ш ^ С эир ^ ^

т=1,к=1

хек,

т=1,к=1

ге К,

геКг

Это означает, что рассматриваемый ряд сходится равномерно на компактах Кр,

р = 1, 2,... Поскольку эти компакты исчерпывают область И, то мы получаем требуемое

( )

т, к

определяются однозначно. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошеев A.C. Почти экспоненциальный базис // Уфимский математический журнал. Т. 2, № 1. 2010. С. 87-96.

2. Кривошеев A.C.Базисы "по относительно малым группам". // Уфимский математический журнал. Т. 2, № 2. 2010. С. 67-89.

3. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах // М.: Наука, 1982.

4. Кривошеев A.C. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия матем. 2004. Т. 68, № 2. С. 71-136.

5. Кривошеева O.A., Кривошеев A.C. Фундаментальный принцип для, инвариант,ных подпространств II Уфимский математический журнал. Т. 2, №4. 2010. С. 58-73.

6. Кривошеев A.C. Базис Шаудера, в простора,нет,ее решений однородного уравнения свертки // Матем. заметки. 1995. Т. 57. № 1. С. 57-72.

7. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды, экспонент. М.: Наука. 1983.

8. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. I. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

9. Ронкин Л.И. Введение в т,еорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]