CC BY
26
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 147, кн. 1 Физико-математические науки 2005
УДК 514.16
ПЛАНАРНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ С КОММУТАТИВНОЙ АЛГЕБРОЙ ДВУХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР
С. Г. Лейко
Аннотация
В настоящей работе мы изучаем специальные аффинные связности на многообразиях
12 1 2 12 21 1 2 с аффинорной структурой (Е, Е, Е), Е = Е = Е, ЕЕ = ЕЕ = Е + Е — Е.
1. Введение
1 2
Рассмотрим на гладком многообразии Мп аффинорную структуру (Е, Е, Е), где Е — единичный аффинор, удовлетворяющую структурным соотношениям
1 2 12 2 112
Е2 = Е2 = Е, ЕЕ = ЕЕ = Е + Е - Е. (1)
Эти соотношения изоморфно определяются трехмерной унитальной, коммутативной, ассоциативной и приводимой алгеброй К над полем вещественных чисел Д
12
с соответствующими базисными элементами (6, /, /), где 6 - главная единица, и
1 2 12 2 112 /2 = /2 = 6, // = // = / + / - 6.
В алгебре К есть три базисных попарно ортогональных идемпотента
0 1 12 а 1 а 00 а а
+ 5 =-{5-Г), а = 1,2, 62 = 6, 62 = 6,
012
дающих в сумме главную единицу 6 = 6 + 6 + 6. Следовательно, алгебра расклады-
012
вается в прямую сумму К = 6К © 6К © 6К главных идеалов, порожденных этими
идемпотентами, т. е. приводимая. Очевидно, алгебра К изоморфна прямой сумме
12
Д © Д © Д. Условимся для краткости н^ывать аффинорную структуру (Е, Е, Е) КК
а
Е
изведения. В случае, когда на многообразии существует гладкий атлас локальных карт, в которых компоненты аффинора принимают постоянные значения (интегрируемость структурного аффинора), многообразие класса Сш представляется произведением двух подмногообразий. Как известно [1], этот случай характери-
а
Е
существованием на многообразии (класса Сш) аффинной связности без кручения, относительно которой структурный аффинор является ковариантно постоянным.
Рассмотрим тензор кручения двух аффиноров Е, определенный формулой [2, с. 44]:
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 [Е,Е ](Х,У) = [ЕХ,ЕУ] + [ЕХ,ЕУ] + (ЕЕ + ЕЕ )[Х,У]-
1 2 2 2 1 1
-Е([X, ЕУ] + [ЕХ,У]) - Е([Х,ЕУ] + [ЕХ,У]).
ХУ
а,в а в а а,а а а
Обозначим N = 2-[Е,Е], N = N = |[Е, Е]. Эти тензоры называют тензо-
а
Е
интегрируемости двух коммутирующих структур почти произведения (или почти комплексных структур) необходимо и достаточно аннулирования трех тензоров
а,в
N :
1 2 1,2 N = N = N = 0.
Таким образом, это условие является необходимым и достаточным условием интегрируемости и для ^-структуры.
а
Если дк, Ек - компоненты структурных аффиноров, тогда (1) дают
а а 1 2 2 1 1 2
Ек Е? = ^, Ек Е? = Ек Е? = Ек + Ек - . (2)
а,в
С учетом (2) компоненты тензоров N для ^-структуры имеют вид
а,в в а а ¡3 в а а @
N к = д* Е* Е* + д* Е% Е* + Ек ду Е* + Е% ду Е*
(альтернация с делением). Частное дифференцирование в компонентном представлении можно заменить на ковариантное дифференцирование относительно любой
о
аффинной связности V без кручения на дшном многообразии с ^-структурой. Тогда
а 0 а а а 0 а
=2VS Е * Е?]+2Е к V у Е?, (3)
1,2 0 2 1 0 1 2 2 0 1 1 0 2
N * = V0Е у Е ?] + ^Е * Е ?] + Е к V[j Е ?] + Е к V[j Е ?] . (4)
Аффинорные структуры, определенные алгеброй, представляют интерес во многих направлениях геометрии многообразий [4, 5]. Мы изучим вопрос существования на многообразии с ^-структурой аффиных связностей без кручения V, для которых при некоторых ковекторах (их будем называть определяющими ковекторами) выполняются условия
^=0«**)+?<Лк)+2 А (5)
(круглыми скобками обозначаем симметризацию с делением). Такие связности называем планарными связностями. В частности, они играют важную роль в теории уплощающих отображений [6—8].
2. Адаптированные реперы и канонические координаты
а
Введем в рассмотрение собственные подпространства аффиноров Р в касательном пространстве Тх (М) многообразия в точке х € М, которые отвечают
а а
собственным значениям ±1. Обозначим их через Р + , Р- соответственно. Покажем, что касательное пространство многообразия с аффинорной ^-структурой имеет в каждой точке строение
12 12 ТХ(М) = Р+ П Р+ © Р- © Р
Действительно, рассмотрим аффиноры
а 1 а а 1 а Р=-(Р + Р), <Э=-(Е-Р).
На основании (1) они обладают свойствами:
а а а ааа 12 21
Р2 = р, д2 = д, Рд = дд = дд = о,
1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1
рр = рр= + рд = др = д, рд = др = д.
аа
Таким образом, аффиноры Р, д являются проекторами, и для них имеем Е = 1 2 1 2
= РР+д+д. Отсюда для произвольного вектора £ € ТХ(М) получаем разложение
1 2 1 2 а а а а а
£ = РР(£) + д(£) + д(£). Так как Рд = — д, то д(£) € Р-. В свою очередь из
а 1 12 12 12
равенств Р(РР)1 = РР вытекает РР(£) € Р + П Р +, что и доказывает указанную
структуру Тх(М).
121
Пусть по, п1, П2 - соответствующие р^мерности подпространств Р+ПР+, Р- ,
2
Р- . Возьмем в этих подпространствах базисные векторы е^0, е^ , е^, занумеровав их в порядке
¿0,... = 1,2,..., по; ¿1,... = по + 1,..., по + П1;
¿2,... = по + п1 + 1,..., п = по + п1 + п2.
Таким образом,
а 1 2
Р (е»0 ) е»0 , Р(е»1 ) — е»1 , Р(е»2 ) — е»2 .
Кроме того, из структурных соотношений (1) вытекает
12 Р(е»2 ) — е»2 , Р(е»1 ) — е»1 .
Выберем теперь локальные координаты хг так, чтобы в точке х взятые векторы совпали с касательными векторами к координатным кривым, т. е. е* = •
Построенный репер (х, е^0, е^1 , е^) называют адаптированным репером, а коордм-наты хг - каноническими координатами Ж-структуры в точке х. Относительно
х
1 /Ео 0 0 \ 1 /Ео 0 0
(Рк) = ( 0 —Е1 0 , (Рк) И 0 Е1 0 | , (6)
0 0 Е2 0 0 — Е2
Ео Е1 Е2 по п1 п2
Использование канонических координат оказывается весьма полезным в конкретных задачах. Для интегрируемой ^-структуры существует гладкий атлас карт с каноническими координатами.
3. Существование планарных связностей
При конструировании специальных связностей на многообразиях с аффинор-ными структурами используют метод введения априорной связности. На многообразиях с классическими аффинорными структурами (почти произведения, почти комплексной и кватернионной) введение априорной связности впервые использовалось для построения связностей, сохраняющих эти структуры [9, 10]. Все такие связности в общем случае имеют кручение, за исключением случая интегрируемых структур. Для структур почти произведения и почти комплексной задача отыскания планарных связностей без кручения решена в работе [6]. Условия для отыскания планарных связностей с несколькими структурными аффинорами являются более общими, что значительно усложняет задачу их конструирования.
Пусть на многообразии с ^-структурой искомая планарная аффинная связность V без кручения имеет кооэффициенты Г к. Введем на этом многообра-
0 о
зии априорную связность без кручения V с коэффициентами Г к и положим
0
Г к' - Гк = Ак . Тогда
а 0 а а а
V'= V'Е* + А* ^ - А'Е*. (7)
Обозначим
ак гч а
(* ' + 2Е') + 2 Е
По определению планарной связности из (5) должны иметь
а а а а
Aks FS + AisFs - 2A, Fк = B,, (8)
а а 0 а
Bk, = Fk, - 2V(,Fk).
а
Умножим (8) на Fк и просуммируем по индексу г, а результат просимметрируем по j l. Получим
а а а а а а
AktFSF, - Ak, = BS,Fk + Bk(,FS). (9)
а
В свою очередь, умножая (9) на Fк, суммируя по индексу l и альтернируя результат по г, j имеем
а 7 а а а а
Л k 77’S Л k IT'S _ 77'k DS TT’t
ASiF , - AS, F i = F S Bt[, F k].
Сложив полученные равенства с (8), получим
а а 1 1 а а а
лк 771s лi 77'k _ -1- ok , ■*- трк ps pi
Asi*j-Aij*t - 2 із ^ 2 s t[j i]'
Подстановка полученных соотношений в равенства (7) дает
V^k = 2 -F% + 2 > (10)
1 0 а 1 0 а а а
Nii = 2 + г’v^]F>Fr
Последний тензор связан с тензором Нейенхейса равенством
1 а а = _Ns.Fk ч 4 у s >
и удовлетворяет на основании (2), (3) тождествам
*а а *а а
N к, Е | Ек = 0.
' в; ^ г 1 ^ ’ г; ^ в • (п)
Ковариантное дифференцирование первой группы структурных соотношений (2)
дает
а а а а
Е в V Е к + Е к V; Е в = 0.
Подставив сюда (10), получим с учетом тождества (11) следующие равенства
Принимая здесь во внимание явное выражение тензора Е к, на основании структурных соотношений (2) придем к равенствам вида
0<«4+?<«р к+Ьр к = 0.
(12)
Рассмотрение равенств (12) в канонических координатах в произвольной точке показывает, что они возможны только при нулевых ковекторах. Выписывая явные выражения этих ковекторов приходим к следующей системе
2 2 1 1 1 2
0 і + о Ек = 0, ° і + ° к Ек = 0,
1 1 і 2 2 і
0 2 1 1 к 0 1 2 2 к
о і + о і + о ?Еі — 0, о і + о і + о ?^і — 0.
(13)
Если теперь в (10) учесть полученные условия (13) на ковекторы, приходим к выражению
а , а , а 1 , а 2 *а
V;Ек = о г ^ + о гЕк + о + Ж*. (14)
*а 0
Поскольку тензор N к те зависит от выбора априорной связности V, то (14) эквивалентны исходным условиям планарности связности (5).
Ковариантное дифференцирование второй группы структурных соотношений (2) относительно планарной связности V и последующая подстановка (14) дают
а , а 1, а 2 а *в /3 *а *1 , *2
Ь і ¿к + Ь іЕ к + Ь іЕ к + Е к ^ Е к N к, - N к, - N к, — 0.
0 3 1 3 2 3 ■'
к І,
кІ
(15)
а а а 1 2 в а
Здесь а = ^и Ь г = о вЕв — о г — о + о гС■?, где для удобства представления ковек-
г г г г д
торов введены матрицы (#,г = 0,1, 2 - номера строк столбцов соответственно)
1
(с Г) —
1 0> 00
-1 1 1
0 0 0>
(С?) — ( -1 1 1
1 0 0,
Рассмотрение (15) в канонических координатах в произвольной точке дает Ь к — 0
Г
или в развернутой записи
1 1 2 2 2 1
со І - со кЕк — 0, со І - со кЕк
2 2 к 11 к
0,
0 і - о і + о к Ек - ° і - ° і
1 2 0 к 0 0
1 2 к 1 2 2 2
о к ^ ^ ° і + ° і + ° і - ° і
0.
2
1
0
0
2
1
0
0
0
1
0
2
2
1
0
2
Последние условия вместе с (13) дают следующие ограничения на выбор определяющих ковекторов планарной связности:
1 0 2 2 0 1
2 1 2 22 і2 і 21 1І 2І
2 ш і + ш і — ш і + ш аГ* — ш аГ* = 0, 2 ш і + ш — ш і + ш * — ш * = 0.
1 1 2 2і 1і 2 21 1і 2і
(16)
Кроме того, из (15) получаем необходимые условия на структурные аффиноры
а *в в *а7 *1 , *2
^ N3 + ^ N,3 - N - N к = 0. (17)
Используя условия (2), а также тождества (11), которым удовлетворяет каждый
структурный аффинор, можно убедиться в том, что связность с коэффициентами
0 а
г* + Ск , где
1 Го ак ак ач т а гк а 1 к а 2 к
= ~4 ~ ^4^)] - ™ (^) - ™ Л - ™ (гР%
11111122 2222
W о = ^ ^ о = ^ ^ о = ^ ^ о = ^ о ,, ^ о = ^ о , ^ о = ^ о ,
01102202 1120
удовлетворяет уравнение (5) с соответствующим номером а. Более того, связность с коэффициентами
0 а а а а а а а а а а
т"'к | г^к | т'к тк _ -/-к , 0-/-и тт^ 77’к | -/-к тр^ три /10\
1 ¿7 + С¿3 + Т ¿3 > Т ¿3 = г¿3 + 2 гз(гР 3) Р и + £зи^ о ^ 3
ак
при любом симметричном тензоре £ кз также удовлетворяет соответствующее этому номеру уравнение (5). Как показывает проверка в канонических координатах, представлениями (18) исчерпываются все такие решения. Коэффициенты искомой планарной связности должны быть решениями обоих уравнений (5) одновременно.
ак
Следовательно, необходимо должны существовать два тензора £ к > Для которых
С к + Т к = /С к + Т к
Рассмотрев это стыковочное условие в канонических координатах в произвольной
1,2
точке, учитывая при этом (16), получаем N к = 0.
1,2
Если в выражение (4) для тензора N к подставить в качестве произвольной связности искомую планарную связность, получаем
1,2 1 *2 1 *2 2 *1 2 *1 1 *2 2 *1
2N3 = ^N*3 - - ^к + 2^кN33 + 2FkN'^ = 0.
Вместе с (17) последние равенства дают
*1 *1 2 *1 2 *2 *2 1 *2 1
N3 = N33 ^ к = N33 ^, N¿3 = N33 ^к = N33 ^. (19)
1
2
2
1
ш і = — ш вг ? = ш , ш і = — ш вг ? = ш вг ?
2
2
1 *
2
1
1
2
В итоге получена
Теорема 1. Для того чтобы на многообразии с К-структурой существовала планарная связность без кручения, необходимо и достаточно, чтобы структурные аффиноры удовлетворяли условия (19), а определяющие ковекторы - условия (16).
Следствие 1. Из этой теоремы вытекает, в частности, что для того, чтобы на многообразии (класса Cш ) с К-структурой существовала планарная связ-
а
ностъ V, сохраняющая структуру: Vj Fс = 0, необходимо и достаточно, чтобы структура была интегрируемой. В самом деле, если на многообразии такая связность существует, тогда из (3) и (4) вытекает, что аннулируются всех три
а,в
тензора Нейенхейса N и, следовательно, К-структура интегрируемая. Обрат-
а,в
но, если К-структура интегрируемая (N = 0) и все определяющие ковекторы планарной связности нулевые, тогда вследствие теоремы 1 существует планарная связность, сохраняющая структуру.
о
V
К
о
нарной связности имеет вид Г k + Qj , где симметричный тензор Qj удовлетворяет систему
, а а
Qk(jFS) - FkQSj = 0 (20)
сразу для двух значений а = 1, 2.
С целью отыскания общего решения системы (20) введем в рассмотрение тензор
12 1 2 11 Qj = «1^' + «2 Fc + «3F с + 2«4^(; F“) + 2«5^(; F“) + 2a6Fc ¿“(j F“) +
2, 2 2 1 1 2 11 2 2
+ 2a7F с t“' F i )“ + 2a8F с t“' F“) + 2«9 FC t“' F“) + «10 4F“ F b + «11 iCbF“ F ь+
1 C 11 b 2 , 2 2 , 2 , 11 ,
+ «12FC t“bF “F b + «13FC F“Fb + «14FC t“b F “F b+
1C 2 2 b , 12b 1,12 b 2, 21 2b
+ «15F C t“bF“ Fb + 2«16iCbF(iFb) + 2«17FcC t^F*) + 2«^ t“b F^.
Здесь «1,..., a18 — некоторые функции, t' - произвольный симметричный тензор. Искомый тензор QC сконструирован из всех возможных симметричных сверток тензора tj со структурными аффинорами. Подставим этот тензор в систему (20) и приравняем затем к нулю коэффициенты при одинаковых свертках. Используя при этом структурные соотношения (1), приходим к следующей линейной однородной системе относительно неизвестных функций «1,..., «18:
1. —«2 + «3 + «4 — «5 = 0 , «2 — «3 — «4 + «5 = 0 ]
2. «1 — «3 + «6 — «9 = 0, —«2 — «6 + «9 = 0 ]
3. —«3 — «7 + «8 = 0, —«1 — «2 + «7 — «8 = 0 ]
4. «1 + «5 — 2«6 + 2«8 + «1о — «16 = 0, «4 + 2«6 — 2«8 — «1о + «16 = 0 \
5. «5 + 2«7 — 2«9 — «11 + «16 = 0, «1 + «4 — 2«7 + 2«9 + «11 — «16 = 0 ]
6. «8 — 2«4 — 2«8 + «9 + «12 — «17 = 0, —«6 — «12 + «17 = 0^
7. —«7 — «13 + «18 = 0, «3 — 2«5 + «8 — 2«9 + «13 — «18 = 0;
8- «3 + «7 — 2«8 + «14 — «18 = 0, —2«4 — 2«6 + «8 — «14 + «18 = 0 ]
9. —2«5 — 2«7 + «9 — «15 + «17 = 0, «2 + «6 — 2«9 + «15 — «17 = 0 ]
10. «4 — «12 + «14 + «16 = 0, «10 + «12 — «14 = 0;
11. «11 + «13 — «15 = 0, «5 — «13 + «15 + «16 = 0;
12. «6 — «10 — «14 + «17 = 0 ]
13. «7 — «11 — «15 + «18 = 0;
14. «8 — «14 + «18 = 0 , —«10 — «12 + «14 = 0 ]
15. —«11 — «13 + «15 = 0, «9 — «15 + «17 = 0;
16. «5 + «11 + «16 — 2«17 + 2«18 = 0, «4 + «10 + «16 + 2«17 — 2«18 = 0;
17. «9 + «15 + «17 — 2«16 — 2«18 = 0, «6 + «12 — «17 = 0;
18- «7 + «13 — «18 = 0 , «8 + «14 — 2«16 — 2«17 + «18 = 0
(коэффициенты при некоторых свертках равны нулю автоматически).
Эта система оказывается совместной и ее общее решение имеет вид
«1 = —f1 — f2; «2 = «4 = —«6 = —«10 = f1,
«3 = «5 = —«7 = —«11 = /2, «12 = /0 + /1, «13 = /0 + /2,
«14 = «15 = «17 = «18 = /0, «8 = «9 = «16 = 0,
/0 /1 /2
Заметим, что всякое решение системы (20) в канонической системе координат в произвольной точке имеет вид: Q^f , Qij > Qi22j2 любые, остальные — нули.
В то же время для построенного тензора имеем в той же системе: Q^f = = 8/0' QC11j1 = 8/1^' , Qj = 8/2tC22j2, остальные - нули.
Тем самым сконструированный тензор Q' является общим решением системы (20), и мы приходим к следующему результату.
0
Теорема 2. Если V - некоторая планарная связность К-структуры, тогда общее представление коэффициентов планарной связности с теми же определяющими ковекторами имеет вид
I 0 1 , 1 1, 2 2 2 2 1 1
■рк ___ тк I f ( ТРс+с TP“ T?b I ТРс+с тра rpb , трс+с тра rpb ,
Г ij = Г ij + /0(F с¿ab^ i F j + F с¿ab^ i F j + F с¿abF i F j +
1 с 2 2 о 1 , 12 о 2 , 12 b
I 77’k-/-C 77'“ rpb 1 Oi?^C TP“ rpb I Oi?^C 77'“ rpb I
+ F с t“bF i F j + 2F с ¿“b^ (iF j) + 2F с¿“bF (iF j) +
+ /1(—& + F+ и* F^ — 2F с¿“(,.F^ — ¿“oF “Fb + Fс“Fb)+
F c 4j + “(jF i) c 6“(jF i) ^“b1 i F j + F c ^“b1 i F j J
и 2 и 2 2 2 i. 2 2 2 2 2
k I Fk tc 1 Otk F“ _ 2Fk tc F“ _ tk F“Fb + Fk tC F“Fb/
ij + F c 6ij + “(jF i) c 6“(jF i) 6“Ь2 і F j + F c 6“bF i F j/
- произвольный симметричны и тензор? /^ /1 ? /2 - произвольные функции.
4. Преобразования планарной связности
Рассмотрим планарную связность V с коэффициентами Г к и определяющими ковекторами со ¿ со ¿ и ее преобразование V = V © Р тензором аффиннои деформации
1 2
рк =2 р(г ^ +2 Р(г ркк) + 2 Р2(г ркк). (21)
Обозначим коэффициенты преобразованной связности V через Г-, тогда
_к 1 1 1 7 2
^=г3+2 0(т 3+2 р(* рк)+2 ркл ■ (22)
Приняв во внимание связь между ковариантными производными
— а а а , а
V .р к = V р к + Р5 Рк — Р кРв
V 3 р г = у 3 р г + р г Р3в р в Р'31
и структурные соотношения (2), получим
— а и а , а 1 , а 2 , а а а а а а
V(гр 1) = @ (г3 + @ (гр 1) + @ (гр 1) , @ г = ^ г + я г = ^ г + я г, (^)
V 3) ^ 3) ^ 3) 2У 3) о о о в в в
аа
где ковекторы я г, я г определенным образом выражаются через ковекторы рг, Р г и
о в а
их свертки со структурными аффинорами. Таким образом, преобразование всякой планарной связности тензором аффинной деформации (21) дает снова планарную
связность, в общем случае с другими определяющими ковекторами.
1 2
Кривая 7 : хг = хг(Ь) в многообразии Мп называется (Е,р,р)-планарной кривой относительно связности V, если при некоторых функциях параметра вдоль этой кривой выполняются равенства
Л2 хк Лхг Лх3 Лхк 1 Лхв 2 Лхв
Ж + Ъжж = + + (24)
При преобразовании связности V тензором аффинной деформации (21) структура уравнений (23) не изменяется. Следовательно, у связностей V, V = V + Р 12
общие (Е, р, р)-планарные кривые. Если к тому же связность V является планар-12
ной, то ее (Е, р, р) -планарные кривые имеют уплощение порядка не менее п — 3. Действительно, если из касательного вектора £г = Лхг/ЛЬ построить ее векторы кривизны £г = Vt£г, £г = Vt £г, £г = Vt £г, то, как нетрудно убедиться, вдоль
1 2 13 2
12 -1 (Е, р, р) -планарной кривой £ [г £ 3 £ к £11 = 0.
1 2 3
Таким образом, каждая геодезическая кривая многообразия относительно планарной связности V:
Л2хк к Лхг Лх3
----1 г*.--------= О
ей2 %3 ей ей
получает вследствие преобразования (21) в каждой точке уплощение порядка не
_ 1 2
менее п—3 [11, с. 473]. В связности V = У+Р эта кривая будет (Е, Р, Р) -планарной кривой. С точки зрения теории уплощающих отображений преобразование (21) планарной связности Vявляeтcя 3-геодезическим преобразованием (первого линейного типа), обладающим свойством взаимности [8]. Совокупность всех таких преобразований данной планарной связности V образует группу.
Как было показано в п. 1, касательное пространство многообразия с К-
структурой распадается в каждой точке в прямую сумму трех подпространств.
1 2 1
Рассмотрим соответствующие им распределения Do : x ^ F + П F +, Di : x ^ F-,
2
D2 : x ^ F-. Для интегрируемой К-структуры на многообразии класса C эти распределения будут инволютивными, и существуют их максимальные интегральные многообразия Mno, Mni, MП2. Всякое преобразование канонических координат имеет якобиеву матрицу
/ J (xi0 ) 0 0 \
J (x1 ,...,xn ) = 0 J (xil ) 0 .
\ 0 0 J (xi2 )
Эта матрица коммутирует с матрицами (6), т. е. структурные аффиноры относительно таких допустимых преобразований имеют канонический вид. Тем самым структурная группа GL(n,R) касательного расслоения T(Mп) редуцируется к подгруппе матриц J (x1 ,...,xn ). Поскольку внутри каждой серии канонических координат они преобразуются независимо от координат другой серии, то мы получаем гладкий атлас карт, относительно которого многообразие представляется
двойным произведением Mп = Mno x Mni x MП2.
1 2
Когда (E, F, F) -планарнад кривая многообразия Mn относительно связности
V лежит в интеградьном многообразии Mno, то она является геодезической кривой и при преобразовании V = V + P остается также геодезической кривой. 12
(E, F, F) Mni
21 Mn2 (E, F) (E, F)
ной кривой, оставаясь таковой при преобразовании V = V + P. В общем случае 1 2 1 2 (E, F, F) V (E, F, F)
ми связности V = V + P.
Summary
S.G. Leiko. Planar connections onto manifold with commutative algebra of two almost product structures.
In the present paper we study special affine connections on manifolds with affinor structure
121 2 1221 12
(E,F,F), F = F2 = E FF = FF = F + F - E.
Литература
1. Yano K. Differential geometry of complex and almost complex spaces. - Pergamon Press.
- 1965.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1981.
- Т. 1. - 344 с.
3. Houch Ghorn-Shi. The integrability of a structure on a differentiable manifold // Tohoku Math. J. - 1965. - V. 17, No 1. - C. 72-75.
4. Вишневский В,В,, Шурыгин В,В,, Широков А.П. Пространства над алгебрами. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 262 с.
5. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и
техники. Алгебра. Топология. Геометрия. - ВИНИТИ. - 1974. - Т. 11. - С. 153-207.
6. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука, 1979. - 225 с.
7. Лейко С,Г. Специальные p -геодезические отображения пространств аффинной связности // Rev. Roum. pure et appl. - 1982. - V. 27, No 10. - P. 1003-10026.
p
связностью // Изв. вузов. Математика. - 1983. - № 5. - C. 80-83.
9. Frölicher A. Zur Differentialgeometrie der komplexen Strukturen // Math. Ann. - 1955.
- V. 129. - P. 50-95.
10. Obata M. Affine connections on manifolds with almost complex, quaternion or Hermitian structure // J. Math. Soc. Japan. - 1956. - V. 26. - P. 43-77.
11. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.
Поступила в редакцию 16.12.04
Лейко Святослав Григорьевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры геометрии Одесского государственного университета.
E-mail: [email protected]
