Метрики 2F-плоских 3-параболически келеровых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

nrnv

ИМ. в. Г, Б1ЛИНСК0Г0

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.7

МЕТРИКИ 2F-ПЛОСКИХ 3-ПАРАБОЛИЧЕСКИ КЕЛЕРОВЫХ

ПРОСТРАНСТВ

© И.Н. КУРБАТОВА1, М.Г. ХАДДАД2

1 Институт Математики Экономики и Механики e-mail: [email protected] 2Одесский Национальный Университет им. И. И. Мечникова e-mail: [email protected]

Курбатова И.Н., Хаддад М.Г. — Метрики 2F-плоских 3-параболически келеровых пространств // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 121—127. — Мы продолжаем исследование 2F-планарных отображений пространств со специальной аффинорной структурой. Ключевые слова: Риманово пространство, отображение, аффинорная структура.

Kurbatova I. N., Haddad M. G. — Integrable Systems and Projective Quantities // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 121—127. — We continue the investigation of 2F-planar mappings between spaces with some special affinor structure.

Keywords: Riemannean space, mapping, affinor structure.

Введение.

В [1] было введено понятие 2Р-планарного отображения (2РПО) / : У и ^ Уп римановых пространств Уп(дц, Р/1) и Уп(дц, Р^") с метриками дц и діц- и аффинорными структурами Р/1, Рсоот-

ветственно. В [1] показано, что отображение / по необходимости сохраняет структуру, т.е. в общей по отображению системе координат (хі) основные уравнения 2РПО имеют вид:

гЦ (х) = ГЦ (х) + ^ (х) Ц)(х) + ^(х)^(х) + а(і (х)Р) (х)Р^(х); (1)

рі(х) = Р і'И, ь ІА а = і, 2,...,и,

где Г, Г - объекты связности пространств Уп, Уп, соответственно; <^, у>, а - некоторые ковекторы; круглыми скобками обозначена операция симметрирования.

В[1] подробно исследованы 2РПО римановых пространств со структурой вида = ^, в [2]

- РарзрТ ± Р/1 = 0 при условии ковариантного постоянства аффинора в Уп и Уп.

Мы продолжаем изучение 2РПО, полагая, что

= 0, Р = 0 (2)

и аффинорная структура согласована с метрикой пространств Уп и Уп в виде

(3)

Заметим, что из (3) следует

діаР|Р/ = д^Р/.

2РПО 3-параболически келеровых пространств.

1°. По аналогии с [3] введем Определение 1. [4] 3-параболически келеровым пространством Кп назовем риманово пространство

размерности п = 3т, в котором наряду с метрическим тензором дц (ж) существует аффинорная струк-

где ^ - знак ковариантной производной в пространстве Кп.

2°. В [4] получены свойства тензоров Римана и Риччи 3-параболически келерова пространства Кп:

3°. Ввиду (4) аффинорная структура 3-параболически келерова пространства интегрируема, поэтому в рассматриваемой окрестности можно выбрать такую систему координат, называемую адаптированной (к аффинору), в которой компоненты Р/1 и РаР“ имеют вид:

гіа+т __ ра+2т ___ са

РЬ = РЬ+т = °Ь ,

тура Р/^ж), удовлетворяющая условиям (2), (3), а также

рН =0, Дд||Р || =2т =—,

(4)

а а а

РЬ РЬ+т РЬ+2т

Р а+т Ь+т

Р а+т

7-і_I_0^у~,

Ь+2т

Ь Ь+2т

Р аР 7 Р7 РЬ+2т

Ра+т р7 = ра+т р7 = ра+2т р7 = ра+2т р7

Р7 РЬ+т Р7 РЬ+2т Р7 РЬ+т Р7 РЬ+

17 =0

Ь+2т и,

а, 6 = 1, 2, .. ., т = — ,7 = 1, 2,. .., п.

, , , , 3, / , , ,

Очевидно, что в любой системе координат Р/1 и ЄГ имеют нулевой след

ра = о, р,?рв = о.

4°. Введем в Кп вспомогательный тензор Ан, такой что

=о,

Ран А“ + АН Аар^р;7 = °н, Ааріа + Р^нРв Аа А7 = °н.

(5)

(6)

Этот тензор определяется с большим произволом. В частности, нетрудно проверить, что А с компонентами вида

ла _ дй+ш ___ дй+2ш __ да _ ла+2ш ___ /л

АЬ — АЬ+ш — АЬ+2ш — АЬ+2ш — АЬ = и,

а а+т а

АЬ+т = АЬ+2т = °Ь ,

ла+т _ ла+2т ______ да

АЬ = -АЬ+т = АЬ

в адаптированной системе координат удовлетворяет (5), (6) при любых Аа. Для наших целей достаточно самого простого варианта, когда

да+т _ да+2т ______ да

АЬ = -АЬ+т = АЬ =0.

При этом очевидно

АаРв = 2п а а А7 Рв рп = —

АвРа = 3 , АТ РП Ра =3

Аа = л^а = о.

5°. Рассмотрим 2РПО 3-параболически келеровых пространств / : Кп(дц, Р;Н) —— К п (дц ,ргН).

Будем считать 2РПО тривиальным, если оно вырождается в аффинное, то есть в основных уравнениях (1) <£>/ = <£>/ = а = 0.

Ввиду ковариантного постоянства аффинора в Кп и Кп возникает зависимость между векторами

^/ , ^/ , ^/ .

В [4] показано, что 2РПО нетривиально только при = 0, то есть в следующих случаях:

1) а = 0, = 0, = 0, тогда

и

^аР/а = аа Р^Р/3 = ^, ^Рв = ¥>аРГ = 0;

2) а/ = 0, = 0, = 0, тогда

аа р/а = ^, ^аР/а = аа Р/^ = 0;

3) а/ = 0, <£>/ = 0, = 0, тогда

ааРа = 0.

Будем называть отображение в первом случае - 2РПО, а во втором и третьем - соответственно I и

II каноническим 2РПО.

В данной статье канонические отображения не рассматриваются.

2Р-плоские 3-параболически келеровы пространства.

Определение 2. 2Р-плоскими будем называть 3-параболически келеровы пространства Кп, допускающие 2РПО на плоское Кп = Рп.

Теорема. 3-параболически келерово пространство Кп (п = 3т > 9) допускает 2РПО на плоское тогда и только тогда, когда его скалярная кривизна Е равна нулю, а тензор Римана имеет вид:

Лц = Г1 (°Нь дз]аР“ Р/7 + РН ■Р[1ад; + Р[Н дз]аР/а + 2Р/Ч'аРа) + Г2Р7НР[7Й дз]аР7а Р?,

(7)

где

Г1 = , П , Г2 — ---------Ч-------^--- ,

п(п + 1) п(п — 3)

а квадратными скобками обозначена операция альтернирования.

Докажем необходимость. Рассмотрим 2РПО / : Кп ^ Кп = Рп. Из (1), (2), (3), (4) следует зависимость между компонентами тензоров Римана отображаемых пространств:

Л' — Л' + ‘А'^] + Рй] + Р7 Рй] + а[й']Р7 Р7, (8)

Ру ,

— — — Р* ,

ац = а/,з — — ^(/аз)

Если д' — 0, то из (8) соответствующими свертываниями с метрическим тензором, структурным аффинором и тензором получаем:

Лц = (п + 1)г1д/аР/?Р/,

= —г1дц — г2 д/а Р? Р^, (9)

в Р

где

3ДаАвА2 9ДСЇ^ АП АтА^

Г1 = в , -І ^ , Г2 = -----Ч-------^-----, П = 3.

п(п + 1) п(п — 3)

В процессе преобразований оказалось, что скалярная кривизна Д 2Р-плоского пространства по необходимости равна нулю.

С учетом (9) и Дць = 0 соотношения (8) приводят к (7). Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Рассмотрим 3-параболически келерово пространство Кп(п = 3т > 9), удовлетворяющее условию (7). Мы хотим показать, что оно допускает 2РПО на плоское Кп = Рп.

Прежде всего заметим, что в (7) гі и Г2 являются константами. Это следует из (7) после их ковари-антного дифференцирования в Кп ввиду дифференциального тождества Бианки и при соответствующем свертывании с метрическим тензором, структурным аффинором и тензором Ан .

Если отображение / : Кп — Кп = Рп существует, то соответствующий ему вектор а* должен удовлетворять в Кп условиям

а/,з = + ^(/а^) — гід/ц — ^д/аР? Р/, (10)

как это следует из (9) и (7).

Наоборот, (8) свидетельствуют о том, что 2РПО 3-параболически келерова Кп по закону (1), соответствующее вектору а^, удовлетворяющему условиям (10), очевидно, приводит к плоскому пространству К п = Рп .

Но (10) представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка типа Коши относительно вектора а*. Ее условия интегрируемости на основании (10), (7) и тожества Риччи выполняются тождественно. Следовательно, система (10) всегда имеет решение. Достаточность доказана.

Метрики 2Р-плоских 3-параболически келеровых пространств.

Заметим, что ввиду постоянства г і и Г2 3-параболически келерово 2Р -плоское пространство является симметрическим - это следует из (7):

Днз'й,г = °.

Для симметрических римановых пространств П.А.Широков [5] получил формулу, позволяющую восстановить метрический тензор в окрестности некоторой точки М (хо) € К, :

1

где

° 1 ^ ( —1)Я2Я 8 дц = % + 2 X, (28 + 2)!тц,

тц = т з

k+l k 0«в

m ij — ^'т^'взg

° в т/3 = Д/аЦв У У

° °ав ° в

- дц, д , Д/азвУ?Ув - значения компонент метрического, обратного ему тензоров и тензора Римана в точке жо, (ун) - римановы координаты с началом в точке жо.

Учитывая (7) и используя эту формулу, получим компоненты метрического тензора 2Р-плоского 3-параболически келерова пространства Кп (п = 3т > 9) в виде:

° °а °в °а °в

д/3 д/з + Вуз + Су/аРв Р3 + ^уаР/ увРз ,

где

o а o в o а o в 0 0 o а o в

УіЗ = r1(yiyaFвFj + УзyaFвFi - ygij - ygiaFвFj ),

уі — У gai,

0«в

У = УаУвg ,

B

І

C

Г2

4r2(y):

r(1 + riy - Ai) +

4ri(y)2

r iy + Г2У

(1 + riУ - Ai),

D=

8r2(y)3

1

16rl(y)2

(4Ai - A2\J2|riy| - 2riy - 4),

(1 - Ai)2,

A1=

cosh л/2гіУ, если riy > О cos V/2|riy|, если riy < О

A2

sh л/2гіУ, если riy > О

- sin л/ 2 |r iy|, если riy < О ’

Fi - компоненты структурного тензора Fih в точке xq .

и

h

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Раад Кадем Джамел. О 2Е-планарных отображениях пространств аффинной связности.// Abstrakts of the Colloquium on Differential geometry, August 20-25, 1989, Eger, Hungary.

2. Коновенко Н.Г. 2Е-планарные отображения римановых пространств, сохраняющих обобщенную f-структуру. //Лаптевские чтения: Сборник трудов Международного геометрического семинара имени

Г.Ф.Лаптева (26-31 января 2004 г.), Пенза, 2004. С. 59-64.

3. Mohsen Shiha. On the theory of holomorphically-projective mappings of parabolically-kahlerian spaces. // Diff. Geometry and Its Appl. Proc. Conf. Opava (Chechoslovakia), August 24-28, 1992. Silesian University, Opava, 1993. p. 157-160.

4. Курбатова И. Н. 2Е-планарные отображения 3-параболически келеровых пространств.// Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов.

- Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010. с. 195-200.

5. Широков П. А. Избранные работы по геометрии.

Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1966. 432с.