CC BY
9
УДК621.01:621-868, 621.9.048.6.06(088.8) Доц. О.В. Гаврильченко*,
канд. техн. наук; доц. Р.В. Юревич, канд. техн. наук - УкрДЛТУ; ст. викл. О. С. Ланець , канд. техн. наук; асистент Я.В. Шпак
П1ДХОДИ У ВИЗНАЧЕНН1 НЕОБХ1ДНОГО ЗУСИЛЛЯ, ЯКЕ ПОВИНЕН РОЗВИВАТИ В1БРОЗБУДНИК В ОДНО-, ДВО- ТА
БАГАТОМАСОВИХ КОНСТРУКЦ1ЯХ В1БРОМАШИН
Описано шдходи у визначеннях необхщного зусилля, яке повинен розвивати в1брозбудник в одно-, дво- та багатомасових конструкщях в1бромашин. Акцен-туеться увага на проблемах у визначент зусилля в тримасових конструкцкх в1бро-машин. Наводяться необхщт аналггичт формули.
Doc. O. V. Gavrilchenko*; doc. R. V. Jurevych - USUFWT;
senior teacher O.S. Lanets, assist. Y. V. Shpak
Approaches in determination of necessary effort, which must be developed by vibration exciter in one-, two- and multimass constructions of vibratory
machines
In article the approaches in determinations of necessary effort, which must be developed by vibration exciter in one-, two- and multimass constructions of vibratory machines are described. Attention of problems in determination of effort in the threemass constructions of vibratory machines is accented. Necessary analytical formulas are pointed.
Вступ. Яюсть роботи переважно! бшьшосп в1брацшних машин обу-мовлюеться величиною та стабшьшстю амплггуди !х робочих оргашв. Забез-печення необхщних амплггуд робочих оргашв залежить вщ пружно! системи мехашчно! коливно! системи в1бромашини та зусилля, яке розвивають в1б-розбудники. Вщ точносп визначення збурювального зусилля залежить робо-тоздатшсть уше! в1бромашини.
Постановка проблеми. Використання юнуючих методик для одно -та двомасових конструкцш в1бромашин у визначенш необхщного зусилля, яке повинен розвивати в1брозбудник в багатомасових конструкщях, е не-
* Нацюнальний ушверситет "Льв1вська полгтехшка"
прийнятним 1 1х не можна використовувати як шаблон для таких конструкций. Це пов'язано з тим, що вони виводились тшьки для одно - та двомасових конструкщй в1бромашин 1 даватимуть нев1рш результати.
Анал!з останшх дослщжень. На сьогодшшнш час юнують повшстю розроблеш методики визначення зусилля в1брозбудника в одно - та двомасових конструкщях в1бромашин [1, 2]. Однак не виявлено методик щодо визначення зусилля в1брозбудника в багатомасових конструкщях в1бромашин.
Постановка задач!. В данш статп автори обговорюватимуть шдходи у визначенш необхщного зусилля, яке повинен розвивати в1брозбудник в одно-, дво- та багатомасових конструкщях в1бромашин.
Щдхвд у визначенш необхщного зусилля, яке повинен розвивати в1б-розбудник в одномасових конструкщях в1бромашин. Узагальнена структурна схема одномасових в1бромашин наведена на рис. 1.
Рис. 1. Узагальнена структурна схема Рис. 2. Узагальнена структурна схема одномасовоЧ вгбрацтно'Ч машини двомасовоЧ вгбрацтноЧ машини
Амплгтудне значения збурювального зусилля, яке повинен розвивати в1брозбудник, виводиться з загального диференщального р1вняння:
mx + cx + jx = P sinat, (1)
де: x - узагальнена координата, за якою здшснюеться перемщення; m - величина маси коливного тша; c - сумарна жорстюсть пружних елеменпв; / -коефщент дисипацй' мехашчно! коливно! системи; P - амплгтудне значення зусилля в1брозбудника; со - колова частота вимушених коливань; t - час.
Розглядаючи тшьки вимушеш коливання (пропускаючи перехгдний процес), часткове ртення р1вняння (1) шукаемо у виглядк
x = X sin (a>t + у), (2)
де: X- амплгтуда коливань робочого органу; у - кут зсуву фаз.
Шдставляючи (2) в (1) та пров1вши деяю перетворення [3], отримуемо, що амплгтудне значення зусилля P дор1внюе:
р=Ч f mmí+i /(3)
Враховуючи, що величина с/т не що 1нше як квадрат частоти власних
коливань о0 1 прийнявши к = -//, вираз (3) перепишемо у вигляд1:
2т
Р = Хт^®® -а2+ 4к2о2 . (4)
Вин1сши з-п1д кореня частоту власних коливань о0 1 приймаючи, що о/о0 величина резонансного налагодження г механ1чно1 коливно! системи та враховуючи, що динам1чний коеф1ц1ент системи
/= и 1 , (5)
1 - г2 ) + 4к2г2
формула (4) набуде ведомого вигляду [1]:
Хто /г2
2
Р =
(6)
(7)
П1дх1д у визначенн1 необх1дного зусилля, яке повинен розвивати в1б-розбудник в двомасових конструкциях в1бромашин. Узагальнена структурна схема двомасових в1бромашин наведена на рис. 2.
Система диференц1альних р1внянь, що описуе двомасову модель в1б-ромашини запишеться у вигляд1:
т^Х] + с1 [х1 - х2)+ /][х] - Х2) = -Р$1пШ; \т2Х2 + с2Х2 + С1[х2 - Х1) + /2х2 +/1[х 2 - Х1) = Р
Р1вняння рух1в за двома незалежними ступенями в1льност1 шукаемо у вигляд1 х] = Х]в1М та Х2 = Х2в1°, тут Х1, Х2 - ампл1тудн1 значення коливань в1дпов1дно за узагальненими координатами х1, х2. П1дставляючи ц1 вирази в (7) 1 скоротивши в кожн1й частин1 системи р1внянь член е , отримаемо р1-шення системи р1внянь (7). У матричному запис1 це р1шення матиме вигляд:
X = С-1 • Р, (8)
де: X - вектор-стовпець нев1домих; С-1 - матриця коеф1ц1ент1в при нев1до-мих; Р - вектор-стовпець вимушених зусиль. Розписуючи р1вняння (8) для нашого випадку, маемо:
Г 2 ■ • ^
С1 - то +1/1& - С1 -1/1&
2
- С1 -1/1& С1 + С2 - т2& +1/2® +1/1®
Для спрощення розв'язку ц1е! системи диференц1альних р1внянь знех-туемо жорстк1стю с2 та коеф1ц1ентами дисипаци механ1чно! коливно! системи /1 та /2. В такому випадку отримаемо:
(10)
- Р Р
Х1 Х2
(9)
2 С1 - т1® - С1 -1 - Р ' Х1'
- С1 2 С1 - т2& Р _ Х2 _
Poзв'язкoм цieï cиcтeми бyдe:
22 „ Pm2o Pm1o ....
X1 = -Щ-2); X2 = -2(-2). (11)
cl - c - mo jcl - m2& I ci - Ici - mo jc1 - m2& I
Зaвжди пiд чac poзpaxyнкy peзoнaнcнoï мexaнiчнoï кoливнoï cиcтeми e дyжe вaжливим пpaвильнo пiдiбpaти жopcткicть пpyжниx eлeмeнтiв. Oднieю з yмoв e тa, щoб двoмacoвa мexaнiчнa кoливнa cиcтeмa пepeбyвaлa в peзoнaн-ci як oднe цiлe. Для того то^бго, щoб cпiльний знaмeнник y piвнянняx (11) 6ув piвний нулю:
cj -\çi - m1o2 jc1 - m2o2 )= 0. (12)
^й знaмeнник i e дeтepмiнaнтoм cиcтeми piвнянь (10). Пpиpiвнявши йoгo дo нуля, мoжнa визнaчити з ньoгo жopcткicть c1, зaдoвoльнивши yмoвy peзoнaнcy. Жopcткicть c1 бeз вpaxyвaння cил диетт^! в aнaлiтичнoмy вигля-д бyдe:
cl = m1m2 = m1m2 к2, (13)
ml + m2 V z J ml + m2
дe к = со/z. Пiдcтaвивши (13) в (11), oтpимaeмo:
2
V = Pm2 .. X = Pm° , (14)
Xl = tri Я. X2 = p Я • (14)
m1m2 к -о m1m2 к -о
ввдвши пoняття вiднocнoï aмплiтyди кoливaнь Xeià = X1 + X2, дoдaмo oкpeмo лДвД i пpaвi чacтини piвнянь (14) i oтpимaeмo:
Y = P(m1 + m2) , = Pz2 (m1 + m2 X. (15)
Xeià =-12-2) = ~2-Tj—2) ■ (15)
m1m2 к -о о m1m2 1- z
m1m2
Ввдвши пoняття пpивeдeнol мacи mnp = —1——, тa знaйшoвши з piв-
m1 + m2
няння (15) aмплiтyднe знaчeння зycилля P, oтpимaeмo:
P = Xeidmnp°2 , (16)
//z2
дe и' = —^т - динaмiчний кoeфiцieнт. З вpaxyвaнням в'язкoгo oпopy в фop-1 - z2
мулд (16) дишмдчний кoeфiцieнт oпиcyeтьcя фopмyлoю (5). ^-cyd фopмyлa (16) iдeнтичнa фopмyлi (6). Пpocтoтa фopмyли (16) дocягнyтa зa paxyнoк pядy cпpoщeнь oпиcaниx вищe. Ця фopмyлa тaкoж дyжe шиpoкo викopиcтoвyeтьcя нa пpaктицi.
^и визнaчeннi зycилля, якe пoвинeн poзвивaти вiбpoзбyдник в бaгa-тoмacoвиx кoнcтpyкцiяx yжe викopиcтaння фopмyли (16) дacть пoxибкy. Для пpиклaдy визнaчимo зycилля вiбpoзбyдникa в тpимacoвiй кoнcтpyкцiï. П^щ y визнaчeннi нeoбxiднoгo зycилля, яте пoвинeн poзвивaти вiбpoзбyдник в бa-гaтoмacoвиx кoнcтpyкцiяx вiбpoмaшин.
Розглянемо математичну модель тримасно! конструкцп в1бромашини (рис. 3), що складаеться з динамичного демпфера т3, пром1жно! маси т2, за яку шдв1шуеться мехашчна коливна система в1бромашини, та активно! маси т1, яка виконуе функцию робочого органу. Коливш маси здшснюватимуть су-то прямолшшш коливання у вертикальному напрямку. Збурення коливань в1дбуваеться за рахунок електромагштних в1брозбудник1в, якор1 котрих крш-ляться до активно! маси т1, а статори електромагншв до пром1жно! маси т2. Плоска модель в1бромашини матиме три ступеш вшьносп за узагальненими координатами:
х1> х2> х3 ,
де: х3 - перемщення вздовж ос1 х маси т3 внасл1док кшематичного збурення в1д коливно! маси т2; х1 1 х2 - перем1щення вздовж ос1 х в1дпов1дно до мас т1 1 т2 внасл1док вимушуючого зусилля електромагштних в1брозбудник1в р(г) = Рзтог, де Р - амплггудне значення електромагштного зусилля; со -колова частота вимушених коливань; г - час. Система диференщальних р1в-нянь, що описуе тримасну модель в1бромашини запишеться у вигляд1:
Рис. 3. Узагальнена структурна схема тримасовог вЬбрацтног машини
т3х3 + с2{х3 - х2) + Н2{х3 - х2) = 0; т2х2 + с2 (х2 - х3 ) + САх2 - х1) + с0х2 + И2 (х2 - х3 ) + И1{х2 - хс1) + Иох2 = Рятс; (11) тх + С1(\1 -х2-х2) = -Р$1паЯ, де: Со - сумарна жорстюсть пружних елеменпв в1бро1золятор1в; С1 - сумарна жорстюсть пружних елеменпв, що поеднують робочий орган т1 1 пром1жну масу т2; С2 - сумарна жорстюсть пружних елеменпв, що поеднують дина-м1чний демпфер тз 1 пром1жну масу т2; и о, Иь И 2 - коефшденти дисипаци мехашчно! коливно! системи.
Р1вняння рух1в за трьома незалежними ступенями в1льност1 шукаемо у
вигляд1 х1 = Х1вш, х2 = Х2в1Ш1 та хз = Хзв1М. Шдставляючи ц1 вирази в (11)
1 скоротивши в кожн1и частин1 системи р1внянь член е ня системи р1внянь (17):
, отримаемо р1шен-
С2 - т3Ю +1р-2® ~ С2 ~ ^И-2®
+ С! + С2 - т2®2 + г[р0 + И2 + Из ®
~С2 - И2® 0
С0'
- С1 -
0
-С1 -1^1®
2
-1
С1 - т1(тзав.)® + 1И1®
" 0 ' ' Хз'
Р = Х2
- Р _ Х1 _
(18)
Позначимо:
2
кп = С2 - тз® +1И2®;
к12 = -С2 - 'И2® ; к1з = 0; к21 =-С2- 1И2®.
к22 = С0 + С1 + С2 - т2®2 + + И2 + ИЗ )а ; к2з =-С1- 1И1®\ кз1 = 0;
к32 = -С1 - 1И1®.
2
кзз = С1 - т1® + И1®.
Розв'язок системи р1внянь (18) буде у вигляд1: Х = - Р ■ к12(к23 + к33 ) . Х = Р ■ к11(к2з + к33 )
к12к21к33 - к11к22к33 + к11к23к32 к12к21к33 - к11к22к33 + к11к23к32
Хз -
(19)
= Р ■ (- к11к32 + к12к21 - к22к11) к12к21к33 - к11к22к33 + к11к23к32 Визначимо сумарну жорстк1сть пружних елемент1в С1 та С2. Для того прир1вняемо сп1льниИ знаменник у р1вняннях (19) до нуля:
к12к21к33 - к11к22к33 + к11к23к32 = 0. (20)
Прир1внявши Иого до нуля, можна визначити з нього жорстюсть С1, задо-вольнивши умову резонансу. При цьому необх1дно знати жорсткосп С2 та С0. Жорстк1сть С2 визначаемо з умови, що маса тз повинна мати резонансне нала-годження за парц1альною частотою примусових коливань. Тобто жорстк1сть С2 без врахування сил дисипацй' визначаемо за наступною формулою:
С2 = тз ®) , (21)
де: х - резонансне налагодження механ1чно! коливно! системи гасника.
Загальна жорстк1сть С0 в1бро1золятор1в без врахування сил дисипацй' визначаеться з умови, що власна частота коливань ус1е! в1бромашини повинна в 4,5 раз1в бути меншою в1д частоти вимушених коливань, тобто:
С =(т1 + т2 + тз ) ( ®Л2
С0 = 425 ^
П1дставляючи значення коеф1ц1ент1в в детерм1нант системи р1внянь (18), жорстк1сть С1 без врахування сил дисипацй' в аналогичному вигляд1 буде:
(22)
/ \ 2 2 2 2 4
la) -c0c, + c0m3a + c2m3a + c,m,® -m3m2a
C1 = m1l -I---^^--^^--4. (23)
( z J - c0c2 + c0m3a + c2m3a + c2m1a - m3m1a> + c2m2a - m3m2a
Фopмyлa (23) cклaдaeтьcя з двox дoбyткiв i ^и yмoвi, щo в cyмapниx жopcткocтяx c1 тa c2 peзoнaнcнi нaлaгoджeння z oднaкoвi, дpyгий дoбyтoк 6у-дe дopiвнювaти нулю. Зпдто з peкoмeндaцiями [2], дe мexaнiчнa кoливнa otc-тeмa poзглядaeтьcя як тaкa, щo cклaдaeтьcя з двox oднoмacниx, poзpaxyнoк cyмapниx жopcткocтeй мoжнa викoнaти зa cпpoщeними зaлeжнocтями:
c1 = m1max Q тa c2 = m3 . (24)
Пiдcтaвляючи виpaзи для жopcткocтeй в (19), зaдaвшиcь oднieю з aм-плiтyд кoливaнь, мoжнa визнaчити зycилля P. Як бaчимo, виpaзи для визт-чeння зycилля нaбyли зтчто cклaднiшoгo вигляду зi збiльшeнням тpeтьoï ливнoï мacи.
Bиcнoвoк: Для визнaчeння зycилля в бaгaтoмacoвиx cтpyктypax ^o6-xiдним e: cклaдaння фiзичнoï динaмiчнoï мoдeлi вiбpoмaшини; cклaдaння мa-тeмaтичнoï мoдeлi пo фiзичнiй динaмiчнiй мoдeлi вiбpoмaшини; poзв'язaння cиcтeми дифepeнцiaльниx piвнянь дpyгoгo пopядкy; aнaлiтичнe визнaчeння aмплiтyдниx знaчeнь зycиль.
Лiтepaтypa
1. Пoвидaйлo B.A. Pacчeт и кoнcтpyиpoвaниe вибpaциoнныx питaтeлeй. - M.: Matti-гиз, 1962. - 346 c.
2. Пoвидaйлo B.A. Пpиндипы coздaния вибpaциoнныx ycтpoйcтв и мaшин для aвтo-мaтизиpoвaнныx пpoизвoдcтв// Bceyкpaïнcький нayк.-тexн. жypнaл "Bибpaции в тexникe и тexнoлoгияx". - 1994, № 1 - С. 18-27.
3. Бутвнин H.B., Лунц Я.Л., Mepкин Д.Р. Kypc тeopeтичecкoй мexaники. - M.: Ha-yкa, 1985. - 456 c. _
42
Збipник нayкoвo-тexнiчниx пpaць
