CC BY
35
системы и
процессы ушл
управления
УДК 519.85
phi-функции для эллипсов, аппроксимированных дугами окружностей
ПАНКРАТОВ А.В._
Рассматривается задача оптимальной упаковки аппроксимированных дунами окружностей эллипсов, допускающих непрерывные вращения. Для аналитического описания основных ограничений размещения предлагаются свободные от радикалов phi-функции, имеющие существенно более простую форму записи и меньшую вычислительную сложность, чем известные аналоги.
Ключевые слова: раскрой и упаковка, эллипсы, аппроксимация, phi-функция.
Key words: cutting and packing, ellipses, approximation, phi-function.
Введение
Задачи упаковки и раскроя, называемые также задачами оптимального размещения [1-2], относятся к классу NP-сложных задач [3] и являются частью теории исследования операций и вычислительной геометрии. Задачи размещения имеют широкий спектр научных и практических применений, в том числе в современной биологии, минералогии, медицине, материаловедении, нанотехнологии, робототехнике, системах распознавания образов, в химической промышленности, машиностроении, строительстве и т.д.
Предметом данного исследования является задача упаковки набора эллипсов Ё;, ie{1,2,...,n} = In в
прямоугольник Q = {(x,y) eR2:0 < x < l,0 < y < w} с переменными длиной i и шириной w. Каждый эллипс Ё; задан парой чисел ai и Ь; - длиной большой и малой полуосей ai и Ь;. Полагаем, что
начало собственной системы координат эллипса Ё; совпадает с его центром симметрии. Положение эллипса Ё; характеризуется вектором трансляции (x; ,y;) и углом поворота и¡.
Задача упаковки эллипсов. Необходимо разместить множество эллипсов Ё;(x;,y;,6;), i е In, в контейнере Q так, чтобы площадь F = l • w была минимальной.
1. Исследование состояния проблемы
Обзор публикаций [4-5] по этой тематике дает возможность сделать вывод о том, что только в работе [6] излагается метод решения задачи упаковки истинных эллипсов (без аппроксимаций), допускающих вращения, с использованием современных NLP solvers, доступных в GAMS. В этой статье приводится подробный обзор литературы, посвященный задачам упаковки эллипсов. Для построения условия непересечения неориентированных эллипсов авторы используютидею разделяющей прямой, предложенную ранее в работе [7] для моделирования отношений непересечения кругов и выпуклых многоугольников. В [6] получено глобальное решение для небольшого числа эллипсов (n < 4). Однако при n>14 авторам не удалось получить допустимого решения. В этой связи авторы предложили эвристическийpolylithic-алгоритм для размещения большего числа эллипсов (n < 100) в прямоугольной области.
Подход, основанный на описании отношений непересечения между эллипсами при помощи свободных от радикалов квази-рЫ-функций, предложен в [8] и реализован в [9]. В результате удалось представить задачу оптимальной упаковки эллипсов в виде задачи нелинейного программирования и получить локально-оптимальные решения при n < 120 , улучшив результаты по времени и значению функции цели для многих примеров (5 < n < 100), приведенных в [6].
Однако подходы, предложенные в [6] и [9], являются довольно ресурсоемкими, причем время решения растет экспоненциально с ростом числа размещаемых эллипсов.
В работах [10, 11] предложено использовать свободные от радикалов phi-функции, приведенные в [12], при моделировании отношений для эллипсов, аппроксимированных дугами окружностей. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что приближенное решение получается за значительно меньшее количество времени, чем требуется для получения точного решения, и при этом незначительно отличается в худшую сторону от точного решения по значению функции цели. Помимо того, что полученное за разумное время достаточно хорошее приближенное решение задачи упаковки эллипсов представляет самостоятельный практический интерес, оно может быть также использовано в качестве допустимой стартовой точки для локальной оптимизации. Комбинированный подход по зволяет получать локально-оптимальные решения за меньшее количество времени, чем применение «чистых» методов локальной оптимизации [13].
Для решения задачи упаковки эллипсов в [13] использована универсальная методология, предложенная для задач оптимального размещения двумерных геометрических объектов. В соответствии с указанной методологией размещаемые объекты представляются в виде объединения объектов четырех видов из класса 3 базовых объектов. Всего в класс 3 входят объекты четырехтипов - выпуклый многоугольник к , сегмент круга D, «шапочка» н и «рог» V. В [10]
доказано, что произвольный ограниченный объект, граница которого сформирована отрезками прямых и дугами окружностей, может быть представлен в виде объединения базовых объектов. Для удобства используются также вспомогательный объект круг С (который может быть представлен в виде объединения двух сегментов). Для моделирования неограниченных объектов используется также полуплоскость р . Геометрические отношения между каждой парой объектов описываются посредством зависящей от параметров размещения рЫ-функции, которая представляет собой минимум рЫ-функций для всех пар базовых объектов, формирующих исходные.
Разработанный на основе теории рЫ-функций генератор пространства решений задачи позволяет свести решение произвольной задачи размещения двумерных геометрических объектов к решению последовательности задач нелинейного программирования.
Изложенный универсальный подход прекрасно себя зарекомендовал на решении ряда тестовых задач. Однако платой зауниверсальность является повышенный расход вычислительныхресурсов. В этойсвязи остается актуальной разработка специализированных рЫ-функций для имеющих особую практическую значимость классов объектов в целях снижения вычислительных затрат. Разработке рЫ-функций для одного из таких классов объектов, эллипсов и посвящена данная работа.
2. РЫ-функции для аппроксимированных дугами окружностей эллипсов
Пусть имеется эллипс Е, заданный большой полуосью а и малой полуосью ь с переменными параметрами размещения и = (х,у,6). Построим на границе эллипса точки V;, v2, V, и V,, (рис. 1,а) с координатами
V! = (-Ь'г - 4 а'г), v2 = (Ь'г + d, а'г), V, = (-Ь'г - 4 -а'г), V, = (Ь'г + 4 -а'г), (а - Ь)(а+Ь + ТаГ+Ь7)
ванный объект е представляется в виде объединения пяти базовых объектов (рис. 1,в):
где г = а - d, а =
а =
2а
Ь' = -
Ь
л/а2 + Ь2 , 7а2 + Ь2 .
Построим внешнюю аппроксимацию эллипса Е объектом минимальной площади, огр аниченным дугами окружностей с вершинами в точках v1, v2, V,, V, [13]. При этом меньшие дуги принадлежат окружностям С1 и С2 радиуса г = а - d с центрами в точках (+^0), а
и а ,
большие - окружностям С3 и С4 радиуса Л = Ь + ь d
Е = С1 и С2 и D1 и D2 и к.
(1)
с центрами в точках (0, + ь d) (рис. 1,б).
В соответствии с реализованным универсальным подходом к решению задач размещения аппроксимиро-
Рис. 1. Функции для аппроксимированных эллипсов: а-эллипс со вспомогательными точками на границе; б -аппроксимация эллипса дугами; в - представление аппроксимированного эллипса в виде объединения базовых объектов
а
б
а
в
С учетом (1) phi-функция для объекта E и полуплос-
кости р имеет вид
iin {Фс>
ФEP = min{ФС'Р ФС2Р ФDlP ФD2P ФKP
}. (2)
Функция, используемая для формализации условия принадлежности аппроксимированного эллипса прямоугольному контейнеру, описывается минимумом из четырех функций вида (2).
Для эллипсов E1 и Ej приближенная phi-функция определяется в виде
Ф№ = min {ФC1 Ej, ФС2Е, Ф D2Ej, ФКЕ}, (3)
где
:iin {
iTCi ФТС2 ФTDi Фто2 Фда1
Ф1Е = min{Ф< Ф 2 Ф< Ф 2 Ф
j
Ф = max f1 = max min f1j
i=1,...,m i=1,...,m j=1,...,ni
(4)
Круг СЕР по способу построения содержит большие дуги и может касаться линии, ограничивающей полуплоскость Р одновременно с одной из точек v1, v2,
V, или V,.
Построенная функция (5) имеет вид (4), для нее т = 3, ттп. = 1, тахп. = 3 .
1=1,2,3 1 1=1,2,3 1
Phi-функция объекта Е и круга С радиуса л строится подобным образом (рис. 3):
где
Ф ЕС = тах{Ф МС, Ф СзС, ФС<С]
Ф = т1П{ФС С, ФС2С, ФСЕСС} ,
(7)
(8)
Для дальнейшего использования выражения (2) и (3) необходимо преобразовать к эквивалентному виду
Из исследования построенных в настоящее время рЫ-функций и полученных в [11] оценок числа вершин дерева решения задачи размещения следует, что для выражения (2), преобразованного к форме представления (4), т = 4 , минимальное из п. равно 8, максимальное - 12, а в выражении вида (4), эквивалентного выражению (3), т и 3.6926650668859Е17, минимальное из п. равно 62, а максимальное - 124. При этом следует отметить, что большинство из неравенств ^ > 0 из выражения (4) описывает пустые множества.
Предлагается рЫ-функция объекта Е и полуплоскости р в виде максимума трех функций
ФЕР = тах{ФЬр, ФС3р, ФС4р}, (5)
где Фьр = тт{ФСР,ФС2р, ФСЕрр} , Ь = С1 и С2 и СЕР, Е с Ь , С1, С2, С3 и С4 - круги, содержащие дуги, СЕр - круг радиуса
Гр = г+М (6)
с центром в точке О (рис. 2).
М = С1 и С2 и Сср, Е с М , с1, С2, С3 и С4 - круги, содержащие дуги (см. рис 1 ,б), СЕС - круг радиуса
гл = 1^(к+ГхК+2Тр-Г)+Н2 - Л с центром в точке О (см. рис. 3), где величина гр определяется выражением (6). Круг СЕС по способу построения содержит большие дуги и может касаться окружности С одновременно с одной из точек v1, v2, v3 или v4. Полученная функция имеет вид (4), при этом т = 3, т1пп. = 1, тахп, = 3 .
1=1,2,3 1 1=1,2,3
а б в
Рис. 3. Варианты взаимного размещения круга и
а б в
Рис. 2. Варианты взаимного размещения плоскости и эллипса: а - ФLP > 0; б - ФСзР > 0 ; в - ФС<Р > 0
где ФЕС3, ФЕС4 - функции вида (7); ФС3М\ ФС4Мj -функции вида (8),
f NiNj = тт{ФMti, ФМС2, ФМЧ, Ф М1С2 ,f1j}, (10)
фМС1, фм с'2, фМС1, фМС2 - функции вида (8), построенные для объектов М1 (М]) и кругов С),С2, (С) ,С2),
Рис. 4. Варианты взаимного размещения двух эллипсов: а - фЕ1С3 > 0; б - фЕ1С4 > 0 ; в - фЕ1С3 > 0; г - фЕ1С4 > 0 , д - f ™ > 0
Функция (10) может быть оптимизирована и переписана как
f = min{ФC1C1, фс1 С2, ф С2С1, ф С2С2, фс1 СЕс, фС2СЕс, фС1СЕс
ф «АсД1 }.
Функция (9) после преобразования к виду (4) записывается следующим образом:
Ф E'EI = тах{Ф C3C3, фс3с4, ф C4C3, ф C4C4, фс3M,
фС;м' ф^1 фCJM- f N1 N1}
(11)
Соответственно, т = 3, т1пп1 = 1, тахп1 = 9, причем
1=1,2,3 1 1=1,2,3 1
максимальное значение достигается для единственной функции fк , для остальных функций количество неравенств под знаком минимума не превышает трех.
Выводы
Предложенный вариант phi-функций для эллипсов, аппроксимированных дугами окружностей, имеет намного более простую форму записи и требует меньших вычислительных затрат, чем вариант phi-функ-ций, формируемый в рамках универсального подхода.
Литература: 1. Wаscher G., Hauner H. and Schumann H. An improved typology of cutting and packing problems // European Journal of Operational Research. 2007. Volume 183, Issue 3, 16. P. 1109-1130. 2. Bennell J.A. and Oliveira J. F. The geometry of nesting problems: A tutorial // European J. Operational Research. 2008. 184. P. 397-415. 3. Chazelle B., Edelsbrunner H., Guibas L.J. The complexity of cutting complexes // Discrete & Computational Geometry. 1989. 4(2), P. 139-181. 4. Birgin E.G., Bustamante L.H., Callisaya H.F., Ma^nez, J.M. Packing circles within ellipses // International transactions in operational research. 2013. №2 20. P. 365-389. 5. Xu W.X., Chen H.S., Lv Z. An overlapping detection algorithm for random sequential packing of elliptical particles/ / Physica. 2011. A. 390. P. 245-267. 6. Kallrath J. and Rebennack S. Cutting Ellipses from Area-Minimizing Rectangles. // Journal of Global Optimization. 2013. DOI10.1007/s 10898-013-0125-3. 7. Kallrath, J. Cutting Circles and Polygons from Area-Minimizing Rectangles. // Journal of Global Optimization. 2009. 43. P. 299-328. 8. Stojan Ju.G, Pankratov A.V., Romanova T.E., Chernov N.I. Kvazi-phi-funkcii dlja matematicheskogo modelirovanija otnoshenij geometricheskih ob#ektov // Dopovidi Nacional'noi akademii nauk Ukraini. 2014. №2 9. Р. 49-54. 9. Pankratov A., Romanova T. Subbota I. Optimal'naja upakovka jellipsov s uchetom dopustimyh rasstojanij. // Zhurnal obisljuval'noi ta prikladnoi matmatiki. 2014. 1. Р. 129-140. 10. Chernov N, Stoyan Y, Romanova T. Mathematical model and efficient algorithms for object packing problem // Computational Geometry: Theory and Applications. 2010. 43(5). P. 535-553. 11. Bennell J., Scheithauer G., Stoyan Yu., Romanova T., Pankratov A. Optimal clustering of a pair of irregular objects // Journal of Global Optimisation, March 2015, Volume 61, Issue 3. P. 497524. 12. Chernov N. , Stoyan Y., Romanova T., Pankratov A. Phi-Functions for 2D Objects Formed by Line Segments and Circular Arcs // Advances in Operations Research. 2012. Vol. Article ID 346358. 26 pages. doi:10.1155/2012/346358. 13. Pankratov A.V., Romanova T.E., Subbota I.A. Razrabotka jeffektivnyh algoritmov optimal'noj upakovki jellipsov // Vostochno-Evropejskij zhurnal peredovyh tehnologij. 2014. 5/4(71). Р. 28-35.
Поступила в редколлегию 17.05.2015
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Романова Т.Е.
Панкратов Александр Викторович, д-р техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: задачи раскроя и упаковки, нелинейная оптимизация, исследование операций. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. (057)3494777.
б
а
в
г
д
