Математическое моделирование ограничений на минимально и максимально допустимые расстояния в задачах балансной компоновки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85

А.А. КОВАЛЕНКО, Т.Е. РОМАНОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОГРАНИЧЕНИЙ НА МИНИМАЛЬНО И МАКСИМАЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ РАССТОЯНИЯ В ЗАДАЧАХ БАЛАНСНОЙ КОМПОНОВКИ

Строятся классы псевдонормализованных pAi-функций и псевдонормализованных ква-зи-рА/-функций для моделирования ограничений на размещение 3D объектов в задачах балансной компоновки с учетом минимально и максимально допустимых расстояний. В качестве размещаемых объектов рассматриваются цилиндры, шары, торы, сфероцилинд-ры, прямые призмы, а в качестве контейнера - прямой круговой цилиндр, параболоид вращения или усеченный круговой конус. Объекты размещаются на круговых стеллажах контейнера. Строится математическая модель в виде задачи математического программирования. Приводится пример решения тестовой задачи балансной компоновки с использованием построенных pAi-функций и квази-рА/-функций.

Введение

Задача балансной компоновки (Balance Layout Problems, BLP) принадлежит классу NP-сложных комбинаторных задач размещения (Cutting and Packing Problems, C&P) [1]. Суть ее состоит в поиске оптимального размещения заданного набора 3Б-объектов в некоторой ограниченной области с учетом ограничений поведения (behavior constraints) [2], обеспечивающих равновесие и устойчивость рассматриваемой системы.

Особый интерес представляют задачи класса BLP в области ракетно-космического машиностроения. Данной тематике посвящен ряд публикаций [2-4], однако объекты и область размещения, как правило, аппроксимируются цилиндрами и параллелепипедами. К тому же для решения задач класса BLP чаще всего используются различные эвристические и мета-эвристические алгоритмы, что приводит к потере оптимальных решений.

В данной статье предлагаются средства математического моделирования в виде классов псевдонормализованных pAi-функций и псевдонормализованных квази-рА/-функций для аналитического описания основных ограничений в задачах C&P - ограничения размещения (непересечение объектов, включение объектов в область и их размещение с учетом минимально и максимально допустимых расстояний). Метод pAi-функций позволяет строить точные математические модели задач BLP в виде задач нелинейного программирования и использовать для их решения методы негладкой оптимизации и нелинейного программирования.

В пределах данного исследования строятся псевдонормализованные pAi-функции и псевдонормализованные квази-рА/-функции для некоторых видов геометрических форм, являющихся математическими моделями реальных объектов в ракетно-космическом машиностроении. В качестве объектов компоновки (оборудования) рассматриваются цилиндры, шары, торы, сфероцилиндры, прямые призмы, а в качестве контейнера (корпуса космического аппарата) - цилиндр, параболоид вращения, или усеченный конус, разделенный стеллажами (bearing plates) на отсеки.

1. Постановка задачи

Имеется контейнер Q высоты н, описанный следующим образом: Q = {(x, y, z) е К3 : G(x, y, z) > 0} . Рассматриваются такие виды контейнеров: 1) Q = C , C -прямой круговой цилиндр с основаниями радиуса r , G(x, y, z) = min{-x2 - y 2 + R 2, -z + H, z}; 2) Q = Л, Л - параболоид вращения с основанием радиуса r = 7и , G(x,y,z) = min{-z-x2 -y2 + H,z}; 3) Q = E, E - прямой круговой усеченный конус с радиусами R i и R 2 нижнего и верхнего оснований, соответственно,

G(x,y,z) = тт{^ -Н (д/х2 + у 2 + Rl -R2), -z + Н, z}, R1 > R2 . Контейнер о разделен круговыми слеллажами 8 к, к = 1, 2,..., т +1, на подконтейнеры ок, к = 1, 2,..., т. Пусть ^ - заданное расстояние между стеллажами 8к и 8 к+1, Oxyz - собственная система координат контейнера о, начало О которой находится в центре симметрии нижнего основания 81 контейнера о , Оz - продольная ось симметрии о (рис. 1).

Рис. 1. Виды контейнеров

Множество объектов А = {А;, i е 1п} , 1п = {1, 2,.., п}, включает в себя шары радиуса Г;, ;е II; прямые круговые цилиндры С; радиуса г; и полувысоты Ь;, ; е 12 ; торы Т с метрическими характеристиками (г;, Ь;), где г; - расстояние от центра образующей окружности до оси вращения, Ь; - радиус образующей окружности, ; е 13; сфероцилиндры 8с с метрическими характеристиками (1;, г;, Ь;), где 1; - высота шаровых сегментов, г; - радиус цилиндра, Ь; - полувысота цилиндра, ; е 14; прямые выпуклые призмы К; (параллелепипеды или правильные призмы) с метрическими характеристиками (Ь;, Vп,), где Ь; - полувысота, Vп = (хп, у, 1 = 1,..., si, - вершины многоугольника К;, лежащего в основании К;, si - число вершин многоугольника К;, ; е 15. При этом 11 и 12 и ...и 15 = 1п. Обозначим через О;Х;у^; - собственную систему координат объекта А;, начало О; которой находится в центре симметрии объекта А;; О;Х;, О;у;, О^; - оси симметрии объекта А;, причем О^; ||Оz (рис. 2). Каждый объект А; представляет собой однородное твердое тело массы т;.

Рис. 2. Виды объектов компоновки

Полагаем, что задано разбиение множества a на подмножества Ak = {A¡,iе Ik}, k = 1, 2,..., m, в соответствии с размещением объектов внутри соответствующих подкон-тейнеров Qk, k = 1,2,...,m, I1 UI2 U...UIk U...Im = In • Подмножество объектов Ak разбивается на два подмножества A+ = {Ai, i е I+ } и A- = {Ai, i е I- } , где A+ - подмножество объектов, которые должны быть расположены на стеллаже Sk; A- - подмножество

объектов, которые должны быть расположены под стеллажом Sk+i внутри подконтейне-ра Qk-

Контейнер q с упакованными в нем объектами множества a образует систему Qa ■ Расположение объектов множества a внутри контейнера q определяется в общем виде переменным вектором параметров размещения u¡ = (x¡, y¡, z¡, 6¡) относительно системы координат Oxyz , где (x¡,y¡,z¡) - вектор трансляции объекта A¡, а 6¡ - угол поворота объекта A¡ в плоскости 0;х;у;. Тогда вектор переменных u = (u1, u2,..., un) е К £, £ < 4n , определяет размещение объектов множества a внутри контейнера Q .

Пусть заданы минимально и максимально допустимые расстояния р- и р+ между боковыми поверхностями каждой пары объектов A¡, Aj е Ak, i > j е Ik, а также минимально допустимое расстояние р- между боковой поверхностью объекта A¡ е Ak , i е ik, и

боковой поверхностью подконтейнера qk .

Задача балансной компоновки BLP: разместить объекты множества A на стеллажах Sk, k = 1, 2,..., m, контейнера Q так, чтобы заданная функция цели F(u) достигала своего экстремального значения при учете следующих ограничений: ограничений размещения (непересечение объектов подмножества Ak и их включение в подконтейнер q k с учетом

допустимых расстояний р- , р + , р- ) и ограничений поведения (ограничения равновесия,

статической устойчивости и т.п.).

Учитывая особенности задачи BLP (размещение объектов на стеллажах контейнера, а также непрерывные вращения объектов относительно плоскости Oxy ), для моделирования ограничений размещения используем псевдонормализованные phi-функции [6] и псевдонормализованные квази^^-функции [8] для 2D объектов. Тогда в качестве контейнеров

C , Л , Е рассмотрим круг cz радиуса R? , с* = К2 /int Cz, в качестве объектов Si, C¡,

T, S^i - круг C радиуса r¡, в качестве призмы К¡ - неориентированный выпуклый

многоугольник Ki, заданный вершинами vil = (xii, yü), l = 1,..., Si. Координаты вершин Vil

после поворота Ki на угол 6i и трансляции на вектор (xi, yi) преобразуются так:

х ii = xi + xii cos6i + yil sin6i, y'il = yi -xii sin6i + yil cos6i. При этом координата Zi вектора параметров размещения объекта Ai принимает фиксированные значения

k k

zi =Stl-1 + di для iеI+ и zi =Stl -di для iе I-, где di = hi для C{, T, Ki, di = ri для l=1 l=1

Si и di = hi + li для Sc-l. Тогда Ui = (xi,yi) - вектор переменных для круга Ci и Ui = (xi, yi, 6i) - вектор переменных для многоугольника Ki.

2. Средства математического моделирования

Пусть заданы минимально и максимально допустимые расстояния р- и р+ между

объектами T(u) и T2(u2), т.е. р- <dist( ^,T2) < р+ , где dist(Ti,T2) = t^wT d(tl^2),

d(tj, 12) - евклидово расстояние между точками ti и 12 . Тогда ограничения размещения с учетом допустимых расстояний могут быть описаны с помощью псевдонормализованной phi-функции ф(ui ,u 2).

Как известно [6], непрерывная всюду определенная функция ф-(Ul,u2) (или ф + (Ul,u2))

называется псевдонормализованной phi-функцией для phi-объектов Ti (ui) и T2 (u2), если выполняются следующие условия:

ф- (u1 ,u2) > 0, если dist(T1 ,T2) >р-,

ф - (u1 ,u 2) = 0, если dist(T1 ,T2) = р-,

ф- (u1 ,u2) < 0, если dist(T1 ,T2) <р-,

ф + (u1, u2) > 0, если dist(T1 ,T2) <р+,

ф + (u1, u 2) = 0, если dist(T1 ,T2) = р+ ,

ф + (u1, u2) < 0, если dist(T1 ,T2) >р+ . С помощью псевдонормализованных phi-функций не всегда удается описать размещение объектов с учетом их непрерывных вращений и допустимых расстояний (в частности, ограничения на максимально допустимые расстояния). С этой целью для описания ограничений на минимально и максимально допустимые расстояния используется класс псевдонормализованных квази^Ы-функций.

По определению [8] функция Ф'^,u2 ,u') называется псевдонормализованной ква-зи-phi-функцией для объектов T1 (u1) и T2(u2), если функция mX ф (u1 ,u2,u) являет-

u eM

ся псевдонормализованной phi-функцией для объектов T1 (u1) и T2 (u2). Здесь u' -вектор дополнительных переменных, мd- арифметическое евклидово пространство размерности d.

Аналогично понятиям псевдонормализованных phi-функций будем различать псевдонормализованные квази-^/'-функции Ф'- для моделирования ограничений dist(T1, T2) > р-и псевдонормализованные квази-phi-функции Ф'+ для моделирования ограничений dist(T1 ,T2) <р+ .

Тогда max Ф'- >0 » dist(T1, T2) > р-, max Ф'+ >0 » dist(T1, T2) < р+ . Используя свой-

u 'eU u 'eU

ства квази^-функции [8], имеем Ф'- > 0 ^ dist(T1, T2) > р-, Ф'+ >0 ^ dist(T1, T2) < р+ .

Ограничения размещения для задачи BLP можно сформулировать следующим образом. Условие dist(A;, Aj) >р- , i > j e Ik , может быть описано как Ф- > 0 (ф;- > 0), где

Ф- - псевдонормализованная phi-функция (Ф;- - псевдонормализованная квази-phi-

функция) для объектов A; и A j . Условие dist(A;, Qk*) >р- , Qk* = Md \int Qk, d = 2,3,

формализуется, используя неравенство: Ф- > 0 , где Ф■ - псевдонормализованная phi-

функция для объектов A; и q k*. Условие непересечения объектов A; и A j , i > j e Ik , с

57

учетом максимально допустимого расстояния р + , т.е. dist(A;, Aj) < р+, определяется как

Фj > 0 , где Фij+ - псевдонормализованная квази-^ьфункция для объектов A; и Aj .

Таким образом, ограничения непересечения объектов подмножества Ak с учетом минимально и максимально допустимых расстояний р- и р + можно описать так:

Y1 (u, u') = min{Yjj,(i, j) eSk,k = 1, 2,...,m}> 0 , (1)

u' = (u1i, ui2 , ..., uij , ..., ujk(jk -1)), Y ij e {Ф ij, Ф j , Ф j },

Ek = {(i, j) zi -zj |<hi + hj,i > j e Ik} . Ограничения включения объектов подмножества Ak в подконтейнер qk с учетом минимально допустимых расстояний р- в можно представить как

Y2 (u) = min{cD-, i e Ik, k = 1,.., m} > 0. (2)

Тогда неравенство

Y(u, u') = min{Y1 (u, u'), Y 2 (u)} > 0 (3)

описывает ограничения размещения в задаче BLP.

В частности, с помощью неравенств (1) и (2) можно описать отношения непересечения и включения объектов ^, С;, Т, SCi в подконтейнер qk без учета допустимых расстояний, если положить р- = 0, р + = 0 и р- = 0 .

2.1 Моделирование отношений включения объектов в контейнер для задачи BLP с учетом допустимых расстояний. Условие включения объекта (С{, Т, или §С{) в

подконтейнер qk с учетом минимально допустимого расстояния р- можно описать с помощью псевдонормализованной phi-функции Ф ¡(u;) = Фi(ui) = -x;2 - у;2 + (Rf - г/)2, где Ф; (u;) - phi- функция для объектов С; ©р- и С* .

Условие включения объекта Р; (или Ж;) в подконтейнер qk с учетом минимально допустимого расстояния р- можно описать с помощью псевдонормализованной phi-функции Ф¡(uj) = Ф¡(uj) = min{-(X'ii)2 -(y';1)2 + (Rf)2}, где Ф¡(uj) - phi- функция для объектов

K; и С* ©р- . Здесь Rf и rj - радиусы сечений, соответственно, подконтейнера qk и

объекта А; плоскостью Oxy на уровне z в точке их касания.

2.2 Моделирование отношений непересечения объектов задачи BLP с учетом допустимых расстояний. Условие непересечения объектов A; e{S-l,C-l,Tl,SC:i} и

A j e {^j, ^j, Т ,Scj} , i > j e Ik, с учетом минимально допустимых расстояний р- можно описать с помощью псевдонормализованной phi-функции Ф-(u;,uj) = Ф¡j(u;,uj) = = (Xj - Xi)2 + (yj - У / )2 - (r/+ rj)2 , где Ф ij(u:,Uj) - phi-функция для кругов С; ©р- и С j,

где r' и rj - радиусы сечений, соответственно, объектов А; ©р- и А j плоскостью Oxy на уровне z в точке их касания.

Условия непересечения двух призм Ж; и Жj с учетом минимально допустимих расстояний р- могут быть описаны - с помощью псевдонормализованных квази-^ьфункций для

пары неориентированных выпуклых многоугольников, которая определяется следующим образом (см. [8]):

58

Oij (Ui,Uj,Up)= mm{0K¡P(u¡,Up),0KjP (Uj,Up)}-0.5рij,

Kp

где Ф i (Ui,Up) = min yp(Vil) - phi-функция для объектов Ki и p ,

1<l<s i

K P*

Ф J (Uj,Up) = P(vjl)) - phi-функция для объектов Kj и P* , здесь

P(Up) ={(x,y): yP = a-x + P-y + цР > 0}, up = (6 P, цР), a= cos 6 P , p = sin 6 P .

Условия непересечения объектов Ai е {Si, Ci, Ti, Sc¡} и призмы Kj с учетом минимально допустимих расстояний р- могут быть описаны с помощью псевдонормализованных квази-phi-функций для круга Ci и неориентированного многоугольника K j вида

<t>ij"(Ui,Uj,Up) = Oíj(Ui,Uj,Up) , где Фij(u¡, Uj, uP) = min{0KP(Uj, uP), OC©p(u¡,uP)} -квази^-функция для объектов C® = C¡ ©р- и Kj, фKP(uj,Up) = m™ yp(V'jl) - phi-

функция для объектов Kj и p , фCP (u¡,up) = -yp(u¡)-rj - phi-функция для объектов C®

и p*, r¡ - радиус сечения объекта A¡ ©р- и Kj плоскостью Oxy на уровне z в точке их касания, P(up) ={(x, y): yP = a-x + P-y + |aP > 0}, uP = (6P, цP), a = cos 6P , p = sin6P .

Пусть f¡ (x, y) и f j (x, y) - функции, описывающие границы объектов Az, Az с К2 , i ф j, i, j е Ik, соответственно, а p¡ = (xp¡, yp¡) е к2 , pj = (xpj, ypj) е К2 - пара произвольных

точек, таких что f¡(p¡) > 0 (f j (pj) > 0), если p¡ е A¡z (p j е Az), и f¡(p¡) < 0 (f j (pj) < 0) - в противном случае.

Условие непересечения объектов Az и Az , i > j е Ik, с учетом максимально допустимого расстояния р + можно описать с помощью псевдонормализованной квази^^-функции

вида Ф' + (u¡, uj, u' = (p¡, pj)) = min^ +)2 -dist2 (p¡, pj), f¡(p¡), fj(pj)Ь где

2 2 2 dist (p¡,pj) = (xpj - xp¡) + (ypj - yp¡) , а функции f¡ (p¡), f j (pj) определяются следующим

образом:

для az = C¡, Az = Cj:

f¡(p¡) = -(xp¡ -x¡)2 -(yp¡ -y¡)2 + (r¡')2 , (4)

fj(pj) = -(xpj -xj)2 -(ypj-yj)2 + (rj)2 ,

где r¡ и rj - радиусы сечений, соответственно, объектов A¡ и А j плоскостью Oxy на уровне z их точки касания;

для Az = K¡, A;? = Kj:

f¡(p¡) = min{x¡l(p¡), l = 1,..., s¡}, X¡l(p¡) = A¡l(xp¡)-B¡l(yp¡) + C¡l,

Ail = y ¡(l+1) - y il , B¡l = X ¡(l+1) - X ¡l , C¡l = y ¡l •x i(l+1) - y ¡(l+1) •x il,

fj (pj) = min{xjl(pj),l = 1,...,sj}, (5)

х'лФр = - В^)+С'л,

А^! = у'](1+1} - уХр В]1 = х'](1+1) - х']1, Сц = у' • х' ](1+1) - у' ](1+1) • х' где хп = 0 (X '1 = 0) - прямые, проходящие через вершины и ^'¡(1+1) (V' ]1 и V' ^ь^)) многоугольника К; (Кj), 1 = 1, 2,...^ (1 = 1,2,...,sj), 1 ф j е 1П ;

для А? = С;, А? = Кj: функции ^ (р;) и f j (рj) определены в (4) и (5).

3. Математическая модель

Математическую модель задачи балансной компоновки можно представить так:

т1п F(u) (6)

uеW ' ^

W = {(и, и' ) е К ° : У(и,и ' ) > 0, ц(и) > 0, С > 0}, (7)

где (и, и ') - вектор переменных задачи, У(и, и ') > 0 - ограничения размещения, ц(и) > 0 -ограничения поведения системы Оа , С > 0 - система дополнительных ограничений на метрические характеристики и/или параметры размещения контейнера и объектов. Функция размещения У (и, и' ) имеет вид (3). Заметим, что наиболее часто встречающиеся в литературе функции цели: размер контейнера о ; отклонение центра масс системы ОА от заданной точки; моменты инерции системы О а (см., например, [2-5]).

4. Тестовая задача

Рассмотрим задачу балансной компоновки в следующей постановке: разместить набор объектов множества а на стеллаже контейнера о = Е так, чтобы отклонение центра масс

(х8,у8,?8) системы О а от центра масс (х0,У0,?0) контейнера о было минимальным и выполнялись ограничения размещения У (и, и ' ) > 0 объектов с учетом минимально и максимально допустимых расстояний р- и р + .

Математическая модель задачи имеет вид (6)-(7), где

F(u) = (х8(и)-Х0)2 + (у8(и)-у0)2 + -?0)2,

1 п 1 П 1 П п

х«(и) =ТГ- 2 т1х1 , у8(и) = —• 2 т;у; , = —• 2 = coПst, М = 2т; . М ;=1 М ;=1 М ;=1 1=1

Область допустимых решений вида (7) описывается с помощью псевдонормализованных рй/-функций и псевдонормализованных квази-рй/-функций, приведеных в этой статье. Исходные данные для тестовой задачи определены ниже.

Пусть А = {§1,§2,С3,С4,Т5,Т6,БС1,БС8,Ж9,Ж10} , п = 10, т = 2, Н = 0.6, R1 = 0.5,

R3 = 0.3, t1 = 0.3, А-= {§1,С3,Т5,§С7 ,Ж9} , А + = {§2,С4,Т6,§С8,Ж10} , р-= 0.03,

1 < j е 1п, р +9 = 0.1, р +6 = 0.08, (х0,у0,?0) = (0,0,0.275), {?;,1е 1п }={0.19, 0.4, 0.19, 0.41, 0.24, 0.35, 0.19, 0.39, 0.18, 0.42}, {т;,1е 1П }={27.8764, 20.944, 34.5575, 16.9332, 28.4245, 22.2066, 17.2159, 19.2265, 38.4, 19.9532}, г1 = 0.11, г2 = 0.1, г3 = 0.1, hз = 0.11, г4 = 0.07, h4 = 0.11, г5 = 0.08, h5 = 0.06 , г6 = 0.09, ^ = 0.05 , г7 = 0.08, ^ = 0.05 , 17 = 0.06 , г8 = 0.09, h8 = 0.06, 18 = 0.03, h9 = 0.12, ^91 = (0.08,0.1), У92 = (0.08, -0.1), У93 = (-0.08, -0.1), У94 = (-0.08,0.1), = 0.12, ^(10)1 = (0.04,0.07), У(ю)2 = (0.08,0), У(10)3 = (0.04, -0.07), У(10)4 = (-0.04, -0.07), ^(10)5 = (-0.08,0), ^(10)6 = (-0.04,0.07).

-0.5

G.5

а б в

Рис. 3. Локально-оптимальное размещение объектов для тестовой задачи: а - система QA ; б -

проекция подмножества объектов A- на стеллаж S2 снизу; в - проекция подмножества объектов

A+ на стеллаж S2 сверху

Локально-оптимальное решение задачи найдено с помощью программы, реализованной в CAS Mathematica 9 (рис. 3). Точка локального минимума: (u*, u'*), где:

u* = (x* ,y* x44,y4t,xi5,yf5,xi6,y65,x77,y77,x88,y8i,x<9,y<9,e9,x:i0,y:L0,e*0),

'* _ /П* * A* * A* *

u = (wP1 aP1 °P2' aP2' °P3' aP3' 6p4,a P4,6p5, ap5,8p6,ap6, 6p7,a p7,6p8,ap8, xp2, yp2, xp3, yp3, xp6, yp6, xp9, yp9) .

Значение функции цели: F(u*,u'*) = 1.12726х10-6. Время решения задачи около 10 секунд.

Выводы

Определены псевдонормализованные phi-функции и псевдонормализованные квази-phi-функции в качестве средств математического моделирования ограничений размещения в 3D задачах балансной компоновки с учетом минимально- и максимально допустимых расстояний. Предложенные функции позволяют строить математические модели задач балансной компоновки в виде задач нелинейного программирования.

Список литературы: 1. Chazelle B., EdelsbrunnerH., Guibas L.J. The complexity of cutting complexes // Discrete & Computational Geometry. 1989. Vol. 4, № 2. P. 139-181. 2. Che C., Wang Y., TengH. Test problems for quasi-satellite packing: Cylinders packing with behavior constraints and all the optimal solutions known/ / Optimization Online (2008). http://www.optimization-online.org/DB_HTML/2008/09/2093.html 3. Modeling and Optimization in Space Engineering. Series: Springer Optimization and Its Applications / G. Fasano, J.D. Pinte'r (Eds.), XII. New York: Publisher Springer New York. Vol. 73. 404 p. 4. Sun Z., TengH. Optimal layout design of a satellite module// Engineering optimization. 2003. Vol. 35, № 5. P. 513-530. 5. Stoyan Yu., Romanova T. Mathematical Models of Placement Optimization: Two- and Three-Dimensional Problems and Applications // Modeling and optimization in space engineering. Series: Springer optimization and its applications / Fasano G, Pinte'r J.D. (Eds.), XII. 2013. Vol. 73. P. 363-388. 6. Chernov N., Stoyan Yu., Romanova T. Mathematical model and efficient algorithms for object packing problem // Computational Geometry: Theory and Applications. 2010. Vol. 43, № 5. P. 533-553. 7. ChernovN., Stoyan Yu., Romanova T., Pankratov A. Phi-functions for 2D objects formed by line segments and circular arcs // Advances in Operations Research. Vol. 2012. Article ID 346358. DOI:10.1155/2012/346358. 8. СтоянЮ.Г., Панкратов А.В., Романова Т.Е., Чернов Н.И. Квази-£Л/'-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов // Доповда Национально! академи наук Украгни. 2014. № 9. С. 53-57. 9. Стоян Ю.Г., Панкратов А.В., Романова Т.Е. Математическое моделирование ограничений на допустимые расстояния между геометрическими объектами // Кибернетика и системный анализ. 2012. T. 48, № 3, C. 12-17.

Поступила в редколлегию 11.12.2014 Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, професор, ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: исследование операций, математическое моделирование, геометрическое проектирование. Адрес: Украина, 61084, Харьков, ул. Новгородская, 6а, кв. 31, тел.: 057 7013477. Коваленко Анна Андреевна, аспирантка Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: исследование операций, математическое моделирование, геометрическое проектирование. Адрес: Украина, 61013, Харьков, ул. Матюшенко, 3а, кв. 43, тел.: 098 0005125.

УДК 519.715

В.В. ДОВГАЛЬ

СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА ПО СОВОКУПНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК

Рассматриваются методы многокритериального сравнения систем автоматизации производства, представленных множеством показателей качества. Предлагается аналитическая процедура поиска перспективных технических решений для выбора оптимального варианта построения системы автоматизации.

1. Введение

Обновить производственные мощности предприятия можно осуществить путем приобретения современного оборудования либо путем модернизации существующего. Современное технологическое оборудование содержит встроенные системы автоматизации (ВСА), позволяющие повысить его производительность и существенно улучшить качество выпускаемой продукции.

Снижения затрат на обновление производства можно достигнуть путем предварительной оценки эффективности различных вариантов его обновления в целях выбора оптимального решения. При этом используются следующие показатели эффективности ВСА: затраты на приобретение; продолжительность работ по демонтажу существующей и монтажу новой ВСА; стоимость монтажных и пуско-наладочных работ; площади для размещения ВСА; затраты на техническое обслуживание и ремонт; потребляемая мощность; гарантийный срок эксплуатации; наработка на отказ; среднее время восстановления; диапазон рабочих температур; увеличение выхода конечной продукции из одного и того же количества сырья; требуемое количество технологического персонала; производительность оборудования; прибыль на единицу материальных затрат; уровень снижения загрязнений воздушной среды при использовании нового оборудования и др.

Таким образом, при сопоставлении различных вариантов построения ВСА необходимо использовать многокритериальный анализ, который позволяет осуществить выбор наилучшего (оптимального) решения.

2. Существующее положение

Для количественной оценки характеристик сложной системы используется понятие «эффективность» [1,2], под которым понимается степень приспособления системы к выполнению поставленных задач. Количественную оценку эффективности выполняют при помощи критериев, составляемых из показателей эффективности, каждый из которых является характеристикой одного свойства системы.

Всякая сложная система или ее часть характеризуется совокупностью (вектором) показателей эффективности:

... ,km), (1) гДе fkj},: = l,m ~ частные показатели эффективности.

Широко применяются методы оптимизации, основанные на приведении векторной оптимизации к скалярной, например, метод, предложенный в работе [3]. Такие методы предус-