CC BY
17
Список литературы
1. Ларкин Е.В., Котов В.В. Титов С.В. Аппроксимация взвешенной суммы плотностей распределения вероятностным законом // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. 2000. Вып. 3. Ч. 1. С. 389 - 393.
2. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н., Костомаров Д.С. Методика формирования сети Петри-Маркова для моделирования когнитивных технологий // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 303 - 311.
Гришин Константин Анатольевич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
APPROXMA TION OF PLANE COMPOSITION BY LA W OF DISTRIBUTION
K.A. Grishin
Approximation of numerical characteristics obtained as a result of simplifications of elementary Petri-Markov subnets by the method of direct calculation, gamma distribution with the same numerical characteristics is considered. A methodfor finding the minimum value of an error in the presence of constraints is proposed.
Key words: approximation, Petri-Markov subnet, gamma distribution, mathematical expectation, variance.
Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University
УДК 519.217.2
ПЕТРИ-МАРКОВСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ СТРУКТУР ИЗБЫТОЧНЫХ СИСТЕМ
К.А. Гришин
Рассматривается моделирование типовых структур избыточных систем с помощью сетей Петри-Маркова. Представлена Петри-Марковская модель взаимодействия элементов в избыточной отказоустойчивой структуре, а также вероятность выполнения логических условий в дизъюнктивной нормальной форме.
Ключевые слова: избыточная система, сеть Петри-Маркова, дизъюнктивная нормальная форма, плотность распределения.
Рассмотрим избыточную структуру при которой к одному источнику (информации, сигнала, электроэнергии и т.п.) и одной нагрузке подключаются К однотипных элементов:
70
О'= {Б',2'} з О, (1)
При начале эксплуатации системы все элементы вводятся в эксплуатацию одновременно. Отказавший элемент остается в структуре системы в том смысле, что физические связи отказавшего элемента с другими элементами, а также с источником и нагрузкой не нарушаются. При этом система рассчитывается таким образом, чтобы режим функционирования резервируемых элементов был близок к режиму без резервирования, а наличие резервируемых структур не приводило к нарушению работоспособности.
На рис. 1 применены следующие обозначения: ¡5 - источник (энергии, сигнала), обеспечивающий воздействие на резервируемый элемент; а - резервируемый элемент; {а1,..., ак,..., ак}- множество элементов, резервирующих элемент а; е- нагрузка на элемент а. Стрелками на ориентированных графах указаны: (¡,а) - связь, обеспечивающая воздействие на элемент а со стороны источника 5; (е,а)- связь, обеспечивающая воздействие на элемент а со стороны нагрузки е; {(¡,аД ...,(5,ак), . ,(5,ак)}-множество связей, обеспечивающих воздействие на элементы {а1,..., а к,.., а К } со стороны источника ¡; {(е, аД ...,(е, а к),..., (е, а к )}-множество связей, обеспечивающих воздействие на дублирующие элементы со стороны нагрузки.
Рис. 1. Исходная система без резервирования (а) и с резервированием (б)
Вследствие того, что воздействие на элементы {а,...,ап,...,а} начинает осуществляться одновременно, Петри-Марковская модель будет иметь вид, приведенный на рис. 2.
Структура сети Петри-Маркова, изображенной на рис. 2, имеет вид:
(1 р
{сь^ ск СК } {1Ъ 12 }
П =
°1
°
°
(2)
к
где Ск - подсеть П , упрощенная до единственной позиции, моделирующая деградационно-восстановительный процесс в к-м элементе, 1 £ к £ К; 21 -
71
а
переход, моделирующии начало эксплуатации системы; ¿2 - переход, моделирующий смену состояний системы после отказа одного из элементов.
Рис. 2. Петри-Марковская модель взаимодействия элементов в избыточной отказоустойчивой структуре
Плотность распределения времени задержки переключения из перехода в переход ¿2 через позицию ск определяется зависимостью:
% (х)
/к (х ) = ■
Рк
(3)
Обозначим факт переключения из позиции ск в переход ¿2 булевой переменной Ок = (ск, ¿2). Будем считать, что условие работоспособности системы в результате отказов групп элементов представлено в дизъюнктивной нормальной форме:
N
Л = V
(к ^
ЛЛ п (ок )
у
(3)
п=1ч к
N К
где V - групповая дизъюнкция; л - групповая конъюнкция; Лп (ок) - ло-
п=1 к
гическая функция п-й элементарной конъюнкции от к-й булевой переменной; N = 2К;
, ч Го"к, если полушаг С, ¿2) должен быть сделан;
Лп (ок ) = О ( ) Я (4)
[ок, если полушаг ,¿2)не должен быть сделан;
где о к - логическая операция отрицания.
Вследствие того, что выполнение полушагов из позиции с к в переход производится в течение случайного времени, определяемого
плотностью /к (х), вероятность выполнения и невыполнения полушага Ок в течение времени X определяются по зависимостям:
Р(Ок\т< х) = Рк (х )= | /к (т)ат;
0
P(Sk\т> ^ = 1 - Fk ^), (6)
где Fk () - функция распределения, соответствующая плотности fk (/).
Вследствие того, что все события выполнения полушагов из позиций с1,..., Сk,..., cк являются независимыми, вероятности того, что будет выполнено условие п-й элементарной конъюнкции, определяется зависимостью:
Pn ($ )=П [ fk (*)], (7)
k=1
* и иъ I^ (*), если Лп (Pk)=sk; ^п т V)]=\[Л г л)] Л / ) ^ (8)
1[1 - ^ V )] если Лп (аk )=sk.
Вследствие того, что все возможные комбинации выполнения и невыполнения шагов sn являются несовместными событиями, вероятности различных комбинаций независимы, и в общем случае вероятность выполнения логических условий, представленных в дизъюнктивной нормальной форме (3), определяется выражением:
N K
P(t) = I П^п [fk (t)]. (9)
n k=1
Таким образом, (9) представляет собой изменение вероятности перехода системы, изображенной на рис. 2, в неработоспособное состояние.
Список литературы
1. Котов В.В., Котова Н.А., Ларкин Е.В. Метод имитационного моделирования систем с использованием сетей Петри-Маркова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 9. С. 164 - 170.
2. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н., Костомаров Д.С. Методика формирования сети Петри-Маркова для моделирования когнитивных технологий // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 303 - 311.
Гришин Константин Анатольевич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
PETRI-MARKOV MODELING OF TYPICAL STRUCTURES OF EXCESS SYSTEMS
K.A. Grishin
Modeling of typical structures of redundant systems using Petri-Markov nets is considered. A Petri-Markov model of the interaction of elements in an excessive fault-tolerant structure is presented. The probability of the fulfillment of logical conditions in a disjunctive normal form is presented.
Key words: redundant system, Petri-Markov net, disjunctive normal form, distribution density.
Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University
УДК 519.8
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РОЯ ЧАСТИЦ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ В БОРТОВЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ ПО КРИТЕРИЮ РАВНОМЕРНОЙ ЗАГРУЗКИ
О.В. Есиков, С.М. Цыбин, А.И. Чернышков
Формализованы задачи оптимизации распределения программных модулей в системе вычислительных средств бортовых информационных и управляющих систем по критерию равномерной загрузки. Предложена реализация метода роя частиц для решения разработанных математических моделей. Выполнена экспериментальная оценка эффективности применения метода роя частиц для формализованных задач.
Ключевые слова: бортовые информационные и управляющие системы, информационно-вычислительный процесс, дискретная оптимизация.
Современные бортовые информационные и управляющие системы (БИУС) представляют собой сложные программно-аппаратные комплексы, построенные на единой технологической базе и предназначенные для решения широкого круга задач [1]. При этом они строятся по модульному принципу, где каждый модуль представляет собой вычислительное средство, имеющее средства сопряжения в единую БИУС.
Каждый вычислительный модуль может быть задействован как для решения фиксированного узкого круга задач, так и совокупности задач формируемой динамически в зависимости от текущей ситуации.
В первом случае каждый вычислительный модуль решает свои функциональные задачи, а информационный обмен основан на обмене данными. Данный вариант обеспечивает наибольшую простоту построения вычислительного процесса. Во втором случае перечень решаемых каждым вычислительным модулем задач может с течением времени изменяться. Данный вариант обеспечивает более гибкое управление вычислительным процессом и повышает живучесть БИУС в экстремальных условиях функционирования. Однако данный вариант требует затраты вычислительных ресурсов на решение дополнительных задач планирования построения
74
