Аппроксимация композиции плоскостей законом распределения Текст научной статьи по специальности «Физика»

The article formulates the problem of joint visualization of radar and television images in combined vision systems. The description of the algorithm that carries out the projec-tive transformation of the radar image to the television for the purpose of their subsequent visualization is given.

Key words: technical vision system, radar image, television image.

Gravshin Evgeny Borisovich, deputy director, graffEu@,mail. ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Instrument Making Enterprise,

Efimov Aleksey Igorevich, candidate of technical sciences, docent, lexie 62rus@,mail. ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,

Loginov Aleksander Anatolievich, candidate of technical sciences, docent, loginal@,mail. ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,

Nikiforov Michail Borisovich, candidate of technical sciences, docent, nikiforov.m. baevm.rsreu, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,

Novikov Anatoly Ivanovich, candidate of economy sciences, docent, [email protected], Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University

УДК 519.217.2

АППРОКСИМАЦИЯ КОМПОЗИЦИИ ПЛОСКОСТЕЙ ЗАКОНОМ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

К.А. Гришин

Рассматривается аппроксимация числовых характеристик, полученных в результате упрощений элементарных подсетей Петри-Маркова методом прямого расчета, гамма-распределением с теми же числовыми характеристиками. Представлен метод поиска минимального значения ошибки при наличии ограничений.

Ключевые слова: аппроксимация, подсеть Петри-Маркова, гамма-распределение, математическое ожидание, дисперсия.

Структура плотности распределения времени достижения одних состояний элементарный подсетей Петри-Маркова (ЭППМ) из других состояний имеет вид взвешенной суммы законов распределения, и в общем случае определяется выражением:

/ Ь) = Ър^} Ч), (1)

}=1

где Р} - вероятность наступления }-го события; /} ) - функция плотности

распределения до наступления }-го события; J - общее количество событий.

Использование выражений вида (1) при моделировании неудобно, поэтому целесообразно аппроксимировать плотность распределения /(г) некоторым законом ф(г, а1, а 2,..., а п), который может быть в дальнейшем достаточно просто использован для анализа.

В общем случае ошибка аппроксимации определяется выражением:

е= | (/ (г )-ф(г, а1, а 2, к, а п ))2 йг. о

(2)

Выражение (2) является мерой близости аппроксимирующего закона и плотности, формируемой композицией (1).

Кроме того, для аппроксимирующего закона должны выполняться ограничения:

¥ ^ ¥ I г Е Р]/] (гй = I гф(г, а1, к, ап )йг;

о ]=1 о

¥ ^ ¥

Iг2 Е Р]/](г№ = |г2ф(г,а1,...,ап)йг; о ]=1 о

(3)

| ф(г, а1, к, ап )йг = 1.

о

Поиск минимального значения ошибки (2) при наличии ограничений (3) может быть осуществлен методом неопределенных множителей Лагранжа. Однако задача может быть существенно упрощена.

Рассмотрим ЭППМ, приведенную на рисунке со структурой:

П =

(а), Z2,zз}, (о, 1,1),

1

(4)

оо

оо

ЭППМ с циклом

Плотность распределения времени пребывания в позиции а определяется вырожденным законом 5(г - Т). Переход является стартовым и моделирует начало процесса. Переход является примитивным, а переход

68

- конечным переходом. Анализ ЭППМ показывает, события попадания фишки в переход 13 могут происходить через интервалы Т, 2Т, 3Т, ... (шкала равномерная). Вероятности этих событий определяются значениями, соответственно (1 -р), (1 -р)р, (1 -р)р , ... (шкала экспоненциальная). Для аппроксимации подобной композиции вероятностей целесообразно применять закон, который имеет максимум, близкий к началу координат и убывает по экспоненте. Таковым законом является гамма-распределение (Г-распределение), приведенное в таблице. В указанном законе а > 0 - параметр формы; р > 0 - параметр масштаба.

Характеристические функции некоторых плотностей распределения

Распределение Плотность распределения Характеристическая функция

^-распределение < 3a ; . ta 1 exp( /), если t > 0; Г (a,b) 0, если t < 0; a > 0, /3 > 0. ¥ G(a,/) = f ta-1exp(-/t )dt 0 í • Va 1 lS l

При целочисленном a Г-распределение преобразуется в распределение Эрланга:

0 при t < 0,

a-1 (/t )k (5)

1 - I ^ exp(-/t) при t > 0; ( )

k=0 k!

F (t) =

f (t) =

0 при t < 0,

3(/t)

a-1

exp(-/t) при t > 0.

(6)

(а-1)!

Из выражений для математического ожидания и дисперсии аппроксимирующего Г-распределения следует, что его параметры могут быть найдены по математическим ожиданиям и дисперсии аппроксимируемой плотности согласно следующим зависимостям:

,2

, (7)

о T Г / = —; a = — D D

где Ти В - математическое ожидание и дисперсия композиции (1).

Таким образом, в данной статье было рассмотрено аппроксимирование числовых характеристик, полученные в результате упрощений ЭППМ методом прямого расчета, Г-распределением с теми же числовыми характеристиками.

Список литературы

1. Ларкин Е.В., Котов В.В. Титов С.В. Аппроксимация взвешенной суммы плотностей распределения вероятностным законом // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. 2000. Вып. 3. Ч. 1. С. 389 - 393.

2. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н., Костомаров Д.С. Методика формирования сети Петри-Маркова для моделирования когнитивных технологий // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 303 - 311.

Гришин Константин Анатольевич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

APPROXMA TION OF PLANE COMPOSITION BY LA W OF DISTRIBUTION

K.A. Grishin

Approximation of numerical characteristics obtained as a result of simplifications of elementary Petri-Markov subnets by the method of direct calculation, gamma distribution with the same numerical characteristics is considered. A methodfor finding the minimum value of an error in the presence of constraints is proposed.

Key words: approximation, Petri-Markov subnet, gamma distribution, mathematical expectation, variance.

Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University

УДК 519.217.2

ПЕТРИ-МАРКОВСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ СТРУКТУР ИЗБЫТОЧНЫХ СИСТЕМ

К.А. Гришин

Рассматривается моделирование типовых структур избыточных систем с помощью сетей Петри-Маркова. Представлена Петри-Марковская модель взаимодействия элементов в избыточной отказоустойчивой структуре, а также вероятность выполнения логических условий в дизъюнктивной нормальной форме.

Ключевые слова: избыточная система, сеть Петри-Маркова, дизъюнктивная нормальная форма, плотность распределения.

Рассмотрим избыточную структуру при которой к одному источнику (информации, сигнала, электроэнергии и т.п.) и одной нагрузке подключаются К однотипных элементов:

70