CC BY
44
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 3. С. 312-322.
УДК 517.95
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБОБЩЁННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
0. Х. Масаева
Институт прикладной математики и автоматизации
Кабардино-Балкарского научного центра РАН (ИПМА КБНЦ РАН), Нальчик, Россия [email protected]
Исследована задача Дирихле для обобщённого уравнения Лапласа с дробной производной Римана — Лиувилля по одной из двух независимых переменных в верхней полуплоскости. Методом интегрального преобразования с функцией Райта в ядре доказано существование решения, а методом abc доказана теорема единственности решения исследуемой задачи.
Ключевые слова: дробная производная Римана — Лиувилля, функция Райта, обобщенное уравнение Лапласа с дробной производной, задача Дирихле.
1. Постановка задачи
В области П = {(x,y) : — œ < x < œ, 0 < y < œ} рассмотрим уравнение
д2
—м(ж, y) + D^y D0;y м(ж, y) = ° (1)
где 0 < a < 1, Dgy — оператор дробного дифференцирования Римана — Лиувилля порядка a [1, c. 9]: Dgyu = JyD^u,
y
D0ay-1« = — y (y — t)-a u(x,t)dt. 0
Регулярным решением уравнения (1) в области П назовём функцию u = u(x,y), такую, что y1-au G C(П), uxx, DayDayu G C(П), удовлетворяющую уравнению (1).
Сформулируем задачу Дирихле для уравнения (1): найти в области П регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
lim D0a-1u(x,y) = т (x), —œ <x< œ, (2)
где т(x) — заданная непрерывная функция на всей действительной оси.
В работе [2] исследована задача Дирихле для обобщённого уравнения Лапласа с дробной производной Капуто. В работе [3] установлена единственность решения задачи Дирихле для уравнения
D0ax-1ux + De-1uy + c(x, y)u = 0, 1 < a, ß < 2,
в ограниченной области D, лежащей в первом квадранте, которая вместе с любой точкой (x, y) G D содержит интервалы с концами в точках (x, y), (x, 0) и (x, y), (0, y).
В работе [4] получен аналог интеграла Шварца для полуплоскости в случае системы Коши — Римана дробного порядка. Краевые задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка, переходящего при целых значениях порядка дробных производных в трёхмерное уравнение Лапласа, исследованы в работе [5]. В работе [6] для уравнения с оператором Капуто
д 2
—и(х, у) + д0уд0уи(х, у) - с2и(х, у) = 0, с е М,
исследованы краевые задачи в ограниченной области и полуполосе.
В настоящей работе методом интегрального преобразования с функцией Райта в ядре получено представление решения задачи Дирихле (2) для уравнения (1) в верхней полуплоскости. Установлена единственность решения исследуемой задачи.
2. Предварительные сведения
Интегральные преобразования с функцией Райта в ядре определяются с помощью формул
те
г
Aß'^v(x) = 1 J v(t)^-ß, ß, dt, 0
те
x
Bß'ßv(x) = v(t)t^-V (-ß,ß, -^ß) dt,
0
те
где 0 < ß < 1, ф(р, 5, z) = nirpn+s) ~ функция Райта [7; 8], v(x) — функция,
n=0
заданная на положительной полуоси.
Пусть функция v(x) непрерывна в нуле и дифференцируема при x > 0. Тогда
D0ixAa'ßv(x) = Aa'ßv'(x) + v(0) —-. (3)
r(ß)
Если 0 < ß < а и lim D—X?/av = v0, то
lim D0X-1Aa'Mv(x) = v0. (4)
x^0
Справедлива формула
те те
J u(x)Aß,ßv(x)dx = J v(x)Bß'ßu(x)dx. (5)
00 Пусть v > 0, если ß = 0, и v > — 1, v = 0, если ß = 0. Тогда
„V—1 _ „,.ßv+д—1
r(v) r(ßv + ß)
Пусть v < -5, 5 = 0. Тогда
Aß'ßxv—1 = xßvГ) ч. (6)
Б^х^ = х^)/вГ(-(^ + у)/в). (7)
Доказательство и более подробное изложение этих соотношений можно найти в монографии [9].
3. Общее представление решения
Теорема 1. Пусть т(x) — ограниченная на R функция. Тогда функция u(x,y), определённая по формуле
оо
u(x,y) = Ij т (e)G(e,x,y)de, (8)
— о
где
те
-2а — 1 0 __/ -2а ¿2 \
G(C,x,y) = (^ _ x)2 J e ,2а ^T^^J (9)
0
о (_ )k
(_z) = r(—k+— функция типа Миттаг-Лёффлера [10], является регуляр-k=0
ным решением задачи (1), (2).
Доказательство. Предположим, что функция v = v(x, y) в верхней полуплоскости П является решением задачи Дирихле
vxx + vyy
v(x, 0) = т(x).
Проведём преобразование Аа,0 по переменной y от обеих частей этого уравнения. Тогда Aa,0vxx = dX2Аа,0v, из свойства (3) следует, что Аа,0vyy = ^ау^ауAa,0v. Из формулы (4) имеем
lim D"-1Аа ,°v = т (x).
у^0 у
Поэтому
u(x,y) = Аа ,0v(x,y). (10)
Учитывая, что функция v(x,y) имеет вид [11]
оо
v(x,y) = - [ (с т^ ,—2С
п J _ x)2 + y2
из формулы (10) получаем
оо
где
Так как
то
G(£,x,y) = А'
,0 y
(£ _ x)2 + y2 (£ _ x)2 ' (£ _ x)
_ x)2 + y2'
о
,2n
y_= y _у_
n=0 ^ '
n
а 2n+1
По формуле (6) получаем Аа'° = ^»++2») • Тогда имеем
Г(2п+2) Г(2ап+2а)'
y2a-1 о / _y2a \n Г(2П + 2)
Г(2ап + 2а) • (11)
Подставим выражение
оо
r(2n+2)=/e-it*'+1dt
°
в ряд (11) и поменяем местами порядки суммирования и интегрирования. Тогда будем иметь
с
с(£,х,у)= в-'У 7-(—) у^,—---¿г.
\<ь, ,у> I ^ (£ - х)2п+2Г(2ап + 2а)
° n=°
Так как (--х)2п+2Г(2ап+2а) = y^zxitЕ2а,2а(_(У-Х)Г), пРихоДим к формуле (9).
(—1)пу2ап + 2а — 1'2п + 1 __(_ Ур^2.
п=0
Делая в формуле (9) замену переменной интегрирования - = -^/з , имеем равенство
с
С(^,х,у) = ^ / в—Е2а,2а(-8^8, X = 'Ц^. (12)
2У ] уа
0
Отсюда вытекает, что при £ = х
с
0(С,х,у) = ^ / Е2а,2а(--)^ = а (13)
2у у
0
После замены переменной в = Л2 в интеграле (12) получим
с
1 Г ( г
G(C,x,y) = -^J e-Vt E2«'2^_dt•
0
Следовательно,
с(е,х,у) = о(, х
Таким образом, для функции С(^,х,у) получаем оценку
у—1с
№х,у)|< у+С, (14)
где С — некоторая положительная постоянная. Отсюда, в частности, вытекает (13). Тогда с помощью оценки (14) заключаем, что
с
, / м Су2а—1[ |т (£ Ш |и(х,у)| < у 1 1 )| С
п J У2а + (ё _ x)2'
Так как sup |т(x)| < K, где K — положительное число, то имеем оценку
-о<х<о
|u(x,y)| < My
а— 1
где М — некоторая постоянная.
Покажем, что функция С(£, х, у) удовлетворяет уравнению (1). Дифференцируя функцию С(£,х,у), внеся в правой части формулы (12) операцию дифференцирования дважды по х под знак интеграла, получим
те
,-2о-1
Схх (£,Х,у) = £20,20 И)^. (15)
0
Так как, согласно асимптотической формуле для функции типа Миттаг-Лёффлера [10, с. 134],
то интеграл (15) сходится при А > 0.
Теперь найдём функцию П0уП0уС(£,х,у). Внеся оператор П0уП0у под знак интеграла в правой части формулы (9), учитывая, что (см. формулу дробного дифференцирования функции типа Миттаг-Лёффлера, например, в монографии [9, с.
15])
у Е2а,а _у Е2ач- ,
(+2,.2а , 2а-1 , +2 „2а ,
^ у \ _ ^ у ттг / ^ у \
- (^Ж _ - Е2а'2а Г (^Ж ;
получим
те
у2а-1 Г / +2у2а ч
0
После замены переменной ^-^г _ 5 окончательно получим
те
-2 -1
По0уПо0у С(ё,Х,у) _ - I Е2а,2а И)^. (16)
2
0
Из формул (15) и (16) видим, что С(£,х,у) удовлетворяет уравнению (1), т. е. Схх(ё,х,у)_ -поупоуС(ё,х,у).
Далее имеем
те
у-2о-1
Схх(ё,х,у) _ ^^ У ,2аИ)^.
0
Заметим, что функция f (г) _ е-гдостигает своего максимального значения в точке г _ следовательно,
те
|Сжж(ё,х,у)| < У-2-/ ¿1-1 |Е2а,2аИ)^.
оо
д-
При любом 0 < ^ < 4 интеграл J t1 2 |Е2а 2а(_t)|dt < то, следовательно,
°
|Gxx(C,x,y)|< ^^, (17)
y2
где C1 — некоторая постоянная. С другой стороны,
оо
,-2а-1
Gxx(i,x,y) = te-Vt Е2а,2а(_ dt,
°
откуда следует, что
,—2а—1
Gxx (£,x,y) = O[y— ), А ^то. (18)
Учитывая оценки (17), (18), можем записать
M1y-2a-1
|Gxx(C,x,y)| <
А^(1 + А4-^)'
где ^ — сколь угодно малое положительное число. Отсюда следует, что
f f |uxx| < y^ f ^ < C2y-a-1 f < M2y-a-,
п J А^ + А4 j + П4
-f °
где M1,M2,C2 — положительные постоянные. Аналогичная оценка справедлива и для функции D°ayD°ayu, определённой по формуле (16).
Учитывая то обстоятельство, что интегралы, полученные при внесении под знак интеграла в правой части (8) операций дифференцирования т^г и D0yD0y, сходятся равномерно вблизи каждой точки (x,y), y > 0, и функция G(£,x,y) при y > 0 удовлетворяет уравнению (1), заключаем, что функция u(x,y), определённая формулой (8), в области П является решением уравнения (1).
Проверим, что условие (2) выполняется для функции u(x,y). Применяя оператор Da-1 к интегралу в правой части формулы (8), имеем
f
lim° D0ay-1u = lim 1 i т(£)D0y-1G(£, x, y)d£, -f
где
f
D°ay-1G(e,x,y) = (f^J e~ttya E2a a+1 (_ (frt^) dt.
°
Пусть e — некоторое фиксированное положительное число, тогда
(x-£ x+£ f \
j + j + / 1 т (e)D0y-1G(e,x,y)de.
-f x-£ x+£ /
Сделав замену £ — x = y0n, имеем
те
пiTc^ = ÍTo(/ + /) Т(Х У"'V e-ítE2-+1(—
—те
те
+ 1¡/ т(Х + Ott — Т(XV e-'tE^+i—М
v^o j n2 J V n2^
0
ya те
1Г ( t2
+ lim 2т(x) / — / e-tt^o,o+i ( —dtdn. (19)
v^o J n2J V n2^
oo
Из (19) следует, что
ya те
2т(Х) [' 1 [' ( t2 \
lim D0L-1M =-lim — e-ttE2o,o+i —2 dtdn.
v^o 0v п v^o / n2 J ' +V n2/
ю-i,. _ w i™ / „-t
J n2J
oo
0 . w i'^za, o+i \ o
п v^o j n2 J V n2
Так как
ya те
J ~2 J e-ttE2a,a+i (——T) dtdn =
oo
£
те те ya
dn J e-nssE2a,a+i(—s2)ds = J sE2a,a+i(—s2) J e-nsdnds o o o o
те
E2a ,a+l( —S2 )(1 — e-^ S)ds,
получаем
o
limD0av-1u = 2т(х) I E2a,a+i(—S2)ds. (20)
v^o П J
o
Сделаем в равенстве (20) замену переменной интегрирования по формуле s = ta:
те те
У E20 ,a+i(—s2)ds = aj ta-1E2a ,a+i(—t2a )dt. oo Так как (см. [9, с. 84])
Aa ,i-a sin t = taE2a ,a+i(—t2a),
то
те те
У E20,a+i(—s2)ds = a y 1ao,i-a sin tdt. oo Применяя к интегралу в правой части формулу (5), получаем
те те
Л Aa'i-a sin tdt = У sin tBa'i-a 1 dt.
oo
По формуле (7) имеем
B« ,1—а1 _ 1
t at'
следовательно,
оо
J E2a,а+1(-s2)ds = J ^dt = 2. (21)
о о
С учётом формул (20), (21) приходим к (2). □
4. Единственность решения
ла
Теорема 2. Пусть ux, y1 aDgLu G C(П), и пусть
lim ux ■ D"—1u = 0, (22)
|x | —
lim D"—1u ■ D^D" u = 0. (23)
y—те y у у
Тогда задача (1), (2) имеет не более одного регулярного решения.
Доказательство. Установим, что при выполнении условий теоремы 2 уравнение (1) в верхней полуплоскости имеет только нулевое решение, если
lim Da—1u(x, y) = 0, -то <x< то. (24)
Пусть a и b — некоторые положительные числа. Рассмотрим интеграл
a b
д 2
Щу 1u ■ Lu dxdy, L = д^ + DyD^.
-a0
Тогда
D0y~1u ■ Lu = (uxD0ay—1u)x - uxD^—1ux + (D^u ■ D^D^u)y - Dgyu ■ DSy—1 D^u, и, следовательно,
a b
/ / DO— 1u ■ Ludxdy =
a0
b a
/{ux(a-y 1u(a-y) - M-a'y)D— 1u(-a-y)}dy+/1 u u|y=b-
0 — a
a b
-Dy-1 uD;— 1D0yu|y=0}dx - J J{uxDa— 1ux + D0ayu ■ D"- 1D^u} dxdy = 0. (25)
a0
Из формулы (25) с учётом условий (22), (23) получаем
a b
lim lim / / {uxD0—" 1ux + D^u ■ DO— 1D0yu}dxdy = 0.
a—те b—те J J y y y y
a0
Отсюда в силу положительности оператора дробного интегрирования [12] получаем их = 0, Щуи = 0. Первое равенство даёт, что и(х,у) = и(у). Из второго
равенства получаем, что и (у) = уа-у. Но
1
lim° D0y- 1u(y) = lim° D0-1 ^ = 1, у у у !(а)
что противоречит условию (24). Следовательно, u = 0 в области П.
□
Список литературы
1. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с.
2. Масаева О. Х. Задача Дирихле для обобщённого уравнения Лапласа с производной Капуто / О. Х. Масаева // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 442446.
3. Масаева, О. Х. Единственность решения задачи Дирихле для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части / О. Х. Масаева // Изв. Кабардино-Балкар. науч. центра РАН. — 2015. — T. (68)-2, № 6. — С. 127-130.
4. Псху, А. B. Аналог формулы Шварца для системы Коши — Римана дробного порядка / А. В. Псху // Современные методы в теории краевых задач : материалы Воронеж. весен. мат. шк. «Понтрягинские чтения — XIII». — Воронеж, 2002. — С. 127.
5. Lopushanska, G. P. Basic boundary value problems for one equation with fractional derivatives / G. P. Lopushanska // Ukrainian Mathematical Journal. — 1999. — Vol. 51, no. 1. — P. 51-65.
6. Turmetov, B. Kh. On solvability of some boundary value problems for a fractional analogue of the Helmholtz equation / B. Kh. Turmetov, B. T. Torebek // New York Journal of Mathematics. — 2014 — Vol. 20. — P. 1237-1251.
7. Wright, E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities / E. M. Wright // Journal of London Mathematical Society. — 1933. — Vol. 8, no. 29. — P. 71-79.
8. Wright, E. M. The generalized Bessel function of order greater than one / E. M. Wright // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1940. — Vol. 11. — P. 36-48.
9. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М. : Наука, 2005. — 199 с.
10. Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян. — М. : Наука, 1966. — 672 с.
11. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. B. Шабат. — М. : Наука, 1987. — 688 с.
12. Нахушев, А. М. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1998. — T. 34, № 1. — C. 101-109.
Поступила в 'редакцию 09.10.2017 После переработки 19.10.2017
Сведения об авторе
Масаева Олеся Хажисмеловна, научный сотрудник отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 3. P. 312-322.
THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE GENERALIZED LAPLACE EQUATION WITH FRACTIONAL DERIVATIVE
O. Kh. Masaeva
Institute of Applied Mathematics and Automation
of Kabardino-Balkar Scientific Center of RAS (IAMA KBSC RAS), Nalchik, Russia [email protected]
In the paper the Dirichlet problem for the generalized Laplace equation with fractional Riemann — Liouville derivative with respect to one of the two independent variables in the upper half-plane is investigated. The representation of the solution is found by the method of integral transformation with the Wright function in the core and the uniqueness theorem for the solution of the problem is proved by the method abc.
Keywords: Riemann — Liouville fractional derivative, Wright function, generalized Laplace equation with fractional derivative, Dirichlet boundary value problem.
References
1. Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i ego primeneniye [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 272 p. (In Russ.).
2. Masaeva O.Kh. Dirichlet problem for the generalized Laplace equation with the Caputo derivative. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 3, pp. 442-446.
3. Masaeva O.Kh. Yedinstvennost' resheniya zadachi Dirikhle dlya uravneniya s frakctal'nym operatorom Laplasa v glavnoy chasti [The uniqueness of solution of the Dirichlet problem for the equation with fractional Laplace operator in the main part]. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN [News of Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS], 2015, vol. 2, no. 6 (68), pp. 127-130. (In Russ.).
4. Pskhu A.V. Analog formuly Shvartsa dlya sistemy Koshi — Rimana drobnogo poryadka [An analogue of the Schwartz formula for the Cauchy — Riemann system of fractional order]. Sovremennye metody v teorii granichnykh zadach [Modern methods in the theory of boundary value problems]: proceedings of the Voronezh Spring Mathematical School «Pontryagin Readings — XIII», Voronezh, 2002. P. 127. (In Russ.).
5. Lopushanska G.P. Basic boundary value problems for one equation with fractional derivatives. Ukrainian Mathematical Journal, 1999, vol. 51, no. 1, pp. 51-65.
6. Turmetov B.Kh., Torebek B.T. On solvability of some boundary value problems for a fractional analogue of the Helmholtz equation. New York Journal of Mathematics, 2014, vol. 20, pp. 1237-1251.
7. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities. Journal of London Mathematical Society, 1933, vol. 8, no. 29, pp. 71-79.
8. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one. The Quarterly Journal of Mathematics, 1940, vol. 11, pp. 36-48.
9. Pskhu, A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka Publ., 2005. 199 p. (In Russ.)
10. Dzhrbashyan M.M. Integral'nye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti [Integral transforms and representations of functions in complex domain]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 672 p. (In Russ.).
11. Lavrent'ev M.A., Shabat B.V. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo [Methods for the theory of functions of a complex variable]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 688 p. (In Russ.).
322
O. X. MacaeBa
12. Nakhushev A.M. On the positivity of continuous and discrete differentiation and integration operators that are very important in fractional calculus and in the theory of equations of mixed type. Differential Equations, 1998, vol. 34, no. 1, pp. 103-112.
Accepted article received 09.10.2017 Corrections received 19.10.2017
