CC BY
8
УДК 534.111 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук; Х.1. Лщинська -
НУ "Львiвська полтехтка"
ПЕР1ОДИЧН1 ATEB-ФУНКЦП У ДОСЛ1ДЖЕНН1 КОЛИВАНЬ СИЛЬНО НЕЛ1Н1ЙНИХ РУХОМИХ СЕРЕДОВИЩ
Запропоновано методику дослщження коливних процесiв однорiдних однови-м1рних нелiнiйно пружних середовищ, якi характеризуются поздовжнiм рухом. В основу дослщжень покладено узагальнення, на основi застосування Ateb-функцiй, методу усереднення на деякi класи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.
Ключов1 слова: нелшшш коливання, динамiчний процес, рiвняння руху, ам-плiтудно-частотна характеристика.
Prof. B.I. Sokil; K.I. Lishchinska - NU "L'vivs'ka Politekhnika"
Periodic Ateb-functions in research of oscillations of strongly nonlinear moving mediums
It is offered a technique of research of oscillatory processes homogeneous unidimensional nonlinearly elastic mediums which are characterized by a longitudinal motion. In a basis of researches generalization on a foundation of use of Ateb-functions, an averaging method on some classes of the differential equations in fractional derivatives is necessary.
Keywords: nonlinear oscillations, dynamic process, the equation of motion, an amplitude-frequency characteristic.
Багато прикладних задач мехашки вимагають вивчення коливних про-цеЫв у середовищах, що рухаються з постшною чи змшною швидкостями (буров1 установки вентиляцшних ствол1в шахт i нафтових промисл1в, трубоп-роводи, якими транспортуеться рiдина, струна або волокно при намотуванш чи технологiчному процес й iн.). Математичними моделями динамiчних про-цесiв у таких системах е диференщальш рiвняння з частинними похщними, якi для свого дослщження не дають змоги застосовувати класичш методи Фур'е чи Д'Аламбера [1]. Тому таю задачi вивченi, певною мiрою, за припу-щенням найпростших фiзико-механiчних властивостей матерiалу середови-ща [2-4]. Проте найпростiшi (лшшш) моделi руху середовищ не можуть дати вщповщь на цiлий ряд практичних i теоретичних питань, яю виникають тд час вивчення реальних динамiчних систем. У зв'язку з цим виникае необхщ-нiсть розгляду бiльш складних, нелiнiйних аналогiв цих систем, що рухаються вздовж свое! ось Нижче, на прикладi поздовжшх коливань рухомого су-цшьного одновимiрного середовища, розглядаеться така модель середовища, пружш властивостi матерiалу якого значною мiрою вiдмiннi вiд лшшного закону. Для отриманого диференщального рiвняння руху середовища (за пев-них обмежень щодо швидкостi його руху), розроблено методику дослщження. В 11 основу покладено щею використання перюдичних Ateb-функцiй [5-8] для побудови розв'язюв звичайних диференцiальних рiвнянь iз степеневою нелiнiйнiстю i узагальнення методу усереднення на нелшшш рiвняння iз частинними похiдними, яю описують рух середовища. Це дае змогу в межах прийнятих припущень дослщити вплив юнематичних i фiзико-механiчних параметрiв на основнi характеристики руху середовища.
Диференщальне рiвняння коливань. Розглянемо поздовжш коливання рухомого одновимiрного середовища на прикладi прямолшшно! однорщно!
с^чки (стрижня, канату, труби й ш.). Вважатимемо, що вона рухаеться вздовж свое! геометрично! оЫ з1 сталою швидьастю V. У
..с!х,.
V
Э 5 + Д5 *
Рис. 1. Схема сил, як дють на елемент рухомо! прямолшшно! стрiчки
Позначимо: и (х, t) - поздовжне перемщення перерiзу з координатою
х у довшьний момент часу t, — = ех - вiдносну деформацiю. Будемо вважа-
дх
ти, що у перерiзах стрiчки виникають лише поздовжш зусилля, якi визнача-
^ ди диЛ . „(ди ди^
емо залежнiстю Б (х, t ) = /
що i функцiя /
, „ . характеризуе
V дх ' дt ) ^ V дх ' дt )
в,язко-пружнi властивостi матерiалу стрiчки. Будемо вважатимемо, що 1х з достатнiм степенем точностi можна апроксимувати залежнiстю
/
ди ди дх' дt
= Е'
дх
+ Л
\ил /
ди ди
дх дt
(1)
де: Е * - "модуль пружностГ' матерiалу стержня; ^о - площа поперечного пе-
рерiзу (стала величина), V + 1 - стала вигляду V +1
2т +1
т, п = 0,1,2,....
2п +1
¡л - малий параметр, який вказуе на незначне вдаилення пружних власти-востей матерiалу вiд степеневого закону. Спираючись на рiвняння кшетоста-тики, умова динамiчноl рiвноваги елементу стрiчки набирае вигляд
й 2и
И2
(рРо )-1
'дБ (х, t)' дх
(2)
де р- маса одиницi довжини матерiалу стрiчки.
З врахуванням того, що стрiчка здiйснюе поздовжнiй рух iз сталою швидкiстю, мають мiсце сшввщношення [9]
А д Тд — = — + V — А дt дх
А2 д:
+ 2V
д2
+ V2
д2
(3)
А2 дt2 дхдt дх2 Останш спiввiдношення дають змогу диференщальне рiвняння руху середовища записати у виглядi
д2 и дt2
+ 2V
д2 и дхдt
+ V:
д^и дх х
= а
'дил vдх )
^ 2
ди
дх2
+л
ди ди д 2и д2и
дх ' дt' дхдt' дх2
(4)
2 (V + 1) * _
де а = ±--±—, а /1
Р0
о
ди ди д2и д2и дх' д?' дхд?' дх2
в1домим чином виражаеться через
функщю /
ди ди
у . Зауважимо, при V = 0 (матер1ал середовища задоволь-
V дх' д?)
няе вимоги квазшншного закону пружност1) задача розглядалась в [10], при V = 0 - в [7, 8].
Методика дослщження. Легко переконатись, що навггь у лшшному випадку (V = 0, ¡л = 0) виникають проблеми 1з побудовою розв'язку отримано-го р1вняння. Тому будемо дослщжувати його як припущення мало! швидкост руху середовища. Це дае змогу р1вняння (4) записати у вигляд1
(5)
-а' (их Уихх (их ,
их , и , их?, ихх
)- 2Vuxt - V
и
В отриманому р1внянш 1 надал1 для бшьш компактного запису вщпо
ди ди д 2и д 2и
в1дних вираз1в уведен! позначення: и{ =
-, их = —, и.. = —- ,
д? х дх я д?2
ихх дх2 '
и=
д2 и дхд?
. 1з прийнятих припущень випливае, що найбшьше значення право!
його частини е значно меншим в1д максимального значення виразу а2 (их )ихх. Це дае змогу при побудов1 розв'язку р1вняння використати голов-ну щею метод1в збурень [11, 12]. Згщно 1з останшми припущеннями, розгля-немо спочатку незбурене р1вняння
ип -а(их У ихх
0.
(6)
Для дослщження р1вняння (6) можна використати метод вщокремлен-ня змшних, згщно 1з яким, як показано в [7, 8], його одночастотш розв'язки виражаються за допомогою перюдичних Л1еЬ-функцш у вигляд1
Щ?) = акХк(х )°аУ +1,1, ®к(а) + . (7)
Треба вщзначити, що функци Хк (х), як визначають форми коливань, залежать вщ способу закршлення середовища (крайових умов для р1вняння (7)). Зокрема, у випадку закршлень стр1чки, як вщповщають крайовим умо-вам
и^ ?)х=0 = u(x, ?)х=1 = 0, (8)
чи
и
( х ? )х=0 = их ( х ? ^х=1 = 0
(9)
вони також виражаються через перюдичш Л1еЬ-функци вщповщно у вигляд1
Хк (х ) =
яа
1
1 кП,
х
яа
' 1' 1 V +1 1
1 (2к + 1)П х
(10)
' V +1
21
х
У + 1
у + 2
Г-1
1 у +1
+
2 у + 2
У сшввщношеннях (7), (10) П х = 4пГ
ук т ¿.у у
од функцш, якi визначають форму коливань, ак,вк - сташ, к = 1,2 власна частота коливань с^чки i вона набирае вигляд
у
швперь
Щ (ак) -
сЩ (ак)
а
яП
Л1_ 2 V а2.
(11)
до того ж, ^ = к для крайових умов (8) i я =
2к +1 2
- для крайових умов (9).
Використовуючи принцип одночастотност коливань у нелшшних системах з багатьма ступенями вшьносп та розподшеними параметрами [12], а також загальну iдею методу Ван-дер-Поля для нелшшних систем, залеж-ностi (7) можна вважати i розв'язком розглядуваних збурених крайових задач. Рiзниця полягае у тому, що у збуреному випадку параметри а i в будуть вже функцiями часу i вони визначаються iз системи диференцiальних рiвнянь
а = яа (1, у +1 у/к )) (^) /Г (х)
сщР '
( + 2)са ( +1,1, Ук )Хк (х )/* (ау, х)
2ащР
а =-
в = е-
(12)
де /1 *(а,У х ) = (-л/(
их> uxt, ихх
) + 2^ + V Чхх)
и=аХк (х)са(у+1,1,у"к), ихх=аХк{х)еа(у+\Хщк)
щ =щк (а ) + в, Р = } Х2к (х )х .
0
Дослщжувати закони змiни ампл^уди параметрiв ак i вк за допомо-гою отримано! системи диференщальних рiвнянь е, взагалi кажучи, також не простою задачею. Щоб спростити И використаемо наступне:
• прав1 частини сп1вв1дношень (11) е перюдичними по ук \ х функциями з
перюдами в1дпов1дно
2Пт { 2П х (П т =4лГ
1
у + 2
Г-1
1
1 +-
2 у + 2
• максимальт !х значения (через прийнят! припущення) е порядку ¡1;
• точтсть системи диференщальних р1внянь першого порядку 1з малими пра-вими частинами не змшиться, якщо у правих !х частинах зробити похибку вищого порядку шж л.
Вказане вище дае змогу для системи рiвнянь (12) застосувати метод усереднення [14], зпдно iз яким вона, для розглядуваного наближення, еквь валентна наступнш
ак = ¡А (ак),
ук = щ(ак ) + лБ (ак )-
Щ
(ак)
V2
(13)
-1
2П1
де А (а) = | \Хк (х)) (оЛсо(+Ц щ),..., оХра^+ХХ Щ ))) ^+1, щ ))щ
Ъгш 0 0
У + 2 2П<1
в(ак)=---¡^Т— I \хк(х)/(окХкСа(у+ХХщ),-,аХкра(у+ХХщ))са(+Цщ))щ 41 \тРак® 0 0
Ь =
sп v + 4 И У + 2
Г2
У +1
у + 2
Г
-1
1
у + 2
л (3 Г-1 3
у
V
+
2 у + 2 у
Таким чином, як показують останнi формули, у першому наближеннi швидкiсть руху середовища впливае тiльки на частоту його власних коли-вань, причому iз збiльшенням швидкостi руху середовища - власна частота коливань зменшуеться. Вказане явище особливо актуальне при дослщженш резонансних явищ у вказаного типу одновимiрних систем.
Як приклад, розглянемо поздовжш коливання рухомого стрижня, ма-терiал якого задовольняе iстотно вимогам нелшшного закону пружностi
а = Е*бух +1 + Ебх, (14)
де Е - стала.
За припущенням Е*^1 >>Еех i крайових умов, якi узгоджуються iз (8), отримуемо: амплiтуда коливань стрижня залишаеться сталою (система консервативна), що стосуеться частоти власних коливань, то вона залежить вiд амплiтуди коливань та швидкост руху стрижня i визначаеться залежнiстю
^,(15)
(3v+4)(+1) 4Пг (v+1 1 Г ( 1 1 Г ( з 1
а1 Vv+2 у Vv+2 у Vv+2 У
со(ак) ¡2(+2) Г[ 1 +^±1|Г|1+.
-у
1
V
2 у+2
Г
V
1 _
2 + у+2
л
(ак)
№
у
2 у+2, де а1 = Е/р¥.
Нижче на графжу (рис. 2) показано залежност частоти власних коливань вщ швидкостi при рiзних значеннях параметру V .
О, с"
200
150
100
50
V+\ = \/3 /
1-5/3 v+l=3
1шшшшшмшштш ■■■■■■■■■И, .......... ™ ™ ™ ^ ъ 4....... ..........
V, м/с
10
Рис. 2. Залежшсть частоти власних коливань стрижня вiд швидкостiруху
Отримаш результати показують: i3 зростанням швидкост власна частота коливань зменшуеться, до того ж швидкiсть спадання частоти менша для бiльш м'яких матерiалiв. Це особливо актуально при дослщженш резо-нансних явищ у вказаних системах.
Лггература
1. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.
2. Горошко О.А. О продольных колебаниях балки с подвижным экипажем// Прикладная механика. - 1978. - 14, № 8. - С. 70-78.
3. Тарме М., Моут Л. Свободные периодические нелинейные колебания полосы, движущейся в осевом направлении// В кн.: Тр. Американского общества инженеров-механиков. Прикладная механика. - М.: Мир, 1969. - 36, № 1. - С. 87-98.
4. Моут М., Нэгюльсуорен Л. Теоретические и экспериментальные исследования вибраций ленточных пил// В кн.: Тр. Американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения. - М.: Мир, 1966. - 88, № 2. - С. 27-32.
5. Сеник П.М. Про Ateb-функцп// Доп. АН УРСР. - 1968, № 1. - С. 23 -26.
6. Сеник П.М. Обернення неповно! Beta-функцп// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. -С. 325-333.
7. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 6. - С. 803-805.
8. Сокш Б.1. Про застосування Ateb-функцш для побудови розв'язюв деяких р1внянь, яю описують нелЫйш коливання одновим1рних середовищ// Доп. НАН Укра!ни. - 1997, № 1. -С. 55-58.
9. Волосов В.М. Нелинейные волны в неоднородных средах. Асимптотические методы исследования с приложениями к задачам океанологии// В сб.: Колебания нелинейных систем. - К: Изд-во Ин-та математики. - 1976. - С. 3-141.
10. Мартинщв М.П., Сокш Б.1., Сокш М.Б. Хвильов1 процеси в однорщних нель ншно пружних системах i методи !х дослщження// Люове госп-во, люова, паперова i д/о пром-сть. - Львiв: УкрДЛТУ- 2003, вип. 28. - С. 81-89.
11. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
12. Митропольский Ю.А. Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища школа, 1976. - 592 с.
13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 501 с.
14. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. -К.: Наук. Думка, 1966. - 467 с. _
УДК 630.37 Доц. Л. О. Тисовський, канд. фiз.-мam наук;
acnip. 1.М. Рудько - НЛТУ Украти
РОЗРАХУНОК НЕСУЧОГО КАНАТА НЕЗАВАНТАЖЕНО1 ДВОПРОМ1ЖНО1 УСТАНОВКИ
Розроблена методика для визначення форми прогину несучого каната тдвюно'1 системи з двома промiжками. Проведено числовий аналiз трелювально'1 установки для конкретного випадку. Стверджуеться, що запропоновану методику можна засто-совувати i для канатних трелювальних установок з довшьним числом промiжкiв.
Doc. L.O. Tysovskyj; doctorateI.M. Rud'ko -NUFWTof Ukraine Calculation of a bearing cable of not loaded plant with two runs
The technique of definition of the form of a deflection of a bearing rope of pendant system with two runs is developed. It is lead the numerical analysis of pendant plant for a concrete case. It is certain, that the resulted technique can be applied and to transport plant with any number of runs.
