CC BY
12
для безперевантажувального транспортування вантажiв та 3i комбшованою у npocTopi трасою, пiдвищення продуктивност i надiйностi KOHBeepiB, широке застосування ЕВМ у проектуванш конвеeрiв та автоматизащя управлiння такими машинами.
Лiтература
1. Спиваковський А.О., Дьячков В.К. Транспортирующие машины. - М.: Машиностроение, 1983. - 487 с.
2. Александров М.П. Подъемно-транспортные машины. - М.: Высш. шк., 1985. - 520 с.
3. Иванченко Ф.К. Конструкция и расчет подъемно-транспортных машин. - К.: Вища шк., 1988. - 424 с. _
УДК 534.111 Проф. €.В. Харченко, д-р техн. наук;
acnip. М.Б. СокЬл - НУ "Льв1вська пол1техшка"
КОЛИВАННЯ РУХОМИХ НЕЛ1Н1ЙНО-ПРУЖНИХ СЕРЕДОВИЩ I АСИМПТОТИЧНИЙ МЕТОД В IX ДОСЛ1ДЖЕНН1
Запропоновано методику дослщження коливних процеав одновимiрних систем, як характеризуются поздовжшм рухом. В й основу покладено узагальнення на один клас диференщальних рiвнянь з частинними похiдними методiв Д'Аламбера та КБМ.
Ключов1 слова: хвил^ частота, хвильове рiвняння, ампштуда, хвильове число.
Prof. Ye.V. Kharchenko; doctorateM.B. Sokil-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Oscillation of mobile nonlinear-resilient environments and asumptotic
method in their research
Method of research of oscillation of processes of one class-offered homogeneous systems, which are longitudinal motion which is characterized. In his generalization of basing on one class of distinctive equalizations corrected with of parts of methods of D'Alembtert and KBM.
Keywords: wave, frequency, wave alignment, amplitude, wave number.
Дослщження коливних процеЫв в одно- чи багатовим1рних середови-щах, що рухаються вздовж деяко! ос [1-3], зв'язане i3 значними математич-ними труднощами, адже для побудови розв'язюв диференщальних рiвнянь, як описують вказаш процеси, не вдаеться застосувати вiдомi класичш мето-ди. Проблема значно ускладнюеться, якщо пружш характеристики середови-ща вiдмiннi вщ лiнiйних. Деякi найпростiшi моделi таких рухомих середо-вищ, за припущення незначних швидкостей руху, розглядались, наприклад в [4,5]. Останне значною мiрою звужуе класи розглядуваних прикладних задач. Тому дослщження динамiчних процесiв у рухомих середовищах за довiльних (обмежених) швидкостей 1х руху залишаеться актуальною задачею. Нижче, для диференщального рiвняння, яке описуе широкий спектр динамiчних про-цесiв рухомих одновимiрних середовищ, робиться спроба частково розв'язати вказану проблему. В основу проведених дослщжень покладено: узагальнення методу Д'Аламбера на один клас крайових задач для рiвняння гiперболiчного типу [5], яке мютить мшану похiдну лшшно! i часово! змiнних; принцип од-ночастотност коливань у нелiнiйних системах з багатьма ступенями вшьнос-тi i розподiленими параметрами та асимптотичний метод Крилова-Боголюбо-ва-Митропольського (КБМ) [6, 7].
Науковий ¡¡¡сник, 2006, вип. 16.1
Вiдомо, що математичною моделлю поздовжнiх коливань одновимiр-ного нелiнiйно пружного середовища, яке рухаеться вздовж свое! геометрич-но! осi 3i сталою швидюстю V, е диференцiальне рiвняння
ua + 2Vux ux = sf (u, u, ux, uxx ). (1)
в якому: u(x,t) - перемщення перерiзу середовища з координатою x у до-
вiльний момент часу t; f (u, ut, ux, uxx ) - аналiтична функщя, яка описуе не-
лiнiйну складову пружних сил середовища, в,язко-пружнi сили та сили тертя; a i s - сталi, до того ж s - малий параметр. Малий параметр у правiй частит рiвняння (1) показуе на малу величину нелiнiйних сил порiвняно i3 ль нiйною складовою вщновлювальних сил.
Для рiвняння (1) будемо розглядати крайовi умови вигляду
u (xt )x=0 = u ( x, t) x=/ = 0, (2)
якi узгоджуються з умовами вщсутност перемiщень середовища у двох фш-сованих його точках. У [6] показано, що одночастотш розв'язки незбурено! крайово! задачi (1), (2) мають вигляд
u(x,t) = -2-(cos(kx + at + p(- cos(xx-at- p)), (3)
де: Х,к,с - сталi; a - амплггудний параметр; p - фаза;
í \ í \
kn
к =
2l
1 + в
v
kn
X
1 в
kn a
со =
2
а+вy 21 { y 21 а+в
(k = 1,2,..). СталiX,кназиватимемо хвильовими числами прямо! i зворотно! (вщбито!) хвиль, с - частотою. Розвиваючи основну iдею асимптотичного методу КБМ, розв'язок збурено! крайово! задачi (1), (2) у формi близькiй до головно! (k = 1) форми незбурено! задач^ будемо шукати у виглядi
К + X X _ к
u (x, t) = a sin—2— x sin(—2— x _W) + £U1 (a, x,y) + s2U2 (a, x,y)+ ..., (4)
де Ui (a,x,y) - невiдомi перюдичш по у = ct + р функцп, що задовольня-ють умовам, як випливають iз (2), тобто
Uг(a x, У ) x=0 = Ui(a, x Х=1 = 0, i = 1,2,.... (5)
Наявшсть нелшшних сил у системi призводить до змши форми коливань (порiвняно iз лiнiйним !! аналогом), а також змши в час i !! ампл^удно-частотно! характеристики. Тому, в асимптотичному представленш (4) пара-метри a i р для збуреного рiвняння будуть вже змшними величинами. Невь домi закони !х змiни будемо задавати спiввiдношеннями
a = sA1 (a) + s2A (a) +..., р = sB1 (a) + s2B2 (a) +..., (6)
в яких правi частини визначаються так, щоб асимптотичне представлення (4), (6) з необхщним ступенем точност задовольняло вихiдному рiвнянню (1). 1з другого рiвняння сшввщношень (6) також випливае
ц/ = ю + £В1 ( а ) + £2 В2 (а ) +.... (7)
Шляхом диференцшвання залежност (3), з врахуванням (6), (7), шсля нескладних перетворень, отримуемо лiнiйнi диференцiальнi рiвняння, як
зв'язують невiдомi функци и 1 (а, хц), Л (а), В1 (а)
д 2и
ю
д2ц2 ' дцдх
2-+2в
д2 и 2 д и
а
дх2
=/: (а, х,ц)+ 2
Х-к
У
• к+х
БГП-X
2
Л (а)
соб
гХ-к Ц
-х-ц
V
V
+Щ (а)т
У
пк+х к+х
в-— соб-— X
Л (а)б1п
Х-к
х -ц
аВ1 (а )
соб
Х-к
Х-к
-х-ц
V 2 уу
\л
х -ц
уу
(8)
де / I (а, х,ц) - вщомого вигляду перюдичш по ц функци, зокрема
У1 (а,х,ц) = / (u, их, щ, ихх )и=1 а8;пк+ххз1п(Х-кх-ц). Для однозначного визначення
| 2 2
iз (8) невщомих функцш Л (а) i В1 (а) накладемо на и (а, х,ц) додaтковi
умови - умови вiдсутностi в 1х розкладах додaнкiв, пропорцiйних головнш чaстинi та чaстиннiй 11 похщнш по змiннiй ц у представленш (4), тобто до-
• к + х • (Х-к ) . . к + х (Х-к )
дaнкiв пропорцiйних Б1п—^— х 81п(—2— х -ц) i Б1п—2— х С—2— х - '
Це, разом з крайовими умовами (5), дае змогу у випадку неперервно! двiчi диференцшовано1 по х, ц функци и (а, х, ц), довести тотожностi
11
0 0
ю
д*и _ „ д*и 2 д2и Л
I 2я( ^2Тт ^2
2
д2ц2 ' дцдх
2 + 2в
а
дх
■ к + Х • Х-к ч Б1п-х БШС-х - ц),
2 2 :»к + Х
Б1п
х соб( х—кх -ц)
"йцгсЫ = 0
(9)
2 2
З фiзичних мiркувaнь додaтковi умови, нaклaденi на функци и (а, х, ц), вщповщають вибору за величину aмплiтуди хвильового процесу ампштуду го-ловно1 И частини у представленш (4), тобто параметр а . Сaмi ж залежноси (9)
дають змогу визначити iз (8) невiдомi функци Л (а) та В 1 (а) у виглядi
Л (а) =
2п I
л л к + Х у_к
J ^ (а,х,ц)1п-хсоб(-х -^йхйц/
Х-к
п1
ю-в
Х-к
0 0
В (а) =
2п I
л л к + Х Х _ к
J J ^ (а,х,ц)1п-хб1п(-х-ц/)йхйц (ю)
00 2 2
Х-к
п1а
ю-в
Х-к
Науковий тсник, 2GG6, вип. 1б.1
Для завершення розв'язування зaдaчi необхiдно визначити невiдомi поки що функцiï Ui (a,x,ty). З цieю метою ïï, а також вiдомi функцп
fi (a,x,ty) представимо у виглядi рядiв Фур'е. Функцiï Ut (a,x,ty) будуть за-
довольняти вЫм накладеним на не!" умовам (крайовим умовам (5); умовам вщсутност в ïx розкладах доданкiв пропорцшних головнiй чaстинi i ïï похщ-нiй у предстaвленнi (4)), якщо ïx розклади у ряди мають вигляд
и_, к + X
Ui (a,x,v) = XX Uks (a)sink—T~xexP(у), (11)
k=2 s, s 2
де Uás (a) - невiдомi коефiцieнти. Анaлогiчно, з врахуванням (10), розкладе-
мо у ряди Фур'е щ частини функцiй f (a,x,ty), як не мiстять головноï час-тини i ïï похщних у представленш (4), тобто
" к + X
f (a,xw) = XX fite (a)sinxexP(у), (12)
k=2 s, s 2
де f (a, x,^) - ri частини функцiй f (a, x,^), якi не мiстять доданкiв, про-
• к + X • ( X_к ) порцiйниx функцiï sin—2— xsin(—2— x_ i ïï чaстиннiй поxiднiй по у.
Поставивши (11), (12) у (S), шсля прирiвнювaння коефiцieнтiв при однако-
^ гк + X (. \ вих виразах вигляду sin k—2— xexp(шу), отримуемо невiдомi коефщенти
розкладу функцiï Ut (a, x,i//)
Uiks (a) = 7—;--ТГ (a). (13)
(ak(к + X) + 4ßiks _ 2с2s2 v 7
Покажемо, що вказану методику можна перенести i на випадок збуре-них крайових умов вигляду
u 0| x=0 =sF1(u, ux , ut )| x=0 , u ( X, t )| x=l =sG1(u, ux , ut )| x=l , (14)
де Fj(u, ux, ut ) i G.(u, ux, ut ) - вiдомi анаштичш функцiï. Для цього зaмiною змшних
u (x, t) = u(x, t) + sw( x, t) (15)
iз (1) отримуемо
U + 2ßU _ aUxx = s[ f (u, uX , u ) _ wt _ ßwxt + a2xx ] . (1б) Виберемо функцiю w ( x, t ) так, щоб вона була розв'язком диференць ального рiвняння wxx = 0 i задовольняла крайовим умовам
w(X t )| x=0 = SF1(U,UX U )| x=0 , w(x, 0| x=l =sGl(ü,üx U )| x=i . (17)
Тод функщя и(х, ^), як випливае iз (15), буде вже задовольняти однорщ-ним крайовим умовам. Знайти функцш ^ (х, ^) не становить значних труднош^в:
w(x,О =1 ЩСиии)|Х=1 - ^1(и,ихи)|х=0)х + 1р1(и,ихи)|х=0]. (18)
Поставивши в (16) на мюце ^ (х, ^) i ц пошдних вирази, яю узгоджуються
iз (18), приходимо до розв'язано1 вище зaдaчi з однорiдними крайовими умовами.
Таким чином, отримаш результати дають змогу стверджувати, що на-вiть постiйнa швидюсть руху середовища призводить до змши форми та часто-ти прямо1 i вщбито1 хвиль порiвняно iз 1х aнaлогiчними характеристиками у середовищi, що не рухаеться, розрaхунковi ж формули дають змогу для конкретного середовища визначити закони змши в чаш основних пaрaметрiв ди-нaмiчного процесу середовища. На завершення зауважимо, як i необхiдно було чекати, при в = 0 iз викладеного отримуються вiдомi результати, як стосу-ються коливань одновимiрних нерухомих середовищ (див., наприклад, [7]).
Лггература
1. Доценко П.Д. Колебание и устойчивость движущейся полосы// Машиноведение. -1969, № 5. - С. 18-24.
2. Вейц В.Л., Бейлин И.Ш., Меркин В.М. Колебания транспортируемой лешы// Сб. Научн. тр. ВУЗов ЛитССР. Вибротехника. - 1986, № 4 (57). - С. 181-187.
3. Киба С.П. Об одном способе решения задачи о струне с подвижной нагрузкой// Прикл. мехашка. - 1974. - 10, № 1. - С. 59-63.
4. Боженко М.В., Слшчук А.М. Вплив поздовжнього руху на нелшшш коливання пружних одновим1рних систем// Динамша, мщнють та проектування машин 1 прилад1в: Вю-ник НУ "Льв1вська полггехшка". - 2004, № 509. - С. 25-28.
5. Мартинщв М.П., Сокш Б.1., Сок1л М.Б. Хвильов1 процеси в однорщних нелшшно пружних системах 1 методи 1х дослщження// Люове господарство, люова, паперова 1 дерево-обробна промисловють. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2003, вип. 28. - С. 81-89.
6. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1974. - 501 с.
7. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища шк., 1974. - 592 с.
