Периодические дифференциальные системы второго порядка, инвариантные относительно вращений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-4

В. Ш. Ройтенберг

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ

Аннотация.

Актуальность и цели. Для теории дифференциальных уравнений и ее приложений представляет интерес изучение структуры типичных динамических систем с симметрией. Для двумерных автономных систем, инвариантных относительно группы растяжений, а также группы вращений и ее конечных подгрупп, такие исследования уже опубликованы. В настоящей статье рассматриваются периодические системы дифференциальных уравнений в единичном круге D на плоскости, инвариантные относительно группы вращений. Целью работы является описание открытого и всюду плотного множества в пространстве S таких систем.

Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Результаты и выводы. Получен канонический вид рассматриваемых дифференциальных систем в полярных координатах. Описаны структуры фазовых портретов типичных систем из S. Получены необходимые и достаточные условия грубости систем относительно пространства S. Показано, что грубые системы не плотны в пространстве S.

Ключевые слова: периодическая система дифференциальных уравнений, группа вращений, инвариантность, симметрия, типичность, грубость.

V. Sh. Roytenberg

PERIODIC DIFFERENTIAL SECOND ORDER SYSTEMS, INVARIANCE RELATIVE TO ROTATIONS

Abstract.

Background. For the theory of differential equations and its applications, it is of interest to study the structure of typical dynamical systems with symmetry. For two-dimensional autonomous systems invariant under the expansion group as well as the rotation group and its finite subgroups, such studies have already been published. This paper discusses periodic systems of differential equations in the unit disc D on the plane, invariant with respect to the group of rotations. The aim of the paper is to describe an open and everywhere dense set in the space S of such systems.

Materials and methods. We use methods of the qualitative theory of differential equations and functional analysis.

Results and conclusions. The canonical form of the considered differential systems in polar coordinates is obtained. The structures of phase portraits of generic systems from S are described. The necessary and sufficient conditions for the roughness of systems with respect to the space S are obtained. It is shown that rough systems are not dense in the space S.

© Ройтенберг В. Ш., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Keywords: periodic systems of differential équations, rotation group, invariance, symmetry, generic character, structural stability.

Введение

Дифференциальные уравнения, обладающие симметрией, часто используются при моделировании реальных процессов, поэтому изучение возможных структур их фазовых портретов важно не только для математики, но и для приложений. В работе [1] описаны фазовые портреты на проективной плоскости для типичных однородных векторных полей - векторных полей, инвариантных относительно группы растяжений. В. И. Арнольд [2, с. 267282] рассматривал локальные бифуркации динамических систем на плоскости, инвариантных относительно поворотов на углы, кратные 2п / q, q = 2,3,... Ряд работ посвящен изучению бифуркаций обратимых систем при разрушении симметрии (см. обзоры [3, 4]).

В работах [5, 6] описаны типичные динамические системы в единичном круге, инвариантные относительно группы вращений SO(2) и ее конечной подгруппы Gq поворотов на углы, кратные 2п / q .

В настоящей работе аналогичные результаты будут получены для периодических систем дифференциальных уравнений в единичном круге, инвариантных относительно группы вращений SO(2).

1. Периодические системы дифференциальных уравнений, инвариантные относительно группы вращений SO(2)

2 2 2

Пусть D := {x = (xi,Х2)е R : xi + Х2 < 1} . Будем рассматривать системы дифференциальных уравнений (дифференциальные системы):

X = X (t, x), (1)

где X = ( Xi, X2): R x D ^ R x R - C-отображение, ю -периодическое по первому аргументу t. Систему (1) будем обозначать так же, как ее правую часть - X . Множество таких систем отождествим с линейным нормированным пространством C-отображений R / mZ x D ^ R x R с Cr -нормой

IIXll = max max di+jX (t, x)/ dti dxj

r t ,x 0 < i+j < r

( r > 1)

и обозначим S^ (D). Группа вращений SO(2) действует на Sra (D) следую-

(cos 0 - sin 0^

щим образом. Линейный оператор R0 = е SO(2) переводит си-

^ sin 0 cos 0 )

стему Xе SГ(D) в систему R0QXе SГ(D): x = R-^X(t,R0x) . Обозначим S^ (D, SO(2)) подмножество в S^ (D), состоящее из систем, инвариантных относительно действия SO(2), т.е. таких, что V0 RqX = X . Очевидно, что S^ (D, SO(2)) образует линейное подпространство в S^ (D).

Теорема 1. Дифференциальная система принадлежит (D, SO(2)) тогда и только тогда, когда она имеет в полярных координатах р, ф (х = р cos ф, %2 = р sin ф) вид

р =P(í, р), ф = Ф(^ р), (2)

где

P(t, р) = рf(t, р2), Ф^, р) = g (t, р2), (3)

а f, g : R X [-1,1] ^ R - C-функции, ю -периодические по первому аргументу t.

Доказательство. Пусть X е «Ю(D, SO(2)), Так как V0

R-1X(t, 0) s X(t, 0), то X(t, 0) = 0 .

Для матрицы A(t) := (dX¿ (t, 0) / dxj) при любом 0 имеем

i fa(t) -B(t)^

R-1 A(t)R0 = A(t) и A(t)R0 = R0A(t). Поэтому A(t) = v ' ^ , где a(t) и

^ p(t) a(t) )

P(t) - ю -периодические C-функции [7]. В полярных координатах система (1) имеет вид

р = Р* (t, р, ф), ф = Ф* (t, р, ф),

где

Р* (t, р, ф) = X1 (t, р cos ф, р sin ф) cos ф + X2 (t, р cos ф, р sin ф) sin ф , Ф* (t, р, ф) = [X1 (t, р cos ф, р sin ф) sin ф - X2 (t, р cos ф, р sin ф) cos ф] / р при р* 0, Ф* (t,0, ф) = p(t) .

Ясно, что Р*, Ф* е C . Инвариантность X относительно действия SO(2) влечет инвариантность Р* и Ф* при сдвигах ф ^ ф + 0, т.е. независимость Р* (t, р, ф) и Ф* (t, р, ф) от ф: Р* (t, р, ф) = Р(^ р) и Ф* (t, р, ф) = Ф^, р). Из

равенства R-1X(t, Rnх) = X(t, х) следует, что X¿ (t, -х) = -X¿ (t, х), i = 1,2. Поэтому Р^,) и Ф^,) - соответственно нечетная и четная функции. При этом Р'р (t, 0) = a(t), Ф(0) = p(t).

Лемма. Пусть q: R X [-1,1] ^ R - C-функция, ю -периодическая по первому аргументу и четная по второму аргументу. Тогда V(t, 5) е R X [-1,1]

q(t, s) = p(t, s2), (4)

где p: R X [-1,1] ^ R - -функция, ю -периодическая по первому аргументу. Доказательство леммы.

А. Рассмотрим сначала частный случай, когда все производные дkq(t,0) / dsk = 0, к е {0} u N . Тогда можно взять p(t, т) := q(t,^/jr]).

Б. Рассмотрим общий случай. Так как q(t, 5) - четная функция от s , то все производные дkq(t,0)/ дsk с нечетными номерами нулевые. Из доказательства леммы Бореля [8, с. 147] следует, что существует C-функция G(t, т), (t, т) е R X [-1,1], (О-периодическая по t, для которой

дkG(t, 0) / дтк = (к!/ (2k)!)д2kq(t, 0) / ds2k , ке {0} и N .

Для функции F(t, s) := q(t, s) - G(t, s2) производные д к F (t ,0)/ dsk = 0,

к е {0} и N . Согласно пункту А F(t, s) = N(t, s ), где N(t, т) - C-функция, (О-периодическая по t. Следовательно, имеем (4) с p(t,т) = G(t, т) + N(t, т) .

Функцию P(t, р) представим в виде P(t, р) = pPi (t, р), где Pi (t, р) -

C ~ -функция, (О-периодическая по первому аргументу и четная по второму. Применяя к функциям Pi (t, р) и Ф(^ р) лемму, получаем (3).

Пусть теперь система X имеет в полярных координатах вид (2)-(3). Тогда она инвариантна относительно группы SO (2). В координатах (xi, Х2) система X имеет вид

Xi = xif (t, xi2 + x|) - X2g(t, xi2 + x2),

XX2 = xig (t, x2 + x|) + x2 f (t, xi2 + x2). (5)

Правые части уравнений (5) бесконечно дифференцируемы, потому X е Sra (D, SO(2)).

Теорема i доказана.

Дифференциальная система X е SГ (D, SO(2)) задает на фазовом пространстве R / coZ X D векторное поле

i-d/ds + Xi(s,xi,x2)d/dxi + X2(s,xi,x2)d/dx2 . (6)

Его траектории называются траекториями системы X . Обозначим + S^ (D, SO(2))

множество систем из Sa (D, SO(2)), для которых векторное поле (6) в точках R / oZ X dD направлено внутрь R / oZ XD , т.е.

2 2

xi Xi (s, xi, x2) + x2 X2 (s, xi, x2) < 0 при xi + x2 = i. Очевидно, что +S^ (D, SO(2)) открыто в SГ (D, SO(2)).

2. Типичные системы из + S(D, SO(2))

Пусть (2) - запись системы X е + S(D, SO(2)) в полярных координатах. Рассмотрим уравнение р = P(t, р) и соответствующее векторное поле

XC = i-d / ds + P(s, р)д / др (7)

на цилиндре С = R / ^ X [0,1]. В точках R / ^ X {1} векторное поле Xс направлено внутрь С , а R / wZ X {0} - замкнутая траектория поля Хс . Замкнутая траектория р = р(5), 5 е [0, ю], поля Хс - гиперболическая, если ее

-1 Г™ /

характеристический показатель Х = ю ^ Рр (5,р(5))а5 Ф 0. Обозначим

+GS1Ю(В, SO(2)) подмножество + ^Ю(В, SO(2)), состоящее из систем, для которых соответствующее векторное поле Хс имеет только гиперболические замкнутые траектории.

Покажем, что системы из +GS¡Я (В, SO(2)) типичны в + SЮ (В, SO(2)). Теорема 2. Множество +GSЮ(В,SO(2)) открыто и всюду плотно в +SЮ (В, SO(2)).

Доказательство. Открытость +GSЮ (В, SO(2)) следует из открытости множества векторных полей вида (7) с гиперболическими замкнутыми траекториями в пространстве всех таких векторных полей с С -нормой.

Пусть система X е + SЮ (В, SO(2)), а V - ее произвольная окрестность

в + SЮ(В, SO(2)). Пусть (2)-(3) - запись системы X в полярных координатах. Из доказательства теоремы Вейерштрасса о приближении [9, с. 37] следует, что для функций /(7, 5) и g(7, 5) существуют сколь угодно близкие в Сг -

норме функции вида /(7, 5) = ^^=0ак (7)5к и g(7, 5) = ^^=0Ьк (фк соответственно, где ак (7) и Ьк (7) - ю -периодические С-функции. Функции /(7,5) и g(7,5) можно выбрать столь близкими соответственно к /(7, 5) и g(7, 5),

что система X, имеющая в полярных координатах вид р = Р(7,р ) = р/(7,р 2), ~ ~ 2

(р = Ф(7,р ) = g(7,р ), принадлежит окрестности V . Векторное поле 1 д / д5 + Р (5 ,р )д / д р имеет конечное число замкнутых траекторий, а векторное поле 1 д / д5 + (Р(5,р ) + цр)д / д р при достаточно малых ц > 0 только гиперболические замкнутые траектории [9]. Соответственно, дифференциальная система Xц, задаваемая в полярных координатах уравнениями р = Р(7,р ) + ц р , (р = Ф(7,р ), принадлежит +GSЮ (В, SO(2)) . Если ц достаточно мало, то Xц е V. Тем самым теорема доказана.

Опишем поведение траекторий системы X е +GS¡Я (В, SO(2)). Пусть соответствующее X векторное поле Xс имеет замкнутые траектории, задаваемые уравнениями р = ру (5), г = 0,...,п , где ру( ) - ю-периодические с-функции, р0(5) = 0, ру-1(5) < ру (5) < 1 при у = 1,...,п ,

-1 Г ™ / г

X = ю I Р р (5, рг (5)^5 Ф 0, sgn Хг = (-1) sgn Х0 . Тогда система X имеет

в фазовом пространстве R / юZ X В гиперболическую замкнутую траекторию

Т, задаваемую уравнениями х = х2 = 0, с действительными частями характеристических показателей, равными Х0, и инвариантные торы Ту, у = 1,...,п ,

2 2 2

задаваемые уравнениями р = р у (5) (Х1 + Х2 =р у (5)). В координатах ф, 5 на торе Tj траектории задаются уравнениями 5 = I, Ф = Фо + ^Ф^Ру (т))^т .

Отображение последования по траекториям на окружности 5 = 0, р = ру (0) в

г со

координате ф является поворотом на угол фу = ^ Ф(т,ру (т))^т . Поэтому все траектории на Ту всюду плотны, если число вращения фу / 2п иррационально, и т(О -периодические, если фу /2я = £ /т - рационально [10]. Для всех траекторий, находящихся между Ту-1 и Ту, (О -предельное множество принадлежит Ту-1 (Ту) , а а -предельное множество принадлежит к Ту (Ту^), если Х0 < 0 (Х0 > 0). Траектории системы X, начинающиеся в точках между Тп и тором Я / ой хЭВ, в случае %п < 0 (%п > 0) имеют со-предельное (а -предельное) множество, принадлежащее Тп, и выходят из Я / (сйX В при убывании (возрастании) времени.

3. Грубость систем в + 5^ (В, 50(2))

Определение 1. Системы X и У из + 5^ (В, £0(2)) топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм И : Я / (сй X В ^ Я / (oZ X В, переводящий ориентированные траектории системы X в ориентированные траектории системы У.

Определение 2. Система X е + 5^ (В, £0(2)) называется грубой, если

существует такая ее окрестность V в + 5^(В, 50(2)), что система X и любая система У е V топологически эквивалентны.

Следующая теорема показывает, что грубость в +5^ (В, 50 (2)) нетипична.

Теорема 3. Дифференциальная система X е + 5^(В, 50(2)) является

грубой тогда и только тогда, когда она принадлежит +05^, (В, 50(2)) и не имеет инвариантных торов.

Доказательство. Система из +05^(В, 50(2)) без инвариантных торов имеет единственную гиперболическую замкнутую траекторию р = 0 , к которой либо -предельны, либо а -предельны все остальные траектории, и потому ее грубость очевидна.

Пусть система X е + 5^ (В, 50(2)) является грубой, а V - окрестность

X, фигурирующая в определении грубости. Так как +05^(В, 50(2)) всюду

плотно в + 5^ (В, 50(2)), то система X имеет не более чем конечное число инвариантных торов.

Предположим сначала, что система X имеет инвариантные торы Ту, задаваемые уравнениями р = ру(5),у = 1,...,п , и записана в полярных координатах в виде (2)-(3). Возьмем систему X ц е +5ГЮ (В, 50(2)), имеющую в полярных координатах вид р = Р(^, р), ф = Ф(^, р) + ц . Она имеет те же инвариантные торы, что и система X . Если на торе Т у X число вращения ф1 /2п, то у Xц оно равно (ф1 + цо>) / 2п . При достаточно малом ц > 0 Xц е V, и потому существует гомеоморфизм Т ^ 7}, переводящий траектории системы

X в траектории системы X ц. Поэтому их числа вращения на Т должны быть рационально зависимы [10]. С другой стороны, можем взять сколь угодно малое ц > 0 так, чтобы числа ф1 /2п и (ф1 + цго) / 2п были рационально независимы. Из полученного противоречия следует, что система X е 5^ (В, 50(2)), имеющая инвариантные торы, не может быть грубой.

Пусть теперь грубая система X е+ 5^ (В, 50(2)) \ +05^ (В, 50(2)) не имеет инвариантных торов. Тогда она имеет единственную замкнутую

-1 Г™

траекторию р = 0 и %0 =ю I /(5,0)d5 = 0. Рассмотрим систему

0

X ц е 5Ю (В, 50(2)), имеющую в полярных координатах вид р =Р(^, р) + цр , ф = Ф(^,р). Мы можем выбрать такое Ц1 >0, что Xце V для всех ц е (-Ц1, Ц1). Замкнутая траектория р = 0 системы Xц имеет характеристические показатели с действительной частью, равной ц . Так как системы Xц

и X-ц, це (0,ц1), топологически эквивалентны, то существует гомеоморфизм Я / юZ X В ^ Я / юZ X В, отображающий ориентированные траектории системы X ц на ориентированные траектории системы Xц. При этом замкнутая траектория р = 0 системы X ц должна перейти в замкнутую траекторию р = 0 системы Xц . Но это невозможно, так как одна из них устойчива, а другая неустойчива. Из полученного противоречия получаем: из грубости X е 5((В, 50(2)) следует, что X е +05((В, 50(2)) и не имеет инвариантных торов.

Теорема 2 доказана.

Заметим, что, хотя системы X е +05(( (В, 50(2)), имеющие инвариантные торы, негрубые, структура их фазовых портретов в некотором смысле устойчива при малых возмущениях в + 5( (В, 50(2)). Достаточно близкая к X система X имеет гиперболическую замкнутую траекторию Х1 = Х2 = 0 устойчивую (неустойчивую), если она устойчива (неустойчива) для X, инвариантные торы Ту, близкие к торам Ту, у = 1,...,п ; для всех траекторий X, находящихся между Ту-1 и Ту , ( -предельное множество принадлежит Ту-1 (Ту ), а а -предельное множество принадлежит к Ту (Ту— ), если %0 < 0 (Х0 > 0).

Библиографический список

1. Ройтенберг, В. Ш. О типичных однородных векторных полях на плоскости / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 2 (46). - С. 15-26.

2. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. - Москва : Наука, 1978. - 304 с.

3. Lamb, J. S. W. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey / J. S. W. Lamb, J. A. G. Roberts // Physica D. - 1998. - Vol. 112, № 1-2. - P. 1-39.

4. Лерман, Л. М. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах / Л. М. Лерман, Д. В. Тураев // Нелинейная динамика. - 2012. - T. 8, № 2. - С. 323343.

5. Ройтенберг, В. Ш. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы вращений / В. Ш. Ройтенберг // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. - 2018. -Т. 50, № 4. - С. 398-404.

6. Ройтенберг, В. Ш. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно конечной группы вращений / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. - 2018. - № 3 (226). - С. 13-19.

7. Гантмахер, Ф. М. Теория матриц / Ф. М. Гантмахер. - Москва : Наука, 1967. -576 с.

8. Голубицкий, М. Устойчивые отображения и их особенности : пер. с англ. / М. Голубицкий, В. Гийемин. - Москва : Мир, 1973. - 290 с.

9. Ройтенберг, В. Ш. О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами / В. Ш. Ройтенберг // Ярославский педагогический вестник. - 2012. -Т. 3, № 3. - C. 16-21.

10. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем. Введение : пер. с англ. / Ж. Палис, В. Мелу. - Москва : Мир, 1986. - 301 с.

References

1. Roytenberg V. Sh. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 2 (46), pp. 15-26. [In Russian]

2. Arnol'd V. I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Additional chapters of the theory of ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1978, 304 p. [In Russian]

3. Lamb J. S. W., Roberts J. A. G. PhysicaD. 1998, vol. 112, no. 1-2, pp. 1-39.

4. Lerman L. M. O, Turaev D. V. Nelineynaya dinamika [Nonlinear dynamics]. 2012, vol. 8, no. 2, pp. 323-343. [In Russian]

5. Roytenberg V. Sh. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Matematika. Fizika [Bulletin of Belgorod State University. Series: Mathematics. Physics]. 2018, vol. 50, no. 4, pp. 398-404. [In Russian]

6. Roytenberg V. Sh. Vestnik Adygeyskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bulletin of Adyghe State University. Series: Natural, mathematical and engineering sciences]. 2018, no. 3 (226), pp. 13-19. [In Russian]

7. Gantmakher F. M. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow: Nauka, 1967, 576 p. [In Russian]

8. Golubitskiy M., Giyemin V. Ustoychivye otobrazheniya i ikh osobennosti: per. s angl. [Stable mappings and their features: translated from English]. Moscow: Mir, 1973, 290 p. [In Russian]

9. Roytenberg V. Sh. Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik [Bulletin of Yaroslavl State Pedagogical University named after K.D. Ushinsky]. 2012, vol. 3, no. 3, pp. 16-21. [In Russian]

10. Palis Zh., Melu V. Geometricheskaya teoriya dinamicheskikh sistem. Vvedenie: per. s angl. [Geometric theory of dynamical systems. Introduction: translated from English]. Moscow: Mir, 1986, 301 p. [In Russian]

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88)

E-mail: [email protected]

Roytenberg Vladimir Shleymovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Yaroslavl State Technical University (88 Moskovsky avenue, Yaroslavl, Russia)

Образец цитирования:

Ройтенберг, В. Ш. Периодические дифференциальные системы второго порядка, инвариантные относительно вращений / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 1 (49). - С. 40-48. - Б01 10.21685/2072-3040-20191-4.