О структуре пространства линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

®

www.volsu.ru

DOI: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2017.1.2

УДК 517.925.52+517.926 ББК 22.161.6

О СТРУКТУРЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Владимир Шлеймович Ройтенберг

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Ярославский государственный технический университет ^окепЬе^@таЛ. ги

просп. Московский, 88, 150023 г. Ярославль, Российская Федерация

Аннотация. Рассматриваются линейные неоднородные ю-периодические системы дифференциальных уравнений в И" и их продолжения на проективное пространство ИР". Необходимым и достаточным условием грубости линейной системы в И" х R/юZ относительно пространства LS2 всех таких систем является отсутствие у нее мультипликаторов с модулем, равным 1. Линейная система из LS2) является грубой в ИР2 х R/юZ тогда и только тогда, когда ее мультипликаторы действительны, различны и не совпадают с -1 и 1. В работе также описаны бифуркационные многообразия коразмерности один в пространстве LS2).

Ключевые слова: линейные периодические системы дифференциальных уравнений, проективная плоскость, грубость линейной системы, бифуркационные многообразия, мультипликаторы.

Введение

Фазовый портрет линейного векторного поля, заданного в пространстве И", естественно рассматривать на компактификации И" в виде проективного пространства ИР" [1, с. 249]. Этот подход позволяет различать поведение траекторий «на бесконечности». С такой точки зрения линейные векторные поля изучались в работе [3]. В частности, при п = 2 получено явное описание классов топологической эквивалентности и связных компонент множества грубых линейных векторных полей, а также бифуркаций таких векторных полей, при любом п > 2 даны необходимые и достаточные условия грубости линейных векторных полей в ИР".

В настоящей работе мы получим аналогичные результаты для систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

о сч

- 1. Линейные периодические системы в И" и их продолжения на ИР"

® В пространстве И" рассмотрим систему линейных неоднородных дифференциальных урав-$ нений (линейную систему) 1 : Х&= А^)х + Ь(/), где X = (х1,...,Хп)т : И ^ И", А(0 - квадратная матрица "-го порядка, с элементами а^(1), непрерывно и ю-периодически зависящими от t е И, о Ь(^ = (Ь^),..., Ь"(^)т непрерывно и ю-периодически зависит от t е И. Система 1 естественно © отождествляется с функцией (ап,..., ат, Ь1,..., Ьп) : И ^ И" +", а множество LS" всех таких сис-

тем с банаховым пространством всех непрерывных ю-периодических функций R ^ Rп п с равномерной нормой: 1 := тахтахтах{аг1 (¿) ,Ь(¿)}. Под траекториями системы 1 в Rn хS1,

1 11 11 г, j t i i 1 1

где S := RТZ, будем, как обычно, понимать траектории системы &= Ах + b(s), &= 1 в фазовом пространстве Rп х 81.

Будем рассматривать Rn как аффинную часть проективного пространства RPn. Система Х&= А(s)х + Ь(s), &= 1 единственным образом продолжается до динамической системы на фазовом пространстве RPп х S1 [1]. Траектории продолженной системы будем называть траекториями системы 1 в RPn х S1. Заметим, что бесконечно удаленное множество Е := (RPn \ Rп) х S1 = RPn-1 х S1 состоит из траекторий.

Определение 1. Линейные системы 1 е LS" и ЬБ" топологически эквивалентны в Rп х S1, если существует гомеоморфизм h : Rп х S1 ^ Rп х S1, переводящий ориентированные траектории системы 1 в Rп х S1 в ориентированные траектории системы Р% в Rп х S1.

Определение 2. Линейные системы 1 е ЬБ", и

топологически эквивалентны

в RPn х S, если существует гомеоморфизм h: RPn х S1 ^ RPп х S1, h(Е) = Е, переводящий ориентированные траектории системы 1 в RPn х S1 в ориентированные траектории системы % в RPn х S1.

Определение 3. Линейная система 1 е ЬБТ называется грубой в Rп х 81 (соответственно в К?" х S1) (относительно пространства ЬБ",), если существует такая ее окрестность V в ЬБ" , что любая система

V топологически эквивалентна 1.

Пусть Ф(1) - невырожденная квадратная матрица п-го порядка, С1-гладко и ю-периоди-чески зависящая от t е R, а g : R ^ Rп - ю-периодическая С1-функция. Рассмотрим С1-диф-феоморфизм Т : R" х 81 ^ Rn х 81 ,_Т(у, ?) = (Ф(?)у + g(?), ?). Он единственным образом продолжается до С1-диффеоморфизма Т : RPn х S1 ^ RP" х S1. Диффеоморфизм Тиндуцирует отображение Т : ЬБ", ^ ЬБ",, ставящее в соответствие линейной системе 1 : Х&= А(?)х + Ъ(?) линейную систему Т. (1): Т= (Ф-1 (Г)А(г)Ф(Г) - Ф-1 (Г)&))у + Ф-1 (Г )(Ъ(Г) + А(Г)g(Г) - &)) , получающуюся из 1 заменой х = Ф(1)у + g(1). Система Т. (1) топологически эквивалентна в RP" х S1 системе 1 (при этом Т переводит траектории системы Т. (1) в траектории системы 1 ). Кроме того, Т является обратимым аффинным преобразованием банахова пространства ЬБТ , а потому и Сш -диффеоморфизмом. Следовательно, оно переводит грубые системы в грубые, а негрубые в негрубые.

2. Формулировки результатов

Пусть X(?) = X(?, 1) - нормированная фундаментальная матрица системы 1 , то есть X(0,1) = Е- единичная матрица. Как обычно, мультипликаторами системы называются собственные значения матрицы монодромии X(т, 1). Отображения взятия значений R х ЬБТ э (1, 1) а А(1) и R х ЬБТ э (1,1) а Ъ(1) непрерывны. Кроме того, они линейны, а потому и бесконечно дифференцируемы как функции от 1 . Следовательно, матрица X (¿,1) - гладкая функция от 1 .

Обозначим Е0ЬБТ множество линейных систем из ЬБТ , мультипликаторы которых не лежат на единичной окружности комплексной плоскости.

Теорема 1. 1) Множество Е0ЬБТ открыто и всюду плотно в ЬБТ.

2) Линейная система 1 е ЬБТ является грубой в Rn х 81 тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству Е0ЬБТ .

Остальные результаты работы относятся к случаю п = 2.

Обозначим Е = ЕЬБТ множество линейных систем из ЬБТ , мультипликаторы которых действительны, различны и не совпадают с ±1. Выделим в Е подмножества Е+, Е-, Е+т , Еж , Е+и и Е-и, состоящие из систем 1 с мультипликаторами ¡и1, ц2, для которых ^ < 1 < ц2 (ц2 < -1 < ¡и1),

если l eZ П (l eZ s) , 0 < u < u2 < 1 (-1 < u < u2 < 0), если l e Z^ (l gZbs ), 1 < u < u2

(ui <U2 <-1), если l eZl (l eZ-u).

Теорема 2. 1) Линейная система l e LS^ является грубой в RP x S тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству Z = ZLS^ •

2) Динамические системы, задаваемые в RP x S линейными системами из ZLS2, являются системами Морса - Смейла• Множества Zn, Z-, Zn , Z- , Zn и Z- - классы

± s' s' ns^ ns? nu nu

топологической эквивалентности в ZLS2 •

со

Обозначим B°s, B°u, 0 e (0,1), B2 s, B2 u, B3s, B~u множества линейных систем l e LS2 с мультипликаторами u, U2 следующего вида. Для B°s (B°u) u12 = pe±in0,0 < p < 1 (p > 1). Для B2,s, B2s, B2+u и B2u мультипликаторы u1 = U2 и отвечают одному элементарному делителю, кроме того, соответственно, 0 < u < 1, -1 < U1 < 0, U1 > 1 и u1 <-1. Для B3 s (B3-u) U1 =-1, -1 < U2 < 0 (U =-1, U2 <-1). Определим также множества B3ns (B3nu) систем

l e LS2, у которых u1 = 1, 0 < u2 < 1 (U1 = 1, U2 > 1) и нет периодических траекторий в R2 x S1; последнее равносильно тому, что ранг матрицы, полученной добавлением столбца

со

a = (t)b(t)dt к матрице X (ю) - E , равен двум.

Теорема 3. 1) Каждое из множеств B!^s, B°u, 0e (0,1), B2s, B\u, B3±s, B3±u является вложенным Cш -подмногообразием LS^ коразмерности один и состоит из топологичес-

ки эквивалентных систем.

2) Множество ZLS^ и U (B+g иВ1в) открыто и всюду плотно в LS2 .

т ge(0,1) ' '

3) В Z1 \Z1, Z1 \Z1 и Z1 \Z1 всюду плотны, соответственно, множества

' s s ' ns ns nu nu J ' '

B и B , Bi и Bi и Bi и Bi .

3, s 3,u ' 2,s 3,s 2,u 3,u

3. Грубость в Rn x S1 : доказательство теоремы 1

Так как X(ю, l ) непрерывно зависит от l , то для любой системы 10 G Z0LSn существует столь малая окрестность V в LSn , что любая система 1 G V не имеет мультипликаторов на единичной окружности, а сумма кратностей мультипликаторов, лежащих внутри единичного круга, та же, что у 10. Следовательно, окрестность V принадлежит Z0LS^ и состоит из систем, топологически эквивалентных в R" x S системе 10. Тем самым доказано, что Z0LS^ открыто и состоит из систем, грубых в R" x S .

Пусть 10 g LS; \ Z^, 10 : &= A(t)x + b(t). Обозначим 1 + g LS; : &= x, 1 s = 10 + sl + : : x&= ( A(t ) + sE ) x + b(t ).

Тогда X (t, 1 s) = e~st X (t, 10) и X (ю , 1 s) = e~scoX (ю , 10). Для любой окрестности V системы 10 в LS n найдется такое s > 0, что при всех s G (—s, s) 1 s g V. Поскольку все собственные значения матрицы X (ю , 1 s) получаются из собственных значений матрицы X (ю , 10) умножением на e~sю , то при достаточно малом s, для всех s , 0 <| s |< s , их модули отличны от единицы. Таким образом, в V есть системы из Z0LSn, то есть Z0LSn всюду плотно в LS п . Суммы кратностей мультипликаторов с модулем, меньшим единицы, у системы 1 s разные при положительных и отрицательных значениях в. Следовательно, эти системы не могут быть топологически эквивалентны [2], и потому 10 - негрубая система.

Теорема 1 доказана.

4. Грубость в RP2 x S1 : доказательство теоремы 2

Докажем, что линейная система 1 G ZLS2 является грубой в RP2 x S1. Отображение P : RP2 ^ RP2 последования по траекториям 1 сечения RP2 = RP2 x {0} в координатах

х = (х1, х2) имеет вид х а X(а, 1 )х + а , где а = X(а, 1 )|X 1 )b(t)dt . Поскольку

det(X(а, 1) -Е) Ф 0, то Р имеет неподвижную точку х . Поэтому существует такая замена координат у = S (х — х0), что в координатах у = (у1, у2) отображение последования имеет вид (у1,у2) а (ц1 у1, 1Л2у2). В координатах и1 = у2 /у1, z1 = 1/у1 в RP2 Р1 имеет вид (м1зг1) а (ц2ц1-1и1,/л—1г1),а в координатах и2 = у1 /у2, г2 = 1/у2 - вид (и2, z2) а (ц1ц—ц-1 z2). Поэтому для Р при 1 е Е^ точка с координатами у1 = у2 = 0 - гиперболическая неподвижная точка типа седло, а точки с координатами и1 = z1 = 0 и и2 = z2 = 0, соответственно, гиперболические неподвижные точки типа неустойчивый и устойчивый узел. При любом 1 еЕ^ Р1 является диффеоморфизмом Морса - Смейла и все отображения Р1 топологически сопряжены между собой. Соответственно и все системы 1 е Е* топологически эквивалентны между собой в КР2 х S1. Поскольку Е^ - открытое множество, то системы 1 е Е* являются грубыми в КР2 х S1. Аналогично получаем структуру фазовых портретов и грубость систем из Е-, Еж, Е- , Е+ и Е- .

ш ' пи пи

Покажем, что система 1 е LSа , грубая в КР х S , принадлежит множеству ЕLSа. Так как линейные системы, грубые в КР2 х S1, являются и грубыми в К2 х 81, то по теореме 1 1 е .

Предположим, что 1 е Е\ ЕLSа и получим противоречие.

Пусть сначала у 1 мультипликаторы /ц = ц2 = ц < 0, цФ-1. Если они соответствуют одному элементарному делителю, то отображение последования Р1 в некоторых координатах (у, у2) в К2 будет иметь вид

(Уl,у2) а (т + у2,лУ2), (1)

а в координатах (и1,и (и2,г2), введенных выше, вид

ч Г и1 1 г 1 , ч Г 11 1 ^ г1) а "-—, ~"-— и ^ г2) а и2 +—^г2 . (2)

^ 1 + и1/ / л 1 + и1/ ц) ^ ц ц ]

Поэтому Р имеет две неподвижные точки и не имеет периодических точек периода >1. Соответственно, система 1 имеет в КР2 х 81 ровно две периодические траектории. Если мультипликаторы соответствуют разным элементарным делителям, то Р1 в некоторых координатах (у, у2)

в К2 будет иметь вид (у1, у2) а (цу1, цу2), а в координатах (и1, г1) вид (и1, г1) а (и1, цГ1). Поэтому система 1 имеет в КР2 х 81 бесконечное множество периодических траекторий.

Пусть X^) = X (^ 1) . У матрицы -X(а) - положительные собственные значения и потому она имеет действительный логарифм. Матрица V = а-1п(-X(а)) имеет двукратное собственное значение, не равное нулю. Функция ф^) = X^)е~имеет следующее свойство:

Vt е К ф(/ + а) = -Ф(?). (3)

Действительно,

Ф^ + а) = X ^ + ®)е-а0е-т = X (t) X (а)е~1п(-X (а))е' а =

= X ^) X (а)(-X (а))-1 е" = - X (t )е~ = -Ф(t).

Ясно, что найдется такая матрица М, что для чисел £ Ф 0 с достаточно малым модулем матрица V + 8М имеет различные действительные собственные значения, не равные нулю. Рассмотрим систему уравнений

1 £ : £= (А(г) + £ Ф^)МФ-1 (t))х + Ь(1). (4)

В силу (3) l s g LS^. Рассмотрим l s как систему из LS^ • Тогда замена y = ф-1 (t)x переводит систему l е в систему %% : y&= (D + sM)y + ф"1 (t)b(t) из . Так как Ф(2ю ) = Ф(0) = E, то %% имеет ту же матрицу монодромии X(2ю, l s ) = X2 (ю, l s ), что и l s. С другой стороны, ясно,

2®(D+sM)

что эта матрица имеет вид e и потому ее собственные значения положительны, различны и

не равны 1. Но тогда X(ю, l s) имеет различные отрицательные собственные значения, не равные -1, то есть l g SLS^ . Для любой окрестности V системы l мы можем выбрать в так, чтобы l s g V. Тем самым, в любой окрестности системы l существует система из SLS^. Как показано выше, системы из SLS^ имеют в RP2 х S1 три периодические траектории и потому не могут быть топологически эквивалентны l . Получаем противоречие с предположением о грубости l .

В случае, когда мультипликаторы fj.1 = fi2 = /и> 0 , противоречие получаем аналогично, взяв D = ю 1 ln X (ю).

Рассмотрим теперь случай, когда мультипликаторы системы l комплексные: ¡u12 = e , h * 0, в g (0,1). Тогда система имеет ю -периодическое решение g(t). Пусть S : R2 х S1 ^ R2 х S1, S (x, t) = (x + g(t), t) . Отображение S, преобразует l в грубую систему l , = S, (l): X&= ^(t)x. Пусть T : R2 х S1 ^ R2 х S1, T(x, t) = (Wx, t), где W - такая невырожденная квадратная матрица, что W"1 X (ю)^ имеет действительную жорданову форму. Система l,, = T (l,) : x&= W"1 ^(t)Wx грубая, а ее матрица монодромии

, , fcosжв - sin

X(ю, l,,) = W"1 X(®)W = e

^ Sin жв cos жв J

fh -жвЛ 2 2

Так как ln X(ю, l,,) = , то отображение U, : LSffl ^ LSffl, где

^жв h J

U(y,t) = (X(t,l,,)e-í(1/ю)lnX(ю,l-)y, t), переводит l,, в линейную систему

10 :# =(h/ю)y1 "(жв/ю)y2, y =(жв/ю)y1 +(ж/ю)y2,

также грубую в RP2 х S1. Рассмотрим систему

l s: y& = (h /ю)y1 - (ж(в + s)/ю)y2, & = (ж(в + s)/ю)y1 + (h /ю)y2, в + s g (0,1).

Перейдем в окрестности бесконечно удаленного тора E к координатам (г,ф) : y1 = (1/ r)cos^ , y2 = (1/ r)sin^ . Получим систему - (h /ю) r , фг= ж (в + s)/ ю . На торе E (r = 0) введем циклические координаты (ф, 5). Точки с координатами (^ + рж, s + qra), p,q g Z, отождествляются. Ограничение системы l на инвариантный тор E имеет число вращения 9 + в и, следовательно, существует сколь угодно малое в > 0, при котором l не топологически эквивалентно 10, что противоречит грубости 10.

Таким образом, система l g Z0LS2 \ SLS^ не может быть грубой в RP2 х S1 и потому множество систем l g LS^, грубых в RP2 х S1, совпадает с SLS^.

Поскольку множество линейных систем с комплексными мультипликаторами открыто в LS^ , то грубые в RP х S линейные системы не плотны в LS^ .

Теорема 2 доказана.

5. Бифуркационные многообразия: доказательство теоремы 3

Простые мультипликаторы системы l g LS^ гладко зависят от элементов матрицы X(ю, l), а потому и от l .

На открытом множестве В1систем с мультипликаторами ц12 = ре1 л, 0 е (0, 1),

0 < р < 1, определим Сш -функцию/ положив / (1) = 0 . Докажем, что f - невырожденная функция, то есть V10 е В1з /'(1 0) Ф 0. Без ограничения общности можно считать 10 : у& = (h/а)у1 - (0л /а)у2, у = (0л /а)у1 + (к /а)у2, где к = 1п р , поскольку, как было показано при доказательстве теоремы 2, в такую систему можно преобразовать с помощью Сш -диффеоморфизма пространства любую систему из В1х . Пусть 1 +е ,

1 + : у& = -(л/а)у2, у& = (л/а)у1. Тогда /'(10)1 + = ^Ц /(10 + £1 + ) = 1 * 0, и f '(10) Ф 0. Поэтому множества В1б, = / (0) , 0 е (0,1), являются вложенными Сш -подмногообразиями коразмерности один. Нетрудно убедиться, что все системы из В0топологически эквивалентны в КР2 х 81. Они имеют в КР2 х 81 единственную периодическую траекторию Г, на бесконечно удаленном торе Е система топологически эквивалентна стандартной системе (&= (л / а)0, 1 на торе R/лZ х R/аZ с числом вращения 9, остальные траектории ю-предельны к Г и а-пре-дельны к траектории на Е.

Аналогично рассматриваются системы из В1и.

Пусть система 10 е В3 ^. Выберем столь малую окрестность V системы 10 в ЬЗ^ , что любая система 1 е V имеет мультипликаторы Д1(1) и Д%p(1 ) , гладко зависящие от 1 , ¡Щ\ 0) = -1, ц%(1) Ф ц%(1) , -1 < ц%(1) < 0 . Определим Сш -функцию f : V ^ К, положив /(1) = 1п | ц%(1) |. Пусть матрицы В и Ф(0 выбраны, как и в доказательстве теоремы 2. Приведем В к диагональному виду: КБК - = diag(0,а~1ln|ц2|). Обозначим М = К~1diag(1,0)K . Пусть 1 +е ЬЗ^, 1 + : х&= Ф(t)МФ-1 (t))х . Тогда

1п | Ш0 + £1 + )1= а£ и /'(10)1 += £1=0/(10 + £1 +) = а * 0.

Следовательно, /'(10) Ф 0 . Уменьшив при необходимости окрестность V, можно считать, что для всех 1 е V /'(1) * 0. Так как В~о V = f- (0), то В^ - вложенное Сш -подмногообразие в ЬЗ^ . При малых || sgn(Д%p(10 + 81 + ) +1) = - sgn 8 , и потому В3-^ принадлежит общей части границ множеств Еш и Е- .

Отображение Р1 , 1 е В3 ^, можно записать в некоторых координатах (у1, у2) в К2 (зависящих от 1 ) в виде (у1, у2) а (-у1, Д%p(1 )у2) . Поэтому для любых двух систем 10 е В3 ж и 1 е В3 ж диффеоморфизмы Р и Р сопряжены. Сопрягающий гомеоморфизм имеет в координатах (у1, у2),

Л , Л 0 Л , Ш) л/- ч /-Ш) ч

(ul, г1) и ^ ^ соответственно, вид (Уl,у2) а (у^-^тУ2), (ul, г1) а ( шп Л ul, г1) и

Ш 0) Я*10)

. , Ш0) Ш 0) . ,

(и2, г2) а (-и2,-г2) . Следовательно, 10 и 1 топологически эквивалентны в

, , %) Ш)

КР2 х 81.

Утверждение 1) теоремы для множества В3и доказывается аналогично. Пусть X(а, 1) = (хц(1)) . Определим Сш -функцию f : ЬЗ^ ^ К , положив /(1) = (х11(1) + х22 (1 ))2 - 4 det X(а, 1) . Множество В-^ задается условиями

/(1) = 0, -2 < х„(1) + х22(1) < 0, х,2(1) * 0 V х21(1) * 0.

Для доказательства того, что оно является Сш -подмногообразием коразмерности один, достаточно убедиться, что для любого 1 е V /'(1) Ф 0. Пусть матрицы В и Ф(0 выбраны, как и

выше. Приведем В к жордановой форме: КБК-1 =

0 а 11п| ц1

у

,-1 Г 0 01

ц = (х11(1) + х22(1 ))/2 . Обозначим М = К - " К . Пусть 1 +е ЬЗ^,.

^а 0 у

l + : Х&= )MФ^)x , l s = l + sl + . Тогда собственные значения матрицы D + sM, в > 0 -©_1(ln|ß| ±s[s) , собственные значения матрицы X2(©,l s) = e2®(D+sM) |u|2 e±2^ , а собственные значения матрицы X(©, l s) - e±ß1. Так как

f (l) = 0, f (l s) = (e^ + e-^1)2 - 4ß2 = ß2 (e24s + e"2^ - 2) = 4ß2 (chVS -1)2 при s > 0, то f '(l )l + = lim f (l + sl + ) - f (l) = lim f (l + sl + ) = 4ß2 Ф 0 . Следовательно, f '(l) Ф 0, что

s^+0 s s^+0 s

и требовалось установить. При малых s мультипликаторы e±^ß системы l s различны и находятся в интервале (-1, 0) . Поэтому B2s содержится в границе множества .

Из вида (1) и (2) отображения Pl , l е B2s, в координатах (y,y2), (и,, z,) и (и2, z2), приведенного в доказательстве теоремы 2, следует, что его неблуждающее множество - две неподвижные точки - устойчивый (обратный) узел с координатами y, = y2 = 0, седло-узел с координатами и, = z, = 0 и центральным многообразием, задаваемым уравнением z, = 0 , а неблуждающее множество системы l в RP2 х S1 состоит из двух соответствующих им ю-периодических траекторий. Поэтому все системы из B2s топологически эквивалентны в RP2 х S1.

Утверждение !) теоремы для B2 и, B+s и В+и доказывается аналогично утверждению для B2 s.

Пусть система 10 е B+s. Можно считать, что она имеет вид Х& = b, (t), Х& = hx2 + b2 (t) , где h = ln ß2 < 0 . Второе уравнение системы имеет ю-периодическое решение p(t) . В координатах y, = x,, y2 = x2 -p(t) система имеет вид У& = b,(t), = hy2(t) . Отсутствие периодических

решений системы 10 е B+s влечет неравенство a, = J b, (t)dt Ф 0.

Выберем столь малую окрестность V системы 10 в LS© , что любая система l е V имеет мультипликаторы ß%(l) и ß%(l) , гладко зависящие от l , ß%(l 0) = ,, ß%(l 0) = ß2, ß%(l) Ф ßp(l) , ß(l) < Определим Cш -функцию f : V ^ R, положив f (l) = ln ß%(l) . Возьмем систему l + е LS©, l + : & = e s xl, & = 0. Тогда f '(l 0)l += d |s=0 f (l 0 + s l + ) = ! Ф 0. Следовательно, f '(l 0) Ф 0 и можно считать, что окрестность V выбрана так, что для всех l е V f '(l) Ф 0. Так как коэффициенты системы l непрерывно зависят от l , то окрестность V можно считать столь малой, что для систем из f - (0) выполняется условие отсутствия периодических траекторий в R2 х S1. Следовательно, B3+s n V = f (0), и потому B3+s - вложенное Cш -подмногообразие коразмерности один в LS© .

Отображение последования Pо в координатах (y,,y2), (и,,z,) и (и2,z2) имеет, соответственно, вид

f и и z Л f1 1 л

(Уl, y 2 ) a U + ^ U2 y2 ) , ^ z,) a 1 2 , ^-,- и (и2 , z2) a

^, + a, z, , + a, z, j

и2 + z2, z2

V №2 №2 №2

Отсюда следует, что Р1о имеет две неподвижные точки: неустойчивый узел с координатами

и2 = г2 = 0 и седло-узел с координатами и1 = z1 = 0 и центральным многообразием, задаваемым уравнением и1 = 0, а система 10 имеет две периодические траектории соответствующих типов, принадлежащие тору Е, и других неблуждающих траекторий в RP2 х S1 система не имеет. Любые две такие системы топологически эквивалентны.

Если 1 е V и f (1) < 0 (f (1) > 0), то 1 (1 еЕ^). Таким образом, Д^ принадлежит

общей части границ Е+т и Е^, а переход системы 1 через бифуркационное многообразие В3+х приводит к тому, что ее устойчивая периодическая траектория, принадлежащая R2 х 81, сливается с бесконечно удаленной седловой периодической траекторией, превращаясь в бесконечно удаленную седло-узловую периодическую траекторию, которая затем распадается на седловую периодическую траекторию, принадлежащую R2 х 81, и устойчивую бесконечно удаленную периодическую траекторию.

Утверждения 1) теоремы для множества В+и доказываются аналогично.

В доказательстве теоремы 2 было установлено, что в любой окрестности системы с кратными мультипликаторами имеется система из ЕЬ8^. Отсюда и из плотности Е0Ь8^ в ЬЗ^, следует утверждение 2) теоремы.

Докажем, что В2 ^ ^ В3 ^ всюду плотно в Еш \ Ет . Достаточно показать, что для любой системы 10 е Еж \ Еж , 1 £ В2 ж ^ В3 ж существует сколь угодно близкая система из В3 ^. При сделанных предположениях 10 имеет либо мультипликаторы ц1 = ц 2 = -1, либо мультипликаторы ц = ц2 е (-1,0), соответствующие разным элементарным делителям. В обоих случаях матрицу М можно подобрать так, чтобы при достаточно малых в > 0 матрица В + вМ, где В = а"11п(-X (а)), имела двукратное отрицательное собственное значение, соответствующее одному элементарному делителю. Тогда из доказательства теоремы 2 видно, что система (4) принадлежит В3 ж. За счет выбора в ее можно сделать сколь угодно близкой к 10.

Остальные утверждения пункта 3) теоремы доказываются аналогично.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1984. -

272 с.

2. Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Ту-раев, Л. Чуа. - М. ; Ижевск : Изд-во ИКИ, 2004. - Ч. 1. - 416 с.

3. Ройтенберг, В. Ш. О структуре пространства линейных векторных полей / В. Ш. Ройтенберг // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. - 2015. - Т. 1, №2 9. - С. 177-182.

REFERENCES

1. Arnold V.I. Obyknovennye differentsialnye uravneniya [Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 272 p.

2. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L. Metody kachestvennoy teorii v nelineynoy dinamike. Ch. 1 [Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part 1]. Moscow, Izhevsk, IKI Publ., 2004. 416 p.

3. Roitenberg V. Sh. O strukture prostranstva lineynykh vektornykh poley [On the Structure of the Space of Linear Vector Fields]. Fundamentalnye i prikladnye issledovaniya v sovremennom mire [Fundamental and Applied Research in the Contemporary World], 2015, vol. 1, no. 9, pp. 177-182.

ON THE STRUCTURE OF THE SPACE OF LINEAR SISTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

Vladimir Shleymovich Roitenberg

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Yaroslavl State Technical University vroitenberg@mail. ru

Prosp. Moscovskij, 88, 150023 Yaroslavl, Russian Federation

Abstract. We examine linear systems of differential equations

n

1 : & = 2ai}.(t)Xj + bj(t), i = 1,...,n

j=1

with continuous ra-periodic coefficients. The system 1 induces the autonomous system

1 P : & = 2n=j ai} (s)x} + b] (s), &= 1 on Rn x S1, where S1 = R/fflZ . The system 1 p has

the unique extension 1 on RPn x S1. By trajectories of system 1 in Rn x S1 (RPn x S1) we will mean trajectories of system 1 p (1 p ). Let us consider linear systems 1 as elements of Banach space LS^ of continuous (»-periodic functions (a11,..., ann, b1,..., bn): R ^ Rn +n

with norm pll := max max max{ a., (t) , \bi (t)}. The system 1 e LSW is said to be structurally

i, j t I j I

stable in Rn x S (in RPn x S ) if 1 has a neighborhood V in LSW such that for any system %e V we may find a homeomorphism h: Rn x S1 ^ Rn x S1 (h: RP" x S1 ^ RPn x S1, h(Rn x S1) = Rn x S1) which maps oriented trajectories of system % onto oriented trajectories of system 1 .

Let Z0LS^ be the set of systems 1 e LSW whose multiplicators do not belong to the unit circle.

Theorem 1. The set E0LSW is open and everywhere dense in LSW . A system 1 e LSW is structurally stable in Rn x S1 if and only if it belongs to the set E0LSW.

Let ELS2 be the set of systems 1 e LS2 whose multiplicators are real, distinct and different from -1 and 1. Let E+, E-, E+ , E- , E+ and E- be subsets of ELS2 consisting

s ' s ' ns ' ns ' nu nu W &

of systems 1 with multiplicators j, j2 for which j1 < 1 < ju2 (jj.2 < -1 < ^) if 1 e E^ (1 eE-) , 0 < jj < j2 < 1 (-1 < < j2 < 0) if 1 e E^s (1 eEns), 1 < < j2 ( < j2 <-1) if 1 eE+ (1 eE" ).

nu nu

Theorem 2. 1) A system 1 e LSW is structurally stable in RP x S if and only if it belongs to the set ELSW. 2) For any system 1 e ELSW the corresponding system 1 p in RP2 x S1 is a Morse-Smale system. 3) The sets E+, E-, E+ , E- , E+ and E- are classes

^ ' s ' s ' ns ' ns ' nu nu

of topological equivalence in ELSW2 .

The paper also describes bifurcation manifolds of codimension one in the space LSW . Key words: linear periodic systems of differential equations, projective plane, structural stability, bifurcation manifolds, multiplicators.