CC BY
23
УДК 629
И. А. Панкратов, Ю. Н. Челноков
ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ТРЕМЯ ТОЧКАМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ
1. Уравнения движения центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Космический аппарат (КА) рассматриваем как материальную точку В переменной массы т = т(?). Движение КА рассматриваем в системе координат ОХ,Х2Х2(Х), имеющей начало в центре притяжения О и координатные оси, параллельные осям инерциальной системы координат (рис. 1).
Кватернионное дифференциальное уравнение ориентации круговой орбиты КА имеет вид
-dX г — — г- с — с d(p 2— = А,ош со =РЪ-1Х+~1Ъ, — = -—, (1)
at err at
где г - \r\ = const - модуль радиуса-вектора центра масс КА, проводимого из центра притяжения, ръ - составляющая вектора реактивного ускорения КА (управление), ортогональная плоскости орбиты, л = ?.0 + X| /( + X2ii + A.3i, - нормированный кватернион, задающий угловое положение системы координат t| в системе координат X (ось т|, направлена вдоль радиуса-вектора г, ось г|3 ортогональна плоскости орбиты, /,, ¡2, »з - векторные мнимые единицы Гамильтона), ф - истинная аномалия, с = const - постоянная площадей, соп - вектор абсолютной угловой скорости системы координат г|.
Решение уравнения (1) имеет вид
210
Кватернион X связан с кватернионом Л ориентации орбиты, характеризующим ориентацию системы координат Ъ,, связанной с перицентром, соотношением
Х = \о [соз(ф/2)+ Б1п(ф/2)/3 2. Постановка задачи и её решение. Рассмотрим перевод орбиты КА из заданного начального состояния Л(г0)=Л(ф0) в заданное конечное
состояние л(г*)= д(ф") с помощью управления /?з=±ртах при наличии трёх тпцек: переключения управления в моменты времени
Кватернион ориентации А,(ср ) системы координат г| в конечный момент времени Г в соответствии с (2), рис. 2 и формулой сложения конечных поворотов примет вид
4*)=л*
= Цф0)о ДX, (Дф,)о ДХ2(Дф2)о АХ3(Дфз)о ДЛ.4(Дф4).
/=1
(3)
Здесь АХк (Д<рА) - кватернион конечного поворота орбиты КА на к-м активном участке движения (А: = 1,4).
Л- + V -г шах
Ду?, Д <р2 А<р3
<Рй <р\ (р2 <Рз <рА = <р' <Р 1
Р шах 1
Рис. 2
Поставим следующую задачу: зная ф0, Д(ф0) (или А.(ф0)), Л найти Дф,, Аф4 и ф* при условии, что
со*Дф2 = и Дфз = я, со* =(г2/с)со. (4)
Отметим, что поставленная задача вытекает из решения задачи оптимального (в смысле быстродействия) разворота орбиты КА с помощью принципа максимума. Это решение сводится к нахождению времени оптимального движения /*(ф*), количества активных участков движения КА и их длительностей (величин Дф,, /' = 1,2,...,и). Условие (4) следует из ре-
211
зультатов численного решения вышеуказанной задачи оптимальной переориентации орбиты КА.
После ряда преобразований уравнения (3) приходим к системе четырёх трансцендентных уравнений относительно переменных А,, Д4, ф : Х(з)соз£_A§)s!n¿ = ^з)С05Д| cosд4 + sjn^sin^р _ ф^з) _
2 (®т
Х(3) cos ¿ + }р2) sin ¿ = M^lzAll [± ^(23) _ Х(|3)] А.(|) cos _ х(з) sin Ф! = Х(23) cos д f cos д 4
§> eos ¿ + sin ÜL = £ш(А',+ Л^ [± + Jl?> ],
(5)
(m j
связанных условием нормирования: суммы квадратов левых и правых частей уравнений (5) равны единице.
Здесь А, =(1/2)со Дер,; Д4 = (1/2)со Дср4; со* =
1 + {p3r3/c2J
и = ~Т Ртах ' РЛ(о23)Д(223) -
величины, выражаемые через известные па-
раметры задачи; верхний знак берётся, если на первом активном участке движения КА р3 = + ртах, нижний - в противном случае.
Из этой системы вытекают два уравнения относительно неизвестных
Д|,Д4:
tg(A, +Д4)=+а(ф*), где а(ф*), р(ф*)
(6)
1ё(Д,-Д4) = +(з(ф*),
есть сложные выражения, содержащие тригонометрические функции относительно ф* . Разрешая (6), имеем
Дф, = (l/со' )(arctg(aí^*))+ arctg(р(ф*)))+ л(к + п), k,neZ, (7) Дф4 = (l/co* )(arctg(ct^*))- arctg(p(cp*)))+ п(к - п), к,п е Z. (8)
Из (5) получаем тригонометрическое уравнение для нахождения ф*:
* * * i
/ \ 2 ф / -v Ф - Ф I \ ■ 2 Ф a(u) cos — + 2b{u jcos—sin — c[u jsin" —
(»'Г
(9)
где а(и), Ь(и), с(и) - полиномы относительно известных параметров задачи.
Решая уравнение (9), находим
2/(со*~(а(ц)+ф))
ф = у + arccos
V V
¡(a{u)+~c(u))2 +ЛЬ2(и)
212
+ 2 лк, к е Z,
(10)
а(и)-с(и) . 2 b(u)
cos у —........- - sin у —--—---
7Ш+ c(u)f + 4b2(u) ' ylia(u)+c(u)f + 4b2 (и) '
Заключение. В статье рассмотрена задача четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты космического аппарата. Полученные формулы (7), (8), (10) дают аналитическое решение поставленной задачи.
УДК 301.15.15.0702
Я. Г. Сапунков
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВСТРЕЧЕЙ ДВУХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ВТОРОГО ЦЕНТРА ПРИТЯЖЕНИЯ*
С помощью принципа максимума Понтрягина решена задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых управляемый, а второй неуправляемый, с учетом возмущения от второго центра притяжения. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой свертку с весовыми множителями двух критериев, определяющих время и энергию, затраченные в процессе управления. Задача решена с использованием кватернионных элементов орбиты [1].
1. Движение управляемого КА в поле гравитации центрального тела с массой М с учетом возмущения от второго центра с массой М-0 в декартовой системе координат Ох 1X2X3, начало которой совпадает с центральным телом, в безразмерных кватернионных элементах орбиты А=(А0, А\, А2, А3), В=(5о, В|, В2, В3) описывается системой уравнений: (¿А . с/В „„ с?/ 2/--^
, L = -e(F, + 8F2)ßsinq>, ^ = e(F,+5F2)0cos9, ,,2(2ß)/2 í/ф í/ф a( p
F(u,w,p)= u:P(u)p + w(w,/>(u)p), F| = F(u,w,p), F2 = F(u,w,f),
1 Gi^r -r
2 * . rb
2 2
u = Acos(p+ Bsinip, w = -Asincp + Bcostp, Q-А 4- В ,
со
/>(u) =
! "о -и3 и2
! щ "2 "3
""2 "l "0
-"з -"о Щ
r = /,7(u)u, V =--PT{u)w
r{2Q)/2
(2)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00347).
