К задаче переориентации круговой орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков

УДК 629

К ЗАДАЧЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА, РАССМАТРИВАЕМОЙ КАК НЕИЗМЕНЯЕМАЯ ФИГУРА

Рассматривается перевод круговой орбиты космического аппарата (КА") из заданного начального состояния в конечное состояние с помощью управления, ортогонального плоскости орбиты КА, при наличии двух переключений. Кватернионное уравнение движения центра масс КА сведено к четырем линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, построены общие решения полученных уравнений, сформулирована краевая задача переориентации круговой орбиты КА.

В задаче оптимального в смысле быстродействия управления ориентацией круговой орбиты, рассматриваемой как неизменяемая фигура, компоненты pi и р2 вектора управления р равны нулю, модуль г радиус-вектора г центра масс КА и модуль с вектора момента скорости КА с постоянны. Поэтому уравнения движения центра масс КА примут вид [1]

2к'=Хо (Oj,, юп = M,i| + co3i3 = гс"'рз'1 + сг-¡з, (1)

<р1г =сг 2, с, г = const.

Рассмотрим перевод орбиты КА из заданного начального состояния Ji.(t0) = Хо в конечное состояние X(tk) = ^ с помощью управления р3 = ± ртах при наличии двух переключений в моменты времени t| и t2 (рисунок).

Рз' Ртах

to tl t2 t3 = tk

Ртач t

Запишем уравнение (1) в скалярном виде

2\о = - Х1Р3ГС"1 - Х.3СГ'2, ' = Хорзгс"1 + А-гСГ-2, 2Х2' = А-зрзгс"' - Х|СГ~2, 2Х3' = - А.2р3гс"' + А<,сг"\ (2)

Систему (2) сведем к четырем независимым линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Для этого продифференцируем каждое из уравнений системы (2) по времени:

>ч." = -(Рз2г2с2 + с2г-4)Хо, V = -(РзУс"2 + сУ4Я,, V = - (Рз2г2с-2 + с2г->2) V' = - (Рз2г2с"2 + с2г^3. (3)

Обозначим (р32г"с'2 + с2г = а. Тогда (3) перепишется в следующем

виде:

л«" + аХо = О, X," + гЛ, = О, V + аХ2 = О, Х3" + а>-з = 0. (4)

Построим общее решение каждого из уравнений (4), выразив постоянные интегрирования через заданные начальные условия

Xj(to) = = 0,3). Вид этих решений таков:

Ao(t) = (- (1/2)а"2Х,0рзгс"1 - (1/2)а'%0cr ~2)sin(a1/2t) + A«0cos(a''2t). Ji,(t) = ((!/2)а1/2Х<юрзГС-1 + (l/2)a'%()cr -2)sin(a1/2t) + >40cos(a1/2t), X2(t) = ((1/2)а"'%0РзГс"1 - (l/2)a"1/2X.i0cr"2)sin(ab'2t) + X20cos(a1/2t), X3(t) = (- (1/2)а"'%оРзГс"' + (1 /2)а"172 А<юсг ~2)sin(a12t) + X30cos(al/2t). (5) Рассмотрим первый участок движения с начального момента времени t = t0 = 0 до момента t = t|. На этом участке р3 = + рпшх (см. рисунок). Запишем соотношения (5) для этого участка движения КА:

ЯАО = (-(l/2)a-"2WV |рз!)гс 1 - (l/2)a-|/2X.30(1)cr-2)sin(al/2t) +

+ Аоо cos(a'/2t), >ч(1)(1) = ((1/2)а"|/2Хоо<1)(+ |р3|)гс"' + (l/2)a-'%o(,)cr-2)sin(al/2t) +

+ X10(,)cos(ab'2t), X2(l>(t) = ((1/2)а'%>(l)(+ |p3|)rc-' - (l/2)al/2>4o<l'cr-2)sin(a"2t) +

+ k20(1)cos(a''2t), ^3(l)(t) = ((l/2)a" VV |рз|)гс"' - (l/2)a-|/2^,o(1)cr-2)sin(a"2t) + + X.2o cos(a1/2t),

здесь

= V'ito) = Xoo, W0 = X.,(l)(to) = ho, hoW = >Л) = ho,ho0) = ^"'(to) =

=x.30.

Рассмотрим второй участок движения с момента времени t = t| до момента t = t2. На этом участке рз = — ртах (см. рисунок). Соотношения (5) запишутся следующим образом:

Xo(2,(t) = (-(1/2)а|рз|)гс' - (l/2)a-'%o<2)cr"2)sin(al/2t) +

+ Xoo(2)cos(a,/2t), л,(2)(1) = ((l/2)a,/2W2,(- |Рз!)гс ' + (l/2)a'%o(2,cr-2)sin(a'/2t) +

+ >40(2)cos(al/2t), >.2<2'(t) = ((1/2)а"1,2Х.зо<2)(- |рз1)гс'1 - (l/2)a-'%0(2)cr-2)sin(a,/2t) + + ).2o(2)cos(a,/2t),

X.3l2,(t) = (-(l/2)a'%0(2)(- |рз|)гс"' +(l/2)a-"V2icr 2)sin(a,/2t) + + X30(2,cos(a1/2t),

здесь

W2) = h('\u) = (- (l/2)a-|/2X10(+ |рз|)гс"' - (l/2)a'1%0cr^2)sin(a"2tl) +

+ Xoocos(a1/2t,),

W2) = >4(,)(t,) = ((l/2)a"2M+ |Рз1)гс"' + (l/2)al%0cr-2)sin(a"2t1) + + A.i0cos(al/2t,),

W2) = X2(,)(t,) = ((l/2)a-'%0(+ |p3|)rc"' - (l/2)a-"\,0cr^)sin(a1/2t1) + + X,20cos(a' 2ti),

hom = = ((l/2)a'"2X3o(+ IpsDrc"1 - (l/2)a"l/2X.iocr"2)sin(a1/2ti) +

+ X20cos(a''2t,).

Рассмотрим третий участок движения с момента времени I = 12 До момента I = 13 = 1к. На этом участке рз - + ртах (см- рисунок). Соотношения (5) для этого участка принимают вид

Хо°\1) - (- (1/2)а|/2Х,о<3)(+ |р3|)гс-' - (1/2)а 1/2^зо(3)сг-2)з1п(а|/21) +

+ Хоо<3)соз(а1/21), Х,/3Ч0 = ((1/2)аь%0(3)(+ |р3|)гс'' + (1/2)а-'%)(3>сг-2>т(а1/21) +

+ Х10<3)со8(а,/21), Х20){1) = ((1/2)а"1/2^зо(3)(+ |рз|>с"' - (1/2)а'"2>.ш(3)сг-2>т(а"21) + + Х20(3,со5(а1/21), = (- (1/2)а-'%0(3)(+ |рз|)гс-' + Г1/2)а"%/3)сг~2)зт(а,/21) +

+ Х3о(3)соз(а'Ч (6)

здесь

Хоо<3) = Ао(2)(12) =(1/4)а'(рз2г2с2-с2г-4)Х00яп(а1/211)51п(а|%) + + Хоосоз(а|/21|)соз(а'%) + (1/2)|р3|а"1г"1>.2о51п(а1/Ч|)81п(а1/212) + + (1/2)!р3|га"'/2с"')чоз1п(а1/2[12-г,]) - (1/2)са'1/2Л308т(а1/2[12 + I,]) = = ^(г, с, рз, Хо, 1,,

Хю<3) = ^|(2)а2) = Г,Сг, с, рз, К I,, 12), Х20а) = Х2{2){12) = «г, с, рз, Хо, 1Ь12), Ьо0) = Ь12\12) = Нг, с, рз, >чь 1,,12). Запишем уравнения (6) в конечный момент времени I = гз = 1к: Ао!3)(13) = ёо(г, с, рз, Хо, 12,13), Х,(3)(13) = В1(г, с, рз, г,, 12,13),

= вгСг, с, Рз, 12,13), Х3(3)(13) = Ез(г, с, р3, Хо, I,, 12,13). (7) Значения Х./3)(13) (] = 0,3) нам не известны, но нам заданы значения Л||3'(1з) кватерниона Л ориентации мгновенной орбиты КА. Кватернион X выражается через кватернион А и истинную аномалию <р следующим образом:

X = Л о [соб(ф/2) + ¡3зт(ф/2)]. Отсюда следует, что для конечного момента времени I = 13 = ^ можно записать следующие равенства:

Лз) = Л0(3,(13)соз[(1/2)(Фо + ст"2(1з - 1о))] -

-Л3<3)(13)з!п[(1/2)(фо + сг'2(13 - 1о))], л,(3)(13) = Л,(3)(13)соз[(1/2)(ф0 + сг "2(г3 -10))] +

+Л2(3)(13)з1п[(1/2)(ф0 + сг"2(13 - 1о))], Х2т(1}) = Л2(3,(13)соз[(1/2)(ф0 + сг"2(13 - 1о))] -

-Л1(3)Оз)з1п[(1/2)(ф0 + сг"2(13 - 1о))], Хз(3)0з) = Л3(3,(13)соз[(1/2)(фо + сг -2(13 - 1о))] +

+Л0(3)(1з)81п[(1/2)(ф„ + сг "2(13 -16))]. (8)

Приравнивая правые части (7) и (8) с учетом, что ^ = 0, получим систему четырех алгебраических уравнений относительно неизвестных ^ Ь и 13:

Л0(3,(13)соз[(1/2)(ф0 + сг"213)] - Лз(3)(1з)81п[(1/2Хфо + сг"213)] =

= go(r, С, Рз, Хо, I,, 12, г3),

Л,(3)(13)соз[(1/2)(ф0 + сг%)] + Л213)(1з)зт[(1/2)(Фо + сг"213)] =

= g^(т, с, р3, Хо, и, г2,13), А2(3,(г3)со5[(1/2)(фо + ст%)] - Л1(3)(13)зт[(1/2)(ф0 + сг"213)] =

= g2(r, с, Рз,Л), tl, t2, t3), Лз(3,(1з)соя[(1/2)(фо + cr"2t3)] + Л0(3)(13)зт[(1/2)(ф0 + cr%)] =

= g3(r, с, p3, hh t,, t2, t3), (9)

Для нахождения двух моментов времени t] и t2 переключения и конечного момента времени t3 = tk можно использовать три любые уравнения системы (9). Одно оставшееся уравнение может быть использовано для проверки правильности найденного решения.

Таким образом, построены алгебраические уравнения (9), позволяющие решать краевую задачу для нахождения моментов двух переключений управления и времени управляемого движения.

Следует отметить, что из соотношений (9) также можно получить условия разрешимости задачи переориентации круговой орбиты КА с двумя переключениями управления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. I // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 5. С. 502 - 517.

УДК 539.3

А. А. Барышев, М. И. Брюшко, О. А. Мыльцина

ВИБРАЦИОННЫЙ ИЗГИБ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ СВЯЗНОСТИ ТЕПЛОВОГО И МЕХАНИЧЕСКОГО ПОЛЕЙ

В статье рассматривается вязкоупругая изотропная цилиндрическая оболочка [1], малой толщины И, испытывающая малые деформации под действием распределенной по поверхности у = — /з/2 осесимметричной нагрузки <у(а,?) = <70 собшг.

Принимаем справедливыми гипотезы классической теории изгиба оболочек Киргоффа - Лява и считаем, что способы закрепления концевых сечений и условия теплообмена остаются неизменными во времени.

В этом случае разрешающая система уравнений в гауссовской системе координат, описывающая напряженно-деформированное состояние (НДС), может быть записана в виде (^ = а/Ь, Ь - длина ий- радиус оболочки)

^ ¿(-'Г У [и тО) - а И

ас, Я 1 - атЬт , л

£ . -М", - ¿к;-,«" - ЬгК,,^),

1 - атЪт м