Перемешивание жидкостей под действием неоднородного электрического поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭНЕРГЕТИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 621.313

Т.А. Волкова, Ф.Р. Исмагилов

ПЕРЕМЕШИВАНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕОДНОРОДНОГО

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Рассматривается возможность перемешивания диэлектрических жидкостей под действием неоднородного электрического поля, реализуемая в электростатическом преобразователе энергии с жидкостным ротором. Исследуется система из двух жидкостей, наложенных друг на друга. В результате определены граничные условия на границе раздела двух жидкостей и найдены параметры, которые оказывают влияние на скорость перемешивания.

Перемешивание, граница раздела, электрическая проводимость,

электростатический преобразователь

T.A. Volkova, F.R. Ismagilov

MIXING DIELECTRIC LIQUIDS UNDER THE INFLUENCE OF NON-UNIFORM ELECTRIC FIELD

The article considers the possibility for mixing dielectric liquids under the influence of non-uniform electric field realized in the electrostatic energy transducer with liquid rotor. The system consisting including two liquids imposed against each other is investigated. As a result the boundary conditions on the interface of the two liquids are determined, and the parameters effecting the mixing velocity are found.

Mixing, interface, electric conductivity, electrostatic energy transducer

Возможность перемешивания различных жидкостей под действием приложенного электрического поля привлекала исследователей уже много лет [1]. Существует множество работ отечественных и зарубежных ученых, изучающих данный эффект. Однако из-за сложности математического аппарата, описывающего данный процесс, который включает уравнения гидродинамики и электродинамики, очень сложно получить количественное его решение. В силу того, что уравнения гидродинамики решаются только для частных случаев, обусловленных различием начальных и граничных условий, получить общее решение аналитически практически невозможно. Поэтому мы ограничимся определением математического описания только на границе раздела двух жидкостей, наложенных друг на друга и находящихся под воздействием электрического поля.

При помещении системы из двух несмешивающихся жидкостей в однородное электрическое поле возникает несоответствие между диэлектрическими свойствами жидкостей. Это несоответствие приводит к появлению нормальных и тангенциальных граничных напряжений, которые стремятся привести жидкости в движение и исказить границу раздела между ними [2]. Предположим, что жидкости имеют конечное значение электропроводности и что время ослабления заряда от дна до поверхности сосуда из-за проводимости будет намного меньше, чем время любого другого происходящего в жидкости процесса [3]. Первое предположение учитывает накопление свободных зарядов на границе раздела двух жидкостей и, следовательно, и возможность сдвига электрических сил на этой границе. Второе предположение приводит к существенному упрощению математической формулировки, поскольку уравнения электрического поля будут отщеплены от уравнения момента и уменьшены до законов квазиустойчивого состояния.

Интерес представляет поведение в установившемся состоянии двумерного жидкого двойного слоя под воздействием наложенного неоднородного поперечного электрического поля. Оба слоя жидкостей находятся в сосуде, ограниченном практически со всех сторон стенками и открытом только с одной стороны (с верхней), где слой верхней жидкости соприкасается с воздухом. Цель состоит в том, чтобы определить параметры потока жидкости и граничные изменения под воздействием электрического поля, используя решение простой закрытой формы, учитывая наличие открытой стенки. Для этого решается электрогидродинамическое уравнение для течения потока жидкостей, принимая, что граница раздела двух жидкостей является плоской.

Рассмотрим два наложенных слоя жидкостей, находящихся в сосуде (рис. 1). Толщины верхнего и нижнего слоёв а и Ь, соответственно, а высота сосуда w=a+b.

Рис. 1. Перемешиватель: 1 - сосуд; 2 - верхний слой жидкости (слой а);

3 - нижний слой жидкости (слой Ь); 4 - электроды; 5 - источник питания переменного тока

Допустим, что сосуд имеет вид канала, бесконечно расширяющегося в горизонтальном направлении. Физические свойства жидкости: удельный вес - ра, рЬ, вязкость - ца, цЬ, электропроводность - оа, оЬ и диэлектрические постоянные - £а, еЬ. Примем, что гравитационное ускорение равно нулю. Поверхностное натяжение на границе раздела двух жидкостей - у.

Поток жидкости возникает в результате баланса между силой электрического сдвига Теху и силой вязкостного сдвига на интерфейсе Т^,. Сила электрического сдвига:

Т% = Ч*Е*, (1)

где qs - величина свободного поверхностного электрического заряда и Ех - значение силы электрического поля. Т.к. qs » еЕх и Ех ~ Ф0/™ , сила вязкостного сдвига определяется как

тХу ~ефЦw2. (2)

Балансирование Теху с Т^, приводит к изменению скорости, равной

ы5 = е фЦц™ . (3)

Используя свойства верхней жидкости, ы8 =еаФ^/ца™, и безразмерность отдельных параметров, получаем потоковое число Рейнольдса:

/ = Раы5™1 Ца , (4)

электрическое капиллярное число

Сае1 =Ца ы8 1 У , (5)

и электрическое число Рейнольдса

Кее/ = ыS еа /™°а . (6)

Введем следующие обозначения для свойств материала: Я = оа/Оь , $ =еа/еЬ , Р =Ра/Рь и р = Ца /Ць . Здесь Яef представляет отношение силы инерции к силе вязкости от объема жидкости к границе раздела жидкостей; Яее1 представляет отношение времени ослабления заряда от объема жидкости к границе раздела жидкостей благодаря проводимости, tcond = е/с - отношение ко времени

конвекции заряда благодаря потоку, 1сот = ™/ы8 , и Сае1 представляет отношение силы вязкости к поверхностному натяжению.

Предположим, что время ослабления заряда из-за проводимости намного меньше, чем время конвекции зарядов. Значение заряда равно нулю. Это приводит к Иее1 << 1. Предполагая далее, что инерционные силы малы, Иеf << 1 и граница раздела жидкостей не искажается, Сае1<<1, представляется возможным решить уравнения электрогидродинамики в установившемся режиме аналитически. Для этого необходимо найти управляющие уравнения.

Управляющие уравнения для установившегося режима для несжимаемых и текущих потоков имеют условие несжимаемости:

Уы = 0 (7)

и уравнение сохранения момента

-УР + цУ2ы + Г2 = 0, (8)

где ы - скорость жидкости, Р - давление, и Г - плотность электрической силы, которая добавляется в уравнение момента как часть силы. Уравнение 8 подразумевает, что электрические силы действуют на свободные заряды и заряженные диполи передаются непосредственно в жидкость.

Электрическая сила состоит из трёх компонент [4], которые выражаются как

де

Г1 = qfvE - 0,5Е ■ ЕУе + У[р(д-)т Е ■ Е] (9)

где первый член - электрофоретическая (кулоновская) сила, второй - диэлектрофоретическая сила и третий член - электрострикционная сила. Электрофоретическая сила является результатом действия напряженности электрического поля на свободные заряды, диэлектрофоретическая сила - результат действия электрического поля на поляризованные заряды и электрострикционная сила - результат изменения диэлектрической постоянной и плотности жидкости.

Первые два члена уравнения (9) исчезнут в объеме жидкости с постоянными электрическими свойствами, свободном от зарядов. Для несжимаемых потоков можно сгруппировать электрострик-ционный член с давлением. Тогда уравнение (9) может быть записано как

-УР + цУ2ы = 0, (10)

где

Р = Р-Р^ЬЕ ■ Е (11)

Эр

состоит из измененного давления и плотности электрической силы, являющейся

Г = q^vE - 0,5Е ■ ЕУе. (12)

Для течения потоков в двух размерностях уравнения (7) и (10) могут быть соединены для получения бигармонического уравнения

У4 у = 0, (13)

где у - функция потока.

Поле скоростей

(“•V) = '-Т^ <14>

ду дх

и напряженность поля

Е = -УФ. (15)

Для решения введем следующие граничные условия и условия скачка:

1) электрический потенциал, определенный для нижней стенки

фЪ (х,-Ь) = Ф0 со$(кх); (16)

2) электрический потенциал, определенный для верхней стенки

фа (х, а) = 0; (17)

3) электрический потенциал на поверхности должен быть непрерывным

фЬ (х,0) = фа (х,0) ; (18)

4) нормальный компонент плотности электрического тока свободных зарядов по поверхности должен быть непрерывным,

Оь ^ (х,0) = о а ^ (х,0). (19)

ду ду

Условие скачка (3) соответствует

и как результат от интегрирования где

[[Е ]]■, = 0

Ух Е = 0,

(20)

(21)

№ 2 - 2 (22) устанавливается для броска в различных 2 по границе раздела жидкостей, t - единичный вектор, тангенциальный к границе раздела двух жидкостей, и п - единичный вектор, нормальный к границе раздела жидкостей, который направлен от нижней жидкости к верхней. Подстановка (15) в (20) приводит к дф = дф или фь = фа на границе раздела двух жидкостей. Также условие броска (4) соот-дх дх

ветствует сохранению свободного заряда на границе раздела жидкостей,

+ У5 • к + п ■Ц//Ц= ы ■ п[[/И

д * ........ „/-“-"иям (23)

и результаты применения закона сохранения заряда на границе раздела жидкостей, где ]/ = оЕ -плотность (свободного) электрического тока, к/ - плотность поверхностного тока и У5 - поверхностный градиент.

В результате получаем электрический потенциал в верхней жидкости

Ф (ху) = Е(а,в,Я) [Я 8ІпИ(а)ео8И(ку) - 8ІпИ(ку)ео8И(а)]ео8(кх) Фо

и в нижнеи жидкости

где

Ф (X, у) ф0

= ЯЕ (а,в, Я)8іпИ(а- ку )ео8(кх),

Г (а,р, Я) = [8шИ(Р)ео8Ь( а) + Я 8тИ( а)ео8И(Р)]-1,

а = ка , в = кЬ.

Электрическое поле находится из уравнений (24) и (25), используя (15), которое приводит Еа (х, у) ~|8шЪ(кх)[Я 8шЬ(а)ео8Ь(ку) - 8тИ(£у)ео8И(а)]$-|г р ^

ф0 1 ео8И(кх)[Я8тИ(а) 8тИ(£у) - ео8И(ку)ео8И(а)]$ I

w

и

Е (х’у) = і~{8ІпИ(кх)8ІпЬ(а-ку)€+ ео8И(кх)ео8И(а-ку)€Яе(а,в,Я) ф0

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

w

где = ^к - высота сосуда.

Рис. 2 показывает эквипространственный контур электрического потенциала для двух систем А и В, состоящих из двух жидкостей, имеющих различные электрические проводимости.

а б

Рис. 2. Контуры электрического потенциала для системы жидкостей: а - система А: касторовое масло, наложенное на трансформаторное масло; б - система В: трансформаторное масло, наложенное на касторовое масло

Для системы B вертикальные расстояния между контурами в верней и нижней жидкостях являются приблизительно одинаковыми. Это потому, что нормальный компонент свободного электри-дф

ческого тока J y = а-*- должен быть непрерывным на границе раздела жидкостей, пока аа >> Gb ,

ду

Ta дф п тт л

затем J у уменьшается и, в конце концов, становится настолько малым, что ---------« 0. Для системы A

ду

электрического поля в нижней жидкости нет уровня контуров, что предполагает, неоднородность электрического потенциала. Более того, граница раздела жидкостей - это линия постоянного потенциала. Ex дф и фа (х,0) = const подразумевают, что Ebx = 0 и, когда Ех станет непрерывным на гра-

дх

нице раздела жидкостей, то и Ea = 0 . К тому же контуры электрического потенциала около границы раздела жидкостей в верхней жидкости являются параллельными границе раздела жидкостей.

Поэтому более уместно рассмотреть эти силы как возникающие благодаря тензору напряжений. Тензор напряжений Максвелла упрощается

Тe = eEE - 0,5E ■ Ее/ . (29)

Электрические напряжения в x и у направлениях можно легко определить, используя выражение

4 = eEiEj - 0,5EkEkе5у , (30)

где i и j представляют х и у направления и Sij - дельта Кронекера.

Тангенциальная скорость жидкости будет максимальной там, где максимален сдвиг напряжений и его нормальный компонент.

Функция потока в верхней жидкости:

\н а ~

^ = W -{sinh2(2a)(ky )cosh(2ky) -

и для нижней жидкости:

где

umaxw sinh2 (2a) - 4a2............................ (31)

1 2

- ^[4a - (sinh(4a) - 4a)(ky)] sinh(2ky)}sinh(2kx)

—— =----------^~W-----------{sinh2(2P)(ky)cosh(2ky) -

Umaxw sinhz(2p) - 4p2 (32)

1 о

- 2[4в + (sinh(4P) - 4P)(ky)]sinh(2ky )}sinh(2kx)

Umax =1 wUs ~(R - S )G(a,p, R)H (a,p, j!) (33)

8

еьф0

Vbw

(34)

Н (а,р, ~) =----(8шЬ2 (2а)-4р2) 2- (35)

(81пЬ(4а) - 4а)(81пЬ2(2р) - 4р2) + ~(81пЬ(4р) - 4р)(8тИ2(2а) - 4а2

Важно отметить, что Н(а,р, ~) > 0.

Рис. 3 показывает несколько однопространственных контуров потока для двух систем жидкостей. Для системы А: Я=0,252, 5=0,49 и ~ = 0,818 и для системы В: Я=3,968, 5=2,04 и ~ = 2,5210.

Системы А и В соответствуют касторовому маслу, наложенному на трансформаторное масло, и измененному их положению. Для обоих случаев поле потока состоит из восьми противовращаю-щихся вихрей различного размера и является периодическим в горизонтальном направлении с периодом, который в два раза больше, чем период приложенного электрического поля. Т.к. направление движения положительно коррелировано с электрическим сдвигом напряжения, имеет место фазовый сдвиг между потоками жидкости в двух системах.

Сила потока характеризуется ытах, представленном в уравнении (35). Для данной системы

жидкостей ытах зависит от относительных толщин слоев жидкостей через а = ка и Р = кЬ в С(а,Р, Я) х Н (а,р,~). Здесь можно сделать два наблюдения [5]:

us

1) знак G и Н всегда положительный и, следовательно, направление потока контролируется относительными значениями Я и 5;

2) ишах пропорционально Ф02, а следовательно, направление потока не зависит от полярности электрического поля.

п

п

Рис. 3. Контуры потоков для систем А и В

Таким образом, при помещении системы из двух наложенных друг на друга жидкостей в электрическое поле происходит их перемешивание, причем на границе раздела двух жидкостей действуют нормальные и тангенциальные силы, которые стремятся вывести границу раздела из состояния устойчивого равновесия, в результате чего начинают действовать сдвиговые силы, которые и приводят жидкости в движение [6]. К тому же взаимное расположение жидкостей оказывает значительное влияние на скорость и направление движения слоев жидкостей. Ключевыми параметрами, определяющими направление движения жидкостей и деформации границы раздела двух жидкостей, являются отношения относительных значений электрических проводимостей и диэлектрических про-

О- в-

ницаемостей Я = —- и 5 = —.

O

ЛИТЕРАТУРА

1. Шульман З.П. Вращение непроводящих тел в электрореологических суспензиях /

З.П. Шульман, В.М. Носов; под. ред. О.Г. Мартыненко. Мн.: Наука и техника, 1985. 112 с.

2. Melcher J.R. Electrohydrodynamics: a review of the role of interfacial shear stresses / J.R. Melcher, G.I. Taylor // Ann. Rev. Fluid Mech. 1969. №. 1. P. 111-147.

3. Saville D.A. Electrohydrodynamics: the Taylor-Melcher leaky-dielectric model / D.A. Saville // Ann. Rev. Fluid Mech. 1997. №. 29. P. 77-64.

4. Landau L.D. Electrohydrodynamics of Continuous Media / L.D. Landau, E.M. Lifshitz // Addi-son-Wesley, Reading, MA. 1960.

5. Yeoh H.K. Equilibrium shapes and stability of a liquid film subjected to a nonuniform electric

field / H.K. Yeoh, O.A. Basaran // Phys. Fluids. 2007. №. 19. P. 111-141.

6. Khorshidi B. Electrohydrodynamic instability at the interface between two leaky dielectric flu.id

layers / B. Khorshidi, M. Jalaal, E. Esmaeilzadeh // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects 380 (2011), P. 207-212.

Волкова Татьяна Александровна -

аспирант кафедры «Электромеханика» Уфимского государственного авиационного технического университета

Исмагилов Флюр Рашитович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электромеханика», проректор по административно-правовым вопросам Уфимского государственного авиационного технического университета

Tatyana A. Volkova -

Postgraduate

Department of Electromechanics Ufa State Aviation Technical University

Flur R. Ismagilov -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of Electromechanics, Vice-Rector for Administration and Legal Issues Ufa State Aviation Technical University

Статья поступила в редакцию 23.08.12, принята к опубликованию 06.09.12

Є

0