Переходные режимы колебаний консольного стержня с присоединенным гасителем при заданных начальных условиях Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.042

А.В. Дукарт, Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь

ФГБОУВПО «МГСУ»

ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ КОЛЕБАНИЙ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ С ПРИСОЕДИНЕННЫМ ГАСИТЕЛЕМ ПРИ ЗАДАННЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

Рассмотрены затухающие изгибные колебания консольного стержня постоянного сечения с сосредоточенной массой на свободном конце и присоединенным к ней осциллятором с трением при заданных начальных условиях. Принимается, что исходная система обладает непропорциональным трением, которое учитывается по гипотезе Е.С. Сорокина. Приведенные соотношения используются для анализа влияния параметров динамического и ударного гасителей на переходные режимы движения стержня и гасителя.

Ключевые слова: консольный стержень, свободные колебания, гаситель колебаний, начальные условия, частотно-независимое трение, настройка гасителя, демпфирование гасителя, переходные режимы движения.

Задачи уменьшения длительности переходных режимов свободных колебаний конструкций, машин и приборов (далее — защищаемая конструкция) при заданных начальных условиях достаточно часто возникают в инженерной практике и связаны как с технологическими, так и с санитарно-гигиеническими требованиями [1]. Для их решения могут быть успешно применены динамические (ДГК) и ударные (УГК) гасители колебаний. Некоторые вопросы, связанные с анализом переходных процессов колебаний защищаемой конструкции, оборудованной динамическим и/или ударным гасителем колебаний, обсуждались в [1—5] и других работах, причем исследования ограничивались моделью защищаемой конструкции в виде системы с одно степенью свободы.

В настоящей статье изучаются переходные режимы свободных затухающих колебаний прямолинейного консольного стержня постоянного сечения с жестко насаженной на свободном конце сосредоточенной массой m0 и присоединенным к ней динамическим и/или ударным гасителем с трением при заданных начальных условиях (рис. 1). Диссипативные свойства материала стержня и связи гасителя учитываются по теории частотно-независимого трения, причем принимается, что исходная система обладает непропорциональным демпфированием [1, 6]. Заметим, что колебания ударного гасителя ограничены начальным зазором D.

Рассматривая изгибные колебания стержня, будем основываться на гипотезе плоских сечений. Кроме того, будем считать, что материалы стержня и упругой связи гасителей однородны, изотропны и следуют закону Гука. В этом случае свободные колебания стержня с динамическим, а также с ударным гасителем в промежутках времени между соударениями описываются дифференциальными уравнениями

ВЕСТНИК

МГСУ-

(u + л, )FT д4У(х't) , 2y(х,t) (uc + iuc) FT-;--+ p--— = U;

дх4 " + P dt2

m,

d yr2(t) + cr (ur + i и r) [ (t) - y¡ (t)] = U,

(1)

где Е1, р, ус, I — изгибная жесткость, погонная масса, коэффициент неупругого сопротивления и длина стержня; у( х, V) — динамический прогиб сечения х стержня в момент времени V; у[ (V) = у (I, V) и уГ(() — перемещения свободного конца стержня и массы гасителя; сГ, уГ — квазиупругий коэффициент и коэффициент неупругого сопротивления гасителя; ис = (4-у2)Д4 + у;?) ; и с =4Ус/(4 + ус2 ) ; ит =(4-у?)/( + Уг2); иг = 4уг/(4 + уг2). Е1, р, ус .

/ /2 /-

/

n-2

~7

n-1

Yr Q

x

y(t)

yr(t)

m

0

x

x

2

r

x

n-2

I

x

n-1

Рис. 1. Расчетная схема консольного стержня, оборудованного гасителем колебаний

Общее решение уравнений (1), соответствующее граничным условиям задачи (см. рис. 1) при произвольных начальных условиях движения, было получено и подробно изложено в монографии [6] в связи с построением стационарных решений, описывающих установившиеся колебания рассматриваемой системы с ударным гасителем при периодических возмущающих нагрузках. Поэтому здесь все соотношения приведены в окончательном виде без выводов. Далее ограничимся исследованием переходных процессов колебаний системы, вызванных действием одиночного импульса S0 , приложенного к массе да0 .

Рассмотрим сначала свободные колебания системы с динамическим гасителем. С использованием [6] уравнения движения произвольного сечения x стержня (0 < x <l) и массы гасителя могут быть представлены в вещественной форме

S

y(x, t) = —— X ' vt {[ф2у-1 (x)a2v-1 - Ф2у (x)a2v ] cos rnvt -Pl(0 v=1

-[ф2у (x)a2v-1 +Ф2v-l( x)a2v ] sin fflvt); (2)

S ^

Уг (t) = Z e—5 vt {[e2v-mv-1(l) - e2vФ2У (l)] (a2v-1 cos &vt -a2v sin &vt) -

Pl®0 v=1

- [e2vФ2v-1 (l) + e2v-lФ2v(l)] (a2v COS ( + a2v-1 sin(V)}, (3)

где

e2v-1 = ®r

(o,25hV

ю„

иГ©2 )uГ +(иГroj? - hv

e2v = ю^ (о, 25hy - + uг) иг - (игю^ - hvrov) ur ctv = (o,25hV-a>2 + ur) +(иг-hrov) ;

Ф2у-1 (x) = 0,25 [sh av (1 - x /1) cos bv (1 - x /1) - sin av (1 - x /1) ch bv (1 - x /1) + + sin av ch avx /1(ch bv cos bvx /1 - sh bv sin bvx /1) -

- cos av sh avx /1(sh bv sinbvx /1 + ch bv cos bvx /1) -

- sh av cos avx /1(cos bv ch bvx /1 + sin bv sh bvx /1) + + ch av sin avx /1(cos bv chbvx /1 - sinbv shbvx /1)];

Ф2v (x) = 0,25 [cos av (1 - x /1) shbv (1 - x /1) - ch av (1 - x /1) sin bv (1 - x /1) -

- sin av sh avx /1(ch bv sinbvx /1 + shbv cos bvx /1) + + cos av ch avx /1(ch bv sin bvx /1 - shbv cos bvx /1) + + ch av cos avx /1(sinbv ch bvx /1 - cos bv sh bvx /1) -

- sh av sin avx /1(cos bv sh bvx /1 + sin bv ch bvx /1)];

юГ = сГ mr — парциальная частота колебаний гасителя; ю0 = (р0/1 )2 EI / р — частота основного тона колебаний защищаемой конструкции без демпфирования при отсутствии гасителя; р0 — наименьший положительный корень уравнения

1 + chP0 cosР0 -(chP0 sinP0 -shP0 cosP0^^/(р/) = 0; ®v, hv — частоты и соответствующие им коэффициенты демпфирования рассматриваемой системы с гасителем, определяемые через корни Р2v-i 2v = av ± ibv характеристического (частотного) уравнения

(uг + iur)сгmrkvl (chpv sinPv - shpv cosPv) + (uc + iuc)Eipv [mr kv +cr (ur + mr)] (1 + chpv cos ev) = 0 ; ^ = -(ис + róc)EIp^(р/4) по формулам

1

+

rov = 0,5®0

I d2vuc - d1vuc

)2 +(

d1v uc + d2vuc

) + d1vU

c - d2vuc

hv -ro0 (d1vuc + d2vuc )/rov

d1v =

(a° -b° )2 - 4a°b-° P4 ; d2v - 4avbv (a° -b° )/p4.

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями движения системы, которые для рассматриваемого воздействия имеют вид

у(х,0) = 0 при 0 < X < I;

dy( x,0) п п , dy(l ,0) = 0 при 0 < x < /■ 7 '

S0

dt

dt (mo + m пр )

yT(0)=0 ;

_ 0. dyA0)

dt

_ 0,

ВЕСТНИК roft,-

3/2013

где тпр — масса стержня, приведенная в точку установки гасителя. Осуществляя приведение распределенной массы стержня к сосредоточенной массе в сечении x = l по количеству движения, найдем тщ= 0,375р/ [6].

Приведенное решение позволяет описать движение рассматриваемой системы с ДГК и, следовательно, решать задачу выбора параметров гасителя при заданных начальных условиях движения для принятого критерия качества виброзащиты. Для численной реализации решения ограничимся в (2), (3) конечным числом слагаемых, соответствующих количеству точек системы, в которых удовлетворяются начальные условия ее движения. Принимая число слагаемых уравнений (2), (3), равным n, и учитывая, что одной из таких точек является масса гасителя, а другой — сечение свободного конца стержня (т.е. масса да0), будем иметь вдоль оси стержня (n - 2) дополнительных сечений, которые разместим равномерно на расстоянии l / (n -1). Отметим, что при сохранении в уравнениях (2), (3) двух членов начальные условия движения будут удовлетворяться только для массы гасителя и для свободного конца стержня.

Движение стержня с ударным гасителем в интервале времени между любыми последовательными соударениями гасителя и защищаемой конструкции в моменты t = tfc и t = tfc+i также описываются уравнениями вида (2), (3), в которых следует t заменить на (t -1k), а постоянные интегрирования a2v_, — на a2V_i, «2V. При этом уравнения (2), (3) должны применяться последовательно от одного интервала к другому в сочетании с подходом, связанным с пересчетом начальных условий движения системы для соответствующего интервала времени t+ < t < t_+i [4—6]. Они имеют вид

y(x,, tk) = yk (х,); у(х,,4) = (х,); i = 1,2,».,n -1;

(4)

Уг(%)=Уг,к; yr (tk) = uí,¿,

где t_ и t+ — моменты начала и окончания контактного взаимодействия массы гасителя и защищаемой конструкции при t = tk . Соударения принимаются мгновенными и оцениваются по гипотезе стереомеханической теории удара коэффициентом восстановления 0 <R < 1 [7]; k = 0,1,2,3, ..., причем k = 0 соответствует начальному моменту движения системы (t = 0 ), т.е. to = 0 . Мгновенные приращения получают только скорости массы гасителя тГ и массы ^ (в сечении x = l); их послеударные и+ (l), u+¿ и доударные скорости и_ (l), и-¿ связаны известными соотношениями [6, 7]. Постоянные a2v_1, a2v^, соответствующие интервалу времени tk < t < tk+i, определяются с помощью условий (4) при t = t+ . Для отыскания (k +1 )-го соударения масс тГ и т0 необходимо воспользоваться геометрическим условием соударения

Ут(*к+1) - У1 (tk+1) = D, (5)

причем корень уравнения (5) должен удовлетворять условию положительности относительной скорости массы гасителя в момент времени tk+1, непосредственно предшествующий соударению. Отметим, что на всех интервалах движения системы должна осуществляться проверка условия yT(t) -y¡(t) < D при t+ < t < t_+1.

Некоторые результаты вычислений в виде графиков переходных процессов затухающих колебаний свободного конца стержня и массы гасителя приведены на рис. 2, 3 и 4, где обозначено

Цг = щЦр1); мю = то/(р0; ц^гЛ1+М; 5 = ®г/®о; т = ;

У (Т) = У1 (/)/у0 (I); У (Т) = Уг (/)/Уо (I); d = Б/уо (I); Уо (I) = ^®017(3Е/).

V"=S / n=2

, n=6

VAn=4

Yj\ n=10 ^,=0,2; ^г=0 s=0,985;yc=0 024; ^=0,02; ,05; уГ = 0,3

0,5

-0,5

0

10

20

30

40

50

Рис. 2. Переходные режимы колебаний свободного конца стержня с динамическим гасителем

1 0,5

0

-0,5 -1

R = 0,3

0 10 20 30 40 50 60 т

1 0,5

0

-0,5 -1

(1 Л

Л/ \ A

г * \J V\ / v \y —

V R = 0,8

0 10 20 30 40 50 60 т

а б

Рис. 3. Переходные режимы колебаний свободного конца стержня с ударным гасителем: |д0 = 0,2; |Г = 0,024; | = 0,02; 5 = 0,5; ус = 0,05; уГ = 0,01; й = 0

Yp 0 -1 -2 -3

/

\ i

V r lv

V R = 0,3

Yp 0 -1 -2 -3 -4 -5

л

] 1, Л/ VA A7

\ 1 V

V V

VI

R = 0,8

0 10 20 30 40 50 60 70 т 0 10 20 30 40 50 60 т

а б

Рис. 4. Переходные режимы колебаний массы ударного гасителя: д0 = 0,2; = 0,024; | = 0,02; 5 = 0,5; ус = 0,05; уГ = 0,01; ¿= 0

0

т

ВЕСТНИК

Для сравнения на рис. 3, а пунктирной линией изображен график колебаний свободного конца стержня при отсутствии гасителя.

Как известно [1, 6], периодические импульсивные воздействия возбуждают высшие формы колебаний защищаемой конструкции, вклад которых в окончательные результаты расчета является значительным. Аналогичная ситуация имеет место при действии одиночных импульсов. Об этом свидетельствуют графики переходных режимов колебаний свободного конца стержня, оборудованного динамическим гасителем, приведенные на рис. 2. Сопоставительные расчеты показывают, что достаточная для практических целей точность вычислений 1.. .5 % достигается при удерживании в решениях (2), (3) восьми-десяти слагаемых.

Рис. 3 и 4 характеризуют влияние коэффициента восстановления при ударе на поведение защищаемой конструкции с УГК, в частности свободного конца стержня и гасителя. Вычисления выполнены при сохранении в (2), (3) восьми членов (n = 8). Они, как и в случае одномассовой системы с динамическим [1, 3] и ударным [4, 5] гасителем, свидетельствуют о значительном влиянии величины коэффициента R на характер свободных колебаний стержня и гасителя. В зависимости от величины коэффициента восстановления функции Y (т) и Yr(т) затухают либо плавно (см. рис. 3, а и 4, а), либо колебания системы сопровождаются затухающими биениями (см. рис. 3, б и 4, б). В последнем случае демпфирование колебаний стержня и гасителя на достаточно большом интервале происходит медленнее.

В заключение отметим, что приведенные соотношения могут быть использованы также для изучения переходных процессов свободных колебаний стержня с динамическим и/или ударным гасителем при действии однократных импульсов конечной продолжительности различной формы.

Библиографический список

1. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М. : Наука, 1988. 304 с.

2. Вульфсон М.Н. К вопросу о выборе параметров динамического гасителя колебаний // Нелинейные колебания и переходные процессы в машинах. М. : Наука, 1972. С. 347—354.

3. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. К определению свободных колебаний двухмассовой системы с демпфированием // Известия вузов. Строительство. 2011. № 5. С. 98—106.

4. Дукарт А.В., Фам Тхань Бинь. О переходных режимах колебаний одномассовой системы с ударным гасителем при заданных начальных условиях // Известия вузов. Строительство. 2011. № 6. С. 16—22.

5. Варат С.Ы., Sankar S. Single unit impact damper in free and forced vibration // Journal of Sound and Vibration. 1985. Vol. 99. N 1. Pp. 85—94.

6. Дукарт А.В. Задачи теории ударных гасителей колебаний. М. : Изд-во АСВ, 2006. 208 с.

7. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М. : Строй-издат, 1965. 449 с.

Поступила в редакцию в ноябре 2012 г.

Об авторах: Дукарт Адам Вилебальдович — профессор, доктор технических наук, профессор кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];

Фам Вьет Нгок — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];

Фам Тхань Бинь — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

Для цитирования: Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. Переходные режимы колебаний консольного стержня с присоединенным гасителем при заданных начальных условиях // Вестник МГСУ. 2013. № 3. С. 53—60.

А.М Dukart, Pham Viet Ngoc, Pham ^anh Binh

TRANSIENT VIBRATIONS OF A CANTILEVER BAR WITH AN ATTACHED ABSORBER IN CASE OF PRE-SET INITIAL CONDITIONS

The authors consider decaying flexural vibrations of a cantilever bar having a permanent cross section. The mass is concentrated at the free end, and the impact absorber is attached to the mass. Initial conditions are pre-set by the authors. Properties of the bar and the damper are considered in pursuance of the E.S. Sorokin theory of frequency independent friction whereby it is accepted that the initial system demonstrates disproportionate friction.

The effect of impacts is assessed using the restitution coefficient. It is assumed that vibrations of the system are described by linear differential equalizations. The Fourier method of division of variables in combination with the method of initial parameters is employed, and motion of the mass of the bar and absorber is presented in an explicit form.

The solution is used to study the system behaviour exposed to the instantaneous single impulse applied to the concentrated mass at the end of the bar. The influence of parameters of dynamic and impact absorbers onto transient vibrations of the system is studied. In addition, the impact of higher modes of vibrations on overall results is estimated.

Key words: cantilever bar, free oscillations, vibration absorber, initial conditions, frequency-independent friction, absorber tuning, absorber damping, transient motion.

References

1. Korenev B.G., Reznikov L.M. Dinamicheskie gasiteli kolebaniy: teoriya i tekhnicheskie prilozheniya [Dynamic Dampers of Vibrations: Theory and Engineering Applications]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 304 p.

2. Vul'fson M.N. K voprosu o vybore parametrov dinamicheskogo gasitelya kolebaniy. Nelineynye kolebaniya i perekhodnye protsessy v mashinakh [On Selection of Parameters of a Dynamic Absorber. Nonlinear Vibrations and Transition Processes in Machines]. Moscow, Nauka Publ., 1972, pp. 347—354.

3. Dukart A.V., Pham Viet Ngoc, Pham Thanh Binh. K opredeleniyu svobodnykh kolebaniy dvukhmassovoy sistemy s dempfirovaniem [On Identification of Free Oscillations of the Damped Dual-mass System]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction.] 2011, no. 5, pp. 98—106.

ВЕСТНИК

4. Dukart A.V., Pham Thanh Binh. O perekhodnykh rezhimakh kolebaniy odnomassovoy sistemy s udarnym gasitelem pri zadannykh nachal'nykh usloviyakh [On Transitory Vibration Modes of a Single-mass System Exposed to the Impact Damper in Case of Pre-set Initial Conditions]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction.] 2011, no. 6, pp. 16—22.

5. Varat S.N., Sankar S. Single Unit Impact Damper in Free and Forced Vibration. Journal of Sound and Vibration. 1985, vol. 99, no. 1, pp. 85—94.

6. Dukart A.V. Zadachi teorii udarnykh gasiteley kolebaniy [Objectives of the Theory of Impact Vibration Dampers]. Moscow, ASV Publ., 2006.

7. Goldsmit V. Udar. Teoriya i fizicheskie svoystva soudaryaemykh tel [Impact. Theory and Physical Properties of Colliding Bodies]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1965.

About the authors: Dukart Adam Vilebal'dovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];

Pham Viet Ngoc — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];

Pham Thanh Binh — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

For citation: Dukart A.V., Pham Viet Ngoc, Pham Thanh Binh. Transient Vibrations of a Cantilever Bar with an Attached Absorber in Case of Pre-set Initial Conditions [Transient Vibrations of a Cantilever Bar with an Attached Absorber in Case of Pre-set Initial Conditions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 3, pp. 53—60.