Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления в сферической и прямоугольной системах координат Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 535.317

А. Л. Сушков

ПАРАМЕТРЫ СФЕРОКОНЦЕНТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

Приведено описание сфероконцентрического распределения показателя преломления в сферической и прямоугольной системах координат. Показана возможность преобразования полинома распределения показателя преломления из сферической системы координат в прямоугольную, что позволяет производить расчет коэффициентов аберраций, а также проводить компьютерное моделирование оптических элементов со сфероконцентрическим градиентом показателя преломления.

Ключевые слова: сферическая система координат, прямоугольная система координат, показатель преломления, сфероконцентрический градиент показателя преломления, коэффициенты аберраций.

Сфероконцентрическое распределение показателя преломления (РПП) (определяемое терминами „сферический градиент показателя преломления", „сферический градиент") соответствует изменению показателя преломления вдоль радиуса сферы с центром на оптической оси градиентного оптического элемента. Такое распределение можно получить, например, методами ионной диффузии исходной заготовки оптического элемента (ОЭ) со сферической поверхностью или химического послойного осаждения на сферическую поверхность; пример такой градиентной линзы на кристалле Ge / Si приведен в работе [1].

Аберрационный анализ линзы со сфероконцентрическим РПП в области первичных аберраций возможен при переходе из сферической системы координат в прямоугольную.

Впервые сфероконцентрическое РПП было изучено Мэрчандом (Marchand) [2], а основные принципы расчета первичных аберраций при наличии ОЭ со сферическим градиентом показателя преломления сформулированы в работе [3]. Однако некоторые вопросы требуют пояснения, и, кроме того, в расчетах присутствуют неточности, которые необходимо исправить.

До настоящего времени работа по определению эффективности применения неоднородного показателя преломления концентрировалась вокруг двух видов РПП — радиального и осевого, которые являются частными случаями более общего полинома, описывающего показатель преломления для осесимметричных систем:

О = n00 + n01z+n02 ^ +•••+n10 n1&+n12^z2 +•••+n20^ + n21^ z+n22^ z 2 (1)

2 2

где Ç=x +y ; nij — коэффициенты; i, j — индексы по E, и z.

Сфероконцентрическое РПП обычно задается полиномами показателя преломления в сферической системе координат.

Геометрическое представление сферического градиента показано на рисунке. Поверхности с одинаковым показателем преломления — сферы с текущим радиусом р с центром в точке Сд с координатами (0, 0, Яг) в прямоугольной системе координат Х0У1. Плоскость УОХ является полярной касательной плоскостью к этой поверхности, ось 02 — оптическая ось.

7 /

О

1

Полином показателя преломления в сферической системе координат с центром в точке

Сд имеет вид

п(Яд -р) = Пр0 + Пр1 (Яд -р) + Пр2 (Яд -р)2 + пр3 (Яд -р)3 + Пр4 (Яд -р)4 +...,

(2)

где Яё — радиус технологической сферы градиентной поверхности линзы; р — текущее значение Яд; при п(р) образуется эквирефракционная сферическая поверхность; для упрощения

записи обозначим Яё = Я.

При переходе в прямоугольную систему координат уравнение (2) преобразуется к виду

-|1/2

..........(3)

(Я-р) = Я - (Я - г)2 + у 2 + х2

(Я-р) = Я-(Я2-2Я+г2 +^)1/2.

Если зависимость (3) записать как

Я-р = Я 1-

1+

г2+^-2ЯЛ

Я2

1/2

то ее можно представить в виде ряда [4]

2

Я-р = -

+^-2Я ( г2+^-2Я )

•+...

(4)

2Я 8Я

Полученное разложение в ряд является бесконечно длинным и для практического использования должно быть ограничено.

В качестве критерия точности при переходе от сферической системы координат к прямоугольной принята волновая аберрация, возникающая из-за смены системы координат. Она обозначается как ОРБ и носит название волновой аберрации преобразования:

ОРБ = Яп(Я - р) - Яп(г, ^)=ЯДп,

где Дп — разность значений показателя преломления, обусловленная сменой системы координат .

Для уточнения параметров поверхности линзы в работе [3] введено понятие относительного отверстия поверхности £=Я/2усв (где 2усв = Всв — световой диаметр поверхности).

2 2

С учетом того, что обозначение £= х + у в меридиональной плоскости преобразуется в

Е, = у2, получаем выражение для S через Я и

£ =

Я

откуда

1 =

Я1

№ )2

(5)

При подстановке выражения (5) в член пятого порядка ряда (4) получим

7Я

10 '

256 Я9 262144£

Величина волновой аберрации преобразования луча, идущего в направлении градиента, определяется как

ОРБ^ц-,

786432£10

где ц — глубина зоны градиента.

Произведение ир1ц составляет перепад значений показателя преломления, который по аналогии с радиальным РПП стекла можно принять равным 0,05.

Тогда, ограничивая волновую аберрацию величиной А/10, т.е. выполняя требование

21Я

ОРБ = 0,05-

786432£

10

<А/10.

можно получить условие ограничения относительного отверстия поверхности через величину Я. При А=0,0005 мм граничное условие имеет вид

Я<3,745-Б10.

Например, при Я=100 мм имеем £>1,389 или Осв< Я/1,389 < 71,99 мм. Таким образом, на величину светового диаметра поверхности должно накладываться ограничение, критерием которого является допустимая волновая аберрация ОРБ.

В общем случае выражение для волновой аберрации преобразования сферической системы координат в прямоугольную имеет следующую запись:

Я

0РБе=2,67-10-5Ая-

£10 '

где 0РБе — ошибка, возникающая при смене системы координат.

С целью уменьшения ошибки уравнение (1) было расширено до 9-го порядка, т.е. для

|к 2т сумма степеней (2к+т) не превышает 9.

Разложение зависимости (3) в ряд до 9-го порядка проведено с помощью программы БОЯМАС [3]. Результаты приведены в табл. 1—5: в табл. 1 — коэффициенты уравнения (1) в прямоугольной системе координат; в табл. 2—5 представление коэффициентов соответственно при Пр1,

' Пр2, Пр3 и Пр4 в прямоугольной системе координат.

Таблица 1

I0 I1 I2 I3 I4

г0 «00 «10 «20 «30 «40

21 г2 г3 г4 г5 г6 21 / г9 «01 «11 «21 «31 «41

«02 «12 «22 «32

п03 «13 «23 «33

п04 «14 «24

«05 «15 «25

«06 «16

«07

«08

«09

Таблица 2

I0 I1 I2 I3 I4

г0 1 2К 1 8К3 1 16 К5 5 128К7

г1 1 1 3 5 35

2 2 К 8К4 16Кб 128 К 8

22 1 2 К3 3 4 К5 15 16К7

г3 1 2 К 4 5 4 К6 35 16 К8

г4 1 2 К5 15 8К7

г5 1 2 К6 21 8К8

г6 1 2 К7

г7 1 2 К8

Таблица 3

I0 I1 I2 I3 I4

г0 1 2 4 К 1 8К 4 5 64Кб

г1 1 К 3 4 К3 5 8К5 35 64К7

г2 1 1 3 2 К 4 15 8Кб

г3 1 5 2 К5 35 8К7

г4 1 15 4 К6

г5 1 21 4 К7

г6 1

г7 1 -К7

Таблица 4

I0 I1 I2 I3 I4

г0 1 8Я3 3 32 Я5

г1 3 2 4 Я 3 4Я4 45 64Яб

22 3 2 Я 15 8Я3 39 16 Я5

г3 1 3 2 2 Я 27 8Я4 95 16Яб

г4 3 2 Я3 21 4 Я5

г5 3 2 Я 4 15 2 Я6

г6 3 2 Я5

г7 3 2 Я6

Таблица 5

I0 I1 I2 I3 I4

г0 1 16 Я 4

г1 1 2Я3 5 8Я5

г2 3 2 2 Я 9 4Я4

г3 2 Я 7 2 Я3 25 4Я5

г4 1 2 6 Я4

г5 2 9 Я5

г6 2

г7 2

Сферический градиент описан распределением показателя преломления

«1 (р)=«р0 + «р1(Я _Р).

Согласно данным табл. 2 равноценный градиент в прямоугольной системе координат будет иметь следующую запись:

«1(2Л)=«р0 + «р12 _«Р11

(

( л 234567 К

1 2 2 2 2 2 2 2 +---+---

2 Я 2 Я2 2 Я3 2 Я4 2 Я5 2Я6 2Я7 2Я8

у

+«р1|2

1 32 322 5г3 15г4 21г5 К

ч 8Я3 8Я4 4Я5 4Я6 8Я7 8Я8 у

_ п,

Р1|3

52 15г2 35г3К

ч 16Я5 16Я6 16Я7 16Я8 у

+«рЛ

(

352

-1 +-Г I+«Р10

V128Я7 128Я8 У

(Iк210_2к),

к = 0,1, 2, 3, 4,5.

Для сферического градиента «2 (р) = «р0 + «р4(Я_р)4 равноценный градиент в прямоугольной системе координат равен (по данным табл. 5)

4 (1 П2(2Л) = «р0 +«р42 _2«р4^=

3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 К 2 +--— 2 +--— 2 +--- 2 +--- 2 +

Я Я2

Я3

Я

ЯJ

+^

2 ( 3 2,7 3,6 4,9 5

-2 +-

V2Я2 2Я

+^

2 +—Г 2 +-Г 2 I +nр4|

(

1 9 2 25 3 К+ -2--2--2 1 +

V 2Я3 4Я4 4Я5 У

V16 Я4 8Я5

Я4 Я

2 К + 0 (!к210_2к ), к = 0,1,2,3,4,5.

4( 1 , 5 К , п/як 10_2к

Для градиента ^(р) = «р0 + «р^Я_р)+«р4(Я_р) равноценный градиент в прямоугольной системе координат равен сумме двух градиентов минус «р0:

«3 (2, | ) = «1(2, | )+«2 (2, | ) _«р0 ,

т. е.

3 ( У = «р0 + «р12+«р4 24 ^

«р1 «р1 «р1 2 —■2 2 2 + 2 Я 2 Я 2 Я

(

п,

р1

2«р4 К

Л

2 Я Я

3

2 +...

+ I 2

«р1 3nр1 • +-2 +

8Я 8Я

(3« 3« К

+ -"'р4

V 4Я5 2Я2 у

2 +...

■I 3(...) ■I 4(...).

В области аберраций третьего порядка запись РПП ограничивается степенями для I и 2, не превышающими 2.

Например, исходное сферическое РПП

«(Я _р) = «р0 + «р1( Я _р) при переходе к прямоугольной системе координат можно записать как

(

(

«1(2Л)=«р0 + «р12 _«рЛ — +—^ |+ «рЛ

V 2Я 2Я2

1 32

V 8Я3 8Я4

В меридиональной плоскости имеем

4 Г 1 3z

8R3 + 8R

4

Рассмотренный математический аппарат позволяет осуществить математическое моделирование оптических элементов со сферическим градиентом показателя преломления в области аберраций третьего порядка, а также компьютерное моделирование оптических систем с градиентными элементами с помощью программных комплексов (например, "OPAL-PC"), в которых неоднородный показатель преломления описывается в декартовой системе координат.

1. Howard J. W., Ryan-Howard D. P. Optical design of thermal imaging systems utilizing gradient-index optical materials // Opt. Eng. 1985. Vol. 24, N. 2. P. 263—266.

2. Marchand E. W. Ray tracing in gradient - index media// J. Opt. Soc. Amer. 1970. Vol. 60, N. 1. P.1—6.

3. Fantone S. D. Optical design with spherical index gradients // Appl. Opt. 1983. Vol. 22, N. 12.

4. ДвайтГ. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Александр Леонидович Сушков

Сведения об авторе канд. техн. наук, доцент; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов научных исследований

Поступила в редакцию 25.03.08 г.