Параметры подобия формы недорасширенной струи при истечении в затопленное пространство Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том X 197 9

№ 2

УДК 533.695.7

ПАРАМЕТРЫ ПОДОБИЯ ФОРМЫ НЕДОРАСШИРЕННОЙ СТРУИ ПРИ ИСТЕЧЕНИИ В ЗАТОПЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

Н. И. Шелухин

Определены характерные линейные масштабы недорасширенной осесимметричной струи, истекающей в затопленное пространство, позволившие получить обобщенные зависимости для границы струи и контура висячего скачка уплотнения, а также для некоторых характерных размеров струи и характерного угла поворота потока в струе. Обобщенные зависимости получены с использованием имеющихся в литературе результатов численных расчетов струй; параметры недорасширенных струй ири этом менялись в диапазонах: Мй= 1 ч-5; -/.= 1,3н- 1,4; я = 10-=- 10в; 6а = 0~ 15°.

Рассмотрим истечение в затопленное пространство из осесимметричного сопла с числом М на срезе Ма и углом полураствора 0а сверхзвуковой недорасширенной струи невязкого сжимаемого газа с отношением удельных теплоемкостей х при степени нерасчетности н—Ра!Рос- В качестве характерных линейных масштабов для струи, как и в работе [1], рассматриваются продольный масштаб ¿*(£* — £ш), рис. 1, и поперечный масштаб /?*(/?* ~ /?„,). Использование характерных линейных масштабов при обработке экспериментальных данных или результатов численных расчетов струй позволяет получить обобщенные

зависимости для геометрических характеристик струи, формы висячего скачка уплотнения, распределения газодинамических параметров в струе (см., например, [2]), а также обобщенные выражения для линейных размеров струи.

Цель настоящей работы состояла в нахождении выражений для и /?*. Из ранее известных работ по оценке линейных масштабов сверхзвуковых недо-расширенных струй следует отметить работы [1, 3—5]. Так, в работе [3] впервые

было экспериментально установлено, что ~ V *л , а в работе [1] было

показано, что не только ~ I п, но п /?* ~ У п.

При истечении сверхзвуковой недорасширенной струи в затопленное пространство из уравнений сохранения импульса и энергии для невязкого сжимаемого газа методом теории подобия [6, 7] можно показать, что в области сжатого слоя в струе, ограниченной границей струи и висячим скачком уплотнения, критериями подобия будут следующие комплексы:

«; мМ’; ТГГр (•)

Поэтому комплексы (1) должны входить в состав выражений, получаемых для линейных масштабов сверхзвуковой недорасширенной струи.

Принимая, что величина продольного масштаба для струи зависит от продольной составляющей полного импульса струи на срезе сопла 1ах = (ра-\~ Ра ^ах) Ра и от величины давления в окружающей среде , с помощью анализа размерностей можно аналогично [1| получить следующее выражение для продольного масштаба:

¿* ~ ]/~п (1 -I- х сое2 0а), (2)

Выражение (2) отличается от установленного ранее экспериментально в рабо. те [2] (,/-* ^ ) иг \\2а 1 наличием дополнительного слагаемого под радикалом, учитывающего статическую составляющую импульса на срезе сопла (это существенно при малых значениях Ма. когда статическая составляющая представляет значительную часть полного импульса струп на срезе сопла), и наличием множителя с05' 0д, учитывающего влияние формы сопла.

Выражение для поперечного масштаба струи получим из уравнения сохранения импульса в проекции на ось струи. В качестве контрольной поверхности выбираем поверхность цилиндра, контуры которого на рис. I указаны штриховой линией. Тогда уравнение сохранения импульса в проекции на ось струи запишем в виде:

(Ра + Ра VI) Ра + (Р,п ~ Ра) = (Р + рУ I) ¿Р- (3)

При этом из-за малости 0а принимаем проекцию на ось струи полного импульса струи на срезе сопла равной самому этому импульсу (!ах = /а). В качестве оценки для интеграла в правой части уравнения (3) примем, ч го ^ (р р\'2х)с1Г = (¡V,

_ рт

где V—некоторое среднее значение скорости по сечению /гш, а у — расход газа в струе. Величину V определим из следующих соображений. Поле течения в недорасширенной струе можно разбить на две области: ядро струи (где картина течения аналогична картине при истечении струи в вакуум), ограниченное срезом сопла, поверхностью висячего скачка и диском Маха, и область сжатого слоя, расположенная между границей струи и висячим скачком уплотнения. Для каждой из этих областей характерными значениями скоростей являются соответственно максимальная скорость истечения Ктах и скорость на внешней границе струи Vн. Тогда, выбирая в качестве среднего значения скорости по се-~ ^шах + УН

чению Рт V —------2-----' получим следующую оценку для интеграла в правой

части уравнения (3):

[ (р + рУ1)4Р=(? Ута*2 Ун ■ (4)

]0 — .Ученые записки* №2

131

После подстановки выражения (4) в уравнение (3) получим следующее выражение для /?* (учитывая, что /?* ~ /?„,):

я.~

— + 1

или, выражая все через х, Ма и п:

>+¿1^(1-» Х)]-(1+*М2)

+1(5)

При достаточно больших Ма I ТГг С I | и я из выражений (2) и (5) можно по-

ч /

лучить следующие оценки для ¿* и

£* ~ Кхл М2 сое 6Й, /?* ~ |/ (і — я х ) . (6)

1-Х

А

Из оценок для и /?*, предложенных в работе [1], а также выражений (6) для больших Ма и п и малых 0а получим, что

~ у*ям*. я. ~ . (7)

В состав выражений (7) входят комплексы (1), имеющие четкий физический смысл, из чего следует, в частности, что квадрат длины продольного масштаба пропорционален отношению сил инерции на срезе сопла к силам давления в окружающей среде, а квадрат поперечного масштаба пропорционален отношению внутренней энергии на срезе сопла к работе сил давления в окружающей среде. Характерный угол поворота потока в струе 8* /?*//.* (1]. Тогда, согласно

выражениям (7), в*-----. - . Комплекс х (х — I) М? представляет собой

Ух(х-1)М*

отношение кинетической энергии к внутренней энергии на срезе сопла. Полученное выражение для 6* не зависит от давления в окружающей среде и поэтому применимо лишь в пределах ядра струи. Более точная оценка для 0*, справедливая в области сжатого слоя, следует из выражений (6):

У

1-*

1 - п х

х (х — 1) Мд сое2 6а

Выражение для можно также получить непосредственно из выражений (2) и (5). _ _

Применим полученные оценки для и к результатам численных расчетов недорасширенных струй. На рис. 2 и 3 представлены соответственно зависимости для границы струи и контура висячего скачка уплотнения, построенные в координатах г, х пронормированных с помощью выражений (2) и (5). Зависимости построены по материалам численных расчетов [8, 9] для х=1,3 и 1,4; Ма = 1 -5- 5; п = 10 -г- Ю6; 0а = 0 Ч- 15°. Для границы струи (см. рис. 2) результаты расчетов хорошо ложатся на единую кривую. На рис. 4 для сравнения эти же данные о границе струи представлены в координатах, пронормированных с помощью масштабов, полученных в работе [1]:

_______/ о 1 \,/4

~ У хя М' | 1 1

/»['«’.(у

я*~ I/ «Ьм«1 V *+—

Рис.

<1 Ha M-

X xr »**• &• « <

•ч #*<0 <3 â£.<, £.

<>*'-• v*- « <> ? ¿Є, « 4 <1 « <J

*>' • і-- -< " \ і - •" L * <1 Я <1

: rV.V* y в їг 4 <j tt і *&* *•*«*

> • >• ce ° 300 *<] ° Vі*

* SfcJH ° V -o£ о 4

ы ■£ *9 ч „ 4 rf •%*

Рис.

Приведенные на рис. 4 результаты для различных значений Ма, %, п и 6а в отличие от рис. 2 заметно различаются между собой, особенно в районе максимального сечения струи. Па рис. 3 в тех же координатах, что и на рис. 2, по данным работы [8] построены зависимости для висячего скачка уплотнения. Все расчетные данные хорошо ложатся на единую кривую, за исключением случая М„ = 4; п = 10; х = 1,3; 0а = 10°. Это свидетельствует о более высокой чувствительности к степени нерасчетности формы висячего скачка уплотнения по сравнению с границей струи.

Исходя из результатов, приведенных на рис. 2, можно получить следующие выражения для расстояния от среза сопла до максимального сечения струи и для максимального радиуса струи:

Г„, е= — =г 0,95 Уп 0 + К cos3 üû) ;

ru

Зависимости, приведенные на рис. 2 и 3, можно аппроксимировать следующими выражениями:

для границы струи

7 = 0,0312b + 0,238х3 - 1,468 х! + 2,008 х + 0,107; для висячего скачка уплотнения

- 0,674 х* + 2,108 *з _ з, 130 Ъ + 2,465 х + 0,058.

Приведенные аппроксимации пригодны для нерасчетностей гг =- 50 -г- 10е.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мурзинов И. П. Параметры подобия при истечении сильно недорасширенных струй в затопленное пространство. ,Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 4.

2. Л е й те с Е. А. Распределение плотности в дальнем поле сверхзвуковой струи, истекающей в вакуум. Труды ЦАГИ, вып. 1672, 1975.

3. L е w i s С. М., Carlson D I. Normal shock location in underexpanded gas and gas parficle jets. „А1АА J.\ vol. 2, N 4, 1964.

4. Гусев В. H„ К л и мов а Т. В. К подобию гиперзвуковых струйных течений. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3. № 6, 1972.

5. Гусев В. Н„ Михайлов В. В. О подобии течений с расширяющимися струями. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, № 4, 1970.

6. Г у х м а н А. А. Введение в теорию подобия. М., „Высшая школа“, 1973.

7. К и р п п ч е в М. В. Теория подобия. М., Изд. АН СССР, 1953.

8. Аверенкова Г. И., АшратовЭ. А., В о л к о н с к а я Т. Г., Дьяконов Ю. Н., Егорова Н И., М е л ь и и к о в Д. А., Р о с л яков Г. С., Ус ков В. И. Сверхзвуковые струи идеального газа, ч. 11. Истечение струй в затопленное пространство. Труды ВЦ., Изд. МГУ, 1971.

9. Love Е. S., Grigsby С. Е„ Lee L. P., Wood ling MI.

Experimental and theoretical studies of axisymmetric free tels. NASA TR R-6, 1959. 1

Рукопись поступили 101/ 1978 г.