CC BY
36
Том XX
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ 1989
№ 2
УДК 532.525.6
О МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КАНАЛА
А. С. Войновский, В. И. Киреев, В. П. Назаров
В идеальной постановке решена задача моделирования как интегрального, так и распределенного силового воздействий на поверхность цилиндрического канала, реализующихся при натекании на нее недорасширенной струи при умеренной степени нерасчетности. При этом предполагается, что течение всюду сверхзвуковое, а моделирование распределения давления на поверхности взаимодействия осуществляется при различных значениях показателя адиабаты х= 1,1 — 1,67 и геометрическом подобии по перепаду давления на интерференционной ударной волне пг, по нерасчетности истечения струи п\ и по распределению вдоль границы струи производной от давления по нормали к ней. Результаты численного моделирования получены и проанализированы для умеренной степени нерасчетности п\ = 7.
Моделированию силового и теплового воздействия сверхзвуковых струй на обтекаемые ими преграды посвящено много работ. Так, на основании анализа размерностей и теории сжатого слоя струи в работах [1 .. . 3] сформулированы критерии подобия гиперзвуковых струйных течений. Некоторые способы моделирования течений в струях по ряду параметров изложены в работах [4, 5]. Профилированию каналов с неравномерными параметрами на срезе для моделирования осесимметричных струй посвящена работа [6]. Процесс воздействия сверхзвуковых струй на поверхность цилиндрического канала изучается в работах [7... 10]. К настоящему времени, как численно, так и экспериментально решены также прямые задачи о пространственном взаимодействии недорасширенных струй с поверхностями различной формы [11... 14]. Однако авторам неизвестны работы, в которых на основе математической модели решается задача моделирования распределения давления, реализующего при взаимодействии недорасширенной струи с поверхностью. В данной статье на основе подхода, изложенного в работах [15, 16], сформулирована и численно решена обратная смешанная краевая задача моделирования распределенного и интегрального силового воздействия недорасширенной струи на поверхность соосного со струей цилиндрического канала.
1. В цилиндрической системе координат х, г, формулируется задача численного моделирования сверхзвукового течения идеального газа в недорасширенных струях, обеспечивающих при геометрическом подобии и различных рабочих газах одинаковые относительные распределения давления р(х) на поверхности взаимодействия КМ цилиндрического канала (рис. 1,а). (В качестве линейного масштаба выбран г° — радиус выходного сечения реаль-
в)
Рис. 1
ного и модельного сопл, р— отнесено к полному давлению). Течения характеризуются постоянной полной энтальпией и различными показателями адиабаты х, отвечающими рабочим газам модельной системы XI = 1,1 ... 1,67. Формы границ струй в модельном случае заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи. Предполагается, что угол поворота потока при обтекании точки £) (в меридиональном сечении), в которой струя соприкасается с поверхностью, меньше предельного и в рассчитываемой области течения отсутствуют дозвуковые зоны. Это означает, что проекция вектора скорости V? на ось х превосходит скорость звука. Моделирование интегрального и распределенного воздействия сил давления на поверхности КМ, реализующего при воздействии на нее недорасширенных струй с различными хь осуществляется при следующих одинаковых характеристиках процесса взаимодействия:
— распределение относительного давления р\(х) вдоль поверхности КМ;
— перепад давления на ударной волне в точке О: П2 — р\/р%, где р\ = = р2(х{) —статическое давление на границе струи, р° = /?2(*1),
— давление в точке О за ударной волной на КМ, х\ — координата точки
— нерасчетность истечения струй п\ = р°/р\ (р° — статическое давление на стенке в сечении среза сопла);
— распределение вдоль границ струй (Ь2 на рис. 1, а) производной от
давления по нормали п к ней ^ = рп 2(х)\
— геометрическое подобие, обеспечиваемое одинаковыми относительными площадями поверхности взаимодействия, а также относительными поперечными расстояниями от поверхности взаимодействия до кромки среза сопла /?° — 1 (/?° — радиус канала).
Следовательно, при известных р\(х), р„2(х), п\, п2 и /?°, заданных из реального течения, требуется рассчитать область течения, расположенную вверх по потоку, — в струе модельной установки до среза сопла. Это дает возможность изучить влияние показателя адиабаты на течение в струях модельной системы, а также методом [6] спрофилировать сопло, обеспечивающее моделирование силового воздействия.
Для сформулированных условий моделирования процесса струйного воздействия ставится обратная смешанная краевая задача расчета течения иде-
ального газа в области, ограниченном сверху комбинированной границей Li2 = Li + ^2, состоящей из двух участков, и осью струи снизу. Один фиксированный участок L12 образуется поверхностью взаимодействия L\, а другой, нефиксированный, является границей искомой струи. На каждом участке границы Z.12, являющейся в данном случае линией тока, задаются соответствующие граничные условия. Так, на L\ задаются
Pl=Pl(*), 01 = 0|(ДГ),
где 0i — угол наклона поверхности к оси х; р\(х)—давление, реализующееся за ударной волной, (см. рис. 1,6). На участке L% задаются также два условия, первое из которых
р2{х) = р\ = const
определяется реальным давлением в окружающем струю пространстве. В качестве другого принимается уравнение движения в проекции на нормаль к линии тока:
+£“°- <"
Здесь р — плотность, w — модуль вектора скорости, значения которых постоянны вдоль границы струи и определяются величиной р2, а s-направление вдоль границы струи. Уравнение (1) выражает баланс сил давления и сил, действующих на газ со стороны окружающего струю пространства. На оси х задается условие симметрии.
Перейдем теперь к изложению методики решения сформулированной смешанной краевой задачи, включающей несколько «характерных» задач газовой динамики: две задачи Коши, задачу Гурса и «собственно» смешанную краевую задачу. Одна задача Коши ставится вдоль искомой границы струи модельной системы для граничного соотношения (1), которое после преобразования с использованием уравнения Бернулли и условия изоэнтропич-ности принимает вид:
£--[£{-<«лГ-£И£т- <2>
Для данной задачи в качестве начального выбирается условие:
es(*i)=e®, (3)
где 0® — угол наклона потока в точке D до соударения струи с поверхностью км.
Параметр 0® вместе с углом наклона ударной волны рассчитывается из соотношений на ударной волне с использованием заданных значений р°, 0i(*i), «2 и показателя адиабаты, отвечающего рабочему газу модельной системы. Расчет границы L% при решении задачи Коши (2), (3) ведется в направлении вверх по потоку до достижения заданной величины г = г° = 1. Далее, с использованием соотношений
-\--■ — = const, wdw + — = О,
2 к —1 р р
справедливых вдоль линий тока, на границе L12 определяются р и ш. Полученные на L12 параметры, в свою очередь, определяют данные Коши для расчета течения в области / (ВСЕ) струи модельной системы, которая ограничена характеристиками ВС(С~), СЕ{С+) и границей L)2 (см. рис. 1,а). Решение смешанной задачи в области II (ANC) и задачи Гурса в облас-
ти III (ABN) завершает определение параметров в выходном сечении моделирующего канала. Профилирование моделирующего канала после расчета параметров в струе может быть осуществлено методом, изложенным в [6].
2. В соответствии с изложенной методикой расчета численно решена обратная задача моделирования воздействия струи, истекающей из конического сопла с полууглом раствора 0° = 12,35°, при числе Маха на срезе М° = 2,287, нерасчетности п\ = 7, перепада давления л2 = 3,43, х = 1,4. Поверхность цилиндрического канала, соосного воздействующей на нее струе, характеризуется радиусом /?° = 2,05. Отмеченные условия моделируемого в расчете взаимодействия и распределение давления Pi(jc) на L\, показанное на рис. 1,6, взяты из работы [9]. Поверхность L\ справа ограничивается
X
координатой х, определяемой из условия, чтобы интеграл \pi(x)dx отли-
*\
чался от его точного значения на величину, не превышающую 0,5%. Такое загрубление в координате х приводит к тому, что характеристика СЕ пересечется с характеристикой ВС не на оси х, а вблизи нее (Дг«0,01). Это приводит к незначительному изменению расхода через модельное сопло и слабо влияет на результат. Выбор координаты х дальше от выходного сечения увеличивает расчетную область и машинное время.
Численное решение определяется сеточно-характеристическим методом по слоям г|з = const (г|з — функция тока) [16]. В расчетах принимались следующие значения xi = 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,67.
Рассмотрим результаты решения задачи Коши по расчету границ струй Li при xi = var. Поведение Li и параметров в точке D при Х| = 1,1, ..., 1,67 показано на рис. 2. На рис. 2, а указаны значения xi, которым соответствуют различные положения границ струй. Из рис. 2 видно, что продольное расстояние х\, характеризующее положение точки встречи границы струи со стенкой канала, с увеличением х возрастает (линия 1 на рис. 2,6), а углы встречи потока с поверхностью (линия 2) — уменьшаются. При этом обе указанные зависимости близки к линейным.
Точность численных расчетов струй модельных систем контролировались путем сравнения величин расхода и импульса, полученных интегрированием вдоль характеристик ВС и СЕ, ограничивающих область определенности решения задачи Коши. Анализ показывает, что различие в указанных величинах не превышает ~3%.
Результаты расчета струй приведены на рис. 1 и 3. На рис. 1 приведена типичная картина течения в струе модельной системы, полученная при xi = 1,1. Поле течения характеризуется линиями уровня чисел Маха М = = const. Места их сгущения соответствуют положению ударной волны, возникающей при воздействии струи с поверхностью L\. В связи с малым
значением Х\ висячая ударная волна в струе является весьма слабой. Это обусловливает также слабый разрыв параметров на контактной поверхности, образующейся в результате взаимодействия двух ударных волн (висячей и второй волны от соприкосновения с поверхностью /,|). Из расчетов следует, что интенсивность результирующей ударной волны увеличивается в направлении вниз по течению, и в окрестности ее пересечения с характеристикой СЕ отношение статических давлений на ней достигает 4. Из рис. 1,а видно, что поток в пристенной области, ограниченной снизу ударной волной, разгоняется.
Рис. 3 иллюстрирует зависимость от х безразмерных импульсов / (кривая /), интеграла от скоростного напора ц (кривая 2) и расхода газа С} (кривая 3) на срезе сопл модельных систем и их отношение //ф (кривая 4). Величины / и <7, отнесенные к полному давлению, рассчитываются по формулам:
/= 2с(х) ^ (р + ри? сое2 0) Ыг, о
Ї/ 2 \ х—
рИ)2гс1г, =
о
Здесь давление, плотность и скорость отнесены к критическим параметрам р*4, р*, а* соответственно (а*— критическая скорость). Из рис. 3 видно, что увеличение х приводит к значительному возрастанию величин /(х), </(х), (?(х). Максимальное увеличение этих параметров при изменении х от 1,1 до 1,67 составляет 75, 90 и 50% соответственно. Отметим, что указанные зависимости близки к линейным, при этом функция <?(х) в моделирующих каналах по сравнению с двумя другими функциями слабее отклоняется от линейной. Кривая 4 указывает на то, что удельные импульсы при увеличении х, в отличие от /, 9 и <?, уменьшаются. Однако эта функция по сравнений с I и более консервативна, и во всем диапазоне х ее изменение не превышает 20%, а при х= 1,1 и 1,4 различие в удельном импульсе составляет 7%.
Характер зависимости безразмерного импульса от х указывает на то, что для рассмотренного случая воздействия струи с небольшой нерасчет-ностью, в отличие от воздействия свободно расширяющейся струи на пластину [5], импульс газа на срезе сопла не является параметром подобия.
Из расчетов также следует, что зависимости от х чисел М° и углов 0° наклона границы струи на кромке сопла близки к линейным и изменяются во всем диапазоне значений х незначительно. Так, различие в числах М° составляет 3%. Однако среднеинтегральные значения чисел М на срезе различаются более существенно и в отличие от их значений на кромке возрастают с увеличением х, что соответствует поведению функции /(х). Значения чисел М на срезе, осредненные по площади, при х = 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,67 соответственно равны 2,72; 2,75; 2,78; 2,81; 2,83; 2,86.
Эти значения чисел М позволяют провести сопоставление полученных результатов с результатами работы [5], использующими критерий подобия по импульсу газа на срезе сопла. При воздействии струй с хі= 1,3 и х= 1,2 (натурное значение) на основе этого критерия получается коэффициент для пересчета давления £ на поверхности (при одинаковых полных давлениях) равный 0,46. Это значение подтверждается экспериментально. Применение такого же критерия к рассматриваемому в статье случаю воздействия недо-расширенной струи дает значение & = 0,94, которое в два раза превышает его значение, реализующееся при воздействии свободно расширяющейся струи. Величины импульсов при хі = 1,3 и х= 1,2 различаются на 12%.
I. Гусев В. Н., Михайлов В. В. О подобии течений с расширяющимися струями. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 4.
2; Мурзинов И. Н. Параметры подобия при истечении сильно недо-расширенных струй в затопленном пространстве. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1971-, № 4.
3. Гусев В. Н., Климова Т. В. К подобию гиперзвуковых струйных течений. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 6.
4. Антохин В. М., Жохов В. А.. Яшин А. Е. Моделирование течения в сверхзвуковой сильно недорасширенной струе. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. 5, № 6.
5. Герасимов Ю. И. Параметры подобия в задаче о взаимодействии свободно расширяющейся струи с пластиной. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 2.
6. Киреев В. И. О моделировании газовых струй, истекающих из реальных сопл Лаваля. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 2.
7. Л е й т е с Е. А., Нестеров Ю. Н., Хомутов В. А. Распространение сверхзвуковой струи в канале с внезапным расширением. — Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1672.
8. Благосклонов В. М., Хомутов В. А. Внезапное расширение сверхзвуковой струи в цилиндрическом канале. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 3.
9. А и ц у п о в А. В., Ш у и н о в А. В. Исследование сверхзвукового струйного течения в канале. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 2.
10. Глотов Г. Ф., Мороз Э. К. Исследование течения газа в цилиндрическом канале при внезапном расширении звукового потока. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 2.
II. Храмов Н. Е. Расчет взаимодействия осесимметричной сверхзвуковой недорасширенной струи с преградой. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, №5.
12. Лебедев М. Г., Савинов К. Г. Удар неравномерного сверхзвукового потока газа в плоскую преграду. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, №5.
13. Иванов М. Я., Назаров В. П. Численное решение задачи о «боковом» взаимодействии нерасчетных сверхзвуковых струй идеального газа с.плоскостью и друг с другом. — Ж. вычисл. матем. и магем. физ., 1974, № 1.
14. Иванов М. Я., Назаров В. П. Исследование «бокового» взаимодействия сверхзвуковой недорасширенной струи идеального газа с поверхностями различной формы. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 6.
15. Киреев В. И. Разностные методы решения обратной задачи профилирования сверхзвуковых сопл. — М.: 1980, 21 с., ВИНИТИ, деп. рук. № 3302, 1980.
16. Вой но вс кий А. С.. Киреев В. И. О смешанных краевых задачах профилирования сверхзвуковых сопл и каналов. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 4.
Рукопись поступила 25/Х/ 1987
