CC BY
28
Оригинальная статья / Original article УДК: 519.876.5
DOI: 10.21285/1814-3520-2016-11 -84-93
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ И КУСОЧНО-НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОЭТАПНЫХ НЕЧЕТКИХ ПРОЦЕССОВ
© Н.Ю. Жбанова1, С.Л. Блюмин2
Липецкий государственный технический университет, 398600, Россия, г. Липецк, ул. Московская, 30.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Исследование и развитие методов параметрической идентификации разностных нейронечет-ких переключаемых моделей, предназначенных для работы с многоэтапными технологическими процессами. МЕТОДЫ. Нечеткое и нейронечеткое моделирование, L1-фильтрация, метод наименьших модулей. РЕЗУЛЬТАТЫ. В статье описан класс разностных нейронечетких переключаемых моделей. Рассмотрены двумерные нечеткие множества, представляющие собой удобный инструмент идентификации входных многоэтапных кусочно -линейных процессов. Предложены двумерные нечеткие множества, позволяющие идентифицировать процессы с нелинейными этапами. Предложены алгоритмы настройки параметров двумерных нечетких множеств. Рассмотрена возможность применения разностной нейронечеткой переключаемой модели для описания процесса варки сахарного сиропа. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В результате введения переключений и расширенного набора предпосылок нейронечеткая модель превращается в эффективный инструмент для моделирования многоэтапных процессов, в том числе и с нелинейными этапами. Использование на входах модели двумерных нечетких множеств приводит к сокращению размерности задачи оптимизации, возникающей при настройке модели. Ключевые слова: разностные нейронечеткие переключаемые модели, двумерное гауссовское нечеткое множество, нечеткие многоэтапные процессы, алгоритмы настройки параметров.
Формат цитирования: Жбанова Н.Ю., Блюмин С.Л. Параметрическая идентификация кусочно-линейных и кусочно-нелинейных многоэтапных нечетких процессов // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. Т. 20. № 11. С.84-93. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-11-84-93
PARAMETRIC IDENTIFICATION OF PIECEWISE LINEAR
AND PIECEWISE NON-LINEAR MULTISTAGE FUZZY PROCESSES
N. Yu. Zhbanova, S. L. Blyumin
Lipetsk State Technical University,
30, Moskovskaya St, Lipetsk, 398600, Russia.
ABSTRACT. THE PURPOSE of this article comprises the study and development of the methods of parameter identification for difference neuro-fuzzy switched models designed to deal with multistage technological processes. METHODS. The following methods are used: fuzzy and neuro-fuzzy modeling, L1 -filtering, the least modules method. RESULTS. The article describes the class of the difference neuro-fuzzy switched models and two-dimensional fuzzy sets. The latter represent by themselves a useful tool for the identification of input multistage piecewise-linear processes. Two-dimensional fuzzy sets are proposed for the identification of the processes with non-linear stages. The algorithms for tuning the parameters of two-dimensional fuzzy sets are introduced. The possibility is considered to use the difference neuro-fuzzy switched model to describe the process of sugar syrup making. CONCLUSION. Due to the introduction of switching and an extended set of factors a neuro-fuzzy model turns into an effective tool for the simulation of multistage processes including those with non-linear stages. The use of two-dimensional fuzzy sets in the model inputs allow to reduce the dimension of the optimization problem arising at model tuning.
Keywords: difference neuro-fuzzy switched models, two-dimensional Gaussian fuzzy set, fuzzy multistage processes, parameter tuning algorithms
1Жбанова Наталья Юрьевна, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Zhbanova Natalia, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics, e-mail: [email protected]
2Блюмин Семён Львович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Blyumin Semen, Doctor of Physical and Mathematical sciences, Professor of the Department of Applied Mathematics, e-mail: [email protected]
For citation: Zhbanova N.Yu., Blyumin S.L. Parametric identification of piecewise linear and piecewise non-linear multistage fuzzy processes. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, vol. 20, no.11, pp. 84-93. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-11 -84-93
Введение
Управление многими производственными процессами, которое обычно основывается на обработке информации о самом процессе, требует вычисления значимых параметров. Для современных технологических процессов характерны сложность, погрешности в измерениях, слабая изученность связей между переменными, а также многоэтапность, которая отражается в изменении структурных связей между параметрами при переходе от этапа к этапу. Обработка информации о таком процессе является непростой задачей, поэтому представляется актуальной разработка удобного математического аппарата для работы с многоэтапными процессами.
Моделирование технологических процессов, для которых характерны сложность и неточная входная информация, успешно осуществляется с помощью методов искусственного интеллекта с применением нечетких или нейронечетких моделей.
Надежное прогнозирование значимых параметров многоэтапного технологического процесса возможно с использова-
нием разностной нечеткой или нейронечет-кой модели с переключением. Разностная нейронечеткая переключаемая модель представляет собой синтез структур разностных нечетких моделей [1], нейронечетких систем типа ДМПБ [2, 3] и систем с переключениями [4]. Разностная нечеткая переключаемая модель вместо ДМПБ-систем включает в себя нечеткие модели Такаги -Сугено [1]. Они имеют идентичную структуру, но нейронечеткая модель отличается возможностью настройки параметров на обучающем множестве, если оно есть. Параметры нечеткой модели исследователь задает вручную. Модели такого типа позволяют обрабатывать информацию о многоэтапных технологических процессах, учитывая все их особенности.
Таким образом, целью данной работы является исследование и развитие методов параметрической идентификации разностных нейронечетких переключаемых моделей, которые предназначены для моделирования и управления многоэтапными производственными процессами.
Методы, результаты и их обсуждение
Разностная нейронечёткая переключаемая модель и ее использование для работы с многоэтапными технологическими процессами. Работа с многоэтапным технологическим процессом предполагает, что на вход нейронечёткой модели будут поступать известные значения (например, снятые датчиками) исследуемого процесса. Предполагается, что входной процесс имеет несколько этапов, то есть представляет собой кусочно-линейную функцию, в большей или меньшей степени зашумленную. В результате обработки входной информации о процессе на выходе модели будут получены неизвестные значения, интересующие инженера или исследователя.
Разностная нейронечеткая переключаемая модель (РННПМ) представляет собой один из наиболее удобных инструментов для описания многоэтапных процессов [5, 6]. Разностные модели принимают на входе ряд значений за несколько последовательных моментов времени, учитывая тем самым динамику входного процесса. Кроме того, они делают возможным наиболее полный учет информации об исследуемом процессе за счет расширенного набора предпосылок.
Введение переключений в разностную нейронечеткую модель позволяет описать сложный процесс, состоящий из нескольких этапов. Введение переключений приводит к разбиению модели на несколько
подмоделей, каждая из которых соответствует определенному этапу многоэтапного процесса. В результате разбиения на подмодели повышается точность моделирования.
Разностная нейронечеткая переключаемая модель может быть описана базой правил вида:
К - If ua№ is Aln[t],...,
and w [t - n +1] is A' [t], (1)
am l J amn l J' \ /
then yl[t + 1] = a'aUa[t] + % .
Здесь uai[t],...,uai[t -n +1] - значения многоэтапных процессов, приходящие на входы модели; Alaij[t] - нечеткие множества в предпосылках правил модели; yl [t +1] е R1 - выход каждого правила модели; a е Rbxmn", be R1 - параметры разностных уравнений в заключениях. Вектор Ua[t ] = [un[t] Ua2[t],..., Uam[t]] е R1mn составлен из значений многоэтапных входных процессов, где
ujt ] = [uai [t ],..., uai [t - n +1]] - значения отдельного процесса; i = 1,...,m - число входных процессов; n - глубина памяти РННПМ.
В базе (1) присутствует также переключающий сигнал ae S = {1,2,...,|S}, который определяет активную подмодель в каждый момент времени. Подмодели представляют собой разностные нейронечеткие модели. Предполагается, что значение |S|
определяется числом этапов, на которые можно разбить многоэтапный процесс. Параметр I = 1,...,определяет количество
правил в каждой подмодели.
Выходное значение каждой подмодели при фиксированном a = s определяется по формуле, стандартной для нейро-нечетких моделей типа ANFIS [2] и нечетких моделей Такаги - Сугено [1]. Выходные значения РННПМ (1) в каждый момент времени определяются выходными значениями активной подмодели.
РННПМ (1) за счет переключений делает возможным эффективное моделирование многоэтапных процессов, для которых характерны изменения в структуре. Кроме этого РННПМ позволяет точно отражать особенности моделируемого процесса. Последнее преимущество достигается путем учета большего количества входной информации и оборачивается недостатком РННПМ: из-за увеличения числа входов модели увеличивается число ее параметров и возникает «проклятие размерности».
Чтобы минимизировать влияние «проклятия», предлагается использовать механизм фаззификации входных значений модели, основанный на применении двумерных функций принадлежности.
Заметим, что входные значения ия- И = [и$ ],..., ит [ - п +1]] некоторой
подмодели РННПМ (1) при о = 5 после фаззификации с использованием стандартных нечетких множеств могут
быть рассмотрены как нечеткие процессы [6].
Очевидно, идентификация входных нечетких процессов предполагает определение параметров нечетких множеств, описывающих процесс, и является частью задачи параметрической идентификации всей РННПМ. Большая глубина памяти входных нечетких процессов ведет к росту числа параметров РННПМ, требующих настройки. Однако, если для идентификации каждого линейного этапа ия[г] нечеткого многоэтапного процесса использовать не несколько одномерных нечетких множеств ], а одно двумерное, то число параметров модели сократится.
За основу предлагается взять гаус-совское нечеткое множество, так как его функция принадлежности обладает удобным аналитическим представлением.
Двумерное гауссовское нечеткое множество б[[ ] с линейным зависящим от
времени центром и постоянной шириной представлено на рис. 1. Сечения представляют собой одномерные нечеткие
M.}
Рис. 1. Двумерное нечеткое множество Fig. 1. Two-dimensional fuzzy set
множества Alsj][t] подмодели РННПМ при i = s. С помощью двумерного множества B'si [t] можно фаззифицировать целый этап
нечеткого входного многоэтапного процесса.
Для произвольной подмодели РННПМ степень принадлежности процесса ишМ двумерному нечеткому множеству
B'ai[t] вычисляется по формуле
n-\ 2
= £exp(<l ■ (t- j) + е'а01 -um(t- j)) , (2)
j=\
где cla0i и е[и - параметры линейного центра двумерного нечеткого множества.
Правила РННПМ с двумерными нечеткими множествами в'ы[t] в предпосылках будут иметь следующий вид:
R:If uff\[t]isBUt],...,
and Uim[t] is Blm[t], (3)
then y'a[t + \] = a^Ui[t]T + bl.
Если сравнить РННПМ с базой правил (1) и РННПМ с базой (3), то видно, что во втором случае требуется задать меньшее количество нечетких множеств - каждый этап входного процесса вместо набора из n одномерных нечетких множеств описывается одним двумерным нечетким мно-
жеством. Двумерные нечеткие множества (2) являются удобным инструментом для описания и включения в нейронечеткие модели многоэтапных реальных процессов с погрешностями, в том числе нелинейных, и позволяют сократить количество настраиваемых параметров РННПМ в п раз. Последний факт делает их использование особенно выгодным в случаях большой глубины памяти входных процессов РННПМ.
Применение двумерных нечетких множеств к описанию кусочно-нелинейных нечетких процессов. Фаз-зификация этапов ия[г ] входного процесса
некоторой подмодели РННПМ двумерными нечеткими множествами (2) основана на вычислении усредненной близости уровней процесса к линейному центру множества (2). Это накладывает ограничение на использование двумерных нечетких множеств (2) - их желательно применять в случаях кусочно-линейных или близких к таковым входных многоэтапных процессов иа^ ].
Заметим, при моделировании поведения реальных систем часто требуется принимать на вход нейронечеткой модели процессы, меняющиеся по нелинейным законам. Для их фаззификации двумерные нечеткие множества в^ [? ] в виде (2) не подойдут, но можно их адаптировать, если ввести в формулу (2) описание центра нелинейной функцией.
Предположим, что один из этапов входного многоэтапного процесса нейроне-четкой модели имеет нелинейную природу. Приведем пример описания двумерным нечетким множеством процесса, меняющегося по степенной кривой. Для фаззифика-ции такой зависимости подойдет двумерное нечеткое множество, центр которого является степенной функцией с параметрами и 4г. Функция принадлежности такому множеству имеет следующий вид:
Veñ =
n-1 2
Xexp(• (t- j)-(cl2¡)-uai(t- j)) . (4)
j=i
Очевидно, помимо процессов, включающих в себя степенные этапы, двумерными нечеткими множествами можно фаз-зифицировать и другие виды нелинейных процессов - экспоненциальные, логарифмические, параболические. Двумерное гауссовское нечеткое множество со степенным центром и постоянной шириной (4) представлено на рис. 2.
Параметрическая идентификация нечеткого многоэтапного процесса на входе РННПМ. Для РННПМ, нечеткие многоэтапные входные процессы которой описываются двумерными нечеткими множествами (2) и (4), приведем алгоритмы настройки параметров.
Один из наиболее удобных способов настройки нейронечетких моделей - отдельная настройка параметров в заключениях и предпосылках модели. Параметры линейных функций в заключениях правил настраиваются оптимизационным методом.
При этом составляется и минимизируется квадратичная функция ошибок модели. Параметры центра и ширины предпосылоч-ных нечетких множеств определяются заранее на основе анализа обучающей выборки. Таким образом, предпосылочные параметры в задачу оптимизации не входят, и сокращается ее размерность. Это приводит к более точному и быстрому определению параметров заключений.
При использовании механизма фаз-зификации многоэтапных входных процессов РННПМ, основанного на использовании в предпосылках правил гауссовских двумерных нечетких множеств в'ы^], возникает необходимость определения параметров функции (2). Сделать это можно с помощью комбинированного подхода, имеющего две стадии. На первой стадии происходит разбиение многоэтапного входного процесса на отдельные этапы, на второй -описание каждого этапа двумерными нечеткими множествами (2).
Разбить многоэтапный процесс на этапы можно различными способами, среди которых наиболее простой - использование И-фильтрации [7]. Этот способ можно применять в случае, если входной многоэтапный процесс представляет собой кусочно-линейную функцию с шумом. Тогда задача выделения отдельных этапов превращается в задачу фильтрации кусочно-линейного сигнала. Результатом работы И-фильтра является ломаная линия, на основании которой определяется начало и конец каждого этапа многоэтапного процесса.
Рис. 2. Двумерное нечеткое множество с нелинейным центром Fig. 2. Two-dimensional fuzzy set with a non-linear center
Для идентификации двумерных нечетких множеств, фаззифицирующих каждый этап входного многоэтапного процесса, разработан следующий алгоритм [8]. Предполагается, что все этапы - линейные.
Алгоритм 1. Численный алгоритм настройки линейных центров двумерных нечетких множеств (2).
Шаг 1. Пусть k-й элемент обучающего множества подмодели РННПМ при фиксированном значении a = s имеет вид:
К м, yk [t+1]}, k=1,..., K.
Здесь Uk[t] = [[t],...,ukJt]} где uk,[t] = [[],...,uk[t-n +1]] - реализация этапа номер s i -го многоэтапного входного процесса.
Шаг 2. По реализациям uk[t] (для k = 1,..., K) с использованием метода наименьших модулей строятся линии регрессии вида и = ct + c0. В результате получим набор параметров {(c1, cj),...,(cf, cK)}. Следует отметить, что
выбор метода наименьших модулей объясняется более слабой чувствительностью к выбросам по сравнению с методом наименьших квадратов.
Шаг 3. Пусть t0 = t - n +1. Вычислим
k ^ , ^ ^^ ^лл»я max min
и0 = + c0. Выберем и0 и и0 .
Шаг 4. Отрезок [ и°п, u°ai ] разобьем
на Q частей. Здесь Q - требуемое количество двумерных нечетких множеств B1[t ],..., BQ[t ] для фаззификации процесса uM[t ]. В результате область значений процесса usi[t] окажется разбитой горизонтальными линиями на Q фрагментов.
Шаг 5. Коэффициенты c\, ckx прямых, попадающих во фрагменты, усредняются по каждому фрагменту. Усредненные
значения (q1^4р),...,(^cQcp) принимаются за параметры центров входных нечетких множеств B\[t ],..., BQ[t ] входа номер i подмодели РННПМ при a = s.
Шаг 6. Повторяются шаги 1-5 для каждого входа каждой подмодели РННПМ, / = 1,...т , а = 1,...5 .
В случае, если многоэтапный входной процесс включает в себя нелинейные этапы, приведем модификацию алгоритма 1. Модифицированный алгоритм 2 получается из алгоритма 1 заменой второго шага.
Алгоритм 2. Численный алгоритм настройки степенных центров двумерных нечетких множеств (4).
Шаг 1. Согласно стандартному приему значения входного процесса г и ик[?]
(абсцисса и ордината) линеаризуются, и производится замена Т = 1п(/) и
и* = 1п(икМ).
Шаг 2. По линеаризованным значениям Т и ик (для к = 1,...,К) с использованием метода наименьших модулей строятся линии регрессии вида и = С^ + с2. Затем производится потенцирование ^ = ехр(^). В результате получим набор параметров степенных центров двумерных нечетких множеств {(с1, с12),...,(еК, сК)}.
Ниже представлен пример построения двумерных нечетких множеств для идентификации степенного этапа многоэтапного входного процесса. На рис. 3 изображены реализации этапа входного процесса и вычисленные по ним степенные центры двумерных нечетких множеств (было принято 0 =2). На рис. 4 показаны двумерные нечеткие множества с полученными согласно алгоритму центрами и постоянной шириной.
Применение РННПМ для моделирования процесса варки сахара. Рассмотрим использование РННПМ с двумерными входными нечеткими множествами на примере моделирования многоэтапного технологического процесса варки сахарного сиропа. Процесс варки является одним из основных в сахарном производстве. В течение варки сиропа оператор контролирует 4 параметра: уровень Ь, плотность Б, давление Р и вакуум V. Параметры представляют собой кусочно-линейные
Рис. 3. Реализации этапа входного процесса и центры двумерных множеств Fig. 3. Stages of the input process and centers of two-dimensional fuzzy sets
Рис. 4. Двумерные нечеткие множества с нелинейными центрами Fig. 4. Two-dimensional fuzzy sets with non-linear centers
многоэтапные процессы и должны изменяться по определенным траекториям. Вид траекторий определяется «контрольными точками», которые выставляет оператор, опираясь на информацию о ходе процесса и свой опыт. Была поставлена задача разработать РННПМ, вычисляющую в реальном времени «контрольные точки» по снимаемым датчиками значениям процессов L, V, P, D [5, 6].
Ниже представлена схема РННПМ, выходами которой являются контрольные точки для плотности сиропа D. На вход модель принимает информацию о процессах L, P, V, так как известно, что D зависит от сочетания этих параметров. В предпосылках правил РННПМ для фаззи-фикации входных процессов использовались двумерные нечеткие множества с ли-
нейными центрами (2), которые настраивались по приведенному выше алгоритму. Обучающее множество было сформировано на основе данных по варкам сиропа за 2009 г.
Разработанная РННПМ состоит из четырех подмоделей и переключаемого сигнала и. Каждая подмодель соответствует определенному этапу варки. На рис. 6 представлены графики изменения параметров варки сахара и контрольные точки. Для плотности D было выделено 4 этапа, каждый из которых зависел от сочетания соответствующих значений L, V, P. В результате каждая подмодель определяла одну из контрольных точек Д, Д, Д или
Д (первую контрольную точку Д вычислять не требовалось).
Рис. 5. Схема РННПМ для получения контрольных точек плотности Fig. 5. Scheme of the difference neural fuzzy switched model for density reference points obtaining
90 80
70 60 50 40
0.5
D4 [ LL»—
I D2 ^ D3
DlVl L3jj-rjJ -r~J~L4
1 P2 LO * P4 VlA.-|
L2 ■fUWVW-^
■L1 „ Tik i 1 _________ _________ ________ V3 V,
♦vT"" 1С
Дата варки 07-Sep-2009
Время 19:36:30
№В-апп 1...S
№ цикла 2...630
55
1
1.5
2.5
3.5 t,
Рис. 6. Графики параметров процесса варки сахара Fig. 6. Graphs of sugar-making process parameters
Заметим, что первый этап давления пара (в окрестности контрольной точки р)
можно отнести к нелинейным. В целях повышения точности РННПМ было решено применить двумерные нечеткие множества с нелинейными центрами (4) для фаззифи-кации первого этапа давления пара. Ниже приводится фрагмент таблицы с результа-
тами работы одной из подмоделей РННПМ по определению контрольных точек Б2.
Видно, что РННПМ с кусочно-нелинейными центрами функций принадлежности дает в ряде опытов более точные результаты, чем РННПМ, не учитывающая нелинейность этапов.
Значения контрольных точек плотности Values о1 density reference points
Номер опыта / Test number Контрольная точка D / Reference Point D
Реальные значения / Real Values Выход подмодели с кусочно-линейными центрами функций принадлежности/ Output of the submodel with piecewise linear centers of membership functions Выход подмодели с кусочно-нелинейными центрами функций принадлежности/ Output of the submodel with piece-wise non-linear centers of membership functions
152 79,8013 78,6769 79,0133
236 83,2951 83,9854 83,7564
264 83,1304 82,5571 82,4532
267 83,0655 82,0633 82,0602
231 81,9853 80,8643 80,9978
Выводы
Необходимость применения РННПМ обусловлена преобладанием на производстве сложных систем и процессов с изменяющимися принципами функционирования. К основным преимуществам РННПМ можно отнести возможность учета большого объема входной информации, а также возможность моделирования производственных процессов с меняющимся характером протекания.
Двумерные нечеткие множества, на которых основана описанная в статье ме-
тодика фаззификации, представляют собой удобный инструмент для идентификации входных нечетких многоэтапных процессов РННПМ. Двумерные нечеткие множества упрощают настройку РННПМ и позволяют идентифицировать не только многоэтапные кусочно-линейные нечеткие процессы, но и многоэтапные нечеткие процессы с нелинейными этапами. Это повышает гибкость и эффективность применения разностных нейронечетких переключаемых моделей.
Библиографический список
1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином, 2009. 800 с.
2. Saraev P.V., Zhuralyova M.G., Nazarkin O.A., Alexe-ev V.A. ANFIS training and refining based on clustering of training data set // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2015. № 2. С. 54-60.
3. Блюмин С.Л., Погодаев А.К., Сараев П.В. Нейроструктурное моделирование: некоторые результаты и направления развития // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2012. № 4. С. 30-37.
4. Котов К.Ю., Шпилевая О.Я. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование // Автометрия. 2008. № 5 (44) . С. 71-87.
5. Жбанова Н.Ю., Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Идентификация параметров входных нечетких процессов разностных нейронечетких переключаемых моделей // Системы управления и
информационные технологии. 2014. № 1 (55). С. 8-12.
6. Zhbanova N.Yu., Kravets O.J., Grigoriev M.G., Ba-bich L.N. Neuro-Fuzzy Modeling and Control of Multistage Dynamic Processes That Depend on Inputs with Uncertainty Elements // JTAIT(JATIT)-LLS - Journal of Theoretical and Applied Information Technology (ISSN19928645-Pakistan-Scopus). 2015. Р. 1-12.
7. Kim S.-J., Koh K., Boyd S., Gorinevsky D. L1 Trend Filtering. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2009. Vol. 51. No. 2. P. 339-360.
8. Жбанова Н.Ю. Особенности идентификации нечетких многоэтапных процессов // Интеллектуальные технологии обработки информации и управления: материалы III Междунар. конф. (Уфа, 10-12 ноября, 2015 г.). Уфа: Изд-во УГАТУ, 2015. Т 1. С. 154-158.
References
1. Pegat A. Nechetkoe modelirovanie i upravlenie [Fuzzy Modeling and Control]. Moscow, Binom Publ., 2009, 800 p. (In Russian)
2. Saraev P.V., Zhuralyova M.G., Nazarkin O.A., Alexe-ev V.A. ANFIS training and refining based on clustering of training data set. Vesti vysshikh uchebnykh zavedenii Chernozem'ya [Proceedings of Chernozem Universities]. 2015, no. 2, pp. 54-60. (In Russian)
3. Blyumin S.L., Pogodaev A.K., Saraev P.V. Neiros-trukturnoe modelirovanie: nekotorye rezul'taty i naprav-leniya razvitiya [Neurostructural modeling: some results and development directions]. Vesti vysshikh uchebnykh zavedenii Chernozem'ya [Proceedings of Chernozem Universities]. 2012, no. 4, pp. 30-37. (In Russian)
4. Kotov K.Yu., Shpilevaya O.Ya. Pereklyuchaemye sistemy: ustoichivost' i proektirovanie [Switched systems: stability and designing]. Avtometriya [Autometry]. 2008, no. 5 (44), pp. 71-87. (In Russian)
5. Zhbanova N.Yu., Blyumin S.L., Shmyrin A.M. Identif-
ikatsiya parametrov vkhodnykh nechetkikh protsessov raznostnykh neironechetkikh pereklyuchaemykh modelei [Parameter identification of input fuzzy processes for difference neuro-fuzzy switched models]. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii [Control Systems and Information Technologies]. 2014, no. 1 (55), pp. 8-12. (In Russian)
6. Zhbanova N.Yu., Kravets O.J., Grigoriev M.G., Ba-bich L.N. Neuro-Fuzzy Modeling and Control of Multistage Dynamic Processes That Depend on Inputs with Uncertainty Elements. JTAIT(JATIT)-LLS - Journal of Theoretical and Applied Information Technology (ISSN19928645-Pakistan-Scopus). 2015, pp. 1-12.
7. Kim S.-J., Koh K., Boyd S., Gorinevsky D. L1 Trend Filtering. Society for Industrial and Ap-plied Mathematics. 2009, vol. 51, no. 2, pp. 339-360.
8. Zhbanova N.Yu. Osobennosti identifikatsii nechetkikh mnogoetapnykh protsessov [Identification features of multistage fuzzy processes]. Materialy III Mezhdu-
narodnoi konferentsii "Intellektua'nye tekhnologii obrabotki informatsii i upravleniya" [Materials of the IIIrd International Conference "Intelligent Technologies for
Критерии авторства
Жбанова Н.Ю., Блюмин С.Л. предложили двумерные нечеткие множества, представляющие собой удобный инструмент идентификации многоэтапных кусочно-линейных процессов, провели обобщение и написали рукопись. Жбанова Н.Ю., Блюмин С.Л. имеют равные авторские права. Ответственность за плагиат несет Жбанова Н.Ю.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила 12.09.2016 г.
Information Processing and Control"]. (Ufa, 10-12 November, 2015). Ufa, GATU Publ., 2015, vol. 1, pp. 154-158. (In Russian)
Autorship criteria
Zhbanova N.Yu., Blyumin S.L. have proposed two-dimensional fuzzy sets as a useful tool for the identification of multistage piecewise linear processes, summarized the material and wrote a manuscript. Zhbanova N.Yu. and Blyumin S.L. have equal copyrights. Zhbanova N.Yu. bears the responsibility for avoiding plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.
The article was received 12 September 2016
