УДК 512.7
ПАРА БЕЛОГО, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ САМОДВОЙСТВЕННОМУ ОДНОКЛЕТОЧНОМУ ДЕТСКОМУ РИСУНКУ РОДА 3
Е. М. Епифанов1
Статья посвящена вычислительному вопросу, возникающему в теории детских рисунков, — нахождению в явном виде уравнений относительно пары Белого данного рисунка. Случаи рода 0, 1 и 2 уже довольно хорошо изучены, найдено довольно много примеров и разработаны действенные методы. В работе описан метод, позволяющий найти пары Белого самодвойственных рисунков рода 3.
Ключевые слова: теория детских рисунков Гротендика, пары Белого.
In this article we discuss a question arising in the dessins d'enfants theory: we are interested in finding the defining equations for the Belyi pair of a given dessin. Low genus (g ^ 2) cases are well-studied, there exist many examples of Belyi pairs of those genera and some effective methods have been developed. We present a method which allows to find Belyi pairs of self-dual genus 3 dessins.
Key words: Grothendieck dessins d'enfants, Belyi pairs.
Введение. Начало теории детских рисунков было положено А. Гротендиком в 1984 г. в препринте, озаглавленном "Esquisse d'un programme". В этой работе он изложил новую точку зрения на графы на поверхностях: каждому из них взаимно однозначно ставится в соответствие пара (X,в), где X — алгебраическая кривая над числовым полем, а в — рациональная функция на ней не более чем c тремя критическими значениями. В работе Г. В. Белого [1] установлено, что таким образом получаются все кривые над числовыми полями. Поэтому такие пары называют парами Белого. Монография [2] — хорошее пособие для желающих познакомиться с этой теорией.
Обычно найти пару Белого для данного рисунка довольно трудно. Случаи рисунков рода 0 и 1 уже сравнительно хорошо изучены (см., например, [3]), для них разработаны некоторые эффективные приемы вычислений. А вот с большими родами ситуация пока хуже. Автором рассматриваются рисунки рода 3 с единственной гранью и единственной вершиной (их можно реализовать как склейки 12-угольников). В [4] приведены основные результаты в этом направлении.
В настоящей статье описан метод, позволяющий понизить род и упростить вычисление пары Белого в том случае, когда факторизация по симметрии неприменима. Предложенный метод дает возможность получить дополнительные симметрии у самодвойственных рисунков (определение см. ниже), по которым можно профакторизовать и тем самым понизить род.
Двойственность и самодвойственность. Основные определения и факты можно найти в [2, 5, 6]. Ниже даны определения лишь непосредственно обсуждаемых в статье объектов.
Определение 1. Для данного рисунка D = (X, Г), где X — поверхность (т.е. гладкое компактное ориентированное двумерное многообразие без края), а Г — связный граф, вложенный в X так, что дополнение X \ Г гомеоморфно несвязному объединению дисков, определим двойственный рисунок D* = (X, Г*).2 Множество вершин рисунка D* составляют столицы граней рисунка D, а ребра соединяют столицы соседних граней, причем удобно считать, что каждое ребро рисунка D* пересекает ребро — границу между соответствующими гранями D — в его середине Рис. 1 (рис. 1).
Определение 2. Рисунок называется самодвойственным, если он изоморфен двойственному себе рисунку.
Определение 3. Имея склейку 2п-угольника, припишем каждой паре склеиваемых сторон какую-нибудь букву (разным парам — разные буквы). Начав с произвольной стороны, пройдем последовательно по всем ребрам данного многоугольника против часовой стрелки, выписывая буквы в том порядке, в
1 Епифанов Евгений Михайлович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Здесь и далее звездочка обозначает двойственный рисунок.
котором они будут встречаться. Эта последовательность букв определяет гауссово слово, соответствующее данной склейке.3
Рассмотрим произвольный самодвойственный рисунок Б. Пусть (X, в) — его пара Белого. Построим рисунок 0\ := Б и Б*, получающийся объединением двух вложенных графов. Наконец, рассмотрим рисунок Б*, двойственный к 0\. Эта сложная конструкция оправдана следующей леммой.
Лемма. Рисунок Б* имеет инволюцию.
Оказывается, что описанные только что операции с графами можно перевести на алгебраический язык, т.е. можно проследить, что происходит при таких преобразованиях рисунков с их функциями Белого. Эти факты сформулированы в следующих утверждениях.
Утверждение 1. Функция Белого в рисунка Б связана с функцией Белого в* двойственного рисунка Б* соотношением вв* = 1-
Утверждение 2. Функция Белого в\ рисунка 0\ := Б и Б* выражается через функцию Белого в рисунка I) следующим, образом: (3\ = -¡-щг^.
( в+1)2
Утверждение 3. Функция Белого [3\ рисунка двойственного к равна [3\ = •
Утверждение 4. Функцию в* можно представить в виде ¡31 = \{Ж о в +1)> где Ж — функция Жуковского4.
Поскольку у рисунка Б* есть инволюция, то по ней можно профакторизовать рисунок и тем самым понизить его род. Это может упростить вычисление его пары Белого. Если удалось найти пару Белого факторрисунка, то, применив равенство из утверждения 3, в таком случае можно получить уравнение относительно в, решение которого и даст искомую пару Белого рисунка Б.
Склейки. Проиллюстрируем описанный метод и найдем конкретную пару Белого. Окончательный результат сформулирован в следующей теореме.
Теорема. Склейке с гауссовым словом, аЬаЬс(1се/е/(1 соответствует следующая пара Белого: в = — (128х12 + 384х10 + 128х9 + 432х8 + 288х7 + 264ж6 + 216ж5 + ^ж4 + 62ж3 + 27х'2 + 6х +§ + у (32ж8 + 56ж6 + 16ж5 + ЗОж4 + 16ж3 + Щ-х2 + Ъх + !)), на гиперэллиптической кривой у2 = 16х8 + 40х6 + 16х5 + 33х4 + 28х3 + 14х2 + 12х + 5.
Склейка, соответствующая этому рисунку, изображена на рис. 2, а. Несложно убедиться, что этот рисунок самодвойственный.
В данном случае факторрисунок — дерево Т на сфере Римана, изображенное на рис. 2, б. Черные вершины на нем — это прообразы 0, а белые вершины — прообразы 1.
Доказательство. Заметим, что у инволюции, по которой был факторизован рисунок рода 3, восемь неподвижных точек (на рисунке они изображены висячими вершинами дерева Т). Это означает, что
8
кривая X, соответствующая рисунку, гиперэллиптична и задается уравнением У2 = Л (X — Хг), где Xг —
г=1
точки, в которых лежат висячие вершины в истинной форме дерева (см. [1]).
Сначала найдем многочлен Шабата (см., например, [1]) дерева Т. Пользуясь тем, что все определено с точностью до аффинного преобразования комплексной плоскости, будем искать многочлен в виде Р(х) : = (х3 + Ьх + Ь)4. Не будем пока его нормировать, поэтому значение многочлена в белых вершинах может быть любым, но отличным от нуля. Корни многочлена Р суть черные вершины.
Критические точки многочлена — это вершины дерева, имеющие валентность больше 1. Найдем производную: Р' = 4(х3 + Ьх + Ь)3(3х2 + Ь). Сомножитель, входящий в разложение в третьей степени, соответствует черным вершинам, а корни квадратного сомножителя — пара белых вершин валентности 2. Обозначим Q := (3х2 + Ь). Значения Р в корнях Q должны совпадать, так как они равны одному критическому значению, поэтому остаток от деления Р на Q, который является многочленом первой степени, не может зависеть от х, т.е. должен быть константой. Это соображение дает уравнение относительно
Рис. 2
Описанная конструкция получения гауссова слова, очевидно, неоднозначна, но в рамках решаемой в данной статье задачи это несущественно.
4См., например, [7].
параметра b:
R := Р mod Q = (--b5 + -b4) х + —б6 + Ъ4 - -Ъ5.
^ V 81 3 J 729 9
8
Откуда получается, что b должно быть корнем уравнения--б4 (46 — 27) = 0. Ясно, что нас интересует
81
27
ненулевое решение этого уравнения. Тем самым b = —. Сразу находим соответствующее критическое значение
„I 531441
г := Щ
1Мг 64
и нормируем многочлен Р: Р\ := — • Р. Теперь его критические значения принадлежат множеству
г
{0, 1, то}. Это и есть многочлен Шабата нашего дерева:
64 / 3 27 274 4 = _531441 [Х +ТХ + ~
Черные и белые вершины определяются как корни соответствующих многочленов. Как уже было отмечено выше, кривая гиперэллиптична, и после перемасштабирования по осям ее уравнение приводится к виду
X: у2 = 16х8 + 40х6 + 16х5 + 33х4 + 28х3 + 14х2 + 12х + 5.
Теперь следует "поднять" функцию Белого на эту кривую. Ясно, что функция Белого преобразованного рисунка задается той же формулой, что и многочлен Р\. Поэтому осталось разрешить уравнение
_ (13 + I)2 1 413
на кривой X относительно в. Вычисления дают
225 3
(3 = - ( 128ж12 + 384ж10 + 128ж9 + 432ж8 + 288ж7 + 264ж6 + 216ж5 + —х4 + 62ж3 + 27х2 + 6х + - +
+у (з2х8 + 56ж6 + 16ж5 + ЗОж4 + 16ж3 + у ж2 + Зх + ^ что и требовалось.
Автор выражает глубокую благодарность В. А. Дремову и профессору Г. Б. Шабату за ценные советы и замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белый Г.В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. 43, № 2. 267-276.
2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2010.
3. Адрианов Н.М., Амбург Н.Я., Дремов В.А., Кочетков Ю.Ю., Крейнес Е.М., Левицкая Ю.А., Насретдинова В.Ф., Шабат Г.Б. Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя ребрами // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 6. 35-112.
4. Бычков Б.С., Дремов В.А., Епифанов Е.М. Вычисления пар Белого 6-реберных рисунков рода 3 с нетривиальными группами автоморфизмов // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 6. 137-148.
5. Shabat G.B., Voevodsky V.A. Drawing curves over number fields // The Grothendieck Festschrift. Vol. 3. Boston: Birkhauser, 1990. 199-227.
6. Schneps L. Dessins d'enfants on the Riemann Sphere // The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, LMS Lect. Notes. Vol. 200, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1951.
Поступила в редакцию 17.06.2011