Научная статья на тему 'Пара Белого, соответствующая самодвойственному одноклеточному детскому рисунку рода 3'

Пара Белого, соответствующая самодвойственному одноклеточному детскому рисунку рода 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
141
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТЕОРИЯ ДЕТСКИХ РИСУНКОВ ГРОТЕНДИКА / ПАРЫ БЕЛОГО / GROTHENDIECK DESSINS D'ENFANTS / BELYI PAIRS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Епифанов Евгений Михайлович

Статья посвящена вычислительному вопросу, возникающему в теории детских рисунков, нахождению в явном виде уравнений относительно пары Белого данного рисунка. Случаи рода 0, 1 и 2 уже довольно хорошо изучены, найдено довольно много примеров и разработаны действенные методы. В работе описан метод, позволяющий найти пары Белого самодвойственных рисунков рода 3.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Пара Белого, соответствующая самодвойственному одноклеточному детскому рисунку рода 3»

УДК 512.7

ПАРА БЕЛОГО, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ САМОДВОЙСТВЕННОМУ ОДНОКЛЕТОЧНОМУ ДЕТСКОМУ РИСУНКУ РОДА 3

Е. М. Епифанов1

Статья посвящена вычислительному вопросу, возникающему в теории детских рисунков, — нахождению в явном виде уравнений относительно пары Белого данного рисунка. Случаи рода 0, 1 и 2 уже довольно хорошо изучены, найдено довольно много примеров и разработаны действенные методы. В работе описан метод, позволяющий найти пары Белого самодвойственных рисунков рода 3.

Ключевые слова: теория детских рисунков Гротендика, пары Белого.

In this article we discuss a question arising in the dessins d'enfants theory: we are interested in finding the defining equations for the Belyi pair of a given dessin. Low genus (g ^ 2) cases are well-studied, there exist many examples of Belyi pairs of those genera and some effective methods have been developed. We present a method which allows to find Belyi pairs of self-dual genus 3 dessins.

Key words: Grothendieck dessins d'enfants, Belyi pairs.

Введение. Начало теории детских рисунков было положено А. Гротендиком в 1984 г. в препринте, озаглавленном "Esquisse d'un programme". В этой работе он изложил новую точку зрения на графы на поверхностях: каждому из них взаимно однозначно ставится в соответствие пара (X,в), где X — алгебраическая кривая над числовым полем, а в — рациональная функция на ней не более чем c тремя критическими значениями. В работе Г. В. Белого [1] установлено, что таким образом получаются все кривые над числовыми полями. Поэтому такие пары называют парами Белого. Монография [2] — хорошее пособие для желающих познакомиться с этой теорией.

Обычно найти пару Белого для данного рисунка довольно трудно. Случаи рисунков рода 0 и 1 уже сравнительно хорошо изучены (см., например, [3]), для них разработаны некоторые эффективные приемы вычислений. А вот с большими родами ситуация пока хуже. Автором рассматриваются рисунки рода 3 с единственной гранью и единственной вершиной (их можно реализовать как склейки 12-угольников). В [4] приведены основные результаты в этом направлении.

В настоящей статье описан метод, позволяющий понизить род и упростить вычисление пары Белого в том случае, когда факторизация по симметрии неприменима. Предложенный метод дает возможность получить дополнительные симметрии у самодвойственных рисунков (определение см. ниже), по которым можно профакторизовать и тем самым понизить род.

Двойственность и самодвойственность. Основные определения и факты можно найти в [2, 5, 6]. Ниже даны определения лишь непосредственно обсуждаемых в статье объектов.

Определение 1. Для данного рисунка D = (X, Г), где X — поверхность (т.е. гладкое компактное ориентированное двумерное многообразие без края), а Г — связный граф, вложенный в X так, что дополнение X \ Г гомеоморфно несвязному объединению дисков, определим двойственный рисунок D* = (X, Г*).2 Множество вершин рисунка D* составляют столицы граней рисунка D, а ребра соединяют столицы соседних граней, причем удобно считать, что каждое ребро рисунка D* пересекает ребро — границу между соответствующими гранями D — в его середине Рис. 1 (рис. 1).

Определение 2. Рисунок называется самодвойственным, если он изоморфен двойственному себе рисунку.

Определение 3. Имея склейку 2п-угольника, припишем каждой паре склеиваемых сторон какую-нибудь букву (разным парам — разные буквы). Начав с произвольной стороны, пройдем последовательно по всем ребрам данного многоугольника против часовой стрелки, выписывая буквы в том порядке, в

1 Епифанов Евгений Михайлович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Здесь и далее звездочка обозначает двойственный рисунок.

котором они будут встречаться. Эта последовательность букв определяет гауссово слово, соответствующее данной склейке.3

Рассмотрим произвольный самодвойственный рисунок Б. Пусть (X, в) — его пара Белого. Построим рисунок 0\ := Б и Б*, получающийся объединением двух вложенных графов. Наконец, рассмотрим рисунок Б*, двойственный к 0\. Эта сложная конструкция оправдана следующей леммой.

Лемма. Рисунок Б* имеет инволюцию.

Оказывается, что описанные только что операции с графами можно перевести на алгебраический язык, т.е. можно проследить, что происходит при таких преобразованиях рисунков с их функциями Белого. Эти факты сформулированы в следующих утверждениях.

Утверждение 1. Функция Белого в рисунка Б связана с функцией Белого в* двойственного рисунка Б* соотношением вв* = 1-

Утверждение 2. Функция Белого в\ рисунка 0\ := Б и Б* выражается через функцию Белого в рисунка I) следующим, образом: (3\ = -¡-щг^.

( в+1)2

Утверждение 3. Функция Белого [3\ рисунка двойственного к равна [3\ = •

Утверждение 4. Функцию в* можно представить в виде ¡31 = \{Ж о в +1)> где Ж — функция Жуковского4.

Поскольку у рисунка Б* есть инволюция, то по ней можно профакторизовать рисунок и тем самым понизить его род. Это может упростить вычисление его пары Белого. Если удалось найти пару Белого факторрисунка, то, применив равенство из утверждения 3, в таком случае можно получить уравнение относительно в, решение которого и даст искомую пару Белого рисунка Б.

Склейки. Проиллюстрируем описанный метод и найдем конкретную пару Белого. Окончательный результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема. Склейке с гауссовым словом, аЬаЬс(1се/е/(1 соответствует следующая пара Белого: в = — (128х12 + 384х10 + 128х9 + 432х8 + 288х7 + 264ж6 + 216ж5 + ^ж4 + 62ж3 + 27х'2 + 6х +§ + у (32ж8 + 56ж6 + 16ж5 + ЗОж4 + 16ж3 + Щ-х2 + Ъх + !)), на гиперэллиптической кривой у2 = 16х8 + 40х6 + 16х5 + 33х4 + 28х3 + 14х2 + 12х + 5.

Склейка, соответствующая этому рисунку, изображена на рис. 2, а. Несложно убедиться, что этот рисунок самодвойственный.

В данном случае факторрисунок — дерево Т на сфере Римана, изображенное на рис. 2, б. Черные вершины на нем — это прообразы 0, а белые вершины — прообразы 1.

Доказательство. Заметим, что у инволюции, по которой был факторизован рисунок рода 3, восемь неподвижных точек (на рисунке они изображены висячими вершинами дерева Т). Это означает, что

8

кривая X, соответствующая рисунку, гиперэллиптична и задается уравнением У2 = Л (X — Хг), где Xг —

г=1

точки, в которых лежат висячие вершины в истинной форме дерева (см. [1]).

Сначала найдем многочлен Шабата (см., например, [1]) дерева Т. Пользуясь тем, что все определено с точностью до аффинного преобразования комплексной плоскости, будем искать многочлен в виде Р(х) : = (х3 + Ьх + Ь)4. Не будем пока его нормировать, поэтому значение многочлена в белых вершинах может быть любым, но отличным от нуля. Корни многочлена Р суть черные вершины.

Критические точки многочлена — это вершины дерева, имеющие валентность больше 1. Найдем производную: Р' = 4(х3 + Ьх + Ь)3(3х2 + Ь). Сомножитель, входящий в разложение в третьей степени, соответствует черным вершинам, а корни квадратного сомножителя — пара белых вершин валентности 2. Обозначим Q := (3х2 + Ь). Значения Р в корнях Q должны совпадать, так как они равны одному критическому значению, поэтому остаток от деления Р на Q, который является многочленом первой степени, не может зависеть от х, т.е. должен быть константой. Это соображение дает уравнение относительно

Рис. 2

Описанная конструкция получения гауссова слова, очевидно, неоднозначна, но в рамках решаемой в данной статье задачи это несущественно.

4См., например, [7].

параметра b:

R := Р mod Q = (--b5 + -b4) х + —б6 + Ъ4 - -Ъ5.

^ V 81 3 J 729 9

8

Откуда получается, что b должно быть корнем уравнения--б4 (46 — 27) = 0. Ясно, что нас интересует

81

27

ненулевое решение этого уравнения. Тем самым b = —. Сразу находим соответствующее критическое значение

„I 531441

г := Щ

1Мг 64

и нормируем многочлен Р: Р\ := — • Р. Теперь его критические значения принадлежат множеству

г

{0, 1, то}. Это и есть многочлен Шабата нашего дерева:

64 / 3 27 274 4 = _531441 [Х +ТХ + ~

Черные и белые вершины определяются как корни соответствующих многочленов. Как уже было отмечено выше, кривая гиперэллиптична, и после перемасштабирования по осям ее уравнение приводится к виду

X: у2 = 16х8 + 40х6 + 16х5 + 33х4 + 28х3 + 14х2 + 12х + 5.

Теперь следует "поднять" функцию Белого на эту кривую. Ясно, что функция Белого преобразованного рисунка задается той же формулой, что и многочлен Р\. Поэтому осталось разрешить уравнение

_ (13 + I)2 1 413

на кривой X относительно в. Вычисления дают

225 3

(3 = - ( 128ж12 + 384ж10 + 128ж9 + 432ж8 + 288ж7 + 264ж6 + 216ж5 + —х4 + 62ж3 + 27х2 + 6х + - +

+у (з2х8 + 56ж6 + 16ж5 + ЗОж4 + 16ж3 + у ж2 + Зх + ^ что и требовалось.

Автор выражает глубокую благодарность В. А. Дремову и профессору Г. Б. Шабату за ценные советы и замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белый Г.В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. 43, № 2. 267-276.

2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2010.

3. Адрианов Н.М., Амбург Н.Я., Дремов В.А., Кочетков Ю.Ю., Крейнес Е.М., Левицкая Ю.А., Насретдинова В.Ф., Шабат Г.Б. Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя ребрами // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 6. 35-112.

4. Бычков Б.С., Дремов В.А., Епифанов Е.М. Вычисления пар Белого 6-реберных рисунков рода 3 с нетривиальными группами автоморфизмов // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 6. 137-148.

5. Shabat G.B., Voevodsky V.A. Drawing curves over number fields // The Grothendieck Festschrift. Vol. 3. Boston: Birkhauser, 1990. 199-227.

6. Schneps L. Dessins d'enfants on the Riemann Sphere // The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, LMS Lect. Notes. Vol. 200, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1951.

Поступила в редакцию 17.06.2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.