CC BY
10УДК 519.17
о, д)-РАС К РАС К А РАЗРЕЖЕННЫХ ПЛОСКИХ ГРАФОВ*)
О, В, Бородин, А. О, Иванова, Т. К, Неустроева
Введение
Ниже под графом всюду понимается обыкновенный граф без петель и кратных ребер. Через У (О) и Е(О) обозначаются множества вершин и ребер графа О соответственно.
Раскраска у. У (О ^ {0,1, • • • , к — 1} граф а О = (V, Е) называется (р, д)-раскраской, где р ид — целые числа такие, что р > д >1, если для любых вершин V и т графа О выполняются условия:
1) |<^(у) — | > р при ¿(у, т) = 1,
2) |<^(у) — | > ^и = 2,
где — расстояние между вершинами у и т (длина кратчайшей
цепи, соединяющей данные вершины).
Наименьшее число к, при котором существует (р, д)-раскраска вершин графа О в к цветов, называется (р, д)-хроматическим числом графа О и обозначается через хР,д(О).
Задача (р, д)-раскраски плоских графов является одной из основных моделей в проблеме распределения радиочастот в сетях мобильного телефонирования, когда источники (вершины плоского графа) должны получить целочисленные частоты (быть раскрашены) так, чтобы цвета вершин на расстоянии 1 различались не менее чем на Р, а на
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 06^01^00694, 05-01—00816).
© 2006 Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К.
расстоянии 2 — не менее чем на д. Здесь р > д, так как частоты близко расположенных источников должны различаться сильнее ввиду интерференции волн.
В [1,2] показано, что если плоский граф О разрежен, т. е. его обхват (длина минимального цикла) д при фиксированном А достаточно велик, то х,1 (О) = Д + 1. Число х,1 (О) не может быть меньше чем Д + 1, поскольку в любом графе есть звезда К,д- Легко видеть, что существуют графы с х ,1 > Д + 1 и произвольно большим обхватом (например, С¡4-1)- Таким образом, в [1,2] полностью решен вопрос, для
д х, О
лишь путем наложения ограничения на Д.
Для (р, р)-хроматического числа произвольного графа О имеем следующую оценку хР,Р(О) > Др + 1, поскольку для раскраски вершин
звезды К ,д (существующей в любом графе) в цвета, отличающиеся
рр
Заметим, что всегда хР,Р(О) ^ р • х ,1 — Р + 1) так как минимальную (1,1)-раскраску цветами 0,... ,хд — 1 можно преобразовать умноже-р р, р , р, . . . , х , — р
Отсюда естественным следствием результатов из [1,2] будет
Теорема 1. Пусть О — планарнын граф, тогда хР,Р(О) = ^Р + 1 в каждом нз следующих случаев: А = 3 и д > 24; (и) Д = 4яд >15; (ш) Д = 5 и д > 13; (пт) А = 6ид >12; (у) Д = 7ид > 11; (VI) Д > 9 нд=Ю;
(уи) А >16 ид = 9;
>д
>д
однако существуют графы с д ^ 6, для которых хР,Р(О) > ^Р + 1 ПРИ произвольно большом А.
Действительно, графы, построенные в [2] для д ^6, обладают
тем свойством, что в них каждая вершина принадлежит Д-звезде. Но
р, р р
цветов ОД, • • • , Др могут быть использованы лишь цвета, кратные р.
р, р
та ОД, • • • , Др, то они были бы фактически раскрашены лишь в цвета, рр
их 2-дистанционную раскраску в Д + 1 цвет вопреки доказанному в [2]. Для (р, дихроматического числа при р > д справедлива
О
гда
ХР„(О) ^ 2р + (Д — 1)(2д — 1) при Д > 5 •
Ясно, что при р ^ д данная оценка лучше той, что дана в тео-
р, д
верно
О
обхвата со сколь угодно большим Д, для которых хР,д(О) > 2р + 1 + —д
Замечание. Если Д невелико, то верхняя оценка в теореме 2 лишь незначительно отличается от приведенной в предложении 3 нижней оценки. Возникает вопрос о поведении хР,д ПРИ достаточно больших Д. В данное время нами ведется работа над доказательством того, что в этом случае Хр,д отличается от упомянутой нижней оценки не более чем на аддитивную константу.
Доказательство теоремы 2
к
к
ОО < Д, где Д >5, д(О) >31 и хРАО > 2р + (Д — 1)(2д — 1). Покажем, что тогда О имеет либо висячую вершину, либо >6-цепь.
О>
графа не меньше 2. Стягивая каждую &-цепь графа О в ребро, мы получаем планарный граф О* с минимальной степенью не менее 3. Тогда в О* есть грань ранга г < 5. Следовательно, в графе О должна быть грань ранга не более 6 х г ^ 30, что противоречит условию д >31. Предположим сначала, что в О есть висячая вершина V. Тогда в О
инцидентного V, имеет (р, д)-раскраску вершин в 2р + (Д — 1)(2д — 1) цветов. Обесцветим V и продолжим данную раскраску па О. На цвет вершины V имеется 2р — 1 ограничений от смежной вершины и 2д — 1 ограничений от каждой вершины на расстоянии 2. Поэтому всегда найдется хотя бы один свободный цвет, в который можно окрасить V.
ОО цепь мvvlv2vзv4wж, где ¿(V) = = ¿(ад) = 2 (1 ^ г ^4). Удалим
из графа О ребро В силу минимальности О граф О — имеет (р, д)-раскраску, использующую цвета из множества {0,... , х — 1}) где х = 2р + (Д — 1)(2д — 1), причем у(м) = а и у^) = в- Обесцветим вершины Vj (1 < г < 4) и продолжим у на граф О следующим образом.
Сначала красим VI. Если в ^ |_'\ > т0 ПРи а < х — д — 1 окрасим VI в цвет х — 1, в противном случае — в цвет х — 2д. Очевидно, что
|а — у^)| > д. Легко проверить, что цвета V и VI отличаются не менее р
Г х — 1"
уЮ —в > х—2д—
> 0 х — 1 > 2р+(А —1)(2д — 1) + 1
> х—2д--тт~ > -о-
2р+( 5 — 1)( 2 д — 1) + 1 3 — 2д > -^-1--2д > р + 2д —- > р.
Пусть теперь в > |_х—- ]> тогда окрасим VI в цвет 2д — 1, если а ^ д — 1, и в 0, если а > д. Ясно, что — а| > д, а для V и VI
справедливо следующее неравенство:
в — УЫ > ^ +142д — 1)
р — д— —
> -)±ч-1--2д+1 > р+2д — _ >р.
Таким образом, каковы бы ни были а и в вершину можно покрасить в один из четырех крайних или близких к крайним цветов заданного диапазона: 0, 2д — 1, х — 2д х — 1- Используем те же рассуждения для окрашивания Следовательно, вершину «4 также можно окрасить в один из этих четырех цветов.
Осталось окрасить «2 и «з. На выбор цвета для каждой из этих вершин имеется не более р + 2д — 1 ограничений от смежной вершины (от % для от «4 для «з) и те более чем по 2д — 1 ограничений от двух вершин, находящихся от соответствующей вершины на расстоянии 2. Итого, каждая из вершин «2 и имеет не более чем по р + 6д — 3 ограничений. Поскольку в раскраске (используется 2р+ (Д — 1) (2д — 1) цветов, количество цветов, разрешенных для каждой из вершин «2 и «з, не меньше чем
2р + (Д — 1)( 2д — 1) — (р + 6д — 3)
>2р + (5 — 1)(2д — 1) — р — 6д + 3 = р + 2д — 1 > р^
Следовательно, в списках допустимых цветов для каждой из двух вер-
р
чим эти списки через £(«2) и Ь(«з) соответственно. Если £(«2) = ¿(«3)) то понятно, что «2 и «з нужно красить в разные крайние цвета списка.
Пусть £(«2) £(«3)- Обозначим наименьший цвет в £(«2) через а 5 а наибольший — в цвет Д- Аналогично определяем а и в в £(«3)-Не теряя общности, можно считать, что а ^ аз, поэтому красим «2 в цвет а2, а «з — в цвет в) так как в — а > в — а > р- Значит, раскраска ( может быть продолжена на О.
Теорема 2 доказана.
Доказательство предложения 3
Пусть С — произвольный цикл нечетной длины. Навесим на каждую вершину С то Д — 2 вершин степени 1 и обозначим построенный
О р, д
фа О в Хр,д цветов 0, • • • , хр,д — 1- Предположим, что среди всех вершин
цикла С нет вершины, цвет которой отстоял бы от концов заданного диапазона не менее чем на р. Тогда все вершины С окрашены в цвета либо не больше р — 1 (назовем их младшими), либо не меньше хР,д — р
С
не могут быть одновременно окрашены в младшие или старшие цвета, С
С
Допустим теперь, что V — вершина на С, цвет ао которой отстоит
р
т. е. р ^ а ^ хР,д — р — 1- Рассмотрим множество цветов, использованных на V и смежных с ней вершинах. Пусть цвета, использованные при раскраске вершин, смежных с V, суть а_г,... , а_2, а_, а, а,... , ад_г где а_г < .. . < а— < а < а < . .. < ад
Сначала предположим, что 0 < Ь < А, т. е. цвета висячих вершин а
ства:
а — а_ > р а — а > р 2) — а^ > д при г ^А — Ь — 1 и —£ ^ г ^ —2. Отсюда следует, что а_ — а_г > (Ь — 1 )д и ад_г — а > (А — Ь — 1 )д. Легко увидеть, что
ад_г — а_ > (А — Ь — 1)д + (Ь — 1)д + 2р > 2р + (А — 2)д,
т. е. количество использованных цветов на V и ее соседях не меньше 2р + 1 + (А — 2)д.
Пусть теперь Ь = О либо Ь = А, например Ь = 0. Тогда а0 > р> а — а > р и — а^ > д при 1 ^ г ^ А — 1. Отсюда
ад > 2р + (А — 1)д > 2р + 1 + (А — 2)д.
Таким образом, в обоих случаях хР,д(О) > 2р + 1 + (А — 2)д. Утверждение доказано.
р, д
19
ЛИТЕРАТУРА
1. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-дистанционная раскраска разреженных плоских графов // Сибирские электронные математические известия. 2004. Т. 1. С. 76-90.
2. Бородин О. В., Глебов А. И., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Ташкинов В. А. Достаточные условия 2-дистанционной Д + 1-раскрашиваемости плоских графов // Сибирские электронные математические известия. 2004. Т. 1. С. 129-141.
г. Якутск, г. Новосибирск
28 сентября 2006 г.
