CC BY
10УДК 519.172.2
2-ДИСТАНЦИОННАЯ (А + 2)-РАСКРАСКА РАЗРЕЖЕННЫХ ПЛОСКИХ ГРАФОВ С Д=3*) А. О, Иванова, А. С, Соловьева
1. Введение
Под графом мы понимаем неориентированный граф без петель и кратных ребер. Через ^(С), Е(С), Д(С) и #(С) обозначим множества вершин, ребер, максимальную степень и обхват графа С соответственно. (Мы будем опускать аргумент всякий раз, когда граф ясен из контекста.)
Раскраска ^ : У( С) ^ {1,2,... , к} граф а С называется 2 -дистанционной, если любые две вершины на расстоянии не менее 2 друг от друга получают разные цвета. Минимальное число цветов в 2-
С
хроматическим числом и обозначается через х(С).
В 1977 г. Вегнер [1] (см. также книгу Иенсена и Тофта [2]) высказал следующую гипотезу.
Гипотеза. Для любого плоского графа выполняются следующие условия:
X ^ 7, если А = 3; X ^ А + 5, если 4 < А < 7;
Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проектов 09^01^00244 и 08-01— 00673), а также гранта президента России для молодых ученых (МК—2302.2008.1).
@ 2009 Иванова А. О., Соловьева А. С.
Х2 ^ |_ ^г ] + 1 в противном случае.
Были получены следующие верхние оценки: + 2 при А > 749 Агнарсоном и Холдорсоном [3,4] и Щг- + 1 при А > 47 О. В. Бородиным, Брусмой, Н. II. Глебовым и Ван ден Хойвелом [5,6]. Наилучшие из известных верхних оценок при больших А принадлежат Молою и Салаватипуру [7,8]: ^ + 78 при всех А и ^ + 25 при А > 241.
Очевидно, что х(О) > А + 1 для любого графа О (поскольку в любом графе есть звезда К,д)- Легко видеть, что при А = 2 существуют графы с х = 4 и произвольно большим обхватом, например, С к+1-
В [9,10] О. В. Бородиным и др. получены достаточные условия (в терминах д и А) того, что 2-дпстанцпонное хроматическое число плоского графа достигает тривиальной нижней границы А + 1. В частности, установлено, что минимальное д такое, что х = А + 1, если А
д
Ох
случаев:
(1) Д = 3,д > 24;
(И) А = 4,д >15;
(Ш) А = 5, д >13;
(Ь-) А = 6, д >12; (у) А > 7, д >11;
>д
(уд) А >15, д >8; (\-Ш) А > ад,д = 7.
Существуют плоские графы с д ^ 6 такие, что х = А + 2 для произвольно больших А.
х> обхвата 6 при дополнительном условии, что каждое ребро инцидентно вершине степени 2.
В [12] получен следующий результат.
Теорема 2. Каждый плоский граф с Д > 8821 ид >6 имеет X < Д + 2.
В [13] усилен этот результат с помощью доказательства следующей теоремы.
Теорема 3. Каждый плоский граф с Д > 18 ид >6 имее т х ^ Д + 2.
Возникает вопрос для плоских графов с 3 < Д < 17: какое же ограничение необходимо наложить на обхват графа, чтобы х ^ Д + 2?
В данной статье мы отвечаем на этот вопрос в случае Д = 3.
Теорема 4. Каждый плоский граф сД = Зид >13 имеет х ^ Д + 2.
Пусть граф С' — контрпример к теореме, т. е. имеет Д(С') = Д = 3, его обхват д(С') >13, а х(С') > Д + 2. Пусть, далее, С — наименьший по числу вершин граф со свойствами: Д(С) < Д, д(С) = д > д(С'), х{С) > Д + 2. Множество графов с этими свойствами непусто, в то время как, например, С' всеми ими обладает. Доказательство теоремы
С
С'
С
значим через 5 его минимальную степень. Легко видеть, что 5 >2. Формулу Эйлера IV| — |Е| + | = 2 запишем в виде
где — степень вершины V, а г(/) — ранг грани /.Пусть заряд каждой вершины V графа С равен Ц-с1(у) — 13, а заряд каждой грани
2. Доказательство теоремы 4
(11|Е| — 13|V|) + (2|Е| — 13|^|) = —26,
где ^ — множество граней графа С. Отсюда
(1)
/ графа О равен г(/) — 13. Поскольку заряд каждой грани неотрицателен, из (1) имеем
Заметим, что заряд 2-вершины равен —2, заряд 3-вершины равен 3|, а заряды всех остальных вершин положительны. Мы опишем ряд струк-О
ды вершин так, чтобы новый заряд каждой вершины стал неотрицательным. Поскольку сумма зарядов вершин при перераспределении сохраняется, получим противоречие с (2), что и завершит доказательство теоремы.
Далее под к-цепью мы понимаем цепь, состоящую в точности из к вершин степени 2, а под (к, ¡,ш)~вершиной — вершину степени 3, инцидентную > к-, > I- и > ш-цепям.
Лемма 1. В О нет > 3-цепей.
Доказательство. Предположим,
кружками) и рассмотрим 2-дистанционную раскраску полученного графа. На рис. 1 символы N указывают порядок окрашивания вершин; нетрудно убедиться, что в момент окраски каждой из них имеется не более четырех ограничений на выбор цвета. □
Лемма 2. В О нет (2, 2,1)-вершины.
Доказательство. Пусть такая вершина v существует. Удалим V и все 2-вершины конфигурации и рассмотрим 2-дистанционную раскраску полученного графа. Без ограничения общности будем считать,
3. Структурные свойства графа О.
что 3-цепь существует (рис. 1). Удалим две внутренние 2-вершины конфигурации (удаленные вершины изображены белыми
Рис. 1
Ч2 ^ | Щ, а N4 * N2 00^
N1
Л*
(а)
Рис. 2.
Л1
(Ь)
Рис. 3.
что конец одной 2-цепн окрашен в цвет 1 (здесь и в дальнейшем зафиксированные раскраской цвета помещаем в прямоугольник). Дальнейшее продолжение раскраски на обесцвеченные вершины зависит от того, в какой цвет окрашен конец 1-цепи. На рис. 2 показана сводимость данной конфигурации. Нетрудно убедиться, что двумя вариантами, показанными на рисунке, исчерпываются все способы раскраски границы. Заметим, что во втором случае мы сначала красим дальнюю (от V) 2-вершину 2-цепи в любой из разрешенных на ней цветов, а потом повторяем его на смежной с V вершине. □
Лемма 3. В С нет смежных (2,2, 0)-вершин.
Доказательство. На рис. 3 приводится два решения для различных способов раскраски границы. Здесь и далее в каждом из вариантов обесцвеченные (внутренние) вершины конфигурации мы изображаем на рисунке белыми кружками и указываем способ их раскраски.
Читателю остается убедиться, что ни один из вариантов раскраски гра-
□
Лемма 4. В С нет (2,1,1)-вершин, имеющих общую 1 -цепь.
ш
ш
¿ЛГ5 <>N7
¿#6 Шь
N4
N4 1 АГз N2
-о-&
Рис. 4.
Доказательство. На рис. 4 и 5 показаны все возможные варианты раскраски границы конфигурации и соответствующие им решения. Заметим, что имеется два основных случая: концы 2-цепей окрашены
в один и тот же цвет (рис. 4) и концы 2-цепей окрашены в различные
□
Лемма 5. В О нет (2,1,0)-вершины, имеющей общую 1 -цепь с
, , , ,
Доказательство. Вариант раскраски показан на рис. 6. Отметим только, что сейчас мы обесцвечиваем не все 2-вершины конфигу-
□
Лемма 6, В О нет (1,1,1)-вершины, имеющей (2,1,1)-вершины концами всех трех своих 1 -цепей.
Доказательство. См. рис. 7 и 8. Здесь снова два основных случая: концы всех трех 2-цепей попарно различны и имеется пара одинаковых концов 2-цепей. Отметим, что второй случай распадается на 4 варианта, причем в последнем из них мы первой красим дальнюю 2-вершину одной из 2-цепей в цвет а, который разрешен на этой
□
4. Завершение доказательства.
Используем следующие правила перераспределения зарядов:
К1. Каждая 2-вершина 1-цепи получает заряд 1 от каждого из концов этой 1-цепи, а каждая 2-вершина 2-цепи получает заряд 2 от
^ а/
¿N5 ¿>N7
ш
нг
¿>N4
9А/5 ¿л/у
1 N3 2 N2
(а)
гд и
Ш ЛГ2 12 (Ь)
13
ш
т
¿Л/2
¿ЛГ7 бЛ/з
ш
Ш
И4
Ш5 ¿>N7
9АГ4 оЛ/в
Ш АГ« 2 ЛГ5 Ш
(с)
К >
Ш АГ, 2 ЛГз 1 ЛГ2 Щ (<1)
К
Рис. 5.
>
¥
ФЛГ9
—О-о-
N7 N6
V V
<и>
ш2
-о-о-о—
1 N1
<
Рис. 6.
смежной с ней вершины степени 3.
112. Каждая (2,2,0)-вершина получает заряд | от смежной с ней вершины степени 3.
V
М7
<?
-О-о
N4 6
2
N2$
N10
<
1 4 3
NI 6
Шп
№11
Рис. 7.
КЗ. Каждая (2,1,1)-вершина получает заряд ^ от каждого из концов инцидентных ей 1-цепей.
Убедимся, что после перераспределения зарядов у) ^ 0 для любой у Е У(О), что будет противоречить (2) и завершит наше доказательство.
Пусть сначала ¿(у) = 2. Согласно правилу Ш и лемме 1 имеем
Остается рассмотреть случай ¿(у) = 3. Напомним, что ^(у) = 3|. Заметим, что после применения правила Ш с учетом леммы 2 заряды (2,2,0)- и (2,1,1)-вершин становятся равными — заряд (1,1,1)-вершины равен 0, а заряды всех остальных вершин неотрицательны.
После применения 112 с учетом леммы 3 вершина (2,2,0) имеет заряд, равный 0, а после применения ИЗ согласно лемме 4 и заряд (2,1,1)-вершины становится равным нулю. Убедимся, что заряды всех остальных вершин остаются неотрицательными.
Действительно, если 3-вершина у отдает | по 112, то она не может отдавать ^ по ИЗ и одновременно быть инцидентной 2-цепи в силу
у) = -2 + 2 = 0.
V
Тш
*14< 1
Д3
у
ЛГ4< ЛГ5|
ЛГц лг10 1
N3 N2
N7
<
"ль
<
N7 « 2 <
(а)
ЛГ10< 2
|лг8
1
1 ЛГп
(с)
¿Ла
>
N4
N6
1
■^9
N3 ЛГ2
<
^11
ЛГ10 1
^12 Ш
<
N7
(Ь) »Лв
9^13 >
#9 а
<
1 ЛГ„ Ъ
N1 Ш
<
>N2
№
Рис.
леммы 5, так что ¡л* (у) ^ 3^ — | — 3 х 1 = 0. Наконец, у передает ^ по ИЗ не более двух раз, поскольку имеет место лемма б, а значит, - 2x^-3x1 = 0. Теорема 4 доказана.
Авторы благодарят О. В. Бородина за тщательную проверку доказательства и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wegner G. Graphs with given diameter and a coloring problem: Technical Report. Univ. of Dortmund, Germany, 1977.
2. Jensen Т., Toft B. Graph coloring problems. New York: John Willey and Sons, 1995.
3. Agnarsson G., Halldorsson M. M. Coloring powers of planar graphs // Proc. SODA'OO, SIAM press. 2000. P. 654-662.
4. Agnarsson G., Halldorsson M. M. Coloring powers of planar graphs // SIAM J. Discrete Math. 2003. V. 16, N 4. P. 651-662.
5. Бородин О. В., Брусма X., Глебов А. Н., Ван ден Хойвел Я. Строение плоских триаигуляций в терминах пучков и звезд // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2001. Т. 8, № 2. С. 15-39.
6. Бородин О. В., Брусма X., Глебов А. Н., Ван ден Хойвел Я. Минимальные степени и хроматические числа квадратов плоских графов // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2001. Т. 8, № 4. С. 9-33.
7. Molloy М., Salavatipour М. R. Frequency channel assignment on planar networks / Mohring R. H., Raman R. (Eds.). Berlin: Springer-Verl., 2002. P. 736-747. (Lect. Notes Comput. Sci.; V. 2461).
8. Molloy M., Salavatipour M. R. A bound on the chromatic number of the square of a planar graph // J. Combin. Theory Ser. B. 2005. V. 94. P. 189-213.
9. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-Дистанционная раскраска разреженных плоских графов // Сиб. электрон, мат. изв. (http://semr.math. nsc.ru). 2004. Т. 1. С. 76-90.
10. Бородин О. В., Глебов А. Н., Иванова А. О., Неустроева Т. К., Ташкинов В. А. Достаточные условия 2-дистанционной (Д+ 1)-раскрашиваемости плоских графов // Сиб. электрон, мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru). 2004. Т. 1. С. 129141.
11. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Достаточные условия минимальной 2-дистанционной раскрашиваемости плоских графов с обхватом 6 // Сиб. электрон, мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru). 2006. Т. 6. С. 441-450.
12. Dvorak Z., Krai D., Nejedlv R, Skrekovski R. Coloring squares of planar graphs with girth six 11 Eur. J. Comb. 2008. V. 29, N 4.P. 838-849.
13. Borodin О. V., Ivanova A. O. 2-Distance (Д + 2)-coloring of planar graphs with girth six and Д > 18 // Discrete Math, (to appear)
г. Якутск
13 апреля 2009 г.
