CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 3, С. 71-82
УДК 517.95
ОЦЕНКИ ВОЗМУЩЕННОЙ ПОЛУГРУППЫ ОЗЕЕНА В Мга И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ - СТОКСА1
Л. И. Сазонов
Исследуется вопрос об условиях, при которых возмущенная полугруппа операторов Озеена в Rn допускает степенные оценки, аналогичные оценкам невозмущенной полугруппы Озеена. Эти оценки используются для исследования устойчивости стационарных решений системы Навье — Стокса в Rn.
Ключевые слова: Система Навье — Стокса, полугруппа Озеена, устойчивость.
1. Введение
Пусть v — стационарное решение системы Навье — Стокса в пространстве Rn (n > 2)
Г§ = An - (u, V)u — Vp + f, j^div u = 0.
Будем предполагать, что поле v имеет вид v = u<^e 1 + w, где u<^> = const, а w в определенном смысле стремится к нулю на бесконечности (это условие в дальнейшем будет
уточнено).
Осуществляя замену u := u + v, приходим к уравнению для возмущений
(ft = Au — u^d1u — (w, V)u — (u, V)w — (u, V)u — Vp, (2)
div u = 0. (2)
Систему (2) будем называть возмущенной системой Озеена. Обозначим через в L”(R”) пространство n-мерных векторных полей с координатами из Lp(M”) и пусть Sp = Sp(M”) (1 ^ p ^ то) — подпространство в L”(M”), являющееся замыканием множества всех гладких финитных соленоидальных полей. Применяя к системе (2) гидродинамический проектор П : L”(R”) ^ Sp(R”) (1 < p < то), сведем возмущенную систему Озеена к ОДУ в пространстве Sp(R”)
du
— = Au + Bu + Ku, (3)
dt
где A, B, K — операторы вида:
Au = n(Au — u^d1u), Bu = — n((w, V)u + (u, V)w), Ku = —n((u, V)u). (4)
© 2010 Сазонов Л. И.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Аналитической ведомственной целевой программы развития научного потенциала высшей школы, грант № 211/6095.
Далее уравнение (3) будем исследовать методами теории полугрупп, следуя методике, развитой В. И. Юдовичем в [1] для исследования гидродинамических задач в ограниченных областях пространства Ж3. Полугрупповой подход для исследования эволюционных уравнений развивался в работах Э. Хилле, Р. Филлипса, М. А. Красносельского, С. Г. Крейна, П. Е. Соболевского, Т. Като, В. И. Юдовича и многих других авторов. В частности, отметим работу Т. Като [2], в которой для уравнения (3) при В = 0, ите = 0 установлены теоремы существования локальных и глобальных при малых начальных данных решений в пространстве 5”(Ж”) и их асимптотика при Ь ^ то. Сошлемся также на работу [3], в которой установлена одна абстрактная теорема об устойчивости и доказана асимптотическая устойчивость нулевого равновесия системы Навье — Стокса в пространстве Ж3. Следует отметить, что полугрупповой подход к системе Навье — Стокса активно развивается в последние десятилетия и в его рамках исследованы вопросы глобальной разрешимости в различных функциональных пространствах (правда, в основном при условии определенной малости начальной скорости и поля внешних сил). По этому поводу смотрите, например, [4] и имеющуюся там библиографию.
В случае В = 0 (ад = 0) главная линейная часть уравнения (3) представлена оператором Озеена (Стокса при ите = 0) А, который в каждом пространстве 5Р(Ж”) (1 < р < то) с областью определения ^(А) = (Ж”) П 5Р(Ж”) порождает аналитическую полугруппу
Озеена Т (Ь), совпадающую на соленоидальных полях с полугруппой теплопроводности с переносом. Отсюда непосредственно следует, что для полугруппы Озеена справедливы оценки
||д“Т(Ь)|| < с^¿-|а|/2-(п/2)(1/р-1/9), (5)
где 1 ^ p ^ д ^ то.
Для применения полугруппового метода к возмущенной системе Озеена (3) необходимо выяснить при каких условиях возмущенный оператор Озеена А = А + В порождает аналитическую полугруппу, которая удовлетворяет оценкам вида (5). Эти вопросы исследуются в § 2 с использованием результатов работы [5], в которой получены оценки возмущенной полугруппы Озеена во внешней области пространства Ж3. Результаты об устойчивости и неустойчивости стационарных решений содержатся в § 3 и § 4.
2. Возмущенная полугруппа Озеена
Как уже отмечалось во введении, оператор Озеена
А = П(Д - и^Д)
с областью определения ^(А) = 5р(Ж”) П ^р(Ж”) порождает в любом пространстве 5р(Ж”) (1 < р < то) аналитическую полугруппу Т(Ь), для которой справедливы оценки (5). В случае всего пространства этот факт является простым следствием из оценок полугруппы теплопроводности. Однако для других неограниченных областей получение таких оценок связано с определенными техническими трудностями. В частности, для внешних областей пространства Ж3 при фиксированном значении ите = 0 оценки установлены в [6] методом гидродинамических потенциалов, в [7] они получены иными методами, причем доказана их равномерность по параметру ите £ (0,г), многомерный случай рассмотрен в [8]. Следует также отметить, что для внешних областей происходит сужение области изменения параметров р и д.
Вместе с оператором Озеена А рассмотрим возмущенный оператор Озеена А = А+В, где Ви = —П((и, У)ад + (ад, У)и).
Лемма 1. Пусть т — соленоидальное поле, причем т,д/т £ £^(Ж”). Тогда возмущенный оператор А с областью определения ^(А) = ^(А) порождает в любом пространстве йр(Ж”) (1 < р < то) аналитическую полугруппу Т(Ь).
< Доказательство по существу повторяет доказательство из [5] и опускается. > Пусть ио — финитное соленоидальное поле в Ж”. Тогда и(Ь) = Т(Ь)ио — решение
линейной возмущенной системы Озеена, т. е. системы (3), в которой следует положить
К = 0. Для получения оценок полугруппы Т(Ь) достаточно оценить и(Ь) для указанных начальных данных ио. Заметим, что и(Ь) является решением интегрального уравнения
г
и(Ь) = Т(Ь)и0 + J Т(Ь — в)Ви(в) ^5. (6)
о
Рассмотрим оператор-функцию Т(Ь)В. Ввиду соленоидальности поля т ее можно представить в виде
Т(Ь)Ви = —Т(Ь)П [(V, и) т + (V, т) и].
Тогда из неравенств (5) вытекают оценки
||Т(¿)В||р^ < СРА¿-1/2-(”/2)(1/р+1/е-1/9) ||туе, (7)
причем должны выполняться условия
1/д < 1/р + 1/в ^ 1, 1 ^ р, д ^ то,
и если 1/р +1/^ = 1, то д = 1, то.
Пусть д > п/(п — 1) и дополнительно к условиям леммы 1 т £ (Ж”) для всех
В £ [В1, то], где ^1 < п. Тогда в силу (7) для оператор-функции Т(Ь)В справедлива
оценка
||Т(¿)В||^ < с?Ь-1/2(1 + Ь)-^,
где 7 = ш1п(п/(2в1), п/2(1 — 1/д)), причем 7 + 1/2 > 1 (д > п/(п — 1)!).
Для оператор-функции Т(Ь)В определим ее преобразование Фурье
^[Т(Ь)В] = I Т(Ь)Ве^^ о
при г £ {1ш г ^ 0}.
Предположим, что оператор I — [Т(Ь)В] для любого г с 1ш г ^ 0 обратим в про-
странстве (Ж”) (д > п/(п — 1)). Тогда, как установлено в [5], существует оператор-функция А(Ь) £ Бпё(йд(Ж”)), удовлетворяющая оценкам
||А(*)||^, < са,вГ“(1 + Ь)-в (8)
для любого а £ (1/2,1) с а + в = 1/2 + 7 > 1, такая, что решение уравнения (6)
представляется в виде
г
и(Ь) = Т(Ь)и0 — ^ А(Ь — т)Т(т)и0 ^т. (9)
Далее, из представления (9) и неравенств (8) вытекает оценка
t
(t — т )-а(1 + t — т )-в т-Y dr sup ||т7 T (т )uo||q, (10)
T<t 0
где 0 < Y < 1. Анализ неравенства (10), выполненный в [5], приводит к неравенству
||T (t)u0|| ^ cqt-Y sup lit7 T (t)u0 II , n/(n — 1) <q ^ то, 0 <y< 1. (11)
qtq
Полагая uo = Пд0vo и используя оценки невозмущенной полугруппы (5), получаем
ЦТ(t)nô0 ||p^q < cpqt-|0|/2-(n/2)(1/p-1/q) (12)
при выполнении следующих условий:
|0| ^ 1, Н/2 + n/2(1/p — 1/q) < 1, q>n/(n — 1), 1 ^ p ^ q ^ то.
Некоторые ограничения на p, q можно ослабить. Из полугруппового свойства следует, что неравенство (12) выполняется, если q>n/(n — 1) и 1 ^ p ^ q ^ то.
Возвращаясь к интегральному уравнению, определяющему u(t) = T(t)nô0vo, имеем при 1 < q ^ n/(n — 1)
t
||u(t) — T(t)nô0vo|Ц9 ^ cj ЦТ(t — т)B||и(т)|r dт,
o
где r > n/(n — 1).
Для интеграла с учетом (12) и (7) справедлива оценка
t
J ЦТ (t — т )B Lq ||и(т )||r dт < ct1/2-|0|/2-n/(2e)-(n/2)(1/p-1/q), o
причем должны выполняться условия
1/2 + n/2(1/r + 1/ö — 1/q) < 1, |0|/2 + n/2(1/p — 1/r) < 1,
1/q ^ 1/r + 1/0 ^ 1, r>n/(n — 1), p ^ q.
Простой анализ предыдущих неравенств приводит к следующему результату.
Теорема 1. Предположим, что оператор I — Fz[T(t)B] для любого z G {z;Im z ^
0} обратим в пространстве Sq(Rn) при любом q > n/(n — 1). Тогда для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки
|T(t)nô0 ^ < cpqt-|0|/2-(n/2)(1/p-1/q) (13)
при выполнении следующих условий |0| ^ 1, 1 ^ p ^ q < то, q > 1 при |0| =0, 1 < p ^ q < то при |0| = 1.
Условия теоремы можно сформулировать в терминах возмущенного оператора Озеена. Опуская выкладки, отметим, что при Im z ^ 0 справедлива формула
Fz [T (t)B] = — R-iz (A)B,
u(t)|q ^ llT(t)uo||q + cq J
где Д_іг(А) — резольвента оператора Озеена. В свою очередь, резольвенту Да (А) при Яе А ^ 0 на финитных соленоидальных гладких полях можно представить в виде
ДА(А)и = —& 1| . |2 + . . + А & и, (14)
К12 + ги^4і + А
где & — преобразование Фурье.
Здесь следует сделать одну оговорку. Точка А = 0 является точкой спектра оператора Озеена, однако оператор, определяемый правой частью (14) при А = 0 можно рассматривать как неограниченный оператор и для него удобно сохранить обозначение До (А). Применение теорем Михлина и Лизоркина о мультипликаторах преобразования Фурье (см., например, [9]) приводит к следующим утверждениям:
при А = 0, Яе А ^ 0 оператор Да (А) является ограниченным оператором из 5Р(Ж”) в пространство Соболева ^^(М”) для всех р Є (1, то);
при А = 0 оператор д0 До (А) является ограниченным оператором из 5Р(М”) в пространство (М”) при выполнении условий
|0| ^ 2, 1 <р ^ д< то, 2----— ^ 1/р — 1/д ^ 2------------—.
п +1 п
Далее, ввиду компактности вложения ^р(^) С £р(^) для гладких ограниченных областей оператор Да(А)В является вполне непрерывным оператором из 5Р(М”) в 5Р(М”) при (п + 1)/п < р < то, если А = 0, 1 < р < то, если А = 0, И,е А ^ 0.
Теперь из теории Фредгольма следует, что оператор I — [Т(і)В] для любого
г Є {г : 1т г ^ 0} обратим в пространстве Бч (П) при любом д > п/(п — 1) тогда и только тогда, когда ядро Кегд(I + Да(А)В) оператора I + Да(А)В, действующего в пространстве Бч(М”), тривиально для всех д > п/(п — 1) и Яе А ^ 0. Кроме того, из сглаживающих свойств операторов Да (А) В вытекает, что Кегд (I + Да(А)В) = КеГр(1 + Да(А)В), Кег? (I + Да(А)В) — Кег^(А + В — АI) при р, д > (п + 1)/п. Поэтому, говоря далее о собственных числах возмущенного оператора Озеена, мы будем иметь в виду его собственные числа, отвечающие собственным функциям из пространства (М”) при любом фиксированном д > (п+1)/п. Из изложенного следует, что множество собственных чисел из полуплоскости {А : Яе А ^ 0} не зависит от д.
Таким образом, установлена
Теорема 2. Пусть ш Є П £те, рі < п и возмущенный оператор Озеена не имеет собственных чисел в полуплоскости {А : И,е А ^ 0}. Тогда для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки, сформулированные в теореме 1.
Для получения степенных оценок для операторов д0Т(і) перейдем к сопряженным операторам Т*(і)Пд0. При этом следует иметь в виду, что у оператора А * нарушается дивергентная структура. Это приводит к некоторым изменениям в оценках.
Заметим, что сопряженный оператор имеет вид А* = А* + В*, где А* = П(Д + итеді), В*и = П((У,ш)и + ^”=і(^ш^)и). Оператор А* по существу совпадает с оператором А, если заменить ите на — ите. Поэтому сопряженная полугруппа Т*(і) удовлетворяет тем же оценкам, что и Т(і). Далее аналогично предыдущему и(і) = Т*(і)ио определяется из уравнения
і
и(і) = Т*(і)ио + І Т*(і — в)В*и(в) гів. о
Для оператор-функции T*(t)B* справедливо неравенство
||T*(t)B*||^q < Cp,q(t-l/2-(n/2)(l/p+l/e-l/q) ||wye + t-(n/2)(l/P+V*-l/q) ||Ушу^),
причем должны выполняться условия 1/q ^ 1/p + 1/ß < 1, 1/q ^ 1/p + 1/a < 1, 1 < p, q < то. Анализ этих условий показывает, что нужная оценка
||T*(t)B* ||q^q < Cqt-l/2(1 + t)-Y, 1/2 + Y > 1
выполняется при q > n/(n — 2), если дополнительно к условию w G Lp1 П L^, pl < n потребуем, чтобы Vw G LCT1 П L^, al < n/2. Далее мы должны потребовать отсутствия у оператора A* собственных значений в полуплоскости {Л : Re Л ^ 0}, отвечающих собственным векторам из пространств Sq(Rn) для всех q > n/(n — 2) (а на самом деле достаточно для одного из таких q). Однако это условие не является новым, а следует из отсутствия собственных значений у возмущенного оператора Озеена. Теперь дословно повторяя доказательство для полугруппы T (t), приходим к выводу, что при выполнении условий теоремы 2 справедливы оценки
|T*(i)nô0||p^q < cpqt-H/2-n/2(l/p-l/q), (15)
если только n/(n — 1) < p ^ q < то. Отсюда из соображений двойственности вытекает
Теорема 3. Пусть w G Lp1 П L^, pl < n, Vw G LCT1 П L^, al < n/2 и выполняются
предположения теоремы 2. Тогда
HVT(t)^q < Cpqt-l/2-(n/2)(l/p-l/q), (16)
если только 1 < p ^ q < n.
3. Теоремы об устойчивости
Определения устойчивости. Предварительно сформулируем используемые ниже определения устойчивости из [1]. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве X
Ж = F ^ (17)
Пусть vo(t) — его решение, определенное на [0, то). Устойчивость основного решения vo(t) отождествляется с устойчивостью равновесия uo =0 для уравнения возмущений
ddU = F(vo + u, t) — F(vo, t).
Пусть для этого уравнения определен, по крайней мере, в некоторой окрестности нуля пространства X эволюционный оператор U*, дающий решение u(t) = U*uo, удовлетворяющее начальному условию u|t=o = uo.
Равновесие uo =0 называется устойчивым (X, U), если U* определяет отображение некоторой окрестности нуля в X в некоторое банахово пространство U вектор-функций на [0, то), непрерывное в точке uo = 0.
В частности, устойчивость (X, Сх) называется устойчивостью по Ляпунову, а устойчивость (X, сх ) — асимптотической устойчивостью. (В этих обозначениях Сх =
С([0, to],X) — пространство непрерывных на [0, то) вектор-функций со значениями в X с конечной нормой
||u||cX = sup ||u(t)||x,
0<t<(^>
— его подпространство вектор-функций с условием ||u(t)||x ^ 0 при t ^ то.)
Если Сх,ст — подпространство в Сх с нормой
IM|cx)СТ = sup ||eCTiu(t)||x, а> 0,
то устойчивость (X, Сх,о-) называется экспоненциальной устойчивостью в X.
Важно отметить, что решение при одном выборе нормы может быть устойчивым, а
при другом — неустойчивым.
Абстрактная теорема об устойчивости. Рассмотрим в банаховом пространстве X нелинейное дифференциальное уравнение
du . .
— = Au + Ku (18)
при следующих предположениях.
I. Пусть Y — банахово пространство, имеющее с пространством X общее плотное множество, и A — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы T(t) в X и Y, удовлетворяющей условию
||T(t)||x^x < ce-rt (а ^ 0). (19)
II. Нелинейный оператор Ku имеет вид Ku = DKo(Diu, ...Dmu), m ^ 2, где К : Yi x Y2 x ... x Ym ^ Y — полилинейный ограниченный оператор, так что
m
|| К0 (ui , . . . , um) || y ^ С П В»,- IIYj . (20)
j=i
III. а) Замкнутый оператор D : Y ^ X имеет дробную степень 70 (0 <70 < 1) относительно оператора A справа в том смысле, что
||T(t)D||Y^X < ct-Y0e-rt (21)
б) Замкнутый оператор D, : X ^ Y (j = 1,2,...,m) имеет дробную степень Yj (0 < Y, < 1) :
||D,T(t)|x^y, < ct-Yje-irt, (22)
m
Y = Y^ Y, = 1 - Yo, (23)
j=i
причем пересечение областей определения операторов D, не пусто.
в) Оператор-функции t ^ tYj D,T(t) со значениями в Hom(X, Y) сильно непрерывны и сильно сходятся к нулю при t ^ 0.
Небольшая модификация доказательства из [3] приводит к следующему результату. Теорема 4. При выполнении условий I-III нулевое решение уравнения (18) асимптотически устойчиво по Ляпунову в пространстве X, причем при а > 0 устойчивость экспоненциальная.
Более точно, устойчивость в теореме 4 понимается как устойчивость (X, 2), где 2 — банахово пространство всех вектор-функций н : [0, то) ^ X, для которых конечна норма
т 1Ми = IIе н(^)||С([0,^),Х) + X/ 11^Ъ е ^■/’н(^)||С,о([0,го),У^ V ¿=0
где С0([0, то), У/) = {V £ С([0, то), У/), ^(0) = 0}.
Решение задачи Коши для уравнения (18) с начальным условием и|*=0 = а понимается в обобщенном смысле как решение интегрального уравнения
г
н(£) = Т(¿)а + J Т(£ — в)Ки(в) ¿5, (24)
0
а доказательство теоремы получается при исследовании его разрешимости в пространстве 2.
Учитывая оценки (19)—(22), получим для оператора В, определяемого правой частью уравнения (24), неравенства
||Ви||^ ^ с(||а||х + ||и||т), (25)
|Вп1 — Вн2||^ ^ с|п1 — 811]:) |Ы|т-1 • (26)
Из (25) и (26) вытекает существование чисел 5 > 0 и К > 0 таких, что при ||а||х ^ 5 оператор В является сжимающим оператором в шаре В(0, К) пространства 2. Следовательно, уравнение (24) имеет в этом шаре единственное решение н, причем справедлива оценка ||и||£ ^ 2с||а||х• На самом деле имеет место единственность во всем пространстве 2. Поэтому нулевое решение уравнения (18) устойчиво (X, 2). Тем самым теорема доказана при а > 0.
Если а = 0, то устойчивость (X, 2) влечет лишь устойчивость по Ляпунову в пространстве X. Для доказательства асимптотической устойчивости устанавливается принадлежность последовательных приближений П1(4) = Т(¿)а, нп(¿) = Внга-1(£) пространству С0([0, то), X).
Теорема об устойчивости стационарного решения. Пусть V = ад + н^е1 — стационарное решение системы (1). Для исследования его устойчивости применим теорему 4 к уравнению (3), которое представим в форме
¿н
— = Ан + Кн, (27)
где А — возмущенный оператор Озеена, Кн = —П{(н, У)н}. Предположим, что поле V удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда для возмущенной полугруппы Озеена выполняются оценки (13). Будем исследовать устойчивость решения н = 0 уравнения (27) в одном из пространств 5Р(Ж”), т. е. полагаем X = 5Р(Ж”). Учитывая, что для а из 5Р(Ж”) при 1 ^ р ^ д < то, выполняется оценка
||Т(¿)а||р^, < ср,¿-(п/2)(1/р-1/^^||р
а|
получаем, что
¿(п/2)(1/р-1/?)Т(¿)а £ С0([0, то), 5,(Жга))•
(28)
Нелинейный член системы Навье — Стокса ввиду соленоидальности поля u допускает представление Ku = — n{(V, u)u}. Поэтому пространства У/ будем выбирать в виде Yi = У2 = Sr (R”) (r > p). Тогда в качестве пространства У следует выбрать Sr/2(R”)
(r > 2). Из оценок (13) следует, что 70 = 1/2 + n/2(2/r — 1/p), причем должно быть 1/p ^ 2/r < 1, и Yi = 72 = n/2(1/p — 1/r). Тогда из соотношения 70 + 271 = 1 вытекает, что p = n, и тогда должно быть n < r ^ 2n. Выберем в качестве Z пространство всех вектор-функций u : [0, то) ^ S”(R”), для которых конечна норма
IMIz = ||u(t)||c,([0,<»),X) + ||i71 u(t) Hco([0,(^),Yi),
где X = S”(R”), Yi = Sr(R”), причем r — любое фиксированное число, принадлежащее (n, 2n]. Учитывая зависимость от r будем использовать обозначение Zr. В качестве следствия теорем 2 и 4 устанавливаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть для стационарного решения w + u^ei выполняются условия: w, д/w G L^R”), w G Lp(R”) при некотором p < n; возмущенный оператор Озеена не имеет в пространстве S” (R” ) собственных векторов, отвечающих собственным значениям из правой полуплоскости ReA ^ 0. Тогда решение w + u^ei асимптотически устойчиво по Ляпунову в пространстве S”(R”). (Более точно, устойчиво (X, Zr).)
Следующие рассуждения уточняют поведение возмущений в случае, когда t ^ то. Пусть u(t) — решение интегрального уравнения для возмущений
t
u(t) = T (t)a + J T (t — s)(Ku)(s) ds (29)
0
с начальным условием a G S”(R” ), принадлежащее пространству Zr с некоторым r G (n, 2n] и w (t) = u(t) — T(t)a. Существование и единственность таких решений при достаточно малой норме ||a||n по существу устанавливается при доказательстве теоремы 5. Из неравенства
||u(t)||p < |u(t)|”|u(t)|i-e, где n < p < r, в = (1/p — 1/r)/(1/n — 1/r), получаем, что u(t) G Sp(R”) при p G [n, r] и
||u(t)||p < Cpt-(”/2)(i/”-i/p).
Учитывая это неравенство, устанавливаем, что
t
(t — T)-i/2-(”/2)(2/s-i/q)T-”(i/”-i/s) dr ^ Cqt-(”/2)(i/”-i/q)
0
при выполнении условий s G (n,r], 0 ^ 2/s — 1/q < 1/n.
Отсюда следует, что справедлива следующая
Теорема 6. Пусть для стационарного решения задачи обтекания выполнены условия теоремы 2. Тогда при достаточно малой норме ||a||n интегральное уравнение (29) имеет единственное решение u(t), которое принадлежит всем пространствам Sq(R”) при всех q G [n, то) и выполняется неравенство
u(t)|q < Cqt-(”/2)(i/”-i/q).
4. Теорема о неустойчивости
Теорема 7. Пусть возмущенный оператор Озеена, для которого V) £ Ь” П Ь^, д^ V £ Ь^з, имеет собственный вектор в некотором пространстве (Ж”) (1 < д < то), отвечающий собственному значению А с положительной вещественной частью И,е А = а > 0. Тогда стационарное решение V = V + н^в! неустойчиво в любом пространстве 5Р(Ж”) при 1 < р < то.
< При указанных предположениях собственный вектор ф принадлежит всем пространствам 5Р(Ж”) при р £ (1, то). Будем считать, что А — собственное значение с максимальной вещественной частью Яе А = а > 0. В этом случае для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки
где е > 0 — любое число, |а| =0,1, 1 < р ^ д < то. Рассмотрим сначала случай р > п. Выберем начальное поле в виде но = еф, ||ф||р = 1. Тогда
Теорема Банаха о неподвижной точке позволяет при достаточно малом е > 0 установить существование решения н в пространстве С([0, £], 5Р(Ж”)). Пусть [0,£) (£ = ££;Р) — максимальный интервал существования решения н. Тогда либо £ = то, либо
где п > 0, 7 = 1/2 + п/(2р) < 1. Осуществляя в интеграле замену Ь — в = т и выбирая П = а/2, получаем, что
(30)
Т (¿)п0 = єфеЛі
и интегральное уравнение для возмущений имеет вид
г
о
вир ||и(і)||р = то. і<£
Пусть [0, 6] — максимальный отрезок, на котором выполняется неравенство
||н(Ь)||р ^ еКв“г,
где К — некоторое число из интервала (1, 2).
Для вектор-функции
і
/
о
і
о
При достаточно малых е существует такое 61, что
(1 + сеК2в“61) = К.
Ясно, что 61 ^ 6. Но тогда
се2К2в2“61
(К — 1)(2 — К) сК2
Ввиду произвольности е > 0 полученное неравенство означает неустойчивость в пространстве 5Р(Ж”). Заметим, что рассматриваемое решение принадлежит всем пространствам 5Р(Ж”) при 1 < р < то. Действительно, если н £ С([0, 6], 5Р(Ж”)) при некотором р > п, то ввиду неравенства
для всех 0, удовлетворяющих условиям 0 ^ 2/р — 1/0 < 1/п. Так как в качестве р можно взять любое р > п, то н(Ь) £ С([0,6], й#(Ж”)) при п/2 <0 ^ п. Используя этот результат, аналогичным образом устанавливаем, что н(Ь) £ С([0, 6], йр(Ж”)) при выполнении условия 0 ^ 2/0 — 1/р < 1/п, 2/0 < 1, т. е. при 1 < р ^ п/2.
Теперь пусть р £ (1,п]. Положим р0 = р, р! = 2р, р2 = 4р, ..., рк = 2кр > п, причем к — первое из целых с условием 2кр > п. Пусть [0, а] — максимальный отрезок, на котором выполняются неравенства
Тогда последовательно полагая в неравенстве (31) 0 = р^, р = р^; 0 = р&—!, р = р^; 0 = рк—2, р = р&-1;...; 0 = ро, р = р! устанавливаем, что на [0, а] выполняются оценки
г
о
н(Ь)||Р; ^ еКНф||р' в“г, ^ =0, 1,...,к.
где с = вир,(с^).
При достаточно малых е существует такое а! ^ а, что 1 + сеК2вао_1 = К. Но тогда выполняется неравенство
которое устанавливает неустойчивость при р £ (1,п]. >
Литература
1. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1984.—192 с.
2. Kato T. Strong Lp-solutions of the Navier — Stokes equation in Rm, with applications to weak solutions // Math. Z.—1984.—Vol. 187.—P. 471-480.
3. Сазонов Л. И., Юдович В. И. Устойчивость стационарных решений параболических уравнений и системы Навье — Стокса во всем пространстве // Сиб. мат. журн.—1989.—Т. 29, № 1.—C. 151-158.
4. Biler P., Cannone M., Karch G. Asymptotic stability of Navier — Stokes flow past an obstacle // Banach center publications.—2004.—Vol. 66.—P. 47-59.
5. Сазонов Л. И. Оценки возмущенной полугруппы Озеена // Владикавк. мат. журн.—2009.—Т. 11, вып. 3.—С. 50-61.
6. Сазонов Л. И. Обоснование метода линеаризации в задаче обтекания // Изв. РАН. Сер. мат.— 1994.—Т. 58, № 5.—С. 85-109.
7. Kobayashi T., Shibata Y. On the Oseen equation in exterior domains // Math. Ann.—1998.—Vol. 310.— P. 1-45.
8. Enomoto Y., Shibata Y. On the rate of decay of the Oseen semigroup in exterior domains and its application to Navier — Stokes equation // J. of Math. Fluid Mech.—2005.—Vol. 7, № 3.—P. 339-367.
9. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.—М.: Наука, 1977.—455 с.
Статья поступила 3 декабря 2009 г.
Сазонов Леонид Иванович Южный федеральный университет,
доцент кафедры выч. мат-ки и математической физики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, заведующий лаб. математической физики E-mail: [email protected]
ESTIMATES OF THE PERTURBED OZEEN SEMIGROUP IN AND STABILITY OF THE NAVIER - STOKES FLOW Sazonov L. I.
We present power-like estimates for the perturbed Oseen semigroup in Rn. They are used for an estimation of solutions in the nonlinear perturbed Oseen system.
Key words: Navier — Stokes system, Oseen semigroup, stability.
