CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 67-74
УДК 517.95
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ - СТОКСА ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ1
Л. И. Сазонов
Рассмотрен вопрос об устойчивости ограниченных по времени решениях системы Навье — Стокса во всем пространстве К" (п > 2). Предварительно рассмотрен вопрос об их существовании.
Ключевые слова: система Навье — Стокса, ограниченное решение, устойчивость, пространство соленоидальных полей.
1. Предварительные сведения
Рассмотрим множество V = {V £ ё1у V = 0} — всех соленоидальных беско-
нечно дифференцируемых финитных полей. Замыкание этого множества в пространстве п-мерных векторных полей ¿"(М"), обозначаемое через БР(ЖП), называется пространством ¿Р-соленоидальных полей. Гидродинамический проектор П, проектирующий пространство ¿"(М") на (М"), продолжается с множества V до ограниченного проектора в любом пространстве ¿"(М") при 1 < р < ж с образ о м йР(Мга). За этим проектором
П
Рассмотрим линейное линеаризованное уравнение Озеена
Ы1у V = 0.
Решение задачи Коши с начальным условием VI^о = а, где а £ Б^М") представляется в виде V = Т (¿) а
та = (4,)-»/* / ехр { ^-У-^У^ } оЫ л,
К"
Вообще говоря, Т(¿) является аналитической полугруппой уравнения теплопроводности со сдвигом, но ввиду того, что гидродинамический проектор коммутирует с полугруппой, а начальное условие соленоидально решение соленоидально. В дальнейшем особенно важны оценки полугруппы
\\д£Т(Щ\3д < ср(ггН/2-§(1/р-1Аг) ца||5р) |«| = о, 1, 1 < р < оо.
© 2015 Сазонов Л. И.
1 Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности, задание № 11398 2014 К.
2. Существование ограниченных решений
Для системы Навье — Стокса
(§ = Дг>-(г>,У)г>-Ур-/(М),
Ы1У V = 0.
Рассмотрим вопрос о существовании ограниченных решений вида V = + 1, где
£(ж, ¿) стремится к нулю при |ж| ^ го. Поле является решением системы
^Д^-^-^У^-Ур-ДМ), с11У£ = 0. (1)
Предполагая, что £ (ж, ¿) принимает значения в пространствах типа Ьр, и действуя на систему (1) проектором П, получим ОДУ в некотором банаховом пространстве, которое будет определено ниже
^ = (2)
Используя метод вариации, сведем решение задачи Коши с начальным условием о = а к интегральному уравнению
í
£(*)= т(г)а + | Т(í - з)П{(£(з), У)£(з) - /(в)} йз. (3)
о
Исследуем вопрос об инвариантности пространства го),БР1 П БР2) относительно
отображения
о
Предварительно заметим, что
Q№ = J T(t - s)n{(£(s), V)£(s)} ds.
Т(í - з)П{(£(з), У)£(з)} = ^д3Т(I - з)П(&Ш(з)).
Далее, имеем
í
< с\$ - з)-1/2-п/(2р)¿зм.
о
Отсюда следует, что нельзя обойтись одним показателем. Из оценки
IIQ£(t)ll, < Cj (t - s)-1/2-(n/p-n/(2q)) ds№\\lUsp)
о
вытекает необходимость изменения показателя на разных участках интегрирования. Для определенности считаем, что при t < 2 на отрезке [0, t], или при t > 2 на отрезке [t — 1, t] выполняется неравенство 0 ^ (n/p — n/(2q)) < 1/2, либо при t > 2 на отрезке [0, t — 1] выполняется неравенство (n/p — n/(2q)) > 1/2 Тогда ||Q£||q ^ сЦ^Ц^^ nSp ) при q = pi ми q = p2. Таким образом, пространство L^([0, ro),SPl П Sp2) инвариантно
t
относительно отображения ф при выполнении условий 2 ^ р < п, п < р2 ^ 2рх, причем справедливо неравенство
Н^Н^^П5Р2) ^ СР1,Р2 П5Р2)• (4)
Теорема 1. Пусть (р1;р2) £ А = {р1 < п, п < р2 ^ 2р1}, а £ БР1 П БР2, / = ^ , £ Ьте(Бр1/2 П Бр2/2). Тогда существуют такие числа е > 0 Я > 0, что при выполнении условий ||аН < е Н^кН < е уравнение (3) имеет решение, единственное в шаре Вд = {Н£Н < Я} с П ^2)• ^
< Справедливы оценки
Ь.(5Р1 П^Р2) < НаН^р1 П^Р2 + п2 811 р ^ НЬто(5р1 ^П^) + п5р2)) , (5)
где п образ £ при отображении, определяемом правой частью уравнения (3). Для краткости полагаем сР1,Р2 = с. Из предположений теоремы следует, что выполнение условия с((п2 + 1)е + Я2) ^ Я влечет инвариантность шара Вд = {Ц£||ьто(5Р1 п^Р2) ^ Я}. Таким образом, это справедливо для всех Я, удовлетворяющих неравенству
^-(1 - л/Г^ст) ^ Я ^ ^-(1 + /П^ст), а = 4с2(п2 + 1)е.
2с 2с
В шаре Вд условие сжимаемости имеет вид 2Яс < 1. Таким образом, при ^(1 — ^/1 — <т) ^ Я < ^ шар Вд является инвариантным и в нем выполняется условие сжимаемости. Выберем е0 = 3(16с2(п2 + 1))-1, Я0 < (2с)-1 • Тогда при е ^ е0 в шаре ВДо существует единственное решение £ уравнения (3), причем на самом деле £ содержится в шаре Вдт1п, Ятт = ¿(1 - у/1-а). >
Пусть 1/р1 = 3/(2п), 1/р2 = 3/(4п). Тогда 2/р1 — 1/д1 = 3/п — 1/д1 > 1/п влечет 1/^1 < 2/п. Ясно, что 1/^1 можно взять сколь угодно близким к2/п, так как можно взять р1 < г < п, так что 2/г — 1/д1 < 1/п. Далее, 2/р2 — 1/д2 = 3/(2п) — 1/д2 < 1/п влечет 1/?2 > 1/(2п), причем 1/^2 можно взять сколь угодно близким к 1/(2п). Дальнейшие рассуждения показывают, что можно считать, что р>1 = 2, Р2 = го. Таким образом, если дополнительно к условиям теоремы 1 потребовать а £ Б2 П £ П то
те(Б2 П Бте).
Очевидно, что данный результат справедлив для любой точки (р , Р2) принадлежащей Д.
Регулярность ограниченных решений. Формально дифференцируя уравнение (3) и осуществляя замену П' = д^£, имеем
í
щ = дТ(4)а + д | Т(4 — в)п{]Т £,• (в) + /(в)} (6)
0
í
Для оператора (А^)к (4) = дк / Т(4 — в)П{ ^ (5)} ^ справедлива оценка
0
Н{(Ап)^ }НЬто((5р1 п^р2)п) ^ спН£НЬто(5р1 ПЯр2 )Н{% }НЬто((5р1 пйр2)п).
Здесь константа с = сРьР2, (р1;р2) £ Д из доказательства теоремы.
1. Имеем спН£Ньто(^р1 п5р2) ^ спЯШ1П. Здесь возникает дополнительное требование спЯт1П < 1. При выполнении этого условия оператор I — А обратим в пространстве
¿^((БР1 П БР2)"). Поэтому уравнение (6) имеет единственное решение в этом пространстве. Предположим, что а £ Б2 П Б^, ^к £ П Аналогично предыдущему устанавливаем, что nj £ ¿<^(БР1 П БР2) для всех р1 > 2, р2 < ж. Далее, введя обозначение
í
С = Т(¿)а + | Т(4 - в)п{]Т& (в)^(в) + /(в)} йв, (7)
о
имеем Цj = £ и, следовательно,
í
С = Т(¿)а + |Т(4 - в)п{(£(в), У)С(5) + /(в)} (8)
о
Так как £ является также решением этого уравнения, то £ = ( и, следовательно, дj£ = Цj• Старшие производные. Выполним некоторые формальные преобразования. Представим дj £ в виде
í
д£ = Т(4)да + 1Т(4 - 4л{(£(в), У)д,-£(в) + С,-(в)} йв, (9)
о
где (в) = (дj£(в), У)£(в) + /(в). Продифференцировав уравнение (9) и введя обозначение Цj k = дкдj£, получим
í
Пз,к = дкТ(¿)д?а + дк} Т(4 - £г (в)п>(в) + Gj(в)} йв. (10)
о
Введем оператор
í
В{Ш}(*) = {дк IТ(4 - в)п{]Т £г(в) (в)}
о
Имеет место оценка
Из данной оценки следует, что не возникает новых условий по сравнению со случаем первых производных. Предполагая эти условия выполненными, получаем, что оператор I - В обратим в пространстве .<^((БР1 П БР2)" ). Если предположить, что выполняются условия дj дк а £ Б2 П ПGj £ .те((БР1 П БР2)) для всех 1 < р1;р2 < ж, то nj,k £ ¿^(БР1 П БР2) для всех 2 < p1,p2 < ж Из уравнения (10) следует, что nj,k = дкгде
í
О = Т(¿)д-а + У Т(4 - в)п{]Т£г(в) п,г(в) + С,-(в)} йв. (11)
о
Таким образом, ^ являются решением системы
í
Cj = Т(¿)д-а + 1Т(4 - в)п{]Т £г (в) дгО (в) + (в)} йв. (12)
о
Представим (12) в виде
ь
О = Т(¿)д-а + дг У Т(4 - в)п{ £г(в)&(в) + д£г(в) £(в) + д,-/(в)} йв. (13) о
Покажем, что д?£ также являются решением этой системы. Ввиду очевидного соотношения д}дгТ(4)П£г£ = дjТ(¿)П(£, У)£) после подстановки в уравнение (13) преобразуем его к виду
д-£ = Т(¿)д-а + д- У Т(4 - в)п{ (£(в), V) £ + /(в)} йв.
(14)
Следовательно, с,- = д^, П',к = дкс, = д^-дк£. Таким образом, при приведенных выше условиях д?- дк £ £ .^(БР1 П БР2) для всех 2 < р1;р2 < ж. Производная по времени. В соотношении
Ь-е
о
е
I дТ(4 - в)Пд^ (£(в), V)£ + /(в)} - д1Т(4 - в)П{ (£(в), V)£ + /(в)} йв,
Ь-е
+
переходя к пределу при е ^ 0, получим
д_ т
IТ(4 - в)П{(£(в), V)£ + /(в)} йв = П{(£(в), V)£ + /(в)} о
ь
+ | д^ - в)Пд-{(£(в), V)£ + /(в)} - д1 Т(4 - в)П{(£(в), V)£ + /(в)} йв. о
Из последнего соотношения следует, что существует производная по времени. Кроме того, имеем
(дь -Д + д1) £ = (£, ^£) + /.
Устойчивость ограниченных решений. Пусть 0(4, ж) = £(4, ж) + в! — ограниченное решение. Рассмотрим вопрос об его устойчивости. Для этого исследуем интегральное уравнение для возмущений v(t, ж)
ь
v(t) = Т(фо + IТ(4 - в)П{Мв), V) £(в) + (£(в^) v(s) + (v(s), V)v(s)} йв. (15) о
Уравнение будем рассматривать в подпространстве Б7;Р пространства .^(Бр), состоящем из элементов с конечной нормой = йиРЬ(1 + ¿)7^(^Уйр- Найдем условия инвариантности пространства Б7;Р относительно оператора в правой части уравнения.
Т(4 - в)П{Мв), V)v(s)} йв
Ь
< с !(4 - в)
-1/2-"/(2р)
(1 + в)
и 2
\\v\S
ь
Считаем, что 1/2 + п/(2р) < 1. Тогда интегрируя, получаем оценку
Т(£ - в)П{(г(в), У)г(в)} йв
< с тах (г1/2-га/(2р), ¿1/2-п/(2Р)-2Т) ||щу2 .
Таким образом, условия инвариантности для рассматриваемого оператора имеют вид р > п, 1/2 — п/(2р) ^ 7 ^ 1/2 + п/(2р). Для линейной части при выполнении оценки для 7 имеем
Т(£ — в)П{(г(в), У)£(в) + (£(5), У)г(в)} ^
0
< с яир ^^¿ц П^2 (1 + 7 ||г||57,р ,
где г1 < п < г2, 1/г1 + 1/р < 1.
Далее, для выполнения включения Т(¿)го € Б7;Р необходимо и достаточно чтобы го € Бд П Бр, §(1/(? — 1 /р) ^ 7- Выясним когда вес максимален. Подставляя 7 = 1/2 + п/(2р) в последнее неравенство, получаем 1/д ^ 1/п + 3/р. Отсюда при п = 3 должно быть р > 9/2, а при п > 3 остается р > п.
Введем обозначения для операторов
г
Вг(4) = — / Т(£ — в)П{(г(в), УЖв) + (£(в), У)г(в)} йв,
г
Аг(£) = — ^ Т(£ — в)П{(г(в), У)г(в)} йв.
Теорема 2. Пусть пространство Б инвариантно относительно операторов А, В, оператор I + В обратим в этом пространстве. Тогда существуют числа е > 0 Я > О такие, что при ||Т(¿)го||27р < е уравнение
г(4) = Т (ф0 — Вг(4) — Аг(4)
в шаре Вд = {| г 12Т р < Я} имеет единственное решение.
< Условия инвариантности операторов определены выше. Обращая оператор I + В, сведем рассматриваемое уравнение к виду
гф = (I + В )-1{Т (фо — Агф}.
Имеет место оценка
||(1 + В)-1{Т(фо — Агф}^ < ||(1 + В)-1 ||(||Т(фо|| + с||г||2).
Правую часть этого неравенства оценим через С(||Т(¿)го || + 11г |2), где
С = тах{||(1 + В )-1||(1,с)}.
Пусть выполняется условие теоремы для Т(¿)го- Тогда условие инвариантности шара Вд выполняется при С(е + Я2) ^ Я, а условие сжимаемости в этом шаре имеет вид 2СЯ < 1. Очевидно, оба эти неравенства выполняются, если 1/(2С) — л/1/(4С2) — е ^ Я < 1/(2С). Тогда применим принцип сжимающих отображений, гарантирующий существование единственного решения в рассматриваемом шаре. >
г
2р
г
27,р
Замечание. Важным условием применимости теоремы является условие обратимости оператора I + В. Из оценки оператора В следует, что для этого достаточно подходящей малости величины 8ирГ1<га<Г2 Ц^Цят..
Пусть возмущение v £ Б7>р и 7 = 1/2 + п/(2р). Рассмотрим вопрос о принадлежности v другим пространствам . Для этого обратимся к интегральному уравнению возмущений (15). Отдельно для линейного и нелинейного операторов выясним вопрос о действии из Б7>р в .
Имеем
í
< С У ( - 5)-1/2-Кр-п/(2«)) (1 + 5)-27 < С(1 + ¿)-1/2-(п/р-п/(2.))
0
при выполнении условия 2/р — 1/п < 1/д ^ 2/р. í
Н^)^ < (* — 5)-1/2-(1/г+1/р-1/«)п/2)(1 + в)-7НМ^ШН^(*) < с(1 + НМ^ 0
при условии, что показатель г > 2 можно менять так, чтобы на разных участках интегрирования показатель 1/2 + (1/г + 1/р — 1/д)п/2 был больше или меньше единицы. Кроме того, должны выполняться условия 1/г + 1/р — 1/д ^ 0, 1/г + 1/р < 1. Легко показать, что все эти условия выполняются, если 0 < 1/д < 1/2 + 1/р — 1/п.
Таким образом, приходим к выводу: оператор, определяемый правой частью уравнения возмущений, действует из Б7,р в Б^,^, ц = шш(1/2 + п/(2р), 1/2 + (2/р — 1/д)п/2) при выполнении условия 2/р — 1/п < 1/д < шш(2/р, 1/2 + 1/р — 1/п).
Изложенное приводит к следующему результату об устойчивости.
Теорема 3. Существует такое число £р > 0, что при выполнении условия 8ирГ1<га<Г2 ) < £р ограниченное решение £(ж,£) + е1 асимптотически устойчи-
во в пространстве Бр, р > п, причем для возмущений справедлива оценка ^(^Ц^ ^ с(1 + ¿)-7, 7 = 1/2 + п/(2р). Как следует из предыдущего замечания возмущение принадлежит Бд и мя, ^ с(1 + где д, ц указаны выше.
Замечание. В работах [1, 2] установлены критерии устойчивости стационарных и периодических решений задачи обтекания без предположения об их малости.
Литература
1. Сазонов Л. И. Обоснование метода линеаризации в задаче обтекания // Изв. РАН. Сер. мат.— 1994.—Т. 58, № 5.-С. 85-109.
2. Сазонов Л. И. Об устойчивости периодических решений системы Навье — Стокса в трехмерной внешней области // Изв. РАН. Сер. мат.—2003.—Т. 67, № 4.—С. 155-170.
Статья поступила 23 марта 2015 г.
Сазонов Леонид Иванович
Южный математический институт ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела диф. уравнений РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет,
доцент кафедры выч. мат-ки и математической физики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а
74
CasoHOB JI. H.
ON THE STABILITY OF BOUNDED SOLUTIONS TO THE XAN 11*1? STOKES EQUATIONS IN THE WHOLE SPACE
Sazonov L. I.
Stability in the whole space of bounded solutions to the Navier-Stokes system is considered. Preliminarily, the existence of such solutions is studied.
Key words: Navier-Stokes system, bounded solution, stability, space of solenoidal fields.
