Оценки норм функций, представимых двойными рядами по косинусам с кратно-монотонными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.5

ОЦЕНКИ НОРМ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ ДВОЙНЫМИ РЯДАМИ ПО КОСИНУСАМ С КРАТНО-МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Т. М. Вуколова1

В работе доказываются оценки снизу и сверху для норм функций — сумм двойных рядов по косинусам.

Ключевые слова: норма, ряды по косинусам, монотонные коэффициенты.

We prove lower and upper bounds for the norms of fonctions being the sums of double sériés in cosines.

Key words: norm, sériés in the works of cosines, monotone coefficients.

1. Введение. Будем рассматривать ряды вида

оо оо

Е Е аП1>П2 cosriiXi COSÎI2X2, (1)

П2=0 «4=0

коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:

ûrai,ra2 ~~^ 0 ПРИ ni оо и любом П2; Cini,n2 0 при П2 —> оо и любом щ, (2)

причем cos 0 • Х\ = cos 0 • Х2 =

Для целых неотрицательных чисел к\ и к2 обозначим

к2 ki Afclfc2arai,ri2 = Е Е ^kiani+i,n2+j ■

j=0 г=0

Теорема А [1]. Если последовательность {а„ь„2} удовлетворяет условиям (2) и Ак1к2ап1,п2 ^ 0 для любых целых неотрицательных п\ и П2 и некоторых натуральных к\ и к,2, то ряд (1) сходится, по Прингсхейму всюду, кроме, может быть, множества плоской меры нуль, т.е. существует функция tp(x\,x2) — сум,м,а ряда, (1).

Будем говорить, что сумма ряда (1) — функция ip(x 1,^2) € Lp, где р € (0; оо), если

1

2тг 2тг \ Р

j J\tp{xi] X2)\PdX\dX2 J <00.

ч0 0 /

Теорема Б [2]. Пусть последовательность {о„1№} удовлетворяет условиям (2) и Агг^пьп2 ^ 0 для любых целых неотрицательных п\ и, П2- Тогда, если, р € (0; оо), то справедливы, неравенства

1

(ОО ОО \ р

Е + 1)2р"2 Е ("1 + 1)2р-2(Дцагаьп2)р < IMIp <

п2=0 п i=0 /

(оо оо \ р

Е («a + 1)2Р"2 Е ^ + 1)2р_2(АцагаьГ12)р , (3)

п2=0 ni=0 /

где положительные постоянные С\ и, С2 не зависят, от, последовательности {аП1}П2}.

Вуколова Татьяна Михайловна — канд. физ.-мат. наук, доцент Ин-та русского языка и культуры МГУ, e-mail: tmvukolovaQmail .ru.

Отметим, что эти неравенства и все нижеследующие понимаются таким образом: из конечности правой части неравенства следует конечность левой части.

Цель данной работы — получить, где это возможно, аналоги неравенств (3) для случаев, когда последовательность коэффициентов {аП1>П2} удовлетворяет не условию Д-22^7/1 ^ 0, а условиям Дк1к2ап1,п2 ^ 0 для заданных ]ц ^ 1.

2. Основные результаты. В работе доказаны следующие результаты.

Теорема 1. (а) Пусть последовательность {аП1,п2} удовлетворяет условиям (2) и А^^йщ.пг ^ 0 для любых целых неотрицательных щ и п2 и некоторых натуральных к\ и к2. Тогда в каждом из следующих случаев:

1) ¿1 = 1, к2 ^ 1, V е (1; оо);

2) 1, к2 = 1, ре (1; оо);

3) к! ^ 2, к2^2,ре (0; оо); справедливо неравенство

Ар(кг,к2) = ГГ (п2 + £ (щ + 1)к1Р~2(Ак1-1 к2-1аП1,П2)р < С3|М1Р, (4)

\Г12=0 п 1=0 /

где постоянная Сз не зависит от, последоват,ельност,и {аП1,п2 }• (б) В каждом, из следующих случаев:

4) кг = 1 ,к2> 1, (0; 1];

5) кг > 1, к2 = 1, р е (0; 1] ,

не существует такой единой постоянной Сз, зависящей только от, кг, к2 и р, что для любой последоват,ельност,и {аП1,п2}, удовлетворяющей условиям (2) и такой, чт,о Ак^о-щ,^ ^ 0 при указанных выше кг, к2 и р, и для соответствующей функции (р(хг,х2) было бы справедливо неравенство (4).

Теорема 2. (а) Пусть последоват,ельност,ь {аП1,п2} удовлетворяет условиям (2) и Ай1А;2агаьга2 ^ 0 для любых целых неотрицательных щ и п2 и некоторых натуральных кг и к2. Тогда в каждом, из следующих случаев:

1) кг = 1, к2 = 1, ре (0; оо); 2) кг = 1, к2 = 2, р е (0; оо); 3) кг =2, к2 = 1, р е (0; оо); 4) кг = 2, к2 = 2, р е (0; оо); 5) кг ^ 3, к2 ^ 1, оо); 6) ^ 1, к2 ^ 3, оо),

справедливо неравенство

< С4 £>2 + 1)^-2 £ (ni + l)^-2(Afci_1 k2_ianun2f , (5)

где постоянная С\ не зависит, от, последоват,ельност,и {аП1}П2}. (б) В каждом, из следующих случаев:

7) кг >3, к2 > 1, ре (0; ±];

8) fci ^ 1, к2 > 3, р е (0; ,

не существует такой единой постоянной С4, зависящей только от, р, кг и к2, чт,о для, любой последоват,ельност,и {аП1,п2}, удовлетворяющей условиям (2) и такой, чт,о Ак1к2ап1,п2 ^ 0 при указанных выше кг, к2 up, и для, соответствующей функции tp(xг,х2) было бы справедливо неравенство (5).

Отметим, что аналоги теорем 1 и 2 в одномерном случае для рядов по синусам содержатся в работе [3], а для рядов по косинусам — в [4], в двумерном случае для рядов по синусам — в работе [5], а для рядов по произведениям косинусов и синусов — в [6]. Отметим также, что в формулировках п. (а), (б) теорем 1 и 2 рассмотрены все возможные случаи. 3. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть посл,едова,т,ел,ьност,ь {Ъп} такова, что Ъп У 0 при п У оо и Akbn ^ 0 для любого целого неотрицательного п и некоторого натурального к, тогда для каждых 1 = 0, 1,... к— 1, г = 0, 1, ..., к — 2 и любого целого неотрицательного п справедливы неравенства: (а) АгЪп > А¡Ъп+г, (б) АгЪп > 0, (в) Дг+162(га+1) < (г) А 1+1Ъп < Афп,

Т1 ГЬ гь гь

(д) Е (ш + 1) А гЪт < £ Ьт, (е) £ (т + 1) 2А гЬт + Ът,

т=0 т=0 т=0 т=0

где А0Ьп = Ъп, AiЪп = Ъп- bn+1, Akbn = Ai(Afc_16ra), к ^2.

Доказательство леммы 1 опускается ввиду его простоты.

Лемма 2 [7]. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ъп —> 0 при п—> оо и А\Ъп ^ 0 для любого целого неотрицательного п; пусть числа аир таковы, что а < — 1, р € (0; оо), Л € (—оо; оо). Тогда справедливо неравенство

A+l

п=0

\v=0

п=0

где постоянная С5 зависит, лишь от А, р и а.

Лемма 3. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ъп —> 0 при п —> оо и А\Ъп ^ 0 для, любого целого неотрицательного п, пусть числа, аир таковы, что а > — 1 и р € (0; оо), Л € (—оо; оо). Тогда, справедливо неравенство

Е (п + ir Е +Х)Л < СеЕ + ^ Ып+

л+1

п=0

п=0

где постоянная Св зависит, лишь от аир.

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2 и поэтому опускается. 4. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем утверждение (а). 1. Пусть к\ = 1, к.2 = 1, р € (1; оо), и пусть <р(х 1,^2) € Ьр.

2тг

Рассмотрим функцию ^р\{х\) = ^ / <р(х1, Х2)с1х2• Тогда

I (1) =

о

1

2тг \ р / 2тг 2тг

J \Lpi(xi)\pdxi J =~\J J <p(xi,x2)dx2

ч0 / \0 0

dx

1

Применяя к внутреннему интегралу неравенство Гёльдера с показателем р, получим

1

2тг 2тг

П

1« <

C7[J J №xi, x2)\pdx1dx2\ =C7\\ip\\p.

\0 0

Так как tpi(x\) имеет ряд Фурье агц,оcosn\Xi, то, пользуясь теоремой Харди-Литлвуда [8], в

П2=0

случае р > 1 приходим к неравенству

/f = £(«1 + 1)

1

p~2al_ п ) " < С8 lb!

т, о

|(1) I р

\п 1=0

Учитывая оценку H^iH^, получим I\ ^ Сд ЦуЦ^.

2тг

Рассмотрим функцию <£>2(^2) = ^ / <р{х\, x2)dx\. Тогда

о

2тг

2тг 2тг

I (1) =

Р

\^2{Х2)\РdX2 \ = J J<p(Xl,X2)dx 1

чО / \о о

Применяя к внутреннему интегралу неравенство Гёльдера с показателем р, получим

1

2тг 2тг

„ } < Г7ПП I

Ир

p2IL(1) £

Сю | J ¡Мхи x2)\pdxidx2\ =Сю||^||р.

ч0 0

оо

Так как <£>2(^2) имеет ряд Фурье £ ао,п2 СОй то, пользуясь теоремой Харди-Литлвуда [8], в

П2=0

случае р > 1 приходим к неравенству

1

Р~2г,Р Г <г А, П/^К1)

Ч = Е (»2 + !)Р_2< п2 < С"

\П2=0 /

Учитывая оценку для Ц^гЦр1^) получаем 12 ^ С\2

2тг 2тг

Рассмотрим коэффициент ао,о = -¿1 / / <р х2) (1х\с1х2.

о о

Воспользовавшись неравенством Гёльдера с показателем р, заключаем, что |ао,о| ^ С1з|М1Р-Наконец, рассмотрим функцию ^рз(х\,х2) = (р(х\,х2) — ^р\{х{) — (р2(х2) — ао,о- Тогда

ЫР < ЫР + ШР + Ш\Р + К о||р = \МР + Си Ы^+Си Ы^+Сш \ао, о| < С17|М1Р

оо оо

Е Е аП1, п2 СР8 П\Х1 СР8 П2Х2.

«4 = 1 П2 = 1

В работе [9] доказано, что для к\ = 1, к2 = 1, р € (1, оо) справедливо неравенство

П2 = 1 П 1 = 1

Следовательно, для р € (1, оо) имеем /3 ^ С19 м^мг,. Теперь рассмотрим Ар( 1,1). Ясно, что

(оо оо оо оо \

£ П2~2 Е "ГЧ.п, + Е ("2 + 1ГЧп2 + £ К + ^"Ч.О + ко, оП =

«2 = 1 «4 = 1 «2=0 «1=0 /

= С21 (/1+/2 + /з + К,о|Р).

Применяя полученные выше оценки для 1\, 12, /3 и |ао, о|Р) имеем

м 1. 1)<С22|М1Р> (6)

и утверждение (а) теоремы 1 доказано для = 1, к2 = 1, р € (1; оо). 2. Пусть = 1, к2^ 2, р £ (1; оо). Рассмотрим

оо оо

/ = к2) = £(п2 + 1)"2Р"2 Е + ^"'(До ^-Ющ.паГ

«2=0 «1=0

Ясно, что

I < £ (2Х/2 + 1)^"2 Е («1 + 1)Р_2(АО к2-1аП1,2,2)р+

и2=0 «1=0

оо оо

+ £ (2^ + 2)^"2 £ (щ + 1Г2(А0^-1апь2,2+1)Р-

и2=0 «1=0

В силу леммы 1, (а) имеем

/ ^ с23 Е ("2 + 1)"2Р"2 Е + ^"'(До ^-^«^Г

и2=0 «1=0

На основании леммы 1, (в), (г) заключаем, что

/ < с24 £ (и2 + 1)(*а-1)Р-2 £ (П1 + 1)Р_2(Д0 к2_2апъи2у.

V2=0 «х=0

Используя этот прием еще (к2 — 2) раза, получаем

оо оо

/ < С25 £ (у2 + 1)Р"2 £ ("1 + 1Т~2<ип2 = (1. 1) •

г^2=0 «1=0

Учитывая теперь неравенство (6), имеем I ^ С2§ и утверждение (а) теоремы 1 доказано для

к\ = 1, к2^2, ре (1; оо).

3. Пусть к\ ^ 2, к2 = 1, р € (1, оо). Рассмотрим

оо оо

7 = 1) = £ (п2 + 1)р"2 £ (щ + 1);г1р-2(А^_1 0ап1;п2)Р-

«2=0 «х=0

Ясно, что

з < £ («2 + 1Г2 £ (2^1 + 1);г1Р-2(Д;г1_1 0а2г,1;Г12)р+

«2=0 г^1=0

оо оо

+ £ (п2 + 1)р"2 £ (2г/1 + 2)к1Р~2(Ак1-1 0^2^1+1,«г)Р-

«2=0 г^1=0

В силу леммы 1, (а) имеем

оо оо

■1 < с27 £ (п2 + 1)р"2 £ (г/1 + 1)^-2(Д^_1 0а2,ьга2)р-

«2=0 г^1=0

На основании леммы 1, (в), (г) заключаем, что

оо оо

■1 < с28 £ (п2 + 1)р"2 £ (г/1 + ^^-^(Д^а 0а,ьга2)р-

«2=0 и\=0

Используя этот прием еще (к\ — 2) раза, получаем

оо оо

■1 < с29 £ (п2 + 1)р"2 £ (г/1 + 1)р-2арь,2 = С29Л£ (1, 1).

«2=0 и\=0

Учитывая неравенство (6), имеем .] ^ С30 ||<^||р, и утверждение (а) теоремы 1 доказано для к\ ^ 2, к2 = 1, р € (1, оо).

4. Пусть к\ = 2, к2 = 2, р € (0; оо). Тогда справедливость утверждения (а) теоремы 1 следует из теоремы Б.

5. Пусть к\ ^ 2, к2 ^ 2, р € (0; оо). Рассмотрим

оо

Я = £ к + ^ Р"2(Д*1-1 *2-1а„ь„2)Р-

«4=0

Если к\ ^ 3, к2 ^ 2, р € (0; оо), то, применяя лемму 1, (а), получим

оо оо

Б = £ (21/1 + 1)^"2(Д^_1 ^-1а2,ь«2)Р + £ (21/1 + 2)^р-2(Д^_1 „2_1а2г,1+1;Г12)р <

г^1=0 г^1=0

< Сз1 £ К + 1)к1Р~2(Ак1-1 к2-1 а2и1,ту

1^1=0

оо

В силу леммы 1, (в), (г) имеем Б ^ С32 £ (^1 + 1) (Д&1-2 й2-1а^1,п2)Р- Используя этот

прием еще (к\ — 3) раза, приходим к оценке

оо

в < Сзз £ (1/1 + 1)2р_2(Д1 к2-1а„ЪП2)р.

V 1=0

Следовательно, для к\ ^ 2, к2 ^ 2, р € (0; оо) имеем

оо оо

/ = к2) < С34 £ (П2 + 1)^р-2 £ + 1)2р-2(Д!

П2=0 г^1=0

Если к2 ^ 3, то

/<Сз4 £ (2г/2 + 1)"2Р"2 £ (^1 + 1)2р"2(Д1 2)Р+

\г^2=0 г^1=0

оо оо

+ £ (2^2 +2)^"2 £ (щ + к2-1аи1,2и2+1)Р.

V 2=0 г^1=0

В силу леммы 1, (а) имеем

(оо оо

£ {у2 + 1)к2р-2 £ + Х)2*-2^ к2-1аиъ2и2Г .

и2=0 и\=0

Учитывая лемму 1, (в), (г), получаем

оо оо

/ ^ с36 £ {у2 + 1)^~1)р~2 £ + 1)2р"2(Д! к2-2а^2Г.

и2=0 и\=0

Если к2 ^ 3, то применим этот прием еще (к2 — 2) раза. В итоге для к2 ^ 3 имеем

оо оо

/ ^ С37 £ {у2 + 1)2р"2 £ И + 1)2р"2(Д1 1а,ь,2)р.

г^2=0 г^1=0

В случае к2 = 2 эта оценка установлена выше. Применяя теорему Б, получим справедливость утверждения (а) теоремы 1 для к\ ^ 2, к2 ^ 2, р € (0; оо). Теперь утверждение (а) теоремы 1 доказано полностью.

Докажем утверждение (б) теоремы 1. Для данного целого неотрицательного числа т^, г = 1, 2, рассмотрим ряды вида (1), где (1т,п2 — ЪП1сП2 или (1П1,п2 — сП1ЬП2. Здесь

Г (т, + 1 - щ) при 0 ^ Щ ^ ГПг, 1

Ьщ = { \ , 1 ^ Ста, = - при 0 ^ П,- < ОО, 7 = 1, 2.

\ 0 при т, + 1 ^ п» < оо, 3 1 ^

Справедливы следующие утверждения: ЬП1 —> 0 при щ —>■ оо, А2ЪП1 ^ 0 для всех Пг, с^ . —>■ оо при п.,- —>■ оо, Аксп, ^ 0 для всех п.,- и любом к ^ 1,

с39 < £ к- + 1)*-2(д*_1Сп,Г < С40,

СЮ / , ч

П,;=0

(ГПг + 1) 1п(Шг + 2) ,р = 1;

р 0 < р < 1.

Для суммы ряда ^ bnicosriiXi — функции f(xi) — справедливы оценки (см. [5, с. 31]):

Пл= о

2?г I (rrn + l)2 р, i <р < 1;

/I v -•-</' — / у 2

\1Ххг)\Чхг)Ыс\Л\п(тг + 2)2, р = \,

о Ц, 0 <р<\.

оо

Для суммы ряда ^ со^п^х^ — функции д(х^) и для р € (0; оо) и любого к ^ 1 справедливы следующие оценки (см. [5, с. 25]):

С43 < Ц^!!^ < ^44,

1

/2тг \ г,

где Н^Нр = / \0

1. Пусть = 1, к2 ^ 1, р € (0; 1] . Рассмотрим функцию ц) (ж1, ж2) = / (Ж1) д (ж2) . Тогда имеем р < С45 (Ш1 + 1) , Ар (1, к2) ^ С46 (Ш1 + 1) 1п (Ш1 + 2) , р = 1;

р ^С45(т1 + 1)1"(^"1), Ар (1, Л2) ^ с46 (Ш1 + 1), |<Р<1;

р < С45(1п (Ш1 + I))2, Ар (1, к2) > С'46 (Ш1 + 1), р =

р < С45, Ар(1, Л2) ^ С46(т1 + 1), 0 <р<\.

Из справедливости последних неравенств следует, что при к\ = 1, к2 ^ 1, р\ € (0; 1] для последовательности {агаьТ12} и соответствующей ей функции ср(х 1,ж2) в каждом из рассмотренных

случаев справедливо неравенство ^ гДе ^Рг(т1) зависит только от т\ и стремится

к бесконечности при т\ —>■ оо. Следовательно, утверждение (б) теоремы 1 справедливо в этом случае.

2. Пусть ^ 1, к2 = 1, р € (0; 1] . Рассмотрим функцию <£> (ж1, ж2) = д (х\) / (ж2) . Тогда имеем

р < С48 (ш2 + 1) , Ар (Ль 1) ^ С49 (ш2 + 1) 1п (ш2 + 2) , р = 1;

р^С48(т2 + 1)1"^"1), 1) ^С49(т2 + 1), |<Р<1;

р < С48(1п (т2 + I))2, Ар (къ 1) ^ С49 (т2 + 1), р=

р < С48, Ар (къ 1) ^ С49 (т2 + 1), 0 < р <

Из справедливости последних неравенств следует, что при кг ^ 1, к2 = 1, р € (0; 1] для последовательности {агаьТ12} и соответствующей ей функции (р(хг,х2) в каждом из рассмотренных случаев

справедливо неравенство ^ где зависит только от т2 и стремится к бес-

конечности при т2 —> оо. Следовательно, утверждение (б) теоремы 1 справедливо и в этом случае. Теорема 1 доказана полностью.

5. Доказательство теоремы 2. Сначала докажем утверждение (а). Пусть последовательность {огаьгаг} удовлетворяет условиям (2) и к2ап1,п2 ^ 0, где кг ^ 1, к2 ^ 1. Тогда, согласно теореме А, ряд (1) сходится к своей сумме — функции ср(хг,х2) — почти всюду.

1. Пусть либо кг = 1, к2 = 1, либо кг = 1, к2 = 2, либо кг =2, к2 = 1, либо кг =2, к2 = 2. Тогда функцию <£>(ж1,ж2) почти всюду можно представить в виде

оо оо

<£>(ЖЬЖ2) = )(хг)В^\х2),

П2=0ni=0

где ж) = Вп\х) = 1/2 + совж + ... + cos пх для п ^ 1, Вп\х) = ^ Бг^(ж) для п ^ 0.

1=0

Для р € (0; оо) имеем

4 J J \tp(x1,x2)\pdx1dx2 =

о о

где

V 2=0 7Г VI =0 7Г 1-2+2 1-1+2

оо оо

£ £ ДЛ1 к2аП1,п2В{пк11)(х1)В^\х2) йхгйх2 <

«2=0 «4=0

< С50 (Л + + + ¿0 ,

* = £ / Е

^2=0 7Г ^1=0 7Г

1-2+2 1-1+2

V 2 г/1

£ £ Д^ к2(1П1,п2 В^(Х1) В$\х2)

Л2 = 1 «4=0

с1х1(1х2,

* = Е / Е

г/2=0 7т г/1=0 7г

1-2+2 1-1+2

оо г/1 ,«2=г/2 + 1 «1=0

с1х1(1х2,

л = Е / Е

г/2=0 7т г/1=0 7г 1-2+2 1-1+2

г/2 оо .«2=0 «1=г/1+1

с1х1(1х2,

л = Е / Е

г/2=0 7т г/1=0 7т 1-2 + 2 1-1+2

ОО ОО

_«2=г/2 + 1 «1=г/1+1

(1х\(1х2.

При оценке конечных сумм будем использовать неравенства

В[п/>{хг) < С51(щ + 1)4 а при

оценке бесконечных сумм — неравенства

ни от Жг € (0; 7Г).

Начнем с оценки .]\:

^ где постоянная С51 не зависит ни от Пг

Л < с52 £ (1/2 + I)"2 £ + I)"2 Е Е ^,„>1 + 1)^2 + I)"2 •

г/2=0 г/1=0 \«2=0«=0 /

Применяя лемму 1, (д) или (е), имеем

оо оо V 2 г/1

Л < с52 Е ("2 + I)"2 Е + Х)"2 Е Е + 1 )к1~\п2 + ф-1)'

г/2=0 г/1=0 «2=0 «1=0

Воспользовавшись два раза леммой 2 для р € (0, оо), получим

оо оо

■Н < С53 Е (^2 + I)"2 Е + 1)"2(А^-1 ^-Юпьпа^! + 1)^(^2 + 1)^ =

г/2=0

г/1=0

С53 Е ("2 + 1)"2Р"2 Е + 1)"1Р_2(Л*1-1 к2-2(1щ,п2)Р■ г/2=0 г/1=0

Теперь оценим .]2\

оо г/1

< С54 Е (^2 + 1)"2Р"2 Е + ХГ2 Е Е ЬОпипЛгЦ + 1)

г/2=0 г/1=0 \«2=г/2«1=0

г/1

С54 Е (^2 + 1)"2Р"2 Е + Х)"2 Е ^2-1апьп2(«1 + 1)

V 2=0 г/1=0 \«1=0

Применяя лемму 1, (д) или (е), имеем

VI

fcl-1

j2 < С55 £ [у2 + l)fc2P"2 £ (Vi + I)"2 £ Afci-i fc2-iani^n\

1*2=0 isi=0 \n i=0

Используя лемму 2, получаем

оо оо

■Ь < С56 £ (у2 + 1)"2Р"2 Е + 1)"2(Чс1-1 к2-2%ъ^)Р

1^2=0 г^1=0

= с56 Е ("2 + 1)"2Р"2 Е + 1)"1Р_2(А^1-1 к2-10и1^)р.

1^2=0 г^1=0

Оценки <1% и проводятся аналогично оценкам для .]\ и .]2. Итак, имеем

оо оо

■1 < С57 Е ("2 + 1)"2Р"2 Е ^ + 1)"1Р_2(А^-1

г^2=0 г^1=0

и утверждение (а) теоремы 2 доказано в случае р € (0; оо) и либо к\ = 1, к2 = 1, либо = 1, к2 = 2, либо = 2, к2 = 1, либо = 2, к2 = 2.

2. Пусть либо = 1, к2 ^ 3, либо = 2, к2 ^ 3. Тогда по только что доказанному для р € (0; оо) имеем

оо оо

7 < Сбт^ь 2) = С57 Е (^2 + 1)2р"2 Е ^ + 1)"1Р_2(А^1-1 1 а^2)р.

1^2=0 г^1=0

оо

Так как А^-1 = Е 2а^,П2, то

П2=1'2

J ^ С57 Е (^2 + 1)2Р"2 Е + 1)fclP"2 Е 2а,:

г^2=0 г^1=0 \п2=ь>2

оо \ Р

Л , . „ЛГ

Применяя лемму 3, для р > А получаем

2

оо

J ^ с58 Е ("2 + 1)3р"2 Е + l)fclP_2(Afci-i 2а,ь,2)р.

г^2=0 vi=0

Повторяя этот прием еще (к2 — 3) раза, для р > \ имеем

2

оо

j ^ с59 е to + i)fc2P_2 Е + i)fclp_2(Afci-i fc2-i^b,2)?

г^2=0 г^1=0

1 2

3. Пусть к 1^3, к2 = 1 либо ^ 3, к2 = 2. Тогда, как доказано в п. 1 для р € (0; оо), имеем

и утверждение (а) теоремы 2 доказано для р > \ и либо для = 1, к2 ^ 3, либо для =2, к2 ^ 3.

J < Сбо^(2, к2) = С60 Е ("2 + l)fc2P"2 Е ^ + l)2p_2(Ai fc2-i^b,2)P-

г^2=0 г^1=0

оо

Поскольку Aifc2_iaIy1;Iy2 = £ а2 к2-1аП1,Ь>2 ) т0

П1=г/1

оо оо / оо \ Р

J < С60 Е + i)"2"-2 Е ("1 + i)2""2 Е А2 k2-iani,„2 ■

v 2=0 i>i=0 \Г11=^1 /

Применяя лемму 3, для р > \ получаем

J < Сб1 £ (1/2 + 1)к2Р~2 £ (1/1 + 1)3р"2(А2 k2-iaVl,V2)p.

v2=0 vi=0

Повторяя этот прием еще (к\ — 3) раза, для р > ~ имеем

2

оо

J < с62 £ (г/2 + l)fc2P"2 £ (ï/1 + l)fclp-2(Afcl_! fc2-i wX

v2=0 vi =0

и утверждение (a) теоремы 2 доказано в случае р > \ и либо fci ^ 3, /¿2 = 1, либо к\ ^ 3, к2 = 2. 4. Пусть ^ 3, к2 ^ 3. Тогда по только что доказанному для р > | имеем

оо оо

J < C62^(fci; 2) = Об2 £ (г/2 + 1)2р"2 £ (г/1 + l)fclp"2(Afcl-i U2)p.

v2=0 v\=0

оо

Так как Afcl_i iaVl>V2 = Y1 Afei-i 2S№i

n2=v2

oo oo / oo \ P

(У2 + 1)2P"2 £ (^ + l)fclP"2 £ Afcl_! 2avi,n2 ■

v2=0 vi=0 \n2=v2 /

Применяя лемму 3, для p2> \ получаем

oo oo

J < c63 £ (г/2 + l)3p"2 E ("i + l)fclp_2(Afc1_i за,ь,2)р. Применяя этот прием еще (к2 — 3) раза, для р2 > \ имеем

оо оо

J < с64 Е ("2 + l)fc2P"2 Е + l)fclp_2(Afc1_i fc2-iaîy1;îy2)p,

и утверждение (а) теоремы 2 доказано для р > ^ и fci ^ 3, к2 ^ 3. Теперь утверждение (а) теоремы 2 доказано полностью.

Теперь докажем утверждение (б) теоремы 2.

Для данных целых неотрицательных чисел rrii, г = 1,2, рассмотрим ряды вида (1), где или 0"п,1,п2 — dnicn2, или аП1>П2 — Cnidn2. Здесь

] (rïli + 1 - Ui)ki~l при 0 ^ Щ ^ 1Щ, -, .

dni = < Cni = при 0 < щ < оо, г = 1, 2.

I 0 при ГГЦ + 1 ^ Пг < ОО,

Справедливы следующие утверждения: cni —>■ 0 при Пг —>■ оо, A¿.crai ^ 0 для всех Пг и любого

к ^ 1, drai —>■ 0 при ni —>■ оо, Akidni ^ 0 для всех

/ \ -

р

с65 < £ + l)fcp_2(Afc-ic„Jp < С66,

Vrai=0

оо Г (Шг + l)fciP 1 при^-<р,

£ (пг + l)fciP"2(Aki-idnif < С69 i In (rrii + 2) при p*= ¿,

rai=0 ^ При0<р<р. oo

Для суммы ряда £ dni cosriiXi — функции ipi(xi) — справедливы оценки

гч=о

иле= ( »cro {('-++2»2' >>=*,

V J J (m; +1) 0 < p <

оо

Для суммы ряда £ cni eos UíXí — функции tp2(xi) — при V € (0) справедливы оценки щ=о

/ 2тг \ i

С71 < HV^ < С72, где 11^211^ = J Шхг)\Р(1хг .

1. Пусть р € (О, к\ ^ 3, к2 ^ 1. Рассмотрим функцию <£>(ж1,ж2) = ф\(х\) • i¡)2(Жг)- Тогда имеем

IMIp ^ С,7з(ш1 + l)fcl_2(ln (mi + 2))2, Ар(кък2) ^C74(ml + l)kl~2, р =

|М|р ^ C73(mi + l)fcl"2, Ар{кък2) ^C72(mi + l)fc1-.,

|М|р ^ C73(mi + l)fc1"2, (къ к2) < C74(ln(mi + 2))fc\ р =

IMIp ^ C73(mi + l)fcl"2, Ар(кък2) 0

Из справедливости последних неравенств следует, что при к\ ^ ?>, к2 ^ 1, р е (О, для последовательности {агаьга2} и соответствующей ей функции у?(ж1,ж2) в каждом из рассмотренных случаев

справедливо неравенство А ^pfca) ^ гДе Fi{mi) зависит только от mi и стремится к

бесконечности при mi —> оо. Следовательно, утверждение (б) теоремы 2 справедливо.

2. Пусть р € (О, к\ ^ 1, к2 ^ 3. Рассмотрим функцию у?(ж1,ж2) = ф2(х\) ■ ф\(х2). Тогда имеем

IMIp ^C75(m2 + l)fc2-2(ln(m2 + 2))2, Ар (къ к2) < C76(m2 + l)fc2"2, р = |М|р ^ С75(т2 + l)fc2"2, Ар (к\,к2) ^ С7б(т-2 + l)fc2_p,

IMIp ^ С75(т2 + l)fc2"2, Ар (кък2) < C76(ln(m2 + 2))fc2, р =

|М|р ^ С75(т2 + l)fc2"2, Ар (к\,к2) ^ С76,

Из справедливости последних неравенств следует, что при к\ ^ 1, к2 ^ 3, р € (О, для последовательности {агаьга2} и соответствующей ей функции ip(х\, х2) в каждом из рассмотренных случаев

справедливо неравенство А ^ ^ %^Fi(m2), где Fi(m2) зависит только от т-2 и стремится к бесконечности при т2 —>■ оо. Следовательно, утверждение (б) теоремы 2 справедливо. Теорема 2 доказана полностью.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 16-014)0350).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G.H. On double Fouries series and especially those which represent the double zeta functions with real and incommensurable parameters // Quart. J. Math. 1906. 37, N 1. 53-79.

2. Вуколова T.M., Дьяченко М.И. Оценки смешанных норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно-монотонными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1997. № 7. 3-13.

3. Вуколова Т.М. О свойствах функций, представимых тригонометрическими рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 61-63.

4. Вуколова Т.М. О свойствах сумм рядов по косинусам с кратно-монотонными коэффициентами // Мат-лы Междунар. копф. "Теория функций и вычислительные методы", поев. 60-летию со дня рождения профессора Н. Темиргалиева. Астана, 5-9 июня 2007 г.: Тез. докл. Астана, 2007. 73-74.

5. Вуколова Т.М. Оценки смешанных норм функций, представимых двойными рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 61-63.

6. Вуколова Т.М. Оценки смешанных норм функций, представимых рядами по произведениям косинусов и синусов с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 5. 3-14.

7. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 3. 22-32.

8. Вари И.К. Тригонометрические ряды. М.: Наука, 1961.

9. Вуколова Т.М. Оценки смешанных норм производных и смешанных модулей гладкости функций, имеющих монотонные коэффициенты Фурье // Матем. заметки. 2015. 97, № 6. 841-854.

Поступила в редакцию 26.11.2016