Свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

Из (5) получаем

л/кп

кП 1

kn 1

Y^ ln( Y(n-i) ) - Y^ ln(X(n-i) )

i=0

i=0

+ \fkn\In(Y{n_kn)) - lnX(ra_fcn)| < + о (ф^Л

X(n-k„) \X(n-kn )J

Но ^^ Д о, поскольку по условию теоремы упУ/ "--► 0. Таким образом, асимптотическая нормальность оценки (2) доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00050).

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fereira A., Haan L. de. Extreme value theory. An introduction // Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. N.Y.: Springer, 2006.

2. Hill B.M. A simple general approach to inference about the tail of a distribution // Ann. Statist. 1975. 3. 1163-1174.

3. Fisher R.A, Tippet L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1928. 24. 180-190.

4. Leadbetter M.R., Lingren G, Rootzen H. Extreme and related properties of random sequences and processes // Springer Statistics Series. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1983.

5. Кузнецов Д.С. Предельные теоремы для максимума случайных величин // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 6-9.

6. Ольшанский К.А. Об экстремальном индексе прореженного процесса авторегрессии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 17-23.

7. Kudrov A.V., Piterbarg V.I. On maxima of partial samples in Gaussian sequences with pseudo-stationary trends // Liet. matem. rink. 2007. 47, N 1. 1-10.

8. Родионов И.В. Пуассоновская предельная теорема для высоких экстремумов временного ряда с сезонной составляющей и строго монотонным трендом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 12-17.

9. Billingsley P. Convergence of probability measures. N.Y.: Wiley, 1968.

Поступила в редакцию 14.10.2011

УДК 517.5

СВОЙСТВА СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ С ЛАКУНАРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ФУРЬЕ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе уточняются некоторые свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой.

Ключевые слова: смешанный модуль гладкости, лакунарные коэффициенты Фурье, смешанная норма.

Certain properties of the mixed moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier coefficients are refined in the case of Lebesgue space with a mixed norm.

Key words: mixed modulus of smoothness, lacunary Fourier coefficients, mixed norm.

Свойства смешанных модулей гладкости изучались в ряде работ (см., например, [1-3]). В настоящей работе исследуются свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в смешанной норме.

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: [email protected].

1. Определения и обозначения. Введем следующие обозачения: ЬР1Р2,1 < Рг < <х>,1 = 1,2, — множество измеримых функций двух переменных / (х,у), 2-^-периодических по каждому переменному, таких, что

■ 2тг , 2тг s 22. J_

I f J\f(x,y)pdxY'dyj2 <

PlP2

0 4 0

2n 2n

Lpip2 — множество функций f G Lpip2, таких, что J f (x,y)dy = 0 для почти всех ж и J f (x,y)dx = 0

о о

для почти всех y;

(f) — частичные суммы ряда Фурье функции f (x,y), т.е.

2п 2п

Smi,oo(f) = ^ J f(x + ti,y)Dmi(ti)dti, Soo>m2(f) = ^ J f(x, у+ t2)Dm2(t2)dt2,

П J П

00

2n 2n

Sm1,m2(f)=-2 / [ fix + tuy + tjDm^tjDrrbfädtKlti (тг = 0,1,2,..., ¿ = 1,2),

П2

00

где = m = 0,l,2,

2 sin 2

f (pi,p2 — производная в смысле Вейля функции f (x, y) порядка pi (pi ^ 0) по переменной x и порядка p2 (p2 ^ 0) по переменной y [4, гл. III, с. 238];

Ymim2 (f )pip2 — наилучшее приближение двумерным "углом" функции f £ Lpip2, т.е.

Ymi,m2 (f)pip2 = „ inf llf — Tmi — Tm,m2\\p1p2 ,

где функции Tmix,y) £ Lpip2 и являются тригонометрическими полиномами порядка не выше mi по переменной x, а функции T^,m2 (x,y) £ Lpip2 и являются тригонометрическими полиномами порядка не выше m-2 по переменной y.

Для функции f £ Lpip2 определим разности с шагами hi и h-2 положительных порядков ai и a2 соответственно по переменным x и y следующим образом:

те те

(f)=T,(-1)Vi f(x + (ai - Vi)hi,y), A% (f)^(-l)V2 (%) f(x,y + (a2 - ^h),

vi=0 V2=0

где («) = 1 для г/ = 0, («) = а для г/ = 1, («) = для ^ ^ 2.

Обозначим через uai,a2(f,öi,$2)pip2 смешанный модуль гладкости положительных порядков ai и a2 соответственно по переменным x и y, т.е.

Uai,a2 (f,Öi,Ö2)pip2 = SUp (f))\\pip2 .

\hi\^Si,i=i,2

Пусть 1 < pi < Qi < 00, Qi = — ■j-, oti > 0, öi £ (0,1), i = 1, 2. Тогда обозначим

&2 г ¿1 ~1 — \ —

' n dt2 \ 42

с(f,61,62) = (J jt-qiei^1в2^u(f,h,t2)

dt1

L 0

t2

. 22.

DUMM) = ¿Г"01^2"02 ( / / irPl(ai"Öl)i2"Pl(a2"Ö2)<)«2(/)ibi2)(il(i2|i

P1 CÜ2 \ P2 h

Для неотрицательных функционалов Е(/,61,62) и С(/,5\,62) будем писать Е(/,61,62) ^ С(/,6\,62), если существует положительная постоянная С, не зависящая от /,6\ и 62, такая, что Е(/,61,62) ^

1

1

1

ОС(/, 81,82). Если одновременно ¥(/,8\,82) ^ С(/,8\,82) и С(/,8\,82) ^ ¥(/,8\,82), то будем писать ¥(/, 81,82) - С(/8,82).

Будем писать / е ЛР1Р2, 1 <рг < ж, г = 1, 2, если / е и имеет ряд Фурье

оо оо

Е Еy),

^1=0 ^2=0

где Pi(t) = cos t или pi(t) = sin t, i = 1, 2. 2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть f £ L01P2, 1 ^ pi ^ 00, ni = 0,1, 2,..., i = 1, 2. Тогда

\\f — Sn1,tt(f) — S^,U2 (f) + Sni,n2 (f) Ур1р2 ^ Yni,n2 (f )P1P2 .

Доказательство почти дословно повторяет доказательство леммы 2 работы [5]. Лемма 2 [4, с. 238]. Пусть f £ LLP , 1 ^ pi ^ о, i = 1, 2, и имеет ряд Фурье

оо оо

Е Е (an1,n2 cos nix cos n2y + bn1tn2 sin nix cos n2y +

П1 = 1 П2 = 1

+ cn1,n2 cos n1x sin n2y + dn1 ,n2 sin nix sin n2y) = E E АП1 ,П2 (x,y).

n1 =1 n2 =1

2m1 2m2 Пусть Д00 = Ai,i(x,y), A^0 = Y Avbi(x,y) для mi £ N, ДоТО2 = Y Ai^(x,y)

v1=2m1-1+1 v2 =2m2-1+i

2m1 2m2

m2 £ N, Am1m2 = Y AV1V2 (x,y) для mi £ N, m2 £ N. Тогда

V1=2m1-1+i V2=2m2-1+i

22 1

00 00 pi \ P1 \ P2

2 \ 2

(2n , 2n

[ ( /(EE 2 dx) dv

0 V0 V1=0 V2=0 /

Лемма 3 [2]. Пусть f £ L0 p , 1 ^ pi ^ o,ai > 0,mi £ N,i = 1, 2. Тогда

in

+m2"2\\Si£>'m.2(f — Sm1,<x>(f))\\p1p2 + ||f — Sm1,<x(f) — S<x,m,2 (f) + Sm1,m2 (f )|

> m2)pip2 ~ miaim2a2\\Sml'm2 (f)\\pip2 + miai\\SmlÜ(f ^оо,т2 (/)) |\pip2 +

P1P2

Лемма 4 [6, лемма 5]. Пусть ak ^ 0,bn ^ 0, 0 < p < 0.

<x <x , k \P <x

(а) Если Y ак < an, то Y a J Y bn) ~ Y ab.

k=n k=i ^ n=i ' k=i

n <x / ж \p ж

(б) Если Y ak < an, то Y a J Y bn) ~ Y ak Щ,.

k=i k=i n=k k=i

Лемма 5 [7, с. 43]. Пусть ak ^ 0, 0 < a < в < о. Тогда

k=i

£<« £

k=i

Лемма 6. Пусть ak ^ 0,bn ^ 0, cmn ^ 0, 0 <pi < o,i = 1, 2.

(а) Если Y ak < as, то A = Y ak Y bn( Y Cmn)

k=s k=0 n=0 Vm=0 '

s ОО г oo , оо \Plп 22.

(б) Если Y ak < as, то Y ak Y b n\ 2-^/ cmn

к \ ni -1 22 00

\1 1 pi

k=0

ak bncPk1n

n=0

= B.

k=0

k=0

n=0 x m=k

k=0

Y ak Y bnckn

n=0

1

Oí

a

a

k

Доказательство. Сначала докажем п. (а).

1. Если Р1 > 1, то, применяя неравенство Минковского, а затем лемму 4 (а), имеем

к=0

к / оо

А^ЕакТ,( Епт

^ т=0 4 п=0

Р2 оо г оо

<Е ак Е Ьп°РкП

к=0

п=0

Р2 Р1

= в.

2. Если 0 < Р1 < 1, то, применяя лемму 5, а затем лемму 4 (а), получаем

к

п

к=0 п=0 т=0

А < Е ак Е Ъп Е ^п = Е ак Е Е ЪпСтъп < Е ак Е ЪпСкп

к=0

к

т=0 п=0

к=0

п=0

Р 2 Р1

= в.

Итак, А < В для рг е (0, ж),г = 1, 2.

3. Если р1 > 1, то, применяя лемму 5, а затем лемму 4 (а), находим

к

А > Е ак Е Ъп Е т =Е ак Е ЕЪ

п тп

к=0 п=0 т=0

22. оо Р1

к

Ъ СР1

п тп

22 оо г оо

И > Е ак Е ЪпСРк

к=0

п=0

Р 2 Р1

= В.

к=0 т=0 п=0

4. Если 0 < Р1 < 1, то, применяя неравенство Минковского, а затем лемму 4 (а), будем иметь

к / оо

к=0

А ак Е Т,ЪпСРт

т=0 п=0

Р1

оо г оо -I 22

Р1

Р2 О г О

»Е ак Е ЪпСЬп

к=0

п=0

= в.

Итак, А » В для рг е (0, ж),г = 1, 2. Пункт (а) доказан. Пункт (б) доказывается аналогично, только вместо ссылки на лемму 4 (а) следует сослаться на лемму 4 (б). 3. Оценки нормы функции.

Теорема 1. Пусть / е ЛР1Р2, 1 < рг < ж, г = 1, 2. Тогда

Р1 Р2

ЕЕ'

¡11=0 ¡12=0

2

¡1,12

(1)

Р2 1 Р1 \ — \ — Т \ \ Р2

Доказательство. Применяя лемму 2, имеем

2п 2п _ _

//ЕЕ а2^2) *х\ dy

0 4 0 V! =0 У2=0

Так как Ау^ = а„ъ„2V1(2У1 х)^2(2и2у) для / е Лрр, то

~ / ~ / оо оо

//ЕЕ (<Р1 (2У1 х)М2У2у))2) ^х) >

0 V 0 4 У1=0 У2=0

1

Р1 \ ^ \ ^

— 4 Р1 \ Р 2

ОО оо

откуда следует, что К ( ^ ^ а2и1>и2)2.

4 У1 =0 У2=0 ' /

Таким образом, доказана оценка сверху в соотношении (1). Теперь докажем оценку снизу. 1. Пусть 1 <Р1 ^ 2. Тогда, используя неравенство Минковского, получим

2п

I

О О 1 „

/ ЕЕ/ \ау1У2V1(2у1 хШ2У2у)Рdx

А. Если 1 <Р2 ^ 2, то, применяя неравенство Минковского, имеем

2тг , 2тг ч 22

2п

2 22 .Л.

Р1 2 Р2 ^ .

оо оо

I» ЕЕ

2

, У1 =0 У2 =0

Ы2У1 х^2(2У2у)\Р1 г!х \ dy

Р1

2 1 Р2 \ 2

ОО

ЕЕ'

у 1=0 У2 =0

1

1

1

2

В. Если 2 < Р2 < ж, то на основании неравенства Гельдера заключаем, что

I »

.^1=0 ^2=0 о \0

2п / 2п

( ( г г \ Р1

ЕЕ 1[1 К** хШ2»2 у)\Г1 йх\ йу

2

X X

ЕЕ- V,^2 / I /

^1=0 ^2=0 о ^0

\^1(2^1 х)М2"2 У)\Р1 йх) йу

((

ЕЕ'

^1=0 ^2=0

Таким образом, оценка снизу для 1 <Р1 ^ 2 и 1 <Р2 < ж доказана. 2. Пусть 2 < Р1 < ж. Тогда применение неравенства Гельдера дает

I»

2п

0

2п

2п

оо оо

/ £ (Р^1 х)^2(2^2У))2йх

0 V1=0 ^2=0

Р 2 1

2 \ Р2

йу

2п

((

/ ££/< ^ (Р^1 х)^ у))2 йх

. 0 I- ^1=0 ^2=0 0

А. Если 2 <Р2 < ж, то, используя неравенство Гельдера, получим

/ 2п 2п _ _

((

I » ( ' ' ^ ^ ~2

0 0 ^1=0 ^2 =0

22 А-

2 \ Р2

йу

((

» / / Е Еа2^2Ы2"1 х)^2у))2йхйу

2п 2п

ЕЕ

(91(2« х)рг(2" у))2йхйу

ЕЕ

\ ^1=0 ^2=0 0 0 ' ^1=0 ^2=0 В. Если 1 <Р2 ^ 2, то, применяя неравенство Гельдера, будем иметь

оо оо

I» ЕЕ

\ ^1=0 и2=0

2п , 2п

I I а^ (р!(2^1 х)^2у))2йх йу

00

Г 2п / 2п

ЕЕ'

, ^1=0 ^2=0

22

(Р1 (2^ Х)Р2 (2^2 у))2йх ) йу

00

ЕЕ'

^1=0 ^2=0

Таким образом, оценка снизу для 2 <Р1 < ж и 1 <Р2 < ж доказана. Теорема 1 доказана. 4. Вспомогательные оценки.

Теорема 2. Пусть / е ЛР1Р2,1 < рг < дг < оо, 9г = ^ — > 9г,Пг = 0,1,2,... = 1,2. Тогда

П 41 '

/ т п2 \ 2

О(/ 2_га1 2_га2) — 2-П1 01)2 П2(а2-02) I ^^ а2 22(^1 "1+^20:2) 1 +

, ^1=0 ^2=0

+2

-П1(«1 -01)

X / П1

2^20242 I ^

2 22^1"1 V!

42 1 2 \ 92

+

,^2=П2

-М1=0

+2

—П2(а2-02)

г

П2

У^ 2М10141

\М2=0

а2„„ „22^2"2

21 \ 91 2 1

, +Е

/ \^2=П2

= С1 + С2 + Сз + С4.

Е Г2М141012^24102

92 1 91 \ 92

2

2

2

21

2

21

2

2

2

2

1

П2

б) О// 2-П1 2-™2) — 2-га1(а1-01)2-™2 ("2-02) I

\М2=0

П1

Еа Г12^1 Р1(а1 -01)2^2Р1(а2

1 М2 1

1(«2-02)

1_т=0

Р2 X Р1 \ Р2

+

П1

+2-П1(а1 -01) I 2^1 Р1(а1 -01) I ^^ =0

р 1 1

X \ 2 \ Р1

2

а

М1М2

+

Ц2=П2

+ 2-П2(а2-02) I 2^2Г(а2-02) I а2

Р 2 1 2 \ Р2

ОО оо \ 1/2

2

М1М2

+

а~1 № = й1 + й2 + йз + й4.

\М2 =0 \М1=П1 / / \М1=П1 М2="2

Доказательство. Докажем п. а. Легко видеть, что

ь = О42 (/, 2-П1, 2-П2) - Е

Применяя лемму 3, получим

^2=П2

£ 2^14101 <,«2 (/, 2-и1, 2-1"2)Р1Р22^24102

Vl =П1

^2=П2

I — Е

V2

X

+

V2 =п

X

+ Е

22 91

Е 2*1**11 С(а1 ,а2) ( /)||91 2^1а141

* \\°2"1,2^2 и / 11р1р2

1 = п1

Е 2"141012-^141 \\52а11,2(/ - (/))\\

1 = п1

X

Е 2"141012-^241 ^^Л/ - ^ ,x(/))\Г1l

2-^2а2Я2 2и24202 +

41 Г1 Г2

2^2 4202 +

^1=П1

2^2 4202 +

+

^2=П2

Е 2^4101 \\/ - ^ ,x(/) - Б^Ч (/) + 5*2^1,2^2 (/) \\p1p221"24102

\_^1=П1

= ¿1 + ¿2 + ¿з + ¿4.

На основании теоремы 1 заключаем, что

г1-

^2=П2

V1 ^2

2Vl9l(0l-al)2У241(02-а2) | ^^ 22(^

11 «1+^2^2) а2

аМ1 ,М2

V1=nl

Е

V2 =П2

X +

V2=n X

+Е

,=0 ^2=0

П1 П2

91

2Vl4l(0l-а1)2и241(02-а2) | у ^ 22(^

11 «1+^2 а2) , 2

аМ1,М2

V1=nl

,^1=0 ^2=0 П1 1^2

91

+

2*1410-"1^241(02-02) I ^^ 22(<"

11 «1+^2 «2)а2

аМ1,М2

Vl=nl

=П2

, ^1=0 ^2=П2 Vl П2

91

2*1410-"1)2*241(02-02) I ^^ 22(<"

\ ^1=П! ^2=0

1 «1+^2 а2)а2

аМ1,М2

*1=П!

+

+

+

21-,

^^ 2*141(01-01)2*241(02-«2) I ^ ^ 22(^

1«1 +^2 а2) а2

=П1

, ^1=П! ^2 =П2

= ¿11 + ¿12 + ¿13 + ¿14.

Так как а1 >01 и а2 > 02, то ясно, что

П! П2

92 2

¿11 — 2-П141(«1 -01)2-П242(»2-02) I ^^ 22(^1 «1+М2а2)(

\=0 ^2=0

2

С?2.

2

2

2

2

2

В силу а,1 > О1 имеем

п1 У2

¿12 ^ 2п1д2(®1-а1) ^^ 2У2Я2(в2-»2) | у ^ 22(иа1 +12а2) а2

У2=п2 \ ¡1=0 ¡12 =п2 у

42 2

Применяя лемму 4 (а), получим

(

п1

42 2

¿12 х 2п1д2(в1-"1) ^^ 2У2д2®2 I ^^ 22ц У2=п2 \ ¡1=0

«1 д2

¡1,У2

„92

Итак, показано, что ¿12 х С^2. Аналогично устанавливается, что ¿13 х с^2. Теперь оценим ¿14. Применяя лемму 4 (а), а затем лемму 6 (а), имеем

О

¿14 Х 2У2д2(в2-»2)

У2=п2

О

у^ 2У1сивЧ 2212

а2 а2

У1 ,¡2

У1=п1

,12=п2

У 2 =п2

Е 2У19101 \аУ1,У2\41

У1 =п1

32.

41

9

Таким образом, показано, что ¿1 х с[2 + с^2 + с32 + с42.

Аналогично устанавливается, что ¿2 х с^2 + с42 ,¿3 х с32 + с42 и ¿4 х с42. Следовательно, 11 с22 + с32 + с42. Таким образом, п. а теоремы 2 доказан. Докажем теперь п. б. Легко видеть, что

12 = БР2 (/, 2-п1, 2-п2) х

с12 +

2-п1Р2(а1 01) 2 п2Р2(а2-02)

У2 =0

2У1Р1(а1 01)2У2Р1 (а2-#2)^Р1 (/ 2-У1 2-У2)

9192

Применяя лемму 3, имеем

У1 =0

п2

Р 2 Р1

12 х 2 п1Р2(а1 01)2 п2Р2(а2-02)

У2 =0

п1

2-У1Р1012 У2Р102 ЦБ^^?.] (/) ||Р1

9192

У1 =0

Р 2 Р1

+

п2

+2-п1Р2(а1-01) 2 п2Р2 (а2-02)

У2 =0 п2

+ 2-'П1Р2(а1-01) 2 п2Р2 (а2-02)

У2 =0 п2

+2-п1Р2(а1-01)2-п2Р2(а2-02)

У2=0

19192

19192

22.

р 1

+

£2.

Р1

Е 2-У1Р1012У2Р1(а2-02)\5(а11;ОО(/ - Яо,2»2 (ЛИ

У1=0 п1

Е 2-У2Р1022У1Р1(а1-01)\\5<ОО,а2?)2 (/ - ^,0(/))\\Рр1

У1=0 п1

^ 2У1Р1(а1-01)2У2Р1(а2-02)\\/ - ,о(/) - (/)+

+

У1 =0

+ ^2^1 22 (/

Р1

9192

Р 2 Р1

= 31 + 32 + 33 + 34.

На основании теоремы 1 заключаем, что

п2

31 х 2-'П1Р2(а1 01) 2 п2Р2 (а2 02)

У2 =0

п1

У1 У2

2-У1Р1012-У2Р102 I ^^ 22(1

1 «1+12 а 2 )а2

11,12

. У1 =0

„ 11=0 12=0

2

2

4

Применим лемму 4 (а), а затем лемму 6 (а). Будем иметь

ji x 2

—П1Р2 (ai— 0i) 2— П2Р2(а2 —02)

П2

Е

V2=0

ni

2viPi(ai—9l) 2v2 Pi(a2—02 )|a |Pi

vi=0

22 PI

df.

Воспользовавшись теоремой 1, получим

j2 x 2—niP2(ai —0i)2—П2P2(a2—02)

V2=0

ni (vi x

2—viPi0i2V2pi(a2—02) I у ^ 22^i

21-,

. vi=0

V

i ai 2

Mi ,M2

Mi=0 M2 =V2

n2

2— niP2(ai— 0i )2—n2P2(a2 —02)

n2

V2=0

ni

ni

vi n2

2—viPi0i2V2Pi(a2 — 02) I ^^ 22^i

2

Mi,M2

. vi=0

+2—niP2(ai—0i)2—n2P2(a2—02)

V2=0

2—viPi0i2V2Pi(a2 —'02) I ^^ 22^i

r

\ Mi=0 M2 = V2 vi X

P2

+

i ai 2

vi=0

Mi,M2

Mi=0 M2=n2

= j21 + j22.

Применяя лемму 4 (а), а затем лемму 6 (а), имеем

n2

j2i x 2—niP2(ai —0i)2—n2P2(a2—02)

V2=0

ni

2ViPi(ai —0i)2V2Pi(a2 —02)lav v |Pi

vi=0

22 PI

df.

Так как a2 >02, то

j22 x 2—niP2(ai 0i)

ni

Vi X

21 2

2—viPi0i

vi=0

E E 22Mi

„ Mi =0 M2=n2

ai fl2

"'Mi ,M2

22 PI

В силу леммы 4 (а) получим

j22 x 2—niP2(ai—0i)

ni

^ 2viPi(ai —0i) | ,

vi=0 \M2 =n2

£1

2

2

vi,M2

P 2 PI

dp22.

Итак, показано, что j2 x di2 + dP2. Аналогично устанавливается, что x dP2 + dP2, j4 x dP2 + dP2 + d^2 + dP2. Таким образом, /2 x dP2 + dP2 + dP2 + d42. Следовательно, п. б теоремы 2 доказан. Отметим, что теорема 2 для pi = Р2 = Р содержится в работе [8].

5. Оценки смешанных модулей гладкости.

Теорема 3. Пусть f <Е APiP2,1 < pi < qi < oo,ßi > ai > 0,ni = 0,1, 2,... ,i = 1, 2. Тогда

i

( ni П2 2

а) ^aia (f, 2—ni, 2—n2 W2 x 2—niai—n2a2 ^ ^ aMi,M222(Miai +M2a24 +

l Mi=0M2=0 )

ni X

+2—niai £ E aMi,M2 22Mia^ +2

l Mi =0 M2=n2 + 1 )

X n 2

£ E«h,M222M2a2l E E <

Mi=ni+1 M2=0 ) l Mi =ni+1 M2=n2+1

00 00

2

Mi ,M2

{ni+1 n2+1

V4 V4 v2

/ y / y 1 2M — i —1,2^2 —i — 1 Mi = 1 M2 = 1

{X X

Y^ Y^ 114(ai 'a2) (f )ll2 2 —2(Miai+M2a2) / y / y ,2^2\f) Hp1P2z

Mi=ni+1 M2=n2+1

(f ) 22(Mi ai+M2a2)

i — 1*,f !PiP2 ^

2

2

2

и,

{П1 П2 2

Е E^ie (f, 2—1i, 2-12 )Р1Р222(1iai +12a2 0 . 111=0112=0 ) Доказательство. Сначала докажем п. а. Применяя лемму 3, имеем

1 = uai,a2 (f, 2 П1, 2 П2 )pip2 X 2 а1П12 а2П2 (f)\\pip2 + 2 \\s2nl',co (f — Sœ,2"2 (f))\\pip2 +

+2-a2n2 Ws^ll (f - S2nl ,œ(f ))\\pip2 + \\f - S2nl, œ(f ) - Sж, 2n2 (f ) + S2ll ,2n2 (f )\\pip2 ■ Воспользовавшись теоремой 1, получим

i i / ni П2 \ 2 / ni OC \ 2

I X 2-aini 2-а2П2 i y ^ q2 2?(al 1l+a212) J + 2—ai ni [ ^ ^ ^^ а2 2?al 14 +

Il =0 12=0 J \t1i =0 112=П2-

1 1 oo П2 \ 2 / 00 00 \ 2

+2—а2П21 ^^ E а2ц „2 22a212 \ + E E

\ 1l =ni + 1 12=0 / \ 1l =ni + 1 12=П2 + 1

что и доказывает п. а.

Докажем п. б. Применив лемму 1 и теорему 1, получим

1

{П1 + 1П2 + 1 } 2

22(1101+1202)12 (/) I ^

/ у / у ^ 12^1-1-1,2^2-1-1\Р1Р2 ( х

11 = 1 12 = 1 )

1

П1+1 П2 + 1 1 2

2

Р1 Р2

11 = 1 12 = 1

2—(miai+m2a2) j ^ E 22(1iai+12a2)\\f - S2H-i—i,„(f) - S^2-i—i(f) + Svi-i—1,2.2-i—i(f)\\ К ui=112=1

rii + lri2 + l OO OO 2

— (miai +m2a2) ^ y ^ +12a2) y ^ a2

1l = 1 12 = 1 Vi=1i — 1 V2=12 1

1 I

2 f roi oo | 2

{ni n2 ï

E E ah,1222(1iai+12a2)

1l=0 12 =0 ) К 1l=0 12=n2 + 1

2 —(miai+m2a2) ) a2 22(1lai+12a2. I +2—mia^ ^ ^^ ^^ aa2 22Цa^ +

{00 П2 ^ 2 ( 00 оо 2

Е Е а21112 2212+ Е Е аЪ А .

11=п1 + 1 12 =0 ) К 11=п1 + 1 12 =п2 + 1 J

На основании п. а теоремы 3 заключаем, что 11 х и01,02 (/, 2-т1, 2-т2 )Р1Р2, что и требовалось доказать. Докажем п. в. Применяя теорему 1, имеем

оо оо

А2 = Е Е 2-2(а111+а212цбЯн(/)\\2Р1Р2 х 11 =п1 + 1 12=п2 + 1

О О 11 12

2—2(а111+а212) у ^ а2 22(У101+У202) х

11=п1 + 1 12=п2 +1 У1 =0 У2=0

п1 п2 п1 О

х 2-2(01 п1+02п2) "у^ "у^ а2 22(У101+У202) +2-2о1п1 а2 22У101 +

У1 =0 У2=0 У1=0 У2=п2+1

О п2 О О

+2—2a2n2 £ J2ah,v2 22v2a2 + E E

Vl=ni +1 V2=0 Vl=ni + 1 V2=n2 +1

В силу п. а теоремы 3 заключаем, что А х и01,02 (/, 2 п1, 2 п2 )Р1Р2, что и требовалось доказать

Докажем п. г. Применяя п. б теоремы 3, имеем

П! П2

в2 = 2-2п!«1 2-2П2«2 ^^ 22^1 «1+2^2"2^ (/ 2-М1 2-^2)

М1=0 М2 =0

Р1Р2

П! П2 +1 М2+1

^ 2-2п!«1 2-2п2«2 у4 22^1 а1+2^2«2-2^1 ^1-2^2^2 22(*1в1+*2в2)у2 ^ (/) ^

— / ^ / ^ / / 2^1 —1,2^2 —1\(/ /р1р2 —

М1=0 М2=0 Vl = 1 = 1

П1+1 П2+1

— 2-2(п1 «1+П2«2) ^^ 22(*1«1 +*2«21 2^2 1 (/)р р

Vl = 1 1^2 = 1

Воспользовавшись п. б теоремы 3, получим, что В — ^а1,а2 (/, 2-П! , 2-П2 )Р1Р2, что и требовалось доказать. Теорема 3 доказана.

6. Теорема типа Коляды.

Теорема 4. Пусть / е ЛР1Р2,1 < рг < ^ < оо, Ог = — од > Ог, 5г е (0,1), г = 1, 2. Тогда

О(/, 81,82) « О(/,81,82),

(2)

причем в соотношении (2) знак ^ нельзя заменить на знак — .

Доказательство. Для каждых 8г е (0,1),¿ = 1, 2, существуют натуральные числа = 1, 2, такие, что 2-П! < 81 < 2-П!+1 , 2-П2 < 82 < 2-П2+1. Поэтому

А = О(/, 81,82) « Б(/, 2-П! , 2-П2), В = О(/, 81,82) » О(/, 2-П!, 2-П2).

Применяя теорему 3, получим А ^ й1 + й2 + йз + й4,В » С1 + С2 + Сз + С4. Покажем, что йг ^ Сг^ = 1 — 4. Рассмотрим

П2

й^ = 2-П1("1 -01) 2 П2 (а2-02) I

\М2=0

П!

Е|а |Р1 2Р1(^1 (а1-01)+М2 («2 -02)) 1 1 1

1_т=0

£2.,

Р1 \ Р2

1. Пусть Р1 ^ 2. Тогда, применяя лемму 5, имеем

П2

й^ ^ 2-П1 («1 -01)2-П2(«2-02) I

\М2=0

П!

Еа2 22(^1 "1+М2 «2)2-2(^101+М202)

М1=0

Р2 1 2 \ Р2

1 (а). Если Р2 ^ 2, то, согласно лемме 5, будем иметь

П2 П!

й1 < 2-П!(«1-01)2-П2(«2-02) ^ ^ а21,М222(м!а1+^а2) — с1.

„ ^2=0 =0

1 (б). Если 1 <Р2 < 2, то, применяя неравенство Гельдера, находим

П2 П!

й1 < 2-П!(al-0l)2-n2(a2-02) ^ ^ а21,М222(м!а1+^а2) — с1.

\М2=0 =0 )

Итак, при Р1 ^ 2 и 1 <Р2 < ж показано, что й1 ^ С1.

2. Пусть 1 < Р1 < 2. Тогда, применяя к внутренней сумме неравенство Гельдера, получим

П2

й1 = 2-nl(al 01)2 П2(а2-02) I

\М2=0

П!

1а^ ^ |Р12Р1(^1 а1+М2а2)2-Р1(М101+М202)

1_т=0

Р 2 1 Р1 \ Р2

<

П2

^ 2-П1 (0:1-01)2-^(0:2-02) I

П!

Еа2 22(^101+^202)

Р2 2

2

-Р2^202

Р2

2 (а). Если 1 <Р2 < 2, то на основании неравенства Гельдера заключаем, что

1

П2 ni \ 2

dl ^ 2-п1 (01-01)2-п2(02-02) I 22(1101+1202М х с1

V 12 =0 11 =0 /

2 (б). Если 2 <Р2 < со, то, используя лемму 5, получим dl с1.

Итак, показано, что dl с1 при 1 <Р1 < 2 и 1 <Р2 < со. Следовательно, dl ^ с1 при 1 < Р1 < со и 1 <р2 < с.

Аналогично показывается, что d2 ^ с2^з ^ сз и d4 ^ с4. Но тогда верно и неравенство dl + d2 + dз + d4 ^ с1 + с2 + сз + с4, откуда следует, что А ^ В, что и доказывает соотношение (2).

Покажем, что в соотношении (2) знак ^ нельзя заменить на знак х . Для этого построим функцию /0(х, у) е ЛР1Р2, такую, что члены неравенства (2) имеют разные порядки как функции 61 и 62. Рассмотрим функцию

оо оо

/0(х,у) ~ Е ^2ат,п сов 2тх сов 2пу,

т=0 п=0

где ат,п = (т+Х^п)132, (З1 > > > въ а2 > 02, = ^ - 1 < < < оо, г = 1, 2.

Применяя теоремы 1 и 3, а, получим

(П\ + 1)/?1+^(П2 + Х)^2^ /о € Ьр, С0а1}а2 (/о, 2 1,2 2)р1р2 2а1п12а2п2 ^ ^аьаг (/О) 2 1,2 2)д1д2-

Но тогда для каждых 6г е (0,1), ¿ = 1, 2, имеем

/ 2у1+Ч 2\/?2+^

^аь«2(/о, ¿1, ¿2)р1р2 ~ б"1I 1п — I I Ь — I X СОа1,а2 (/о, , ¿2)9192 • Теперь легко проверить, что

/ „ \ / 2 \

Д/оАЛ) х «^"'М?2"'2 1п— 1

Таким образом, действительно, члены соотношения (2) для функции /0(х,у) имеют разные порядки как функции 61 и 62.

Отметим, что теоремы 3 и 4 для р1 = Р2 = р содержатся в работах [8, 9].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-00043, и программы "Ведущие научные школы РФ", грант НШ-3682.2014.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Соотношения между смешанными модулями гладкости и теоремы вложения классов Никольского // Тр. Матем. ин-та РАН. 2010. 269. 204-214.

2. Симонов Б.В. Взаимосвязь модулей гладкости с частичными суммами ряда Фурье и теоремы вложения классов Никольского // Докл. РАН. 2011. 437, № 6. 751-753.

3. Симонов Б.В. Смешанные модули гладкости в смешанных метриках // Матем. заметки. 2012. 92, № 5. 747-761.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

5. Потапов М.К. О приближении "углом" // Тр. Коллоквиума по конструктивной теории функций. Будапешт, Венгрия, 1969. 371-379.

6. Potapov M.K., Simonov B.V., Tikhonov S.Yu. Relations for moduli of smoothness in various metrics: functions with restrictions on Fourier coefficients // Jaen J. Approxim. 2009. 1, N 2. 205-222.

7. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

8. Потапов М.К., Симонов Б.В. Уточнение неравенства Ульянова для смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 18-24.

9. Potapov M.K., Simonov B.V., Tikhonov S.Yu. Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < ж: A survey // Surv. Approxim. Theory. 2013. 8. 1-57.

Поступила в редакцию 05.03.2012

УДК 519.176

ОЦЕНКИ ДЛЯ СУБОТНОШЕНИЯ ШТЕЙНЕРА И ОТНОШЕНИЯ ШТЕЙНЕРА-ГРОМОВА

А. С. Пахомова1

В статье доказана точная нижняя оценка для n-точечного суботношения Штейнера и отношения Штейнера-Громова произвольного метрического пространства. В качестве следствия получены значения этих величин для некоторых конкретных пространств, в частности филогенетических, а также доказано, что произвольное число от 0,5 до 1 может являться суботношением Штейнера или отношением Штейнера-Громова некоторого метрического пространства.

Ключевые слова: суботношение Штейнера, отношение Штейнера-Громова, проблема Штейнера, минимальное заполнение, кратчайшие сети, минимальные остовные деревья, филогенетические пространства.

A lower bound for n-pointed Steiner subratio and Steiner-Gromov ratio was obtained. As a corollary of the main theorem, the value of these ratios was calculated for several metric spaces, for example, for philogenetic ones. It was also proved, that any number from 0,5 to 1 could be a Steiner subratio or a Steiner-Gromov ratio of a certain metric space.

Key words: Steiner subratio, Steiner-Gromov ratio, Steiner problem, minimal filling, shortest trees, minimal spanning trees, philogenetic spaces.

1. Введение и основные понятия. В XVII в. П. Ферма сформулировал задачу: для заданной тройки точек на плоскости найти такую точку, суммарное расстояние от которой до данных трех было бы наименьшим. Естественным обобщением этой задачи для случая произвольного количества точек занимался в 1750 г. Т. Симпсон, а позже Я. Штейнер в 1837 г. и Г. Вебер в 1909 г. Более общая задача поиска кратчайшего дерева для данного граничного множества была предложена К. Гауссом в 1830 г. [1]. Позднее этой проблемой занимались В. Ярник и М. Кесслер [2]. Эта задача известна сегодня как проблема Штейнера.

Задача о минимальных заполнениях конечных метрических пространств возникла в теории геометрических вариационных задач. Минимальные заполнения гладких многообразий изучались М. Громовым [3] и многими другими авторами в контексте геометрических неравенств. В классической постановке М.Громова требуется для данного замкнутого многообразия с метрикой найти затягивающее его многообразие-пленку наименьшего возможного объема в предположении, что добавление пленки не уменьшает расстояние на исходном многообразии. Эта пленка и называется минимальным заполнением в смысле Громова. А. О. Иванов и А. А. Тужилин [4] предложили в случае конечных метрических пространств рассматривать в качестве пленок-заполнений взвешенные графы с внутренней метрикой, порожденной неотрицательной весовой функцией. В результате получилась нетривиальная и содержательная задача, а новый объект — минимальные заполнения конечных метрических пространств — оказался тесно связанным с геометрией кратчайших деревьев и отношением Штейнера. Приведем теперь формальные определения.

Пусть V — произвольное конечное множество. Графом G на множестве V называется пара (V, E), где E — некоторое конечное семейство пар элементов множества V. Элементы множества V называются вершинами графа G, а элементы множества E — ребрами графа G. Если задан граф G, то множество его вершин будем обозначать через V(G), а множество его ребер — через E(G). Если e = {a, b}, где e G E(G),

1 Пахомова Анастасия Сергеевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, ст. лаб. междунар. НИЛ "Дискретная и вычислительная математика" им. Б. Н. Делоне, e-mail: [email protected].